PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC A. Kiến thức cơ bản: 1- Đường thẳng đi qua điểm M(x 0 ;y 0 ) và nhận véctơ u r (a;b) làm véc tơ chỉ phương có phương trình tham số: 0 0 x x at y y bt = +   = +  2 - PTTQ của đường thẳng có dạng: ax + by + c = 0 Đường thẳng qua M(x 0 ;y 0 ) và nhận véctơ r n (a;b) làm VTPT có PTTQ: a(x- x 0 ) + b(y - y 0 ) = 0 3. Khoảng cách từ M(x 0 ;y 0 ) đến ∆ :ax + by + c = 0 là: ( ) 0 0 2 2 ax by c d M, a b + + ∆ = + 4. Đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt có VTCP là ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 u a ;b ,u a ;b= = uur uur . Khi đó ta có góc giữa 2 đt: · ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 u .u a a b b cos d ,d cos u ,u u . u a b . a b + = = = + + uur uur uur uur uur uur B. Các ví dụ Ví dụ 1 : Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát trong các trường hợp sau a. Đi qua điểm A( -5;3) và B(-3;4) b. Đi qua điểm M(-3;4) và có hệ số góc k = 3 Ví dụ 2 : Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát trong các trường hợp sau a. Đi qua điểm M(-3;4) và song song với đường thẳng 1 3 4 2 x t y t = +   = −  b. Đi qua điểm M(-3;4) và vuông góc với đường thẳng 1 3 4 2 x t y t = +   = −  Ví dụ 3 : Cho ba điểm A(1;4) , B(3;-1) và C(6;2) a. Chứng minh A,B,C là ba đỉnh của một tam giác b. Lập phương trình đường cao AH và trung tuyến AM Ví dụ 4 : Cho đường thẳng ∆ 3 2 4 3 x t y t = − +   = +  và điểm A( 1;2) a. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên ∆ b. Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua ∆ Ví dụ 5. Cho đường thẳng ∆ : 2 2 3 x t y t = +   = +  và điểm A(0;2) a. Tìm trên ∆ điểm M cách A một khoảng bằng 20 b. Tìm trên ∆ điểm N sao cho AN ngắn nhất Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hai điểm A(1;1), B(4,-3) và đường thẳng (d) có phương trình x – 2y – 1 = 0. Tìm trên (d) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 6 Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hai điểm A(3;1), B(-1,2) và đường thẳng (d) có phương trình x – 2y – 1 = 0 . a. Tìm trên (d) điểm M sao cho tam giác ABM cân tại M b. Tìm trên (d) điểm N sao cho tam giác ABN vuông tại N Ví dụ 8. Cho tam giác ABC có A(1;1) các đường cao hạ từ B và C lần lượt có phương trình h B : 2x – y + 8 = 0 và h C : 2x + 3y – 6 = 0 a. Viết phương trình đường cao hạ từ A b. Xác định tọa độ B, C Ví dụ 9. Cho tam giác ABC có A(1;1) các đường trung tuyến hạ từ B và C lần lượt có phương trình m B : 2x – y + 8 = 0 và m C : 2x + 3y – 6 = 0 a. Viết phương trình đường trung tuyến xuất phát từ A 1 b. Xác định tọa độ B, C Ví dụ 10. Cho tam giác ABC có A(2; -1) các đường phân giác hạ từ B và C lần lượt có phương trình l B : x – 2y + 8 = 0 và l C : x + y + 3 = 0 a. Viết phương trình đường phân giác kẻ từ A b. Xác định tọa độ B, C Ví dụ 11. Cho điểm P(2;2) và hai đường thẳng lần lượt có phương trình d 1 2x – y + 1 = 0 và d 2 : x + 3y + 2 = 0 a. Lập phương trình đường thẳng đi qua M và tạo với d 1 góc 45 0 b. Lập phương trình đường thẳng đi qua M cắt d 1 tại A và d 2 tại B sao cho M là trung điểm của đoạn AB. Ví dụ 12. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết tọa độ một đỉnh là (-4;5) và một đường chéo có phương trình 7x – y + 8 = 0 Ví dụ 13. Cho tam giác ABC đều đỉnh A(1; 2), cạnh BC có phương trình x – 2y + 5 = 0. Xác định tọa độ B, C BÀI TẬP I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài 1: Lập phương trình TQ và TS của đường thẳng đi qua điểm M và có vtpt n r biết: a, ( ) ( ) − = r M 1; 1 ; n 2;1 b, ( ) ( ) = − r M 0;4 ; n 1;3 c, ( ) ( ) M 2; 3 , n 2;1− − = − r Bài 2: Lập PTTS và PTTQ của đường thẳng đi qua điểm M và có vtcp u r biết: a, ( ) ( ) M 1; 2 ; u 1;0− = r b, ( ) ( ) M 5;3 ; u 3;1= − r c, ( ) ( ) M 3; 7 , u 3;2− − = r Bài 3: Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B trong các trường hợp sau: a, ( ) ( ) A 1;1 , B 2;1− b, ( ) ( ) A 4;2 , B 1; 2− − c, ( ) ( ) A 5;0 , B 1;1− Bài 4: Lập phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB biết: a, ( ) ( ) A 1;1 , B 3;1− b, ( ) ( ) A 3;4 , B 1; 6− c, ( ) ( ) −A 4;1 , B 1; 4 Bài 5: Lập phương trình đường thẳng (d) biết: a, đi qua điểm M(2;-1) và có hệ số góc k = 2 c, đi qua điểm M(-3;-1) và tạo với hướng dương trục Ox góc 45 0 . d, đi qua điểm M(3;4) và tạo với hướng dương trục Ox góc 60 0 . Bài 6: Chuyển (d) về dạng tham số biết (d) có phương trình tổng quát: a, 2x – 3y = 0; b, x + 2y – 1 = 0 c, 5x – 2y + 3 = 0 Bài 7: Chuyển (d) về dạng tổng quát biết (d) có phương trình tham số: a, =   = +  x 2 y 3 t b, = −   = +  x 2 t y 4 t c, = +   = −  x 2 3t y 1 Bài 8: Cho tam giác ABC biết A(-1;-2), B(4;-3) và C(2;3) a, Lập phương trình đường trung trực cạnh AB b, Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(3;7) và vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC Bài 9. Lập phương trình các cạnh và các đường trung trực của tam giác ABC biết trung điểm 3 cạnh BC, CA, AB lần lượt là: M(2;3), N(4;-1), P(-3;5) II. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC Bài 1: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2;2) và 2 đường cao (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình là ( ) ( ) 1 2 d : x y 2 0; d :9x 3y 4 0+ − = − + = Bài 2: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AB là x + y – 9 = 0, các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là (d 1 ): x + 2y – 13 = 0 và (d 2 ): 7x + 5y – 49 = 0. Lập phương trình cạnh AC, BC và đường cao thứ 3 Bài 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(1;-1) và 2 đường trung tuyến (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình là: ( ) ( ) 1 2 d :3x 5y 12 0; d :3x 7y 14 0− − = − − = Bài 4: Phương trình 2 cạnh của một tam giác là: ( ) ( ) 1 2 d :x y 2 0; d : x 2y 5 0+ − = + − = và trực tâm H(2;3). Lập phương trình cạnh thứ 3 2 Bài 5: Xác định toạ độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trung điểm của BC là M(2;3), phương trình (AB): x – y – 1 = 0; phương trình (AC): 2x + y = 0 Bài 6: Xác định toạ độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trọng tâm 4 2 G ; 3 3    ÷   và phương trình (AB): x – 3y + 13 = 0; phương trình (AC): 12x + y – 29 = 0 III. HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA ĐIỂM LÊN ĐƯỜNG THẲNG Bài 1: Lập phương trình đường thẳng (d 1 ) đối xứng với đt(d) qua điểm I a, I( 3;1);(d) : 2x y 3 0− + − = b, I(1; 1);(d) : 3x 2y 1 0− + = Bài 2: Lập phương trình đường thẳng (d 1 ) đối xứng với đường thẳng (d) qua đt( ∆ ) biết: a, (d) : x 2y 1 0;( ) : 2x y 3 0+ − = ∆ − + = b, (d) : 2x 3y 5 0;( ): 5x y 4 0+ + = ∆ − + = Bài 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(0;3); phương trình 2 đường phân giác trong xuất phát từ B và C lần lượt là B c (d ) : x y 0;(d ) : 2x y 8 0− = + − = Bài 4: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh BC: 084 =−+ yx và phương trình 2 đường phân giác trong xuất phát từ B và C lần lượt là: B C (d ) : y 0;( d ) : 5x 3y 6 0= + − = Bài 5: Cho tam giác ABC biết C(3;-3); phương trình đường cao và đường phân giác trong xuất phát từ A lần lượt là 1 2 (d ) : x 2;(d ) : 3x 8y 14 0= + − = IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG Bài 1: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau: a. 1 2 x 1 t x 2 u (d ) : ;(d ) : y 2 t y 5 u = − = −     = + = +   Bài 2: Cho 0 22 ≠+ ba và 2 đt (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình: 2 2 1 2 (d ) : (a b)x y 1;(d ) : (a b )x ay b− + = − + = a, Tìm quan hệ giữa a và b để (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau, khi đó hãy xác định toạ độ giao điểm I của chúng b, Tìm điều kiện giữa a và để I thuộc trục hoành Bài 3: Cho 2 đường thẳng 2 2 1 2 (d ) : kx y k 0;(d ) : (1 k )x 2ky 1 k 0− + = − + − − = a. CMR: đường thẳng (d 1 ) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k b. CMR: (d 1 ) luôn cắt (d 2 ). Xác định toạ độ của chúng V. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH Bài 1: Tìm góc giữa 2 đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) trong các trường hợp sau: a, 1 2 (d ) : 5x 3y 4 0;(d ) : x 2y 2 0+ − = + + = b, 1 2 (d ) : 3x 4y 14 0;(d ) : 2x 3y 1 0− − = + − = Bài 2: Cho 2 đường thẳng 0364:)(;0132:)( 21 =−+−=+− yxdyxd a, CMR (d 1 ) // (d 2 ) b, Tính khoảng cách giữa (d 1 ) và (d 2 ). Bài 3: Lập phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi (d 1 ) và (d 2 ) biết: a, 1 2 (d ) : 2x 3y 1 0;(d ) : 3x 2y 2 0+ − = + + = b, 1 2 x 1 5t (d ) : 4x 3y 4 0;(d ) : y 3 12t = −  + − =  = − +  Bài 4: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(-2;3) và cách đều 2 điểm A(5;-1) và B(3;7) Bài 5: Cho 2 đường thẳng 1 2 (d ) : 2x 3y 5 0;(d ) : 3x y 2 0− + = + − = .Tìm M nằm trên Ox cách đều (d 1 ) và (d 2 ). VI. CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ Bài 1: Tìm trên trục hoành điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất biết: a, A(1;2), B(3;4) b, A(-1;2), B(2;1) c, A(-2;-1), B(-1;-1). Bài 2: Tìm trên (d) điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất biết: a, (d) : x y 0;A(3;2), B(5;1)− = c, (d) : x y 2 0;A(2;1),B(1;5)− + = Bài 4: Cho đường thẳng (d) : x 2y 2 0− − = và 2 điểm A(1;2), B(2;5). Tìm trên (d) điểm M sao cho: a, MA + MB nhỏ nhất b, MA MB+ uuuur uuuur nhỏ nhất Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của a, 2 2 y x 4x 8 x 2x 2= + + + − + b, 2 2 y x 2x 2 x 6x 10= + + + − + 3 . Lập phương trình đường trung trực cạnh AB b, Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(3;7) và vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC Bài 9. Lập phương trình các cạnh và các đường. P(2;2) và hai đường thẳng lần lượt có phương trình d 1 2x – y + 1 = 0 và d 2 : x + 3y + 2 = 0 a. Lập phương trình đường thẳng đi qua M và tạo với d 1 góc 45 0 b. Lập phương trình đường thẳng. (-4;5) và một đường chéo có phương trình 7x – y + 8 = 0 Ví dụ 13. Cho tam giác ABC đều đỉnh A(1; 2), cạnh BC có phương trình x – 2y + 5 = 0. Xác định tọa độ B, C BÀI TẬP I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài