TRƯỜNG THPT BÌNH LIÊU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Tổ Toán-Lý-Tin-CN NĂM HỌC 2010-2011. Môn: TOÁN 10 Thời gian làm bài: 180 phút. Câu I: ( 3 điểm ) Giải phương trình sau: 4 4 ( 4) ( 6) 2x x + + + = Câu II: ( 5 điểm ) Giải hệ phương trình sau: 2 2 3 3 30 35 x y xy x y + = + = Câu III: ( 3 điểm ) Chứng minh rằng mọi ∆ ABC với A, B, C là các góc trong tam giác , S là diện tích tam giác ABC và a = BC, b = AC, c = AB ta luôn có: 2 2 2 cot 4 b c a A S + − = Câu IV: ( 5 điểm ) 1.Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cố định. Một đường thẳng thay đổi đi qua M và cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Chứng minh .MA MB uuuuruuur là một số không đổi. 2. Hai đường thẳng a, b cắt nhau tại M. Trên đường thẳng a lấy hai điểm phân biệt A và B, trên đường thẳng b lấy hai điểm phân biệt C và D. Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi . .MA MB MC MD = uuur uuur uuuur uuuur . Câu V: ( 4 điểm ) Cho a, b, c là những số dương và 1a b c + + = . Chứng minh rằng: 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) 64. a b c + + + ≥ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011 Môn: TOÁN 10 Câu Đáp án Biểu điểm I(3đ ) Đặt 4 6 5 5 2 y x y x x y + = + ⇔ = + ⇔ = − Pt trở thành 4 4 4 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 2 12 0 2 .( 6) 0 0 y y y y y y y − + + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = Vậy pt có nghiệm duy nhất 5x = − 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 II(5đ) Hệ pt II ⇔ ( ) 30xy x y+ = 2 2 ( )( ) 35x y x xy y+ − + = Đặt ,x y S xy P+ = = ta được hệ . 30S P = 2 .( 3 ) 35S S P− = Giải hệ được 5S = 6P = Thay lại ta có nghiệm của hệ là 3x = hoặc 2x = 2y = 3y = 0,5 1,0 1,5 2,0 III(3đ) Áp dụng định lý hàm số cosin ta có 2 2 2 b osA= 2 c a c bc + − Vì A là góc trong tam giác nên sin 0A ≠ .chia hai vế cho sinA Ta có 2 2 2 cot 4 b c a A S + − = với 1 sin 2 S bc A= . 1,0 1,0 1,0 IV(5đ) 1 Kẻ đường kính BB’ thì B’A ⊥ MB Nên MA uuur là hình chiếu của 'MB uuuur lên đường thẳng MB . '.MA MB MB MB= uuur uuur uuuur uuur ( ').( )MO OB MO OB= + + uuuur uuuur uuuur uuur ( ).( )MO OB MO OB= − + uuuur uuur uuuur uuur 2 2 MO OB= − uuuur uuur trong đó M, O cố định nên MO d = không đổi Vậy 2 2 .MA MB d R= − uuur uuur không đổi. 0,5 1,0 1,0 0,5 2 Nếu tứ giác ABCD nội tiếp Giả sử đường tròn ngoại tiếp ABCD có tâm O, bán kính R và MO = d. Theo chứng minh trên ( ý 1) ta có 2 2 .MA MB d R= − uuur uuur tương tự 2 2 .MC MD d R= − uuuuruuuur 0,5 Vậy . .MA MB MC MD = uuur uuur uuuur uuuur Nếu . .MA MB MC MD = uuur uuur uuuur uuuur Gọi (C) là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C nó cắt b tại điểm thứ hai E. khi đó theo cm ý 1. ta có . .MA MB MC ME = uuur uuur uuuur uuur Mà theo giả thiết thì . .MA MB MC MD = uuur uuur uuuuruuuur vậy . .MA MB MC MD = uuur uuur uuuur uuuur suy ra ME MD = uuur uuuur vì vậy E trùng với D hay tứ giác ABCD nội tiếp trong đtròn 0,5 0,5 0,5 V(4đ) Từ giả thiết 1a b c + + = ta có 1 1 1 1 1 a b c b c a a a a + + + = + = + + + Áp dụng Cô-si cho 4 số dương 1, 1, , b c a a ta có 4 2 1 1 4 b c bc a a a + + + ≥ (1) Tương tự 1 1 1 1 1 a b c a c b b b b + + + = + = + + + 4 2 ac 1 1 4 b a c b b + + + ≥ (2) 4 2 ab 1 1 4 a b c c c + + + ≥ (3) Nhân vế với vế của BĐT (1)(2)(3) ta được 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) 64. a b c + + + ≥ Dấu bằng xảy ra khi 1 3 a b c= = = 0,5 1,0 1,0 0,5 1,0 Lưu ý: Học sinh có thể làm theo cách khác, giám khảo chấm theo biểu điểm tương ứng với hướng dẫn chấm ở trên. . TRƯỜNG THPT BÌNH LIÊU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Tổ Toán-Lý-Tin-CN NĂM HỌC 2 010- 2011. Môn: TOÁN 10 Thời gian làm bài: 180 phút. Câu I: ( 3 điểm ) Giải. Chứng minh rằng: 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) 64. a b c + + + ≥ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2 010- 2011 Môn: TOÁN 10 Câu Đáp án Biểu điểm I(3đ ) Đặt 4 6 5 5 2 y x y x x y + = + ⇔ = + ⇔ =. điểm thứ hai E. khi đó theo cm ý 1. ta có . .MA MB MC ME = uuur uuur uuuur uuur Mà theo giả thi t thì . .MA MB MC MD = uuur uuur uuuuruuuur vậy . .MA MB MC MD = uuur uuur uuuur uuuur suy