Bài 9 : đờng thẳng trong không gian A. Yêu cầu : HS nắm đợc cách viết PTĐT ở 3 dạng và giải các bài toán liên quan nh : góc , khoảng cách , đờng vuông góc chung B. Các ví dụ : VD 1 : Viết PTCT của đờng thẳng (d) : x 2y 3z 4 0 3x 2y 5z 4 0 + = + = VD 2 : Lập PTTS, PTCT, PTTQ của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0; -3) và vuông góc với mp (P) : 2x 3y + 5z 4 = 0 VD 3 : Lập PTTS, PTCT, PTTQ của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0; -3) và vuông góc với 2 đ- ờng thẳng : (d) x y 1 0 4y z 1 0 + = + + = , (d) : 3x y 4z 1 0 2x 3y z 7 0 + + = + + + = VD 4 : Lập PTCT của đờng thẳng đi qua điểm M(1; 1; 2) và song song với đờng thẳng (d) : 3x y 2z 7 0 x 3y 2z 3 0 + = + + = VD 5 : Lập PTCT của đờng thẳng đi qua điểm M(1; 1; -2) và song song với mp (P) và vuông góc với đờng thẳng (d) , biết : (d) : x 1 y 1 z 2 2 1 3 + = = , (P) : x y z 1 = 0 VD 6 : Cho 2 điểm A(0; 0; -3) , B( 2; 0 ; -1) và mp (P) : 3x 8y + 7z 1 = 0 a) Tìm tọa độ giao điểm I của đờng thẳng đi qua 2 điểm A, B với mp(P) b) Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều VD 7 : Tìm tập hợp tất cả các điểm P trong không gian cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(-1; 2; 0) và C(2; -3; 2) VD 8 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp(P) đi qua 3 điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) và C( 1; 1; 3) . Viết PTTS của đờng thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác và vuông góc với mp đó VD 9 : Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mp(P) biết : a) (d) : 2x 3y 6z 10 0 x y z 5 0 + + = + + + = và (P) : y + 4z + 17 = 0 b) (d) : x 12 4t y 9 3t z 1 t = + = + = + và (P) : y + 4z + 17 = 0 c) (d) : y 1 0 x y z 3 0 = + + = và (P) : x + y 2 = 0 VD 10 : Hãy tính số đo góc tạo bởi đờng thẳng (d) và mp(P) biết : (d) : x 12 4t y 9 3t z 1 t = + = + = + và (P) : y + z - 5 = 0 VD 11 : Viết PT đờng thẳng qua A(1; 1; 1) và cắt cả 2 đờng thẳng (d) và (d) có PT : (d) : x y z 3 0 y z 1 0 + + = + = (d) : x 2y 2z 9 0 y z 1 0 + = + = VD 12 : Viết PT đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng ( ) và cắt cả 2 đờng thẳng (d 1 ), (d 2 ) ( ) : x y 1 z 5 3 1 1 = = , ( ) 1 x 1 y 2 z 2 d : 1 4 3 + = = , ( ) 2 x y 4z 3 0 d : 2x y z 1 0 + = + = VD 13 : Viết PT đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1; 1) và vuông góc với 2 đờng thẳng (a) và (b): (a) : x y z 3 0 y z 1 0 + + = + = (b) x 2y 2z 9 0 y z 1 0 + = + = HD : (d) có VTCP là tích có hớng của 2 VTCP của (a) và (b) VD 14 : Viết PTCT của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1; -2) , song song với mp(P) và vuông góc với đờng thẳng (d) biết : (d) : x 1 y 1 z 2 2 1 3 + = = và (P) : x y z 1 = 0 VD 15 : Viết PT của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1; 0), vuông góc với (d) và cắt (d) , với : (d) : x 1 y 2 z 8 1 1 + = = và cắt (d) : x y z 2 0 x 1 0 + + = + = VD 16: Viết PT của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2; -3) vuông góc với vectơ ( ) a 6; 2; 3= r và cắt đờng thẳng (d) : x 1 y 1 z 3 3 2 5 + = = VD 17 : Xác định vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng (d) và (d) có PT : a) (d) : x 3 2t y 2 3t z 6 4t = + = + = + (d) : 4x y 19 0 x z 15 0 + = + = ; d) (d) : x = -y+1 = z 1 , (d) : -x +1 = y-1 = z b) (d) : x 1 2t y 2 t z 3 3t = + = + = + và (d) : x 2 u y 3 2u z 1 3u = + = + = + c) (d) : 2x y 1 0 x y z 1 0 + + = + = , (d) : 3x y z 3 0 2x y 1 0 + + = + = VD 18 : Cho 2 đờng thẳng song song (d) vầ (d) có PT : (d) : x 7 y 5 z 9 3 1 4 + = = , (d) : x y 4 z 18 3 1 4 + + = = a) Viết PTmp chứa (d) và (d) b) Tính khoảng cách giữa (d) và (d) VD 19 : Cho hai đờng thẳng (d) và (d) cắt nhau và có PT : (d) : 2x y 1 0 x y z 1 0 + + = + = , (d) : 3x y z 3 0 2x y 1 0 + + = = a) Viết PTmp chứa (d) và (d) b) Viết PT đờng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d) VD 20 : Cho hai đờng thẳng (d) và (d) có PT : (d) : x 8z 23 0 y 4z 10 0 + + = + = , (d) : x 2z 3 0 y 2z 2 0 = + + = a) Chứng tỏ rằng (d) và (d) chéo nhau b) Tính khoảng cách giữa (d) và (d) c) Viết PTmp (P) chứa (d) , mp(Q) chứa (d) sao cho (P) // (Q) d) Viết PT đờng thẳng song song với Oz và cắt cả 2 đờng (d) và (d) VD 21 : Cho hai đờng thẳng (d) và (d) có PT : (d) : x 1 2t y 2 t z 3 3t = + = + = + , (d) : x 2 u y 3 2u z 1 3u = + = + = + a) CMR 2 đờng thẳng (d) và (d) chéo nhau b) Tính khoảng cách giữa (d) và (d) c) Viết PT đờng vuông góc chung của 2 đờng thẳng (d) và (d) VD 22 : Cho hai đờng thẳng (d) và (d) có PT : (d) : x 2 t y 1 t z 2t = + = = , (d) : x 2z 2 0 y 3 0 + = = a) CMR 2 đờng thẳng (d) và (d) chéo nhau . Viết PT đờng vuông góc chung của 2 đờng thẳng (d) và (d) b) Viết PT mp cách đều (d) và (d) VD 23 : Xác định hình chiếu ( ) của đờng thẳng (d) : x y z 5 0 2x 3y z 4 0 + = + + = lên mp(P) : 3x 2y z + 15 = 0 ( Mp chứa (d) và vuông góc với (P) : 9x + 11y + 5z 21 = 0 ) VD 24 : Cho đờng thẳng (d) : x my z m 0 mx y mz 1 0 + = + = a) Viết PT hình chiếu (d) của (d) lên mp Oxy b) CMR , khi m thay đổi , (d) luôn tiếp xúc với 1 đờng tròn cố định trong mp Oxy HD : a) P1 : Sử dụng PP chùm PP 2 : Khử z từ PTTQ của (d) ta đợc : 2mx ( m 2 1)y m 2 1 = 0 (*) c) PP1 : Gọi M(x ; y) là tập hợp các điểm trong mp(xOy) mà (d) không đi qua với mọi m (*) vô nghiệm hay ( y + 1)m 2 2xm y + 1 = 0 vô nghiệm với mọi m hay x 2 + y 2 < 1 Ta đi chứng minh (d) luôn tiếp xúc với đờng tròn (C) : x 2 + y 2 = 1 PP2 : (*) 2 2 2 2m 1 m x y 1 x.cos ysin 1 1 m 1 m + = + = + + đờng thẳng này tiếp xúc với (C) VD 25 : Viết PT hình chiếu ( ) của ( ) 1 : x 7 y 3 z 9 1 2 1 = = theo phơng ( ) 2 : x 3 y 1 z 1 7 2 3 = = lên mp : x + y + z + 3 = 0 HD : Đờng thẳng chứa ( ) 1 và song song với ( ) 2 có PT : 2x + y + 4z 53 =0 VD 26 : Cho đờng thẳng (d) và mp (P) có PT : (d) : x 1 2t y 2 t z 3t = + = = , (P) : 2x y 2z + 1 = 0 a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đờng thẳng (d) sao cho k/c từ mỗi điểm đó đến mp (P) bằng 1 b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I ( 2; -1; 3) qua đờng thẳng (d) . Xác định tọa độ K HD : a) A( 1 + 2t ; 2 t) ( ) d , ta có d( A/(P)) = 1 , suy ra t = -2 hoặc t = 4 b) ( ) d H d IH u uur uur VD 27 : Cho 2 điểm A( 1; 2; 3) và B( 4; 4; 5) a) Viết PT đờng thẳng AB . Tìm giao điểm P của nó với mp xOy . CMR với mọi điểm Q trên mp xOy , biểu thức | QA QB | có giá trị lớn nhất khi Q trùng với P b) Tìm điểm M trên mp xOy sao cho tổng các đọ dài MA + MB nhỏ nhất HD : a) Vì A, B cùng phía đối với mp xOy nên trong tam giác ABQ có | QA QB | AB . Dấu = xảy ra khi Q trùng P b) M ( 17/8; 22/8; 0) VD 28 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A( 1; 1; 0) và B( 3; -1; 4) và đờng thẳng (d) có PT : x 1 y 1 z 2 1 1 2 + + = = . Tìm điểm M trên đờng thẳng (d) sao cho tổng các độ dài MA + MB nhỏ nhất . HD : Gọi A, B là hình chiếu của A, B trên (d) , ta có : AA'.u uuuur r = 0 A(0;0; 0) , B(2; -2;4) Điểm N chia AB theo tỉ số AA/BB = -1 NA ' NB' = uuuur uuuur hay N(1; -1; 2) Ta chứng minh M trùng N. Gọi A là điểm nằm trên mp xác định bởi B, (d) và A với B khác phía đối với (d) và thoả mãn : AA = AA và AA vuông góc với (d) : AA' A 'A'' A' A'' NA' NB A'',B, N BB ' BB' BB' = = uuuur uuur thẳng hàng Vậy : MA + MB = MA + MB AB = NA + NB . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi M trùng N . Tìm tọa độ giao điểm I của đờng thẳng đi qua 2 điểm A, B với mp(P) b) Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều VD 7 : Tìm tập hợp tất cả các điểm P trong không gian. P trong không gian cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(-1; 2; 0) và C(2; -3; 2) VD 8 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp(P) đi qua 3 điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) và C( 1; 1; 3) . Viết PTTS. 1 = 0 a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đờng thẳng (d) sao cho k/c từ mỗi điểm đó đến mp (P) bằng 1 b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I ( 2; -1; 3) qua đờng thẳng (d) . Xác định tọa độ K HD : a)