Đang tải... (xem toàn văn)
giáo trình điện tử toán cao cấp A2 chương 3 3 2 , giáo trình điện tử toán cao cấp A2 chương 3 3 2 , giáo trình điện tử toán cao cấp A2 chương 3 3 2 , giáo trình điện tử toán cao cấp A2 chương 3 3 2 , giáo trình điện tử toán cao cấp A2 chương 3 3 2 , giáo trình điện tử toán cao cấp A2 chương 3 3 2
3.2. ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP 3.2.1. Công thức đổi biến Giả sử miền D’ của mặt phẳng Ouv được biến đổi vào miền D của mặt phẳng Oxy nhờ công thức ( , ) ( , ) x x u v y y u v = = thỏa mãn các điều kiện: i) Các hàm ( , ), ( , )x x u v y y u v= = liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên D’; ii) Phép biến đổi xác định một song ánh từ D’ lên D; iii) Định thức Jacobi ( , ) 0 ( , ) x x D x y u v J y y D u v u v ∂ ∂ ∂ ∂ = = ≠ ∂ ∂ ∂ ∂ trên D’ (có thể trừ một số hữu hạn điểm) [ ] ' ( , ) ( , ), ( , ) | | D D f x y dxdy f x u v y u v J dudv= ∫∫ ∫∫ Ví dụ: Tính 3 2 ( ) ( ) D I x y x y dxdy= + − ∫∫ Trong đó D được giới hạn bởi các đường 1,x y+ = 3,x y+ = 1,x y− = − 1x y− = 1 ( ) 2 1 ( ) 2 x u v u x y v x y y u v = + = + ⇔ = − = − 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 x x u v J y y u v ∂ ∂ ∂ ∂ = = = − ∂ ∂ − ∂ ∂ 3 1 3 2 4 3 1 1 ' 1 1 1 1 20 . 2 2 4 3 3 D I u v dudv u u − = = = ∫∫ 3.2.2. Tích phân kép trong tọa độ cực cos sin x r y r ϕ ϕ = = os sin ( , ) sin cos ( , ) c r D x y J r r D r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − = = = ' ( , ) ( cos , sin ) D D f x y dxdy f r r rdrd ϕ ϕ ϕ = ∫∫ ∫∫ 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( cos , si n ) r D r f x y dxdy d f r r rdr ϕ β α ϕ ϕ ϕ ϕ = ∫∫ ∫ ∫ ( ) 2 0 0 ( , ) ( cos , sin ) r D f x y dxdy d f r r rdr ϕ π ϕ ϕ ϕ = ∫∫ ∫ ∫ Ví dụ: Tính 2 2 x y D I e dxdy − − = ∫∫ 2 2 1x y+ ≤ , trong đó D là hình tròn cos sin x r y r ϕ ϕ = = Đổi biến { } ' ( , ) | 0 2 , 0 1D r r ϕ ϕ π = ≤ ≤ ≤ ≤ 2 2 1 0 0 r I d e rdr π ϕ − = ∫ ∫ D’ tương ứng với D là: Ví dụ: Tính ( ) D I x y dxdy= − ∫∫ , trong đó D là miền giới hạn bởi 2 2 1, 0x y y+ ≤ ≥ ' : 0 , 0 1D r ϕ π ≤ ≤ ≤ ≤ 1 0 0 ( cos si n )I d r r rdr π ϕ ϕ ϕ = − ∫ ∫ [...]... bởi D 2 1 ≤ x 2 + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ x ln(1 + x 2 + y 2 )dxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi Ví dụ: Tính ∫∫ D y ≥ 0, y ≤ x, x 2 + y 2 ≤ 1 x+ y dxdy , trong đó D là miền x 2 + y 2 ≤ 2 y Ví dụ: Tính ∫∫ 2 x + y2 D Ví dụ: Tính I = ∫∫ D x dxdy , trong đó D là miền y x 2 + y 2 ≥ 1, x 2 + y 2 ≤ 2 y , x ≥ 0 Ví dụ: Tính I = ∫∫ x 2 y 2 dxdy D x2 y 2 trong đó D là miền giới hạn bởi ellipse 2 + 2 = 1... x 2 + y 2 )dxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi D ( x − 2) 2 + y 2 ≤ 4 Đổi biến x = r cos ϕ y = r sin ϕ Phương trình ( x − 2) + y = 4 2 2 trong hệ toạ độ cực: r = 4cos ϕ π π D’: − ≤ ϕ ≤ , 0 ≤ r ≤ 4cos ϕ 2 2 Cách khác: ( x − 2) 2 + y 2 = 4 X = x − 2 Y = y X 2 +Y2 = 4 Đổi biến: X = r cos ϕ Y = r sin ϕ x = r cos ϕ + 2 y = r sin ϕ Định thức Jacobi: | J |= r Ví dụ: Tính I = ∫∫ x 2 . = − = − 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 x x u v J y y u v ∂ ∂ ∂ ∂ = = = − ∂ ∂ − ∂ ∂ 3 1 3 2 4 3 1 1 ' 1 1 1 1 20 . 2 2 4 3 3 D I u v dudv u u − = = = ∫∫ 3. 2. 2. Tích phân kép trong tọa. biến Phương trình 2 2 ( 2) 4x y− + = trong hệ toạ độ cực: 4cosr ϕ = , 0 4cos 2 2 r π π ϕ ϕ − ≤ ≤ ≤ ≤ D’: cos 2 sin x r y r ϕ ϕ = + = Cách khác: 2 2 ( 2) 4x y− + = 2 2 4X Y+ = 2X x Y y =. miền giới hạn bởi 2 2 ln(1 ) D x y dxdy+ + ∫∫ 2 2 2x y y+ ≤ Ví dụ: Tính , trong đó D là miền 2 2 D x y dxdy x y + + ∫∫ 2 2 1,x y+ ≥ 2 2 2 ,x y y+ ≤ 0x ≥ Ví dụ: Tính , trong đó D là miền