Vũ Chí Cơng T.H.P.T Chí linh 1 Sở GD&ĐT hải dơng Đề Thi chọn học sinh giỏi lớp 12 năm học 2008 - 2009 Vòng 1 Môn Toán Thời gian làm bài: 180 phút Cõu 1: ( 2,5 im) Cho hm s 2 1 1 x y x + = cú th (C) 1) Tỡm trờn (C) 2 im i xng nhau qua ng thng (d): 23 3 3 y x= + 2) Gi M l 1 im di ng trờn (C) cú honh 1 M x > . Tip tuyn ti M ct 2 tim cn ti A v B. Tỡm M din tớch tam giỏc OAB nh nht. Cõu 2: (3,0 im) 1) Tỡm m bt phng trỡnh sau ỳng vi mi x : sinx 2 sinx sinx ( 1) 2 [ ( 1)sinx -1] m e e e e e + 2) Tớnh tng cỏc nghim ca phng trỡnh sau trờn [0;1004 ] 2 8sin xcosx- 3 sinx-cosx 0 sin(x- ) 6 = Cõu 3: (1,5 im) Cho 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n C C C C + + + + + + + + + + + = 2 20 . Bit s hng th 3 trong khai trin A= 2 2 log log 3 4 8 2 n x x x x + bng 45. Tỡm x. Cõu 4: ( 1,0 im) Cho hm s f(x) liờn tc v cú o hm trờn R tho món: 502 1005 (1 2 ) (1 ) [ ] 2008 [ ] 0 x x f x f + + + = . Tớnh f(1). Cõu 5:( 2,0 im) Cho 2 na ng thng Ax v By chộo nhau v nhn AB lm on vuụng gúc chung. Cỏc im M, N ln lt chuyn ng trờn Ax v By sao cho AM+BN=MN . Gi O l trung im AB , H l hỡnh chiu vuụng gúc ca O xung MN. 1) Chng minh rng H nm trờn 1 ng trũn c nh. 2) Khi M khỏc A v N khỏc B . Chng minh rng th tớch t din ABMN khụng i. Ht Vò ChÝ C−¬ng T.H.P.T ChÝ linh 2 H−íng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Câu Nội dung Điểm 1 2,5 1-1 1,25 Gọi A,B ∈ (C) đối xứng với nhau qua (d)=> AB ⊥ (d) Phương trình AB : 3 x y m = + 0,25 Hoành độ của A, B là nghiệm x 1 ,x 2 của phương trình: 2 2 1 (7 3 ) 3 3 0 1 3 x x m x x m m x + = + ⇔ − − − − = − (1) =>x 1 +x 2 =7-3m 0,25 toạ độ trung điểm I của AB là 1 2 7 3 2 2 7 3 7 3 3 6 6 x x m x I x m m y m m + −  = =    − +  = + = + =   0,25 A,B đối xứng nhau qua (d)=>I ∈ (d)=> 7 3 7 3 23 3. 1 6 2 3 m m m + − = − + ⇔ = 0,25 với m=1 (1)<=>x 2 -4x-6=0 1 2 2 10 2 10 x x  = − ⇔  = +   Vậy 2 điểm cần tìm thoả mãn đề bài là 5 10 5 10 (2 10; ), (2 10; ) 3 3 A B − + − + 0,25 1-2 1,25 2 1 3 2 1 1 x y x x + = = + − − 2 3 ' ( 1) y x − = − M(x M ; y M ) ∈ (C) => 3 2 ;( 1) 1 M M M y x x = + > − Phương trình tiệm cận đứng của (C) : (d 1 ): x=1 Phương trình tiệm cận ngang của (C) : (d 2 ): y=2 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là (d): 2 3 3 '( )( ) ( ) 2 ( 1) ( 1) M M M M M M y y x x x y x x x x − = − + = − + + − − 0,25 A là giao của (d) và (d 1 ) => toạ độ của A là 2 1 3 3 6 ( ) 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) M M M M x A y x x x x x =   −  = − + + = +  − − −  B là giao của (d) và (d 2 ) => toạ độ của B là 2 2 2 1 3 3 ( ) 2 2 ( 1) ( 1) M M M M y x x B y x x y x x =  = −   ⇔ −   = − + + =   − −  4 2 2 2 2 2 ( 1) 9 36 9 (2 2) 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) M M M M M M x AB x x x x x − + = − + = − + = − − − 0,25 Vò ChÝ C−¬ng T.H.P.T ChÝ linh 3 khoảng cách từ O đến AB là 2 2 4 4 3 3 (0 ) 2 ( 1) ( 1) 2 2 1 ( ; ) 9 ( 1) 9 1 ( 1) M M M M M M M x x x x x d o AB x x − − + + − − + − = = − + + − ( do x M >1) Diện tích tam giác OAB là 4 2 2 4 2 ( 1) 9 2 2 1 2 2 1 1 1 . ( ; ) . 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 9 M M M M M OAB M M M x x x x x S AB d O AB x x x ∆ − + + − + − = = = − − − + 0,25 Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có 2 2 2 2 1 2( 1) 6( 1) 31 3 . ( ; ) 2( 1) 6 2 ( 1) 1 ( 1) 3 6 2. 2( 1). 6 2 6 ( 1) M M M M OAB M M M M M M x x x x S AB d O AB x x x x x x ∆ + − − + − + = = = = − + + − − − ≥ + − = + − dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 3 6 2( 1) 1 ( 1) 2 M M M x x x − = ⇔ = + − ( do x M >1) Vậy điểm M thoả mãn đề bài là 6 (1 ;2 6) 2 M + + 0,5 2 3,0 2-1 1,5 1)Tìm m để phương trình sau có nghiệm: sinx 2 sinx sinx ( 1) 2 [ ( 1)sinx -1] m e e e e e − + − − − ≤ (1) đặt t=sinx ( t ∈ [-1;1]) (1)=> 2 ( 1) 2 [ ( 1) -1] m t t t e e e e e t − + − − − ≤ (2) 0,25 đặt f(t)=e t -(e-1)t-1 f’(t)=e t -(e-1) f’(t)=0<=>t=ln(e-1) Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên => f(t)=0 <=>t=0;t=1 t - ∞ 0 ln(e-1) 1 + ∞ f’(t) - - 0 + + f(t) 0 0 0,5 Đặt G(t)= 2 2 ( 1) 2 [ ( 1) -1]=( 1) 2 . ( ) t t t t t e e e e e t e e e f t − + − − − − + − trên [-1;1] G’(t)=2(e t -e-1).e t -2e t f(t)-2e t .f’(t)=-2e t .f(t) 0,25 G’(t)=0 <=>f(t)=0 <=>t=0;t=1 G(-1)=-e -2 +4e -1 +e 2 -2e-3 ; G(0)=(2-e) 2 ; G(1)=1=> [-1;1] ax ( ) 1 m G t = (1) Đúng với mọi x khi và chỉ khi (2) đúng với mọi t ∈ [-1;1] 0,5 Vò ChÝ C−¬ng T.H.P.T ChÝ linh 4 <=> [-1;1] ax ( ) 1 m m G t m ≥ ⇔ ≥ 2-2 1,5 điều kiện xác định : sin( ) 0 ( ) 6 6 x x k k π π π − ≠ ⇔ ≠ + ∈ » (1) 4sin 2 sinx- 3 sinx-cosx=0 2(cosx-cos3x)- 3 sinx-cosx=0 1 3 cos3x= osx- s inx cos3x=cos(x+ ) 2 2 3 x c π ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 0,5 (2) 3 2 3 6 ( ) 3 ( ) 2 3 12 2 x x k x k k x x k x k π π π π π π π π   = + + = +   ⇔ ⇔ ∈     = − + + = − +     » Kết hợp với điều kiện xác định => (1) có nghiệm là ( ) 12 2 x k k π π = − + ∈ » 0,25 Do 1 1 2008 [0;1004 ] 0 1004 6 6 12 2 1 2008 k x k k k k π π π π  ≤ ≤ +  ∈ ⇒ ≤ − + ≤ ⇔   ∈  ≤ ≤  =>  ∈  » » 0,25 => các nghiệm của (1) trên [0;1004 π ] là 12 2 k x k π π = − + với 1 2008 k k ≤ ≤   ∈  » gồm 2008 nghiệm lập thành cấp số cộng có 1 5 12 2 6 x π π π = − + = công sai 2 d π = nên tổng các nghiệm là 1 2008 5 3027562 [2 ( 1) ] [2 (2008 1) ] 2 2 2 6 2 3 n S x n π π π π = + − = + − = 0,5 3 1,5 điều kiện : x>0 Ta có 0 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n C C C C + + + + + + + + + + = do 2 1 0 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ; ; k n k n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C + − + + + + + + + + + + = => = = = Nên 0 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n C C C C + + + + + + + + + = 2( 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) n n n n n n n n C C C C + + + + + + + + + + + => 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 n n n n n n n n n n C C C C + + + + + + + + + + + + = = => (1) <=>2 2n =2 20 <=>n=10 0,5 với n=10 => 2 2 10 log log 3 4 8 2 x x x A x − −     = +     số hạng thứ k+1 trong A là 2 2 log log 3 10 4 8 1 10 ( ) .( 2 ) x x x k k k k T C x − − − + = 0,5 Vò ChÝ C−¬ng T.H.P.T ChÝ linh 5 do số hạng thứ 3 trong A bằng 45 nên 2 2 log log 32 8 2 4 8 3 10 ( ) .( 2 ) 45 x x x T C x − − = = 2 2 2 2 log log 2(log 3) 2(log 3) 8 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 45. .2 45 log ( .2 ) 0 2(log 3) log (log 3) 0 (log 3)(2log ) 0 log 3 0 8 2log 0(2) 2log 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − − − ⇔ = ⇔ = ⇔ − − − = ⇔ − − = − = =   ⇔ ⇔   − = − =   đặt f(x)=2log 2 x-x trên (0;+ ∞ ) 2 2 '( ) 1 0 ln 2 ln 2 f x x x = − = ⇔ = bảng biến thiên x 0 2 2 ln 2 4 + ∞ f’(x) - - 0 + + f(x) 0 0 từ bảng biến thiên => (2) có đúng 2 nghiệm x=2 và x=4 vậy với x ∈ {2;4;8} thoả mãn đề bài 0,5 4 1,0 502 1005 (1 2 ) (1 ) [ ] 2008 [ ] 0 x x f x f + − + + = (1) chọn x=0 thay vào (1) => 502 1005 (1) (1) (1) 0 0 (1) 1 f f f f =  + = ⇔  = −  0,25 Đạo hàm 2 vế của (1) 501 1004 (1 2 ) (1 2 ) (1 ) (1 ) 502. . ' .2 2008 1005. . ' (-1) 0(2) x x x x f f f f + + − − ⇒ + + = 0,25 chọn x=0 thay vào 501 1004 (1) (1) (1) (1) (2) 1004. . ' 2008 1005. . ' 0(3) f f f f⇒ + − = với f(1)=0 thay vào (3) không thoả mãn với f(1)=-1 thay vào (3)=> 2008 '(1) 2009 f = 0,5 5 2,0 5-1 1,0 đặt AM=x BN=y 0,25 Vò ChÝ C−¬ng T.H.P.T ChÝ linh 6 Trên tia đối của tia Bx lấy điểm C sao cho BC=AM=> ∆ AOM= ∆ BOC(c.g.c) =>CO=MO=> ∆ OCN= ∆ OMN(c.c.c)=> 2 đường cao tương ứng bằng nhau => OH=OB(1)( OB không đổi) x x y O C A B M N N' H K AB ⊥ Ax và AB ⊥ By=>kẻ At  By => AB ⊥ (Ax,At) gọi N’,K lần lượt là hình chiếu của N,H xuống (Ax,At)=>M,K,N’ thẳng hàng. Ta có BC=AM=MH; BN=HN=AN’ HK  NN’=> ' ' MH MK x AM HN KN y AN = = = => AK là phân giác  xAt => đường thẳng AK cố định =>(AKB) cố định (2). 0,5 Từ (1) và (2)=> H nằm trên đường tròn cố định tâm O bán kính OB vẽ trong mặt phẳng (ABK). 0,25 5-2 1,0 đặt  (Ax,By) α = => α không đổi và  sin sin ' MAN α = Do ∆ ABN= ∆ NN’A=>  ' ' ' 1 1 1 '. . . '.sin ' . . .sin 3 3 3 MABN MANN NN AM AMN V V V NN S AB AM AN MAN AB x y α ∆ = = = = = 0,5 Do AB ⊥ (Ax,At) =>NN’ ⊥ (Ax,At) =>NN’ ⊥ N’M =>     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ' ' ' 2 . '. osMAN' 2 2 osMAN' 2(1 osMAN') MAN' 4 os 2 MN x y NN N M AB AM AN AM AN c AB AB xy AB xyc xy c c = + = + = + + − ⇔ = − ⇔ = = + 0,25 =>   2 3 2 2 1 1 sin .sin . 3 12 MAN' MAN' 4 os os 2 2 ABMN AB V AB AB c c α α = = nếu  3 3 2 1 sin 1 ' tan 12 6 2 os 2 ABMN MAN V AB AB c α α α α = => = = nếu  3 1 ' cot 6 2 ABMN MAN V AB α π α = − => == Do AB , α không đổi => thể tích tứ diện ABMN không đổi 0,25 . Vũ Chí Cơng T.H.P.T Chí linh 1 Sở GD&ĐT hải dơng Đề Thi chọn học sinh giỏi lớp 12 năm học 2008 - 2009 Vòng 1 Môn Toán Thời gian làm bài:. x x = − = ⇔ = bảng biến thi n x 0 2 2 ln 2 4 + ∞ f’(x) - - 0 + + f(x) 0 0 từ bảng biến thi n => (2) có đúng 2 nghiệm x=2 và x=4 vậy với x ∈ {2;4;8} thoả mãn đề bài 0,5 4 1,0. 0,25 đặt f(t)=e t -(e-1)t-1 f’(t)=e t -(e-1) f’(t)=0<=>t=ln(e-1) Bảng biến thi n Từ bảng biến thi n => f(t)=0 <=>t=0;t=1 t - ∞ 0 ln(e-1) 1 + ∞ f’(t) - - 0 + + f(t)