Chuyên đề Tam thức bậc hai A.Phơng trình bậc hai I. Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) và y= g(x) có tập xác định lần lợt là D f , D g . Khi đó mệnh đề chứa biến f(x) = g(x) đợc gọi là phơng trình một biến x. Trong đó: gf DDD = đợc gọi là tập xác định của phơng trình. )()(: 000 xgxfDx = là đẳng thức đúng thì x 0 đợc gọi là một nghiệm của phơng trình. { } )()(: 000 xgxfDxT == là tập nghiệm của phơng trình. =T thì ta nói phơng trình vô nghiệm. Với định nghĩa này thì khái niệm nghiệm của phơng trình phụ thuộc vào D. Có thể : Vô nghiệm 1 2 1 1 +=+ xxx Có nghiệm 01)2( 2 =+ xxx Nghiệm đúng với mọi x thuộc D 12)1( 22 ++=+ xxx Định nghĩa này dễ dàng mở rộng cho khái niệm phơng trình nhiều biến. II. Các định lý về phép biến đổi tơng đơng [ ] [ ] = > = = = +=+ = 22 )()( 0)()( )()( )()()()( 0)( )()( )()()()( )( )()( xgxf xgxf xgxf xhxgxhxf xh xgxf xhxgxhxf nghiacoxh xgxf Khi sử dụng các định lý về phép biến đổi tơng đơng học sinh thờng mắc phải những Sai lầm do không nắm đợc điều kiện dùng định lý Ví dụ 1 : Giải phơng trình 22 2 1 1 22 + = + xx x xx x Có học sinh giải nh sau: Điều kiện + 022 01 2 2 xx xx Với điều kiện trên phơng trình đã cho tơng đơng với xxx x xxx x 1 22 21 1 1 22 + + =+ + )22( 22)2( )1( 1)1( 2 2 2 2 + ++ = ++ xxx xxxx xxx xxxx += + = 22)1(2 0 )22( 2 )1( 1 22 22 xxxx x xxxxxx Vô nghiệm Lời giải trên là sai lầm rõ ràng x=0 là một nghiệm của phơng trình Nguyên nhân sai lầm vì học sinh thực hiện phép biến đổi không tơng đơng nghĩa là khi cộng vào hai vế của phơng trình với biểu thức không hoàn toàn xác định trên D. Ví dụ 2: Giải phơng trình 11 = xx Có học sinh giải nh sau: Điều kiện 1x Với điều kiện trên phơng trình đã cho tơng đơng với = = =+ =+ 2 1 023 121 2 2 x x xx xxx Lời giải trên có sai lầm vì nhận thấy x=2 không là nghiệm của phơng trình Nguyên nhân sai lầm là do học sinh không chú ý đến điều kiện để bình phơng hai vế của phơng trình. III. Phơng trình bậc hai 1. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng 0 2 =++ cbxax (a, b, c R; x ẩn; a 0) 2. Công thức nghiệm )''(4 22 acbacb == > 0 ( > 0) phơng trình có hai nghiệm phân biệt a b x a b x '' ( 2 2,12,1 = = ) = 0 ( = 0) phơng trình có nghiệm kép ) ' ( 2 a b x a b x = = < 0 ( < 0 ) phơng trình vô nghiệm IV. Một số phơng trình quy về phơng trình bậc hai 1. Ph ơng trình bậc 4 Để giải phơng trình bậc 4 ta đều tìm cách đa phơng trình đã cho về phơng trình bậc hai bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (cần đa về phần chứa x giống nhau) hoặc đa về phơng trình tích hoặc đa về phơng trình bậc 4 biết cách giải. a. Một số phơng trình bậc 4 biết cách giải *) Phơng trình trùng phơng: )0(0 24 =++ acbxax (1) Cách giải: Đặt x 2 = t (t 0) phơng trình đã cho có dạng 0 2 =++ cbtat (2) Giải phơng trình tìm t ( thoả mãn ) rồi tìm x. Mối quan hệ giữa nghiệm của phơng trình trùng phơng và nghiệm của phơng trình bậc hai (1) vô nghiệm < > < < 0 0 0 0 0 )2( 21 S p tt vonghiem (1) có một nghiệm = = < = > == =< 0 2 0 0 0 0 0 0 21 21 a b S P tt tt (1) có hai nghiệm > = < >= << 0 2 0 0 0 0 21 21 a b P tt tt (1) có ba nghiệm > = > <= 0 0 0 0 21 S Ptt (1) có bốn nghiệm > > > << 0 0 0 0 21 S Ptt *). Phơng trình hồi quy, phơng trình phản thơng **)Phơng trình phản thơng ( phơng trình đối xứng) Dạng 1: )0(0 234 =++++ aabxcxbxax Cách giải: Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình. Chia cả hai vế của ph- ơng trình cho x 2 ta đợc 0) 1 () 1 ( 2 2 =++++ c x xb x xa . Đặt 2 1 =+ tt x x phơng trình có dạng 02 2 =++ acbtat Giải phơng trình tìm t (thoả mãn) rồi tìm x. Dạng 2: )0(0 234 =+++ aabxcxbxax Cách giải: Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình. Chia cả hai vế của ph- ơng trình cho x 2 ta đợc 0) 1 () 1 ( 2 2 =+++ c x xb x xa . Đặt t x x = 1 phơng trình có dạng 02 2 =+++ acbtat Giải phơng trình tìm t rồi tìm x. Nhận xét Nếu phơng trình )0(0 234 =++++ aabxcxbxax có một nghiệm là x 0 thì có nghiệm thứ hai là 0 1 x . Nếu phơng trình )0(0 234 =+++ aabxcxbxax có một nghiệm là x 0 thì có nghiệm thứ hai là - 0 1 x . Ví dụ: Giải các phơng trình sau 041247124)2 014)1 234 234 =++++ =+++ xxxx xxxx 03)53(2)()5 01)13145)(2()2()4 062512256)3 22 24 234 = =+++ =+++ xxxx xxxx xxxx Hớng dẫn (4) đặt y = x-2 (5) đặt y = x-1 **) Phơng trình hồi quy theo x là phơng trình có dạng )0(0 2234 =+++ aakbkxcxbxax Khi k = 1thì phơng trình hồi quy trở thành phơng trình phản thơng đã xét ở trên Phơng pháp giải: .Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình. Chia cả hai vế của phơng trình cho x 2 . .Biến đổi phơng trình đã cho về phơng trình ẩn t. . Giải phơng trình tìm t rồi tìm x. Ví dụ: Giải các phơng trình sau 16 23 13 253 2 )6 14)43)(42()5 041085)4 05010574212)3 ) 4 3 ( 3 1048 3 )2 4 87 1 4)1 22 222 234 234 2 2 2 2 = ++ + ++ =+++ =++ =++ =+ +=++ xx x xx x xxxxx xxxx xxxx x x x x x x x x Hớng dẫn 1) Đặt t x x =+ 1 2 . đa về phơng trình đại số ẩn t 2) Viết lại phơng trình (2) dới dạng ) 4 3 ( 3 10 ) 16 9 (3 2 2 x x x x =+ . Đặt t x x = 4 3 3) Chia cả hai vế cho x 2 đặt t x x =+ 5 4) Chia cả hai vế của phơng trình cho x 2 đặt t x x =+ 2 5) Chia cả hai vế của phơng trình cho x 2 đặt t x x =+ 4 6) Chia cả tử và mẫu của vế trái cho x ta đợc 16 2 13 13 2 53 2 = ++ + ++ x x x x . đặt t x x =+ 2 3 *, Phơng trình bậc 4 có dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e. với a+b = c+d Phơng pháp giải: Phơng trình đã cho tơng đơng với [ ][ ] ecdxdcxabxbax =++++++ )()( 22 đặt txbax =++ )( 2 . Ta có (t+ab)(t+cd)=e Giải phơng trình tìm t rồi tìm x. Ví dụ: Giải các phơng trình sau 6)1)(43()76()5 24)127)(23()4 34)3)(6)(2)(1()3 9)32)(3)(1)(12()2 016)5)(3)(1()1 2 22 2 =+++ =++++ =+ =+ =+++ xxx xxxx xxxx xxxx xxx *) Phơng trình bậc 4 có dạng cbxax =+++ 44 )()( Phơng pháp giải: đặt 2 ba xt + += khi đó 2 2 ba tbx ba tax =+ +=+ Phơng trình đã cho có dạng c ba tbatc ba t ba t = ++= + + 8 )( )(32) 2 () 2 ( 4 22444 Giải phơng trình trùng phơng tìm t rồi tìm x. Ví dụ: Giải các phơng trình sau 2)5()3()3 17)2()5()2 2)6()4()1 44 44 44 =+++ =+ =+++ xx xx xx b) Ngoài các phơng trình bậc 4 biết cách giải nói trên ta còn gặp những phơng trình bậc 4 mà để giải nó ta phải đa về phơng trình tích hoặc phơng trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ Ví dụ : Giải các phơng trình sau ( ) 01234)8 11 )5( 25 )7 0534)6 05)1(6)1()5 )1(1)1(2)4 0445)3 01424)2 03311116)1 234 2 2 2 4 422242 2322 234 234 234 =++ = + + = =++++ +=+++ =++ =++ =+ xxxx x x x xx xxxxxx xxxx xxxx xxxx xxxx Hớng dẫn: 1) Phơng trình đã cho 0)3116)(1( 22 =+ xxx 2) có tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm x = 1. 3) phơng trình (3) 0)1)(4( 22 = xxx 4) Chia cả hai vế của phơng trình cho (x + 1) 2 5) Chia cả hai vế của phơng trình cho x 4 6) phơng trình (6) 222 )3(2)1( +=+ xx 7) biến đổi phơng trình về dạng 011 5 10) 5 (11 5 5 2) 5 5 ( 2 2 2 2 = + + + = + + + x x x x x x x x x x 8) 01)2()2( 222 =++ xxxx 2. Ph ơng trình vô tỷ a. Một số dạng phơng trình vô tỷ cỏ bản [ ] = =+ = = = = )()()()()(2 0)( 0)( 0)( )()()( )()( 0)( )()( )()( 0)(0)( )()( 2 xgxfxhxgxf xh xg xf xhxgxf xgxf xg xgxf xgxf xgxf xgxf b. Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ Phơng pháp 1: Biến đổi tơng đơng 1. Biến đổi t ơng đ ơng đ a về ph ơng trình cơ bản . Ví dụ : Giải các phơng trình sau 20042004)10 4 3 4 3)9 4932)8 342123)7 1123234)6 12 5 1)5 123 23 )4 2)1()13()3 225225232)2 5168143)1 2 2 2 2 2 2 2 =++ = + ++ =+ +++=+++ =+++ + =+ = =+ =+++ =++++ xx x x x x xxx xxxxxx xxx x xx xx x x xxxxx xxxx xxxx Hớng dẫn: 1) phân tích biểu thức dới căn là các hằng đẳng thức từ đó đa phơng trình về dạng chức dấu giá trị tuyệt đối. 2) nhân cả hai vế của phơng trình với 2 rồi giải nh phơng trình (1) 3) Giải phơng trình dựa tren miền xác định. 4) Quy đồng rồi đa về phơng trình tích. 5) Quy đồng đa phơng trình về dạng 4)1( 22 =+ xx 6) Chuyển vế trái sang phải đa phơng trình về dạng 0)23()123( 22 =+++ xx 7) đa về phơng trình tích 8) Phơng trình 22 9)31( xx =++ 9) Chia cả hai vế của phơng trình cho 3+x ta đợc 0) 3 4 1( 2 = + x x 10) Biến đổi phơng trình có dạng 222 ) 2 1 2004() 2 1 ( 4 1 20042004 4 1 +=++++=++ xxxxxx 2. Bình ph ơng hai vế của ph ơng trình Ví dụ: Giải phơng trình 222133 ++=+++ xxxx Giải: Bình phơng hai vế không âm của phơng trình ta đợc )12(2)13)(3(1 ++=+++ xxxxx Tuy nhiên giải phơng trình này hơi phức tạp. Phơng trình giải sẽ đơn giản hơn nếu ta chuyển vế phơng trình 342213 +=++ xxxx Bình phơng hai vế ta có 1124286 22 =+=++ xxxxx Thử lại x=1 thoả mãn. Nhận xét: Nếu phơng trình )()()()( xkxhxgxf +=+ mà có f(x) + h(x)= g(x) + k(x) thì ta biến đổi phơng trình về dạng )()()()( xgxkxhxf = sau đó bình phơng rồi giải phơng trình hệ quả. Ví dụ: Giải phơng trình 311 3 1 2 3 +++=++ + + xxxx x x Giải: Ta có 113 3 1 2 3 ++=+ + + xxxx x x . Từ nhận xét này ta có lời giải nh sau Phơng trình đã cho tơng đơng với 113 3 1 2 3 ++=+ + + xxxx x x Bình phơng hai vế ta đợc += = == + + 31 31 0221 3 1 22 3 x x xxxx x x Thử lại ta có hai nghiệm đều thoả mãn. Qua lời giải trên ta có nhận xét Nếu phơng trình )()()()( xkxhxgxf +=+ mà có f(x) . h(x)= g(x). k(x) thì ta biến đổi phơng trình về dạng )()()()( xgxkxhxf = sau đó bình phơng rồi giải phơng trình hệ quả. 3. Trục căn thức 3.1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung a. Phơng pháp: Một số phơng trình vô tỷ có thể nhẩm đợc nghiệm x 0 nh vậy phơng trình luôn đa đợc về dạng tích (x-x 0 )A(x)=0. Ta có thể giải phơng trình A(x) = 0 hoặc chứng minh A(x) = 0 vô nghiệm. b. Ví dụ: Giải các phơng trình sau 11)5 53512)4 43)1(32153)3 4 46 2242)2 6232)1 3 3 2 22 2222 2 =+ ++=++ +=+ + =+ = xxx xxx xxxxxxx x x xx xxx Hớng dẫn: 1) Nhân liên hợp vào vế trấi của phơng trình ta có phơng trình đã cho tơng đơng với 30)2 32 1 )(3()3(2 32 3 == + = + x xx xx xx x 2) Nhân liên hợp vào vế trái của phơng trình ta có phơng trình đã cho tơng đơng với +=++ = + = ++ 42242 046 4 46 2242 46 2 2 xxx x x x xx x 3) Trục căn thức hai vế của phơng trình ta có 432 63 153 42 222 ++ = + + xxx x xx x Có x=2 là nghiệm duy nhất của phơng trình. 4) Phơng trình đã cho có dạng 2 35 4 )2(3 412 4 3563412 2 2 2 2 22 = ++ += ++ ++=+ x x x x x x xxx 5) Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phơng trình nên ta biến đổi 52 )93)(3( ) 412)1( 3 1)(2(52321 3 2 3 2 3 22 3 3 2 + ++ = + + +=+ x xxx xx x xxxx 3.2 Đ a về hệ tạm a, Phơng pháp: nếu phơng trình vô tỷ có dạng CBA =+ mà A-B = kC ở đây C có thể là hằng số, có thể là biểu thức của x. Ta có thể giải nh sau: kBAC BA BA == . Khi đó ta có hệ = =+ kBA CBA b, Ví dụ: Giải các phơng trình sau xxxxx xxxxx 31122 41292)1 22 22 =++++ +=++++ Hớng dẫn: 1) Ta thấy x = - 4 không là nghiệm của phơng trình. Trục căn thức ta có 212924 1292 82 22 22 =++++= +++ + xxxxx xxxx x Vậy ta có hệ = = +=++ +=++++ =+++ 7 8 0 6922 41292 21292 2 22 22 x x xxx xxxxx xxxx Thử lại phơng trình ta có hai nghiệm đều thoả mãn. 2) Chia cả hai vế của phơng trình cho x ta đợc 3 11 1 11 2 22 =++++ xxxx Đặt t x = 1 khi đó phơng trình có dạng 312 22 =++++ tttt . Trục căn thức ta có 3 12 12 22 = +++ + tttt t . Vậy ta có hệ 3 12 322 3 12 12 312 2 22 22 + +=++ + =+++ =++++ t tt t tttt tttt = = 8 7 1 t t Bài tập tơng tự Giải các phơng trình sau: 2 22 22 2222 3 2 3 3 2 3 2 22 3 1 36 )10 82315)9 42118162)8 23222312)7 044321112)6 23231)5 3214)4 )10)(2()5)(2(2)3 231034)2 1)3(13)1 xx xx x xxx xxxx xxxxxxx xxx xxx xxx xxxxx xx xxxx += ++=+ +=+++ ++++=+ =+ =+ +=+ += = ++=++ Hớng dẫn: 1) đa về phơng trình tích 0)31)(1( 22 =++ xxx 2) Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của phơng trình. Phơng trình đã cho có dạng 33 131034 )3(9 3 131034 )3101(3 3131034 == + = + = xx x x x x x xx 3) Nhận thấy x =1 là nghiệm của phơng trình do đó phơng trình có nhân tử x 1 Phơng trình đã cho có dạng 1 32012 )11)(1( 1 2107 )6)(1(2 32012 1112 1 2107 )67(2 32012141072 22 2 2 2 2 22 = ++ += ++ ++ + += ++ + ++=+ x xx xx x xx xx xx xx x xx xx xxxxx 4) Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phơng trình. Phơng trình có dạng 2)2(2 11 2 442)4( )2)(2( 421124 3 22 3 2 3 2 =+ + = ++++ + +=+ xx x x xx xx xxx 5) Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phơng trình . Phơng trình đã cho có dạng 1)1(3 123 )1(3 1331231 2 3 3 23 3 2 == + +=+ xx x x xxxx 7) 232 42 32212 )42( 23232212 2222 2222 ++ + = +++ + +=++ xxxx x xxx x xxxxxxx 8) Nhận thấy x=1 là nghiệm của phơng trình, phơng trình có dạng )1(21 618162 18162 221618162 2 2 2 22 =+ +++ + =+++ xx xx xx xxxx 9)Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phơng trình, phơng trình đã cho có dạng 1 38 1 )1(3 415 1 3833415 2 2 2 2 22 = ++ += ++ ++=+ x x x x x x xxx 10) Trục căn thức ở mẫu ta có 22 3)1(33 12 )1)(36( xxxxxx x xxx +=++= + 4.Ph ơng trình biến đổi về tích: Ví dụ : Giải các phơng trình sau x x x x xxxxxx xxxxx xxxx xxxxx 4 3 4 3)5 342123)4 1)3 23121)2 12214)1 2 3 2 3 3 2 3 3 2 33 22 = + ++ +++=+++ ++=++ +++=+++ ++=+ Hớng dẫn: 1) 0)12)(112( =+ xxx 2) 0)12)(11( 33 =++ xx [...]... x, y ) = ax 2 + by 2 + cxy + ey + g = 0 c2 y2 c2 y2 ) + by 2 + ey + g = 0 2 4a 4a 2 4ab c 2 cy y + ey + g = a( x + ) 2 4a 2a Biện luận y Z tìm x Z a ( x 2 +ãy + Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau: 1) x 2 + 2 y 2 + 2 xy + 3 y 4 = 0 2) 8 x 2 y 2 + x 2 + y 2 = 10 xy 3) 2 x 2 + y 2 2 xy + y = 0 4) 5 x 2 y 2 = 17 + 2 xy Dạng 4: c2-4ab < 0 và (cd 2ac )2 (c 2 4ab)(d 2 4ag ) ; cde... x 2 3x + 2 + x + 3 = x 2 + x2 + 2x 3 2) 2 x 2 1 + x 2 3x 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 x + 2 3) 4x2 + 5x + 1 2 x2 x + 1 = 9x 3 4) x 1 + x3 + x 2 + x + 1 = 1 + x 4 1 5) 3 3x + 1 + 3 5 x + 3 2 x 9 3 4 x 3 = 0 6) 3 7 x + 1 3 x2 x 8 + x2 8x 1 = 2 7) 3 3 x 2 x + 20 01 3 3 x 2 7 x + 20 02 3 6 x 20 03 = 3 20 02 Hớng dẫn: 1) Đặt x 1 = a x 2 = b x + 3 = c (a 1)(b c) = 0 a + b = c + d 2. .. t2 k f ( x ) g ( x) = 2 Ví dụ: Giải các phơng trình sau 1) 3x 2 + 21 x + 18 + 2 x 2 + 7 x + 7 = 2 2) 2 3x 1 x = +1 x 3x 1 2 x + 2 + x + 4 x2 = 2 3) 4) (2 x + 7) 2 x + 7 = x 2 + 9 x + 7 x x2 1 + x + x2 1 = 2 5) 6) x = (20 04 + x )(1 1 x ) 2 7) x 2 + 2 x x 1 = 3x + 1 x 8) x 2 + 3 x 4 x 2 = 2 x + 1 9) x2 + x + 1 = 1 10) x 2 + x 2 + 11 = 31 Hớng dẫn 1, Đặt x 2 + 7 x + 7 = t 3x 1 =t x 3, Đặt 2. .. 1) ( 4 x 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1 2) 2 x 2 + 2 x + 1 = 4 x + 1 3) 6 x 2 10 x + 5 (4 x 1) 6 x 2 6 x + 5 = 0 4) x 2 + (3 x 2 + 2 ) x = 1 + 2 x 2 + 2 5) ( x + 1) x 2 2 x + 3 = x 2 + 1 6) 4 x + 1 1 = 3x + 2 1 x + 1 x 2 7) 2 2 x + 4 + 4 2 x = 9 x 2 + 16 Hớng dẫn: 1, Đặt x 2 + 1 = t Ta đợc phơng trình 2t 2 (4 x 1)t + 2 x 1 = 0 2, Đặt 4 x + 1 = t Ta đợc phơng trình 3, Đặt 6 x 2 6 x + 5 =... trình 1) 2( x 2 + 2) = 5 x 3 + 1 2) 2 ( x 2 + 8) = 5 x 3 + 8 3) x + 1 3x = 2 x 1 4) x 2 + 3x + 1 = ( x + 3) x 2 + 1 5) ( x + 3) ( 4 x)( 12 + x) = 28 x 6) 2 x 2 + 5 x 1 = 7 x 3 1 7) x 2 3 x + 1 = 3 4 x + x2 + 1 3 8) 4 x 2 2 2 x + 4 = x4 + 1 Hớng dẫn u = 1, Đặt x +1 Ta đợc phơng trình 2( u 2 + v 2 ) = 5uv v = x x + 1 u = x + 2 2, Đặt Ta đợc phơng trình 2 (v 2 + 2u 2 ) = 5uv 2 v = x 2 x + 4... ( 2 x + 1) (2 + 4 x 2 + 4 x + 4 ) + 3 x (2 + 9 x 2 + 3 ) = 0 2) 2( x 2) (3 4 x 4 + 2 x 2 ) = 3 x 1 3) 4x 1 4 x2 1 = 1 4) 3 x + x2 2 + x x2 = 1 5) x 2 5 x + 24 = x 2 + 5 x 36 6) x 4 + x3 x 1 1 x 2 = x3 5 x 2 + 7 x 3 7) 3x + 1 + x + 7 x + 2 = 4 8) 5x3 1 + 3 2 x 1 + x = 4 9) 10) 3 x + 2 + 3 x + 1 = 3 2x2 + 1 + 2x2 1 x + x 1 = x Hớng dẫn: 1) Phơng trình đã cho tơng đơng với (2 x + 1) (2. .. phb = 2 x x +1 = v ơng trình u 2 + 2v 2 = 3 uv 3 x2 2 x + 1 = u 8) Đặt Ta đợc phơng trình 3u 2 + v 2 = uv 2 x + 2x + 1 = v Thông qua các ví dụ trên ta thấy có thể sử dụng một số hằng đẳng thức nh a 3 + b3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 3 b3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) x 4 + x 2 + 1 = ( x 2 + x + 1)( x 2 x + 1) x 4 + 1 = ( x 2 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1) 4 x 4 + 1 = (2 x 2 2 x + 1)( (2 x 2 + 2 x... 1) = x 2 + 2 3) ( y + 2) x 2 + 1 = y 2 4) 3 y 2 xy 2 x + y + 1 = 0 5) x 2 xy y + 2 = 0 Hớng dẫn: 2 x + 1 = 0 2 (1) y (2 x + 1) = (4 x + 4 x + 3) 2 x + 1 0 y = 4 x + 4 x + 3 2x + 1 2 x = 0 Vì y Z 2( 2 x + 1) x = 1 y = 3 y = 3 (2) x = 1 2 x 1 y = x + 2 x 1 Dạng 2: Với ab>0, c=0, de0 Phơng trình có dạng f ( x, y ) = ax 2 + by 2 + dx + ey + g = 0 d d2 d2 x + 2 ) + by 2 + ey +... trình sau 1) 2 y 2 x + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy 2) x + xy + y = 9 3) x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 4) 2 x 5 2 x 3 y + y 2 64 = 0 5) x 2 3 y 2 + 2 xy 2 x 10 y + 4 = 0 6) x3 + y 3 = ( x + y) 2 7) 2 x 6 + y 2 2 x 3 y = 320 Hớng dẫn: Phơng trình (1) ( x 1) (2 y 2 + y + x) = 1 Phơng trình (2) ( x + 1)( y + 1) = 10 Phơng trình (3): Đặt a = x+y, b=x.y phơng trình đã cho có dạng b 2 +b- a2 =0.Để phơng... trình u + 3v = u 2 v 2 v = x 2 1 2, Bình phơng hai vế ta có ( x 2 + 2 x) (2 x 1) = x 2 + 1 x2 + 2x = u Đặt Ta đợc phơng trình u.v = u 2 v 2 2x 1 = v 3, Chuyển vế bình phơng ta đợc 2 x 2 5 x + 2 = 5 ( x 2 x 20 )( x + 1) Nhận xét: không tồn tại số a, b để 2 x 2 5 x + 2 = a( x 2 x 20 ) + b( x + 1) vậy không thể đặt ẩn phụ ngay đợc Ta có ( x 2 x 20 )( x + 1) = ( x + 4)( x 2 4 x 5) x+4 . tích Ví dụ: Giải các phơng trình 33 3 2 3 2 2 3 2 3 3333 423 22 22 22 22 20 022 003 620 027 320 013)7 21 8817)6 034 925 13)5 1111)4 39 121 54)3 23 222 3 12) 2 322 323 )1 =++ =++ =+++ +=++++ =+++ ++++=+ ++=+++ xxxxx xxxxx xxxx xxxxx xxxxx xxxxxxx xxxxxx Hớng. thể đặt 2 )()()()( 2 kt xgxftxgxf == Ví dụ: Giải các phơng trình sau 3111)10 11)9 12) 8 13 1 2) 7 )11) (20 04()6 21 1)5 79 72) 72( )4 24 22) 3 1 13 13 2) 2 27 721 821 3)1 22 2 3 24 2 2 2 22 2 2 22 =++ =++ +=+ +=+ += =++ ++=++ =+++ + = =+++++ xx xx xxxx x x xxx xxx xxxx xxxx xxx x x x x xxxx Hớng. 3 12 322 3 12 12 3 12 2 22 22 + +=++ + =+++ =++++ t tt t tttt tttt = = 8 7 1 t t Bài tập tơng tự Giải các phơng trình sau: 2 22 22 222 2 3 2 3 3 2 3 2 22 3 1 36 )10 823 15)9 421 181 62) 8 23 222 3 12) 7 044 321 1 12) 6 23 231)5 321 4)4 )10) (2( )5) (2( 2)3 23 1034 )2 1)3(13)1 xx xx x xxx xxxx xxxxxxx xxx xxx xxx xxxxx xx xxxx += ++=+ +=+++ ++++=+ =+ =+ +=+ += = ++=++ Hớng