BTNGTHC A.KINTHCCBN 1.Khỏi nim: A>B A B>0 A<B A B<0 A B A B0 A B A B0 2.Tớnhcht: 1)A>BvB>C ịA>C 2)A>B A+C>B+C. 3)A>B AC>BCnuC>0vAC<BCnuC<0. 4)A>B,C>D A+C>B+D. 5)A>B>0vC>D>0 ịA.C>B.D 6)A>B>0vn ẻ N * ịA n >B n . 7)A>B>0vn ẻ N ị n n A B > . 8)A>B ị 1 1 A B < nuAB>0.Hoc: 1 1 A B > nuAB<0. 3.Chng minhbtngthc Xộthiuhaiv:a>b ab>0 Biti tngngbtngthcphi chngminh nmtbtngthcóbitlỳng Dựngcỏctớnhchtcabtngthcsuytbtngthcóbitlỳngnbtngthc phi chngminh B. BITP Bi1: Chngminh:a+b ab (1) "a,b>0.(Bt ngthcCụsi) HD:(1) a+b ab = ( ) 2 a b 0 - (ỳng). Bi2: Chngminh:(a+b) 2 4ab. HD:Bin i av(ab) 2 0. Bi3: Chngminh:a 2 +b 2 2ab. HD:Xộthiu,av(ab) 2 0. Bi4: Chngminh:(ac+bd) 2 (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 ).(Bt ng thcBunhiaxcopky). HD:Bin i hiu(ac+bd) 2 (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )thnh (ay bx) 2 . Bi5: Chngminh:a 2 +b 2 +c 2 ab+bc+ca HD:Bin i hiua 2 +b 2 +c 2 (ab+bc+ca)thnh(ab) 2 +(b c) 2 +(c a) 2 Bi6: Chngminh:a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +1 a+b+c+d. HD:Bin i a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +1 a+b+c+dthnh: 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c d 2 2 2 2 ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử - + - + - + - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ Bi7: Chngminh:a 2 +b 2 +c 2 +d 2 a(b+c+d+e) HD:Bin di vdng: 2 2 2 2 b c d e a a a a 0 2 2 2 2 ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ - + - + - + - ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ Bi8: Chngminh:(ax +by+cz) 2 (a 2 +b 2 +c 2 )(x 2 +y 2 +z 2 ) HD:Bin i vdng:(ay bx) 2 +(az cx) 2 +(bzcy) 2 0 Bi9: Chngminh a 4 +b 4 ab 3 +a 3 b. "a,b 0. HD:Bin i,phõntớch thnh:(a b) 2 (a 2 +ab+b 2 )= 2 2 2 b 3b (a b) a 0, a, b 2 4 ộ ự ổ ử ờ ỳ ữ ỗ - + + " ữ ỗ ờ ỳ ữ ỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ . Bi10: Chngminh: 3 3 3 a b a b 2 2 ổ ử + + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ HD:Xộthiu,phõntớch thnh nhõnt ịpcm. Bi11: Chngminh: 2 2 2 a b a b 2 2 + + ổ ử ỗ ữ ố ứ . HD:Quy ngmu,xộthiuavdng:(ab) 2 0. Bài12: Chứngminh: 2 2 2 2 a b c a b c 3 3 + + + + æ ö ³ ç ÷ è ø HD:Xéthiệu,đưavềdạng:(a–b) 2 +(b –c) 2 +(c –a) 2 ≥0.  Bài13: Chứngminh: x y 4 xy x y + ³ + . "x,y>0. HD:Biến đổivề(x+y) 2 ≥4xy Þtươngtựbài2.  Bài14: Tronghaisốsausốnàolớnhơn? Vì sao?A= 2005 2007 + vàB= 2 2006 . HD:ChứngminhA 2 ≥B 2 Þđpcm.  Bài15: Chứngminh:a 2 +b 2 ≥a+b 1 2 - HD:Biến đổi đưavề 2 2 1 1 a b 0 2 2 æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç - + - ³ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø  Bài16: Chứngminh: 2 2 a a 1 3 2 a 1 + + £ + HD:Quy đồng:2a 2 +2a+2 ≤3a 2 +3 Û (a– 1) 2 .  Bài17: Chứngminh: a) 1 a 2, a 0 a + ³ " > . b) 1 a 2, a 0 a + £ - " < . HD: a)Vì a>0nên:a 2 –2a+ 1≥0 Û(a –1) 2 ≥0.b)Vì a<0:a 2 +2a+1 ≥0 Û (a+1) 2 ≥0.  Bài18: Chứngminh: a)Nếuab>0thì: a b 2 b a + ³ . b)Nếuab<0thì: a b 2 b a + £ - . HD: a)Từ (a– b) 2 ≥0 Û a 2 +b 2 ≥2ab.Chiacảhaivếcủaa 2 +b 2 ≥2abchoab>0 Þđpcm. b)Chiacảhaivếcủaa 2 +b 2 ≥–2abchoab<0 Þ đpcm  Bài19: Chox ≥y,a≥b.Chứngminh: ax by a b x y . 2 2 2 + + + ³ HD:Biến đổi,đưavề:(a–b)(x –y)≥0(đúng).  Bài20: Choa>0,b>0,c>0.Chứngminh: a b c 1 1 1 2 bc ca ab a b c æ ö ÷ ç + + ³ + + ÷ ç ÷ ç è ø . HD:Doa,b,c>0.Thựchiện quy đồng,biến đổi về:(a+b+c) 2 ≥0(đúng).  Bài21: Choab ≥1.Chứngminh: 2 2 1 1 2 1 ab 1 a 1 b + ³ + + + (*). HD:(*) Û 2 2 2 2 2 2 2 a b 2 1 ab 1 a b a b + + ³ + + + + Û(a– b) 2 (1– ab)≤0(đúng).  Bài22: Chox,y ≠0.Chứngminh: 2 2 2 2 x y x y 4 3 y x y x æ ö ÷ ç + + ³ + ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø . HD:Đặt x y t y x + = (|t| ≥2).Bấtđẳngthứcviếtlại:t 2 – 3t+2≥0 Û (t–1)(t–2) ≥0, "|t| ≥2.  Bài23: Chứngminh:(a–1)(a– 3)(a –5)(a– 7)+15≥0, "a. HD: BĐT Û t(t+6)+15 ≥0 Û (t+3) 2 +6>0, "a  Bài24: Chứngminh:(x –1)(x –3)(x –4)(x –6)+10>0, "x. HD:Làmtươngtựbài23.  Bài25: Choa,b ≥0.Chứngminh:a 3 +b 3 ≥ab(a+b). HD:Xéthiệuđưavềbấtđẳngthức:(x+y)(x –y) 2 ≥0. CỰCTRỊĐẠISỐ Bài1: Tìm giátrị nhỏnhấtcủacácbiểuthức: a)2x 2 +3x+1. b)x 2 –2x+5. c)4x 2 –4x –3. d)x 2 –5x+1. e)5x 2 +7x+9. HD:Sửdụngphươngphápđềxuấtbình phươngđủ  Bài2: Tìm giátrị lớnnhấtcủacácbiểuthức: a)6– x 2 –6x. b)1–x 2 –6x 2 . c)4– x 2 +2x. d)4x –x 2 . e)7– 3x –x 2 . HD:Sửdụngphươngphápđềxuấtbình phươngđủ.  Bài3: Tìm giátrị lớnnhấtcủabiểuthức:y= 2 1 x 2x 6 + + . C1:Vìx 2 +2x+6=(x+1) 2 +5 ≥5.Nên:y≤ 1 5 .Dấu“=”xảyra Ûx=–1. C2:y= 2 1 x 2x 6 + + Ûyx 2 +2yx+6y –1=0cónghiệm ÛΔ’=y –5y 2 ≥0 Û0<y ≤ 1 5 . Dấu“=”xảyra Ûx 2 +2x+1=0 Ûx=–1(Thựcchấtlàthayy= 1 5 vàophươngtrìnhtheox).  Bài4: Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức:y= 2 2 2x 5 2x 1 + + HD:Làmtươngtựbài3. y= 2 2 2 2x 1 4 4 4 1 1 5 1 2x 1 2x 1 + + = + £ + = + + .Dấu“=”xảyra Ûx=0.  Bài5: Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức: 2 2 x 2x 1 y x 4x 5 - + = + + . HD: 2 2 (x 1) y 0 (x 2) 5 - = ³ + + .Dấu“=”xảyra Ûx= -1.  Bài6: Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức: 2 1 A 6x 5 9x = - - . HD: Biến đổibiểuthứctrởthành: 2 2 1 A 2 4 (3x 1) = ³ - -  Bài7: Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức: 2 1 P 4x 4x 3 = - + .(ĐềthichuyênNguyễnTấtThành) HD:Làmtươngtựbài6.  Bài8: Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:B= 2 2 x 2 x 2 - + . HD:Biến đổibiểuthứctrởthành: 2 4 B 1 1 x 2 = - ³ +  Bài9: Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức: 4 2 x 1 C x + = HD:Tacó: 2 2 1 C x 2 x = + ³  Bài10: Tìmgiátrịlớnnhấtvànhỏnhấtcủabiểuthức:y= 2 2 x 2x 2 x x 1 - - + + . C1: 2 2 2 2 2 3x 2(x x 1) 3x y 2 x x 1 x x 1 - + + = = - + + + + Þ 2 3 3 2 2 4 3 1 3 x 4 2 4 - £ - £ = æ ö ÷ ç + + ÷ ç ÷ ç è ø C2:Sửdụngphươngtrìnhbậchai.Bạn đọctựgiải.  Bài11: Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức: 2 2 x x 1 A x 2x 1 + + = + + (x ≠ -1). HD:Đặty=x+1 Þ x=y –1 Þ A = 2 2 2 y y 1 1 1 1 y y y - + = - + . Đặtz= 1 y ÞA=z 2 – z+1= 2 1 3 3 z 2 4 4 æ ö ÷ ç - + ³ ÷ ç ÷ ç è ø .Dấu“=”xảyra: 1 z y 2 x 1 2 = Û = Û = .  Bài12: Vớix>0.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức: (x 2)(x 8) A x + + = HD: 2 x 10x 16 16 A x 10 x x æ ö + + ÷ ç = = + + ÷ ç ÷ ç è ø .Vì:x. 16 x =16=const Þ 16 x x æ ö ÷ ç + ÷ ç ÷ ç è ø nhỏnhất Ûx 2 =16. Tứclàx=4(vìx>0).Vậy:minA=18.  Bài13: Vớix>0.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức: 2 (x 100) A x + = HD:minB=400khix=100.  Bài14: Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức: 2 x B (x 100) = + C1:Đặtx+100=y Þx=100 -y. 2 2 y 100 1 100 B y y y - = = - . Đặt 1 z y = . ÞB=z–100z 2 = 2 1 1 1 100 z 400 200 400 æ ö ÷ ç - - £ ÷ ç ÷ ç è ø .Dấu“=”xảyra Ûz= 1 200 Ûy=200Ûx=100. C2:Ápdụngbấtđẳngthức:(a+b) 2 ≥4ab: 2 x x 1 B 400x 400 (x 100) = £ = + Ûx=100.  Bài15: Tìm giátrị lớnnhấtvàgiátrị nhỏnhấtcủabiểuthức: 2 2 2 (x y) A x y + = + HD: 2 2 2 (x y) A 0 x y + = ³ + .Dấu“=”xảyra Ûx= -y ≠0. A= 2 2 2xy 2xy 1 1 1 1 2 2xy x y + £ + = + = + (vìx 2 +y 2 ≥2xy).Dấu“=”xảyra Ûx=y ≠0.  Bài16: Tìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức: 2 2 2x 4x 1 B x 1 + - = + . HD: 2 2 2 2 2 3x 3 (x 4x 4) (x 2) B 3 3 x 1 x 1 + - - + - = = - £ + + .Dấu“=”xảyra Ûx=2. 2 2 2 2 2 4x 4x 1 2x 2 (2x 1) B 2 2 x 1 x 1 + + - - + = = - ³ - + + .Dấu“=”xảyra Ûx= 1 2 - .  Bài17: Tìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức: 2 2 2 2 4x 2xy 4y C x y - + = + HD: 2 2 2 (x y) C 3 3 x y - = + ³ + .Dấu“=”xảyra Ûx=y ≠0. 2 2 2 (x y) C 5 5 x y + = - £ + .Dấu“=”xảyra Ûx= -y ≠0.  Bài18: Tìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức: 2 x 1 D x x 1 + = + + HD: 2 2 2 2 2 2 3x 3 x 4x 4 x x 1 (x 2) 1 1 D 3 3 3(x x 1) 3(x x 1) 3(x 1 1) + + + - - - + = = = - ³- + + + + + + Ûx= -2. 2 2 2 2 2 x x 1 x x D 1 1 x x 1 x x 1 + + - = = - £ + + + + Ûx=0. . + - = + . HD: 2 2 2 2 2 3x 3 (x 4x 4) (x 2) B 3 3 x 1 x 1 + - - + - = = - £ + + .Dấu“=”xảyra Ûx=2. 2 2 2 2 2 4x 4x 1 2x 2 (2x 1) B 2 2 x 1 x 1 + + - - + = = - ³ - +. 1 1 D 3 3 3(x x 1) 3(x x 1) 3(x 1 1) + + + - - - + = = = - - + + + + + + Ûx= -2 . 2 2 2 2 2 x x 1 x x D 1 1 x x 1 x x 1 + + - = = - £ + + + + Ûx=0. . ử - + - + - + - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ Bi7: Chngminh:a 2 +b 2 +c 2 +d 2 a(b+c+d+e) HD:Bin di vdng: 2 2 2 2 b c d e a a a a 0 2 2 2 2 ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ - + - + -