ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ================================================================== ÔN TẬP-CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Hệ thức cơ bản sin 2 α + cos 2 α =1 tan α = α α cos sin       π+ π ≠α k 2 cot α = α α sin cos ( ) π≠α k tan α .cot α = 1 1 + tan 2 α = α 2 cos 1 1 + cot 2 α = α 2 sin 1 I. Giá trị các hàm lượng giác của góc (cung) đặc biệt: Truc cos Truc sin Truc tan Truc cotan - 3 2 - 2 2 -1 2 1 2 2 2 3 2 -1 2 - 2 2 - 3 2 2 2 3 2 1 2 - 3 -1 - 3 3 -1 - 3 3 - 3 3 3 3 3 3 3 1 3 π /2 π π /2 5 π /6 3 π /4 2 π /3 π /3 π /4 π /6 A(0;1) Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ================================================================== BÀI TẬP: Bài 1 : Cho biết sinα+cosα=m; tính: a) sinα.cosα b) sin 3 α+cos 3 α Bài 2 : Cho biết sinα.cosα=m; tính: a) sinα+cosα b) sin 4 α+cos 4 α Bài 3:Chứng minh các đẳng thức sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 a) sin x+tan x= -cos x b) tan x-sin x=tan x.sin x cos x Bài 4: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x: a) C=2(sin 6 x+cos 6 x)-3(sin 4 x+cos 4 x) b) 1+cotx 2 D= 1-cotx tanx-1 − Bài 5:Tính các GTLG của cung a biết: π π π 3 a) sina=- (- <a<0) b) tana=- 2 ( <a< ) 5 2 2 Bài 6: Tính giá trị biểu thức 1 tanx 1-tanx A + = , biết 4 cosx=- 5 và sinx<0. Bài 7: Xác định cung a thỏa mãn điều kiện: a)sina=1 b)sina=-1 c)sina=0 d)cosa=1 e)cosa=-1 f)cosa=0 g)tana=1 f)sina+cosa=0 Bài 8: Tính giá trị của biểu thức. 3 2 3 3 cos x+cosx.sin x-sinx A= khi tanx=2 sin x-cos x Bài 9: Cho 4 4 98 3sin 2 81 x cos x+ = . Tính 4 4 2sin 3A x cos x= + Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 Cung liên kết 1. Hai cung đối nhau ( α ,- α ) cos(- α ) = cos α sin(- α ) = -sin α tan(- α ) = -tan α cot(- α ) = -cot α 2. Hai cung bù nhau ( α , π - α ) sin( π - α ) = sin α cos( π - α ) = -cos α tan( π - α ) =-tan α cot( π - α ) = -cot α 3. Hai cung phụ nhau:( α , 2 π - α ) sin( 2 π - α ) = cos α cos( 2 π - α ) = sin α tan( 2 π - α ) = cot α cot( 2 π - α ) = tan α 4. Hai cung hơn kém nhau π ( α , π + α ) sin( π + α ) = -sin α cos( π + α ) = -cos α tan( π + α ) = tan α cot( π + α )= cot α 5. Hai cung hơn kém nhau 2 π ( α , 2 π + α ) sin( 2 π + α ) = cos α cos( 2 π + α ) = -sin α tan( 2 π + α ) = -cot α cot( 2 π + α ) = -tan α BÀI TẬP: Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn các hàm lượng giác Bài 1: Tính giá trị a) Cos120 0 ; tan135 0 ; sin(-780 0 ) b) 7 11 sin , tan , cot 6 4 6 π π π       −  ÷  ÷  ÷       Bài 2: Chứng minh rằng ( ) ( ) 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 sin515 .cos -475 +cot222 .cot408 1 = cos 25 2 cot415 .cot -505 +tan197 .tan73 Bài 3: Rút gọn biểu thức sau ( ) 0 0 0 0 0 2sin2550 .cos -188 1 A= + tan368 2cos638 +cos98 Bài 4: Rút gọn biểu thức sau ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 cot44 +tan226 .cos 406 B= -cot72 .cot18 cos316 Bài 5: Rút gọn biểu thức sau ( ) 3π π 3π C=cosπ-x +sin x- -tan +x cot -x 2 2 2        ÷  ÷  ÷       Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau 1) 11π 21π 9π 29π 2π sin +sin +sin - +sin - =-2cos 10 10 10 10 5            ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           2) ( ) 0 0 0 0 0 cos -20 .sin70 =1 sin160 .cos340 .tan250 Công thức biến đổi: 1). Công thức cộng: sin(a+b) = sina.cosb + sin.bcosa cos(a+b) = cosa.cosb - sina.sinb sin(a-b) = sina.cosb - sinb.cosa cos(a-b) = cosa.cosb + sina.sinb tan(a ± b) = btan.atan1 btanatan  ± cot(a+b) = bcotacot 1bcotacot + − cot(a-b) = ( ) bcotacot 1bcotacot − +− Bài tập: Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn các hàm lượng giác Bài 1 Tính giá trị các hàm số lượng giác 1) 0 15 α = , 7 12 π α = 2) 0 285x = , 103 12 x π = Bài 2 Tính π A=tan x- 4    ÷   biết 9 cos 41 x = − với 3π π<x< 2    ÷   Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Bài 1 Chứng minh rằng 1) ( ) ( ) 2 2 2 2 sin a+b sin a-b tan a-tan b= cos a.cos b 2) 2 2 2 2 tan 2a-tan a =tana.tan3a 1-tan 2a.tan a . 3) π π sin +a -sin -a = 2sina 4 4      ÷  ÷     Bài 2 Rút gọn biểu thức sau π π π π A=sin x- .cos -x +sin -x .cos x- 3 4 4 3          ÷  ÷  ÷  ÷         B=sin4x.cot2x-cos4x Bài 3 Chứng minh đẳng thức sau không phụ thuộc và x 2 2 2 π π A=cos x+cos x+ +cos -x 3 3      ÷  ÷     2 2 2 2π 2π B=sin x+sin x+ +sin -x 3 3      ÷  ÷     Bài 4: Cho tam giác ABC CMR 1) sin sin . sin .A B cosC C cosB= + 2) sin s . sin .sin 2 2 2 2 2 A B C B C co cos= − 2/ . Công thức nhân đôi: sin 2a = 2sinacosa cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a - 1 = 1 – 2sin 2 a tan2a = atan1 atan2 2 − cot2a = acot2 1acot 2 − 3/ . Công thức nhân 3: sin 3a = 3sina - 4sin 3 a cos3a = 4cos 3 a – 3cosa 3 3 3tana-tan aπ π tan 3a =tg -a tana.tan +a 1-3tan a 3 3     =  ÷  ÷     cot 3a = 1acot3 acot3acot 2 2 − − 4/ . Công thức hạ bậc: sin 2 a = 2 a2cos1− cos 2 a = 2 a2cos1 + tan 2 a = a2cos1 a2cos1 + − cot 2 a = a2cos1 a2cos1 − + sin 3 a = 4 1 (3sina - sin3a) cos 3 a = 4 1 (3cosa + cos3a) sin 4 a = 8 1 (cos4a - 4cos2a + 3) cos 4 a = 8 1 (cos4a + 4cos2a + 3) sin 5 a = 16 1 (sin5a – 3sin3a + 10sina) cos 5 a = 16 1 (cos5a + 5cos3a + 10cosa) BÀI TẬP: Bài 1 Tính sin2a biết 1) 4 sin 5 2 a va a π π = < < 2) 1 s 0 3 2 co a va a π = < < Bài 2 Tính giá trị của các hàm số lượng giác của góc a) 0 112 30'a = ; b) 7π α= 24 Bài 3 CMR 1) 3 3 3 3 .sin sin 3 . .sin 4 4 cos x x x cos x x+ = AD: Tính 0 3 0 0 3 0 B=cos22 30'.sin 172 30'-sin22 30'.cos 172 30' 2) π π tanx.tan -x .tan +x =tan3x 3 3      ÷  ÷     AD: tính π 7π 13π A=tan .tan .tan 18 18 18 Bài 4: Chứng minh rằng: 1) 4 1 3 4. 2 2 4 2 2 cos x cos x cos x− − = 2) 3 3 sin 4 .sin sin . 4 x cos x x x cosx− = Bài 5: CMR biểu thức sau không phụ thuộc vào x ( ) 2 0 A=sin8x+2cos 45 +4x 3 3 cos x-cos3x sin x+sin3x B= + cosx sinx ( ) ( ) 4 4 6 6 C=3 sin x+cos x -2 sin x+cos x 6 2 2 6 4 1 D=sin x.cos x+sin x.cos x+ .cos 2x 8 5/ . Công thức chia đôi: Đặt t = tan 2 a (a ≠ π +k2 π ) sina= 2 t1 t2 + cosa = 2 2 t1 t1 + − tana = 2 t1 t2 − 6/.Công thức biến đổi tổng thành tích: cosa + cosb = 2cos 2 ba + cos 2 ba − cosa – cosb = -2sin 2 ba + sin 2 ba − sina + sina = 2sin 2 ba + cos 2 ba − sina – sinb = 2cos 2 ba + sin 2 ba − tana ± tanb = ( ) bcosacos basin ± cota ± cotb = ( ) bsinasin basin ± Đặc biệt: sina + cosa = 2 sin       π + 4 a = 2 cos       − π a 4 sina – cosa = 2 sin       π − 4 a = - 2 cos       π + 4 a 7/. Công thức biến đổi tích thành tổng: cosa.cosb = 2 1 [cos(a + b) + cos(a – b)] sina.sina = 2 1 [cos(a + b) -cos(a – b)] sina.cosa = 2 1 [sin(a + b) -sin(a – b)] tana.tanab = bcotacot btanatan + + BÀI TẬP: Bài 1 Biến đổi thành tích 1) 2 2 3A cos a cos a= − 2) sin 3 sin 2B x x= + 3) C=1-cotx 4) ( ) ( ) 0 0 D=cos 60 +x +cos 60 -x +cos3x Bài 2 Biến đổi thành tích 1) 0 0 0 sin 70 sin 20 sin 50A = − + 2) 0 0 0 46 22 2 78B cos cos cos= − − 3) 1 2 3C cosx cos x cos x= + + + 4) ( ) cos cos sinD a b a b= + + + Bài 3 Biến đổi thành tổng 1) 2sinx.sin2x.sin3x 2) 8cos .sin 2 .sin 3x x x 3) sin .sin . 2 6 6 x x cos x π π     + −  ÷  ÷     4) ( ) ( ) ( ) 4cos a b cos b c cos c a − − − Bài 4 Biến đổi thành tích 1) 2 2 3A cos a cos a= − 2) 11 5 sin . 12 12 B cos π π = 3) 0 0 0 sin 20 .sin 40 .sin80C = 4) 0 0 0 sin 20 .sin 50 .sin 70D = Bài 5 Tính gía trị của bểu thức 1) 5 sin .sin 4 4 x x A = Biết 0 60x = 2) 2 4 sin 4 sin 2 cos a cos a B a a − = − Biết 0 20a = 3) 0 0 0 0 C=tan20 .tan40 .tan60 .tan80 Bài 6 Chứng minh rằng: 2 1-sin2xπ =tan -x 1+sin2x 4    ÷   Bài 7 1) Cho a b c+ = CMR sin sin sin 4cos .cos .cos 2 2 2 a b c a b c+ + = 2) Cho a b c d π + + + = CMR : sin sin sin sin 4sin .sin .sin 2 2 2 a b b c c a a b c d + + + + + + = Bài 8: Cho tam giác ABC CMR 1) sin 2 sin 2 sin 2 4sin .sin .sinA B C A B C+ + = 2) s cos cos 1 4sin .sin .sin 2 2 2 A B C co A B C+ + = + 3) sin sin sin 4. . . 2 2 2 A B C A B C cos cos cos+ + = 4) 2 2 2 s cos cos 1 2 s . s . sco A B C co A co B co C+ + = − . . NỘI ================================================================== ÔN TẬP-CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Hệ thức cơ bản sin 2 α + cos 2 α =1 tan α = α α cos sin       π+ π ≠α k 2 cot α = α α sin cos . ) bcotacot 1bcotacot − +− Bài tập: Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn các hàm lượng giác Bài 1 Tính giá trị các hàm số lượng giác 1) 0 15 α = , 7 12 π α = 2) 0 285x = , 103 12 x π = Bài 2 Tính π A=tan. -sin α tan( 2 π + α ) = -cot α cot( 2 π + α ) = -tan α BÀI TẬP: Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn các hàm lượng giác Bài 1: Tính giá trị a) Cos120 0 ; tan135 0 ; sin(-780 0 ) b) 7 11 sin , tan , cot 6