Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009 đề tài : phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng I- Đặt vấn đề Toán học môn khoa học em học sinh đà đợc làm quen từ bắt đầu học từ trờng tiểu học Nó môn khoa học dễ gây hứng thú cho em, gây tò mò khám phá kiến thức để phát triển trí tuệ em Song bên cạnh không học sinh học sinh bị ức chế học môn toán, trí gây chán nản học tập, sợ hÃi bớc vào học Toán Đặc biệt môn hình học em bắt đầu làm quen từ bậc trung học sở em lại cảm thấy khó khăn phải làm tập chứng minh hình học, bắt đầu chứng minh từ đâu, trí gây hoang mang cho em Là giáo viên dạy môn toán đà nhiều năm, đà tiếp xúc với nhiều hệ học trò, qua thực tế giảng dạy, qua chấm học sinh trao đổi với ®ång nghiƯp t«i ®· ®óc kÕt kinh nghiƯm, mn gây đợc hứng thú cho học sinh học môn Toán nói chung làm tập hình chứng minh nói riêng Ngời giáo viên dạy môn Toán truyền thụ kiến thức cho em phải để tự em khám phá kiến thức sở đợc dẫn dắt giáo viên để em hiểu đợc kiến thức cần truyền thụ lớp Ngoài để nhớ kiến thức đợc lâu biết vận dụng kiến thức đà học vào giải tập ứng dụng ngời giáo viên phải biết trang bị cho trò phơng pháp học môn Toán nh để kiến thức Thầy trang bị đến đâu em chiếm lĩnh đến đó, biết tích luỹ vào kho kiến thức từ làm tập biết lấy kiến thức cần sử dụng để giải yêu cầu toán cho phù hợp có hiệu Có nh gây đợc hứng thú cho em học môn Toán nh môn khác, gây cho em phấn khởi bớc tới trờng phát triển trí tuệ cho em Sau trình bày cách dạy cho học sinh giải tập hình học chứng minh hai đoạn thẳng II- Giải vấn ®Ị : Khi häc h×nh häc nÕu chóng ta chØ học thuộc lòng tiên đề, định nghĩa, định lý mà Thầy cung cấp cho mà vận dụng tiên đề, định nghĩa, định lý vào giải tập việc học học vẹt không mang lại hiệu trí gây hoang mang cho thân Muốn vận dụng đợc tiên đề, định nghĩa, định lý vào trình giải tập chứng minh ta cần phải nghiên cứu ph Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009 ơng pháp chứng minh ta phân loại phơng pháp chứng minh theo kết luận định lý không theo cách thức chứng minh ( trực tiếp, gián tiếp) Ta dựa vào tính chất kết luận mà phân loại tập, nh loại tập chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc nhau, hai đờng thảng song song v.v., Chúng ta nghiên cứu phơng pháp chứng minh cho loại định lý cần dùng đến đem qui nạp chỉnh lý, sau làm tập, gặp phải tập loại ta từ ph ơng pháp định lý đà nghiên cứu cho thấy phơng pháp định lý thích hợp để ứng dụng Cho nên việc nghiên cứu phơng pháp chứng minh hội tốt để luyện tập vận dụng định lý đà học vào giải tập khắc sâu trí nhí cho häc sinh, nã gióp Ých nhiỊu cho viƯc học tập môn hình học - Bài tập chứng minh hai đoạn thẳng có nhiều, trớc tiên ta nghiên cứu phơng pháp chứng minh loại tập Những định lý dùng để chứng minh loại tập có nhiều đà đợc học sách giáo khoa nhắc lại hết đợc, định lý nhiều song thờng dùng nhiều chứng minh không định lý sau: 1) Lợi dụng trờng hợp tam giác để chứng minh đoạn thẳng nhau, ta ghép hai đoạn thẳng vào tam giác - Ví dụ A: GT: Lấy hai cạnh AB AC H L ABC làm cạnh M dựng hình vuông F G ABCF, ACGH phÝa E ngoµi tam giác Dựng AD BC, kéo dài DA B gặp FH M D C KL: FM = MH -Suy xét: Trong có nhiều góc vuông, cạnh hình vuộng lại Vì = ( phụ với 1) Những đại lợng ta phải lợi dụng Nếu dựng FK ⊥ víi DM sÏ cã ∆ AFK = ∆ BAD, FK = AD T¬ng tù dùng HL ⊥ DM đợc HL = AD, cuối cần chứng minh FMK = HML đợc Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009 Chứng minh: Chøng minh Dùng FK ⊥ DM, HL ⊥ DM Lý Từ điểm đoạn thng dựng đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng đó) Từ + = 900 3+1 = 90 Cã = Cã FKA = ADB FA = KS Nªn ∆ AFK = ∆ BAD => FK =AD T¬ng tù HL = AD => HK = HL Ta cã FKM = HLM 4=3 => ∆ FMK = ∆ HML => FM = MH V× gãc kỊ bï cã gãc b»ng 90 V× hai gãc nhän cđa tam giác vuông Cùng phụ với góc Cùng 900 Hai cạnh hình vuông Trờng hợp tam giác vuông Hai cạnh tơng ứng hai tam giác Theo cách chứng minh Cùng AD Cùng 900 Góc đối đỉnh Trờng hợp tam giác vuông Hai cạnh tơng ứng hai tam giác 2- Dùng đoạn thẳng thứ làm trung gian.(Để chứng minh đoạn thẳng ta dùng đoạn thẳng thứ ba làm trung gian) VD2 : NÕu mét tø gi¸c néi tiÕp đờng tròn có hai đờng chéo vuông góc với đờng thẳng qua giao điểm đờng chéo vuông góc với cạnh tứ giác chia đôi cạnh đối diện với cạnh A GT KL Cho Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (0) AC ⊥ BD Qua E dùng GE ⊥ CD AG = GB B G B E D F Suy xét: Tam giác ABC tam giác vuông ta phải chứng minh AG = GB C nghĩa G điểm cạnh huyền Ta phải biết điểm cạnh huyền cách ba đỉnh tam giác vuông Nên lấy GE làm trung gian Muốn chứng minh GE = AG cần phải : = 5, từ 4= 1, =2 1,2 phụ với ta suy = nªn = cã thĨ chøng minh đợc: Chứng minh Lý Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009 + = 90 2+ = 90 Nªn = Nhng = 4, =  4=  AG = GE T¬ng tù GB = GE AB = GB Hai gãc nhän tam gi¸c vuông Cùng phụ với góc đối đỉnh, nội tiếp chắn cung - Bắc cầu Hai cạnh tam giác chắn góc Theo cách chứng minh 3-Lợi dụng tam giác cân (Để chứng minh đoạn thẳng nhau) Ta ghép đoạn thẳng vào cạnh tam giác chứng minh cho tam giác chứa hai đoạn thẳng tam giác cân VD3: Cho (0) đờng thẳng xy đờng tròn Từ O hạ OA xy, từ A kẻ cát tuyến cắt đờng tròn B C, tiếp tuyến đờng tròn B C cắt xy D vµ E Chøng minh: AD = AE GT KL Cho (0) đờng thẳng xy đờng tròn OA xy BD, CE tiếp tuyến B, C DA = AE C O B x D A E y Suy xÐt : Ta cã OA ⊥ DE, nÕu OD = OE th× DA = AE Muèn chøng minh OB = OE ta lợi dụng góc vuông tiếp tuyến bán kính OBD = OCE, bán kính OB = OC dùng trờng hợp hai tam giác vuông Nhng OBD OCE hai cặp đại lợng có cặp đại lợng thứ không? Đó mấu chốt Đây điều khó Sau nghiên cứu ta thấy tứ giác ODAB tứ giác ODEA nội tiếp đợc nên suy đợc ODB = OAB = OFC Chứng minh Lý Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trëng trêng THCS Céng HiỊn S¸ng kiÕn kinh nghiƯm - Năm học 2008 - 2009 Nối CD, OE,OB,OC Ta cã : OBD = OCE = 90 OAD = OAE = 90 Tø gi¸c ODAB néi tiÕp Cho hai điểm kẻ đợc đờng thẳng - Hai góc vuông ( Tính chất tiếp tuyến) Hai góc vuông Bài to¸n quÜ tÝch => ODB = OAB = OEC Ta cã : OB = OC => ∆ OBD = ∆ OCE Góc nội tiếp chắn cung - Bán kính - Trờng hợp (GCG) Hai cạnh tơng ứng tam giác Tính chất đờng cao tam giác cân => OD = OE OA = AE 4- Lợi dụng Hình bình hành ( để chứng minh hai đoạn thẳng nhau) ta ghép hai đoạn thẳng vào hai cạnh đối diện hình bình hành đoạn tạo nên đờng chéo hình bình hành để kết luận chúng VD4: Cho ABC cân, AB = BC, AB lấy điểm D, AC kéo dài lấy điểm E cho BD = CE, nèi A víi E c¾t BC t¹i F Chøng minh r»ng BF = FE A GT KL Cho ∆ ABC, AB = AC BD = CE DE cắt BC F DF = FE D C B F S`uy xÐt: Dùng DG // AE, nÕu chứng minh đợc tứ giác DGEC hình bình E hành DE BC định cắt F trung điểm DE Muốn chứng minh cho DGEC hình bình hành cần có DG = CE đủ Vì DG //CE mà giả thiết cho DB = CE trớc tiên phải chứng minh DGB = B Ta đà biết DGB = ACB, Chứng minh đợc B = ACB, nên B = DGB thành lập đợc Chứng minh Lý - Đựng DG // AE, nối DC, GE Kẻ đờng thẳng qua điểm song song vớiđờng thẳng đà cho - Thì DGB = ACB ( góc đồng vị) - Ta có B = ACB -Tính chất tam giác cân - DBB = B -Tính chất bắc cầu Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009 - DG = DB -2 cạnh đối diện góc tam giác -Theo giả thiết Mà CE = DB DG = CE Vì DG //CE Theo cách dựng =>Tứ giác DGEC hình bình Tứ giác có cặp cạnh đối song song hành Tính chất đờng chéo hình bình hành Vậy DF = FE 5- Lợi dụng đờng thẳng qua điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai thi qua điểm cạnh thứ ba ( Định lí đờng trung bình tam giác ) VD: Cho tam gi¸c ABC cã AB = AC , trªn AB lÊy D trªn AC lÊy E cho BD = CE Nối AE cắt BC F Chøng minh DF = FE GT KL A ∆ ABC , AB = AC D ∈ AB, E ∈ AC, BD = CE DE cắt BC F DF = EF D B G C F E Chøng minh Dùng DG //BC Ta cã : A = = = Nªn AG = AD mà AC = AB nên GC = DB Mà CE = DB Suy GC = CE DF = FE Lý Dựa vào phép dựng hình Tính chất tam giác cân góc đồng vị hai đờng thẳng song song - Tính chất cạnh đối diện víi hai gãc b»ng cđa mét tam gi¸c - Giả thiết - Hiện hai cặp đoạn thẳng - Giả thiết - Tính chất bắc cầu - Tính chất tam giác đờng thẳng qua điểm cạnh song song với cạnh thứ hai qua điểm cạnh thứ ba 6) Lợi dụng đoạn thẳng cho trớc biến đổi : Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009 Ta dựa vào tính chất 1(gấp hai đoạn thẳng lên số lần, chia hai đoạn thẳng số lần đ ợc đoạn thẳng nhau.( tổng hay hiệu hai cặp đoạn thẳng tơng đối nhau) đôi Biến đổi đoạn thẳng cho trớc ta chứng minh đợc định lí 7) Lợi dụng đại lợng đờng tròn - Từ định lí Khoảng cách từ tâm đến hai dây cung Hai dây cung nhau, tạo góc tâm nhau, hay hai góc nội tiếp hai dây cung tơng ứng vv ” Cuèi cïng xin ®a mét sè tập quan trọng để em học sinh vận dụng phơng pháp chứng minh vào giải tập Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, E F trung điểm BC AD Chứng minh AF DE chia AC thành ba phần Bài 2: Đờng kính AB đờng tròn tâm O dây cung AC hợp thành góc 300 , tiếp tuyến C cắt AB kéo dµi ë D Chøng minh AC = DC Bµi 3: Trên đờng tròn tâm O lấy điểm B, dùng tiÕp tuyÕn BC, dùng OC ⊥ OA c¾t AB tiếp tuyến B lần lợt D C Chøng minh BC = CD Bµi 4: Cho ∆ ABC vuông Lấy cạnh tam giác vuông làm đờng kính dựng đờng tròn cắt cạnh huyền điểm Chứng minh tiếp tuyến điểm chia đôi cạnh góc vuông Bài 5: Cho ABC , dựng ASD, ACE phía tam giác ABC Lấy AD, AE làm hai cạnh hình bình hành ADF Chứng minh FBC Bài 6: Cho ABC đờng cao BD CE, gọi F trung điểm BC, tõ F dùng FG ⊥ DE Chøng minh DG = GE Bài 7: Cho ABC, đờng cao AD BE cắt H Đờng kính đờng tròn ngoại tiếp AF Chứng minh HF cắt BC G HG = GF II- Kết luận Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009 Trên số phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng Là ngời giáo viên đà dạy toán nhiều năm qua trao đổi với đồng nghiệp để em học sinh say mê với môn học Toán có hiệu cao ng ời giáo viên dạy học lĩnh hội kiến thức sở học sinh khám phá xây dựng đồng thời phải làm cho học sinh hiểu biết, vận dụng thành thạo Có nh kiến thức thầy truyền thụ đọng lại học sinh không Chữ thầy lại trả thầy có nh chất lợng dạy toán cao phát triển trÝ t cho c¸c em, gióp cho c¸c em niỊm đam mê học toán Trên phần nhỏ kinh nghiệm dạy Toán nói chung dạy toán chứng minh hai đoạn thẳng nói riêng thân đà qua thực tiễn nhiều năm đà đạt hiệu cao Rất mong đợc tham gia góp ý đồng nghiệp để sáng kiến có chất lợng, hiệu cao./ Cộng Hiền, ngày tháng năm 2009 Ngời viết Ngô Công Văn Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009 TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK Toán 7,8,9 SGV Toán 7, 8, STK Toán Mục lục: Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009 Đặt vấn đề: Trang Giải vấn đề Trang Kết luận Trang CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc Ngêi viÕt: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền 10 Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009 BẢN CAM KẾT I TÁC GIẢ: Họ tên : Ngô Công Văn Ngy, thỏng, nm sinh: 1960 n v : Trêng THCS Céng HiÒn Điện thoại: .Di động E-mail: II SẢN PHM: Tên sản phẩm: Sáng kiến kinh nghiệm : phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng III CAM KẾT Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm sản phẩm cá nhân tơi Nếu có xảy tranh chấp quyền sở hữu phần hay toàn sản phẩm sáng kiến kinh nghiệm, tơi hồn tồn chịu trách nhiệm trước lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo Sở GD&ĐT tính trung thực Cam kết Céng HiÒn, ngày 08 tháng năm 2009 Người cam kết (Ký, ghi rõ họ tờn) Ngô Công Văn Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trëng trêng THCS Céng HiÒn 11 ... tính chất 1(gấp hai đoạn thẳng lên số lần, chia hai đoạn thẳng số lần đ ợc đoạn thẳng nhau. ( tổng hay hiệu hai cặp đoạn thẳng tơng đối nhau) đôi Biến đổi đoạn thẳng cho trớc ta chứng minh đợc định... Trờng hợp (GCG) Hai cạnh tơng ứng tam giác Tính chất đờng cao tam giác cân => OD = OE OA = AE 4- Lợi dụng Hình bình hành ( để chứng minh hai đoạn thẳng nhau) ta ghép hai đoạn thẳng vào hai cạnh đối... giác vuông Hai cạnh tơng ứng hai tam giác 2- Dùng đoạn thẳng thứ làm trung gian.(Để chứng minh đoạn thẳng ta dùng đoạn thẳng thứ ba làm trung gian) VD2 : Nếu tứ giác nội tiếp đờng tròn có hai đờng