Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015 Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7) Môn Chuyên đề: Lý thuyết tối ưu phi tuyến CHỦ ĐỀ: - TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUI HOẠCH VỚI GIẢ THIẾT KHẢ VI Nhóm thực hiện: 1. Ma Xuân Út 2. Lê Thị Diễm Kiều 3. Nguyễn Văn Tùng Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015 Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7) Chương 7: TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUI HOẠCH VỚI GIẢ THIẾT KHẢ VI Trong chương 5 ta xây dựng tiêu chuẩn tối ưu không dùng giả thiết khả vi trong các hàm về vấn đề lập trình phi tuyến. Nhiều vấn đề (lập trình phi tuyến, lập trình bậc hai) bao gồm hàm phi tuyến. Chủ yếu là xây dựng tiêu chuẩn tối ưu nhận lợi thế từ thuộc tính này. Những tiêu chuẩn này chỉ là sự mở rộng ai cũng biết và thường lạm dụng tiêu chuẩn tối ưu của phép tính cổ điển của “việc đặt đạo hàm bằng 0”. Như ta đã làm ở chương 5 chúng ta xây dựng các tiêu chuẩn tối ưu cần thiết và đầy đủ. Đối với các tiêu chuẩn tối ưu đầy đủ chúng ta cần …. Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015 Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7) I. BÀI TOÁN CỰC TIỂU HÓA VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM DỪNG Frits John, Kuhn Tucker Tiêu chuẩn tối ưu của chương này liên quan đến việc giải quyết bài toán cực tiểu hóa, cực tiểu hóa địa phương và hai bài toán điểm dừng (Bài toán Frits John, Kuhn Tucker). Bài toán cực tiểu và cực tiểu địa phương ở đây tương tự như bài toán đã được giải quyết ở chương 5 đó là 5.1.1 và 5.1.2 với giả thiết khả vi. Bài toán Frits John và Kuhn Tucker của chương này (muc 3 và 4 dưới đây) theo bài toán điểm yên ngựa của Frits John và Kuhn Tucker 5.1.3 v à 5.1.4 nếu giả định khả vi và ngược lại bài toán điểm yên ngựa của Frits John và Kuhn Tucker 5.1.3 và 5.1.4 theo bài toán Frits John và Kuhn Tucker của chương này (muc 3 và 4 dưới đây) nếu giả định tính lồi (xem 7.3.8 dư ới đây) Cho 0 X là tập mở trong n ,  và g là hàm số và một hàm vector m chiều đều được xác định trong 0 X (trong nhiều bài toán quy hoạch phi tuyến 0 X là n ) 1. Bài toán tối tiểu Tìm x nếu nó tồn tại sao cho θ (x ) m in θ(x ) xX    0 , ( ) 0x X x x X g x    2. Bài toán tối tiểu địa phương Tìm x trên X , nếu tồn tại sao cho một số quả cầu mở ()Bx  lân cận x với bán kính 0   ( ) ( ) ( )x B x X x x       3. Bài toán điểm dừng Kuhn Tucker: Tìm 0 0 ,, m x X r R r R   nếu tồn tại thỏa 0 0 0 0 00 ( , , ) 0 ( , , ) 0 ( , , ) 0 ( , ) 0 ( , , ) ( ) ( ) x r r x r r x r r r x r r rr x r r r x rg x          hoặc tương đương 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( , ) 0 r x r g x gx rg x rr         (Tức là  và g khả vi tại x ) Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015 Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7) 4. Bài toán điểm dừng Kuhn Tucker: Tìm 0 , m x X u R nếu tồn tại thỏa   ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 0 , ( ) ( ) x u u xu xu u x u u x u x ug x          hoặc tương đương ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 x u g x gx u g x u         (  và g khả vi tại x ) 5. Chú ý: Nếu   0 ,,x r r là nghiệm của bài toán FJP 3??? , và 0 0r  , thì   0 ,x r r là nghiệm của bài toán KTF 4. Ngược lại,   ,xu là nghiệm của KTF 4 thì ( ,1, )xu là nghiệm của FJP. Chú ý dịch lại FJP, KTF là tên các bài toán đây là kí hiệu tiếng anh viết tắt và tốt hơn hết nên đặt tên bài toán theo số ví dụ bài toán FJP 3 thì viết là bài toán 3 thôi như vậy cho tiện. 6. Chú ý: Hàm Lagrange   0 ,,x r r  và   ,xu  được định nghĩa ở trên hoàn toàn giống với hàm Lagrange được định nghĩa ở Chương 5 (xem 5.1.3 và 5.1.4) II . Tiêu chuẩn tối ưu đầy đủ Tiêu chuẩn tối ưu đầy đủ được phát triển ở đây (mục 1 và 2 dưới đây) không giống với tiêu chuẩn tối ưu đầy đủ ở 5.3.1 phụ thuộc nhiều vào tính lồi. Tuy nhiên đạo hàm của chúng không phức tạp. 1. Định lý tối ưu đầy đủ [Kuhn Tucker 51] Cho 0 xX , 0 X mở,  và g khả vi và lồi tại x . Nếu   ,xu là phương án của KTP 7.1.4 thì x là nghiệm của MP 7.1.1. Nếu   0 ,,x r r là nghiệm của FJP 7.1.3 và 0 0r  thì x là phương án của MP 7.1.1. Chứng minh: Câu 2 của định lý có được theo câu 1 bởi chú ý 7.1.5 Cho   ,xu là nghiệm của KTP. Với bất kì x trong X mà ( ) ( ) ( )( )x x x x x        (do tính lồi và khả vi của  tại x và 6.1.1) ( )( )u g x x x    (vì ( ) ( )x u g x      ) Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015 Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)   ( ) ( )u g x g x ( do tính lồi và khả vi của  tại x và 6.1.1 và do 0u  ) ()ug x 0 Vì thế ( ) ( ),x x x X     từ đó, ( ) 0gx  , x ở trong X và vì thế ( ) m in ( ) xX xx    và xX Chú ý rằng, bởi vì yêu cầu tính lồi trên g. Đẳng thức ràng buộc tuyến tính loại   0hx không thể được xử lý bởi định lý trên bằng cách thay thế chúng bởi 2 bất phương trình   0hx và   0hx . Tuy nhiên đẳng thức ràng buộc tuyến tính có thể xử lý bởi phương pháp này. 2. Bài toán: Cho 0 xX , 0 X mở,  và g khả vi và lồi tại x . B là ma trận kn và d là vector k chiều. Chứng tỏ rằng nếu   0 , , , , , mk x u v x X u R v R   là nghiệm của bài toán theo Kuhn Tucker ( ) ( ) 0x u g x vB       ( ) 0gx  Bx d ( ) 0ug x  0u  Do đó, ( ) m in ( ) xX xx      0 , ( ) 0,x X x x X g x Bx d     Trình bày lại dạng của bài toán Một trường hợp thú vị không được bao trùm bởi định lý 1 ở trên là trường hợp khi   0 ,,x r r là nghiệm của bài toán FJP 7.1.3 nhưng đòi hỏi 0 0r  thì không được thực hiện, để đảm bảo rằng x là nghiệm của MP 7.1.1. Điều này được xác định bởi định lý dưới đây với yêu cầu 0 0r  thay thế bằng yêu cầu g lồi ngặt tại x . 3. Định lý tối ưu đầy đủ: Cho 0 xX , 0 X mở,  khả vi và lồi tại x .g là hàm khả vi và lồi ngặt tại x . Nếu   0 ,,x r r là nghiệm của bài toán FJP 7.1.3, x là nghiệm của MP 7.1.1 Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015 Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7) Chứng minh: Cho   0 ,,x r r là nghiệm của FJP. Cho   ( ) 0 i I i g x   ( ) 0 i J i g x   1, 2, ,I J m (Ghi chú: Thỉnh thoảng ràng buộc ( ) 0 I gx được gọi là ràng buộc linh động tại x và ( ) 0 J gx là ràng buộc thụ động tại x ) Vì 0, ( ) 0r g x , và ( ) 0rg x  , ta có ( ) 0, 1, , ii r g x i m Và vì vậy : 0 i r  với iJ Vì 0 ( ) ( ) 0r x r g x      và 0 ( , ) 0,rr ta có: 0 ( ) ( ) 0 ii iI r x r g x        0 ( , ) 0 I rr  Theo định lý 2.4.5 của Gordan thì 4. ( ) 0 ( ) 0 I xz g x z    không có nghiệm n zR Do đó 5. 0 ( ) ( ) 0 g ( ) g ( ) II xx xx    không có nghiệm 0 xX Nếu không có nghiệm 0 ˆ xX , khi đó ˆ xx và ˆˆ 0 ( ) ( ) ( )( )x x x x x         (do tính lồi của  tại x và 6.1.1) ˆ ˆ ˆ 0 ( ) ( ) ( )( ) I I I g x g x g x x x     (do tính lồi ngặt của g tại x và 6.2.1) Mâu thuẫn với 4 nếu ta đặt ˆ z xx . Nhớ lại rằng ( ) 0 I gx , Từ 5 ta có: ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) I J xx gx gx     không có nghiệm 0 xX Vì ( ) 0gx , x nằm trong X và vì vậy x là nghiệm của MP 7.1.1. 6. Chú ý: Trong mục 1 và 2 ở trên, vì 0u  , ( ) 0gx và   0ug x  , ta có ( ) 0 ii u g x  với 1, ,im và vì vậy 0 i u  nên   ( ) 0 i i J i g x   Tương tự trong 3 ta chứng tỏ rằng 0 i r  với iJ . Điều đó quá rõ ràng vì từ chứng minh trên ta có I g luôn lồi tại x điều mà được cần cho mục 1 và 2 thay cho tính lồi Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015 Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7) của g tại x (như giả định ở mục 1 và 2) và vì I g luôn lồi ngặt tại x điều mà được cần trong 3 thay cho tính lồi ngặt của g tại x (như giả định ở mục 3). Giả thiết thu hẹp được làm ở mục 1,2 và 3 làm cho việc trình bày của các định lý đơn giản hơn. II. Điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu Bây giờ,trong trong điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu nhận được tính lồi không đóng vai trò quyết định. Tính khả vi vủa hàm được sử dụng để chuyển bài toán phi tuyến tính sang tuyến tính, và khi đó định lý đan dấu đạt được điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu. Một lần nữa, để nhận được nhiều điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu quan trọng hơn nữa (mục 7 dưới đây, tiêu chuẩn ràng buộc là cần thiết. Chúng ta bắt đầu với việc mở rộng bổ đề tuyến tính của Abadie, thiết lập việc không tồn tại nghiệm của một hệ bất phương trình tuyến tính bất cứ khi nào bài toán cực tiểu địa phương LMP 7.1.2 có lời giải 1. Bổ đề tuyến tính [Abadie 67] Cho x là nghiệm của LMP 7.1.2, 0 X mở,  và g khả vi tại x ,    0 i V i g x , và i g lõm tại  x Và cho    W 0, i i g x và i g không lõm tại  x Khi đó ( ) 0 w ( ) z 0 ( ) z 0 xz gx gv x     không có nghiệm n zR Chứng minh: Cho   W ( ) 0 i I V i g x      ( ) 0 i J i g x Vì thế:   W 1, 2, ,I J V J m     Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015 Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7) Cho x là nghiệm của LMP 7.1.2 với   . Ta sẽ chứng tỏ rằng nếu z thỏa ( ) 0xz   , w ( ) 0g x z , ( ) 0 v g x z vì thế sự phủ định xảy ra sau đó. Đặt z thỏa những bất phương trình này. Vì thế, 0 X mở, tồn tại ˆ 0   sao cho: 0 ˆ ()x z X B x      với ˆ 0   Từ đó,  và g khả vi tại x (xem D1.3), ta có với ˆ 0   thì 0 ( ) ( ) ( ) ( , )x z x x z x z z              g ( ) ( ) ( ) ( , ) , i 1, , m i i i i x z g x g x z x z z            khi 0 lim ( , ) 0, 1, , i x z i m     (i)Nếu  đủ nhỏ 0 (0 )   khi đó     0 ,0x z x z z       [vì   0xz   ] Và vì vậy:     0 0, 0x z x           (ii)Tương tự, cho Wi  và  đủ nhỏ   0 i   Vì thế,     , z 0 ii g x z x z     [vì   w 0g x z ] Và vì thế     0 ii g x z g x     với 0 , W i i     (iii)Với Wi  , vì i g lõm tại x và   0 v g x z nên       0 i i i g x z g x g x z       với ˆ 0   và iV (iv)Với   ,0 i i J g x .Vì thế với  đủ nhỏ   0 i   . Ta có:       ,0 i i i g x g x z x z z         Và vì thế:   0 i g x z   với 0, i iJ     Ta gọi  là giá trị nhỏ nhất của tất cả các số dương 0 ˆ , , , i       1, ,im đã được định nghĩa ở trên. Vì vậy với 0   ta có: 0 x z X   Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015 Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)   x z B x        x z x         0 ii g x z g x     với iI   0 i g x z   với iJ Vì thế, với 0   , ta có   x z B x X      và   x  điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng x là nghiệm của LMP 7.1.2 với   . Vì thế không tồn tại n zR thỏa     w 0, 0x z g x z      và   0 v g x z Bây giờ ta đã có một chuỗi điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu dựa trên bổ đề tuyến tính trên. Ta bắt đầu với việc mở rộng kết quả của Abadie trong trường hợp có hữu hạn ràng buộc bao gồm kết quả cổ điển của Fritz John 2. Định lý Fritz John –Điểm dừng lý thuyết tối ưu: Lấy x là một điểm dừng của LMP 7.1.2 hay MP 7.1.1, 0 X là tập mở và  , g hàm khả vi tại x . Thì nó tồn tại 0 rR và m rR . Khi đó   0 , , rxr thu được công thức FJP 7.1.3 và   0 ,0 w rr  Trong đó {   0, i w i g x và i g không là hàm lõm tại x } GHI CHÚ:Nếu x ta thu được MP 7.1.1, thì x thu được LMP 7.1.2????? Lấy    0, i V i g x i g là hàm lõm tại x } Và     0 i J i g x Theo bổ đề 1 ở trên ta có:       0 0 0 w v xz g x z g x z            , không có nghiệm n zR Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015 Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7) Do đó theo định lý Motzkin's 2.4-2 chữ ‘s là sở hữu cách chứ ko phải chữ trong tên người ???, có tồn tại 0 ,, wv r r r sao cho:       0 0 w w v v r x r g x r g x          0 ,0 w rr  , 0 v r  Từ   0 w gx và   0 v gx , điều đó có nghĩa, nếu ta xác định: 0 j r  và   ,, w v j r r r r Thì:         0 w w v v j j r g x r g x r g x r g x           0 0r x r g x      và   0 ,0rr  vì   ,0x X g x Do đó   0 ,,x r r ta được công thức FJP 7.1.3 và   0 ,0 w rr  Lưu ý: Định lý trên của Abadie [Abadie 67]. Nếu ta thay hàm lõm của v g tại x và hàm không lõm của w g tại x bởi hàm mà n v gR và n w gR . điều này chưa thật chuẩn xác, với kết quả tổng quát hơn của định lý Abadie. Ta xem các điều kiện sau và   0 ,0rr  Ta sẽ thiết lập các đường biên lân cận của các tập con nhỏ nhất thành phần của   0 ,rr Ví dụ ta thiết lập các đường biên không chính thức ở trên của 0 r (và do phần tử chính của nó), thì đó là điều tối phi tuyến ta thấy (hình 7). Trong định lý trên ta thiết lập các đường biên lân cận của   0 , w rr [...]... số hữu hạn tối ưu phi tuyến trên R n Mặt khác, kết quả định lý trên của Fritz John [John 48] là đúng , nếu ta bỏ kết quả r ,r   0 0 w Lưu ý: Nếu X 0 là lồi và lõm của gv gv (trừ khi là lõm trên, thì định lý trên luôn luôn đúng Tuy nhiên phần gv Không làm cho bộ:  x là tuyến tính) x  X , g v  x   0 0 lồi (hình 4.1.10 và 4.1.11) Nhắc lại: giống trường hợp của lý thuyết tối ưu phi tuyến (xem... chuẩn của bài toán tối ưu phi tuyến, tiêu chuẩn tối ưu Kuhn Tucker Chúng ta thiết lập các kết quả từ các điều kiện cần đã nêu Trong chương 6 ở trên, chúng ta chỉ cần thiết lập kết quả của điều kiện cần Kuhn –Tucker (3) Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7) Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015 và điều kiện cần Arrow -Hurwicz-Uzawa (4) trong đó … là ràng buộc tuyến tính... ràng buộc phi tuyến bao gồm cả điều kiện cần Kuhn Tucker Chúng ta đưa ra sự khác biệt và một vài cách tiếp cận đơn giản hơn và chỉ ra cả điều kiện cần Arrow Hurwicz-Uzawa hay Kuhn Tucker là thích hợp để thiết lập điều kiện tối ưu của chúng ta ở sau 7 Định lý Kuhn Tucker về điểm dừng tối ưu cần thiết Cho X 0 là tập mở của R ,  và g là hàm xác định trên X 0 , lấy bài toán L M P 7.1.2 hoặc bài toán M... n , Tìm các điều kiện ở dưới ,g xác định trên X 0 i) Một phương án  x , r , r  của bài toán 5.1.3 là phương án của bài toán 7.1.3 ii) và ngược lại Một phương án  x , u  của bài toán 5.1.4 là phương án của bài toán 7.1.4 và 0 ngược lại (Mối quan hệ trên được ghi rõ bằng các đường nối chỉ dẫn trong hình 7.3.5) 9 Bài toán Cho X 0 là tập mở trong R n ,  xác định trên  khả vi tại x mô tả như sau đây:... thì không tồn tại tổ hợp tuyến tính không âm của    x  và  g i  x   0 Trong một vài trường hợp    x  có thể có trọng số bằng không Ví dụ ở hình 7.3.1 Các tiêu chuẩn tối ưu của chương được liên kết với nhau trong hình 7.3.4 và với chương 5 ở hình 7.3.5 Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7) Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015 8 Bài toán Cho X 0 là tập...  I2   0 0  1  J B   3, 4  , C B   0, 0  Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7) Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015 1 -5 1 2 3 4 0 0 6 0 1 2 3 2 0 0 12 3 2 1 3 0 4 0 3 -2 5 1 -1 4 -2 2 -1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0,5 0,5 Do  bj  0 nên thuật toán dừng lại Vậy bài toán không có phương án tối ưu Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn... án uI và sự khả vi hoàn toàn của   x u I gI  x   0, u I  0 , Không và g] 12 Bài toán [ Tiêu chuẩn tối ưu chung của điểm dừng cần thiết Kuhn Tucker ] Lấy X 0 là tập mở trong R n x R n ,  , g , h Là hàm số, một hàm vecto m chiều và 1 2 hàm vecto k kchiều xác định trên X 0 , lấy  x , y   X là phương án bài toán tìm 0 m in    x , y    m i n x,y X   x, y  0   x, y   X , g ...  x , y  hoặc các bài toán 5.4.3,  x , u , v  thỏa tiêu chuẩn tối ưu chung của điểm dừng Kuhn Tucker sau:       0       0    x , y  u  g x , y  v h x , y  x x x     x , y  u  g x , y  v h x , y  y y  y    y   y x , y  u  y g x , y  v y h x , y  y  0   g x, y  0  h x, y  0  u g x, y  0   u  0        0        Nhóm thực hiện:1/Ma... Hình 7.3.4 Mối quan hệ các phương án bài toán 7.1.2, 7.1.1; 7.1.3, 7.1.4 Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7) Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015 Hình 7.3.5: Các phương án của các bài toán 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3, 7.1.4, 5.1.3, 5.1.4 Một biểu diễn hình học minh họa của các điều kiện 7.1.4 có thể chỉ rõ như sau: Tại x tồn tại tổ hợp tuyến tính không âm của hàm mục tiêu...    là phương án của bài toán 7.1.2 ta có x y   x   y y  ,0      y   0   x ,  y   0 chúng ta có giới hạn ở trên với  tiến đến 0 và  x y  0 Do y là vecto bất kỳ trong R n thỏa y.y = 1, chúng ta kết luận từ bất đẳng thức cuối bằng cách lấy y   e , trong đó e i  R n là một vecto ứng với điểm i và bằng 0 ở i chỗ khác thì Từ đó x và x  0  u thỏa bài toán 7.1.4 TH2: +) . giải quyết bài toán cực tiểu hóa, cực tiểu hóa địa phương và hai bài toán điểm dừng (Bài toán Frits John, Kuhn Tucker). Bài toán cực tiểu và cực tiểu địa phương ở đây tương tự như bài toán đã. 0 X (trong nhiều bài toán quy hoạch phi tuyến 0 X là n ) 1. Bài toán tối tiểu Tìm x nếu nó tồn tại sao cho θ (x ) m in θ(x ) xX    0 , ( ) 0x X x x X g x    2. Bài toán tối tiểu địa. tối ưu Bây giờ,trong trong điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu nhận được tính lồi không đóng vai trò quyết định. Tính khả vi vủa hàm được sử dụng để chuyển bài toán phi tuyến tính sang tuyến