TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN  PHƯƠNG PHÁP TÍNH TIỂU LUẬN ĐỀ TÀI: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC CUA HÀM ĐA THỨC BẰNG CÔNG THỨC NỘI SUY NEWTON • Giáo viên hướng dẫn: TS Trònh Công Diệu • Sinh viên thực hiện: Phạm Ngọc Thu Trang Mục lục: PHẦN A: MỞ ĐẦU I. Đặt vấn đề : II. Mục tiêu của đề tài : PHẦN B: CƠ SỞ LÝ LUẬN I. Lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h : II. Các dạng biểu diễn đa thức: III. Mệnh đề : IV. Định lý về tính duy nhất của đa thức: PHẦN C: PHÉP NỘI SUY – ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON I. Sai phân: I.1. Định nghĩa: I.2. Công thức tính sai phân: I.3. Bảng sai phân các cấp của hàm f tại điểm 0 x : II. Tỉ sai phân: II.1. Định nghĩa: II.2. Các tính chất của tỉ sai phân: II.3. Bảng tính tỉ sai phân các cấp của hàm f tại điểm 0 x : III. Công thức liên hệ giữa tỉ sai phân và sai phân: IV. Công thức nội suy Newton thứ nhất: IV.1 Đa thức nội suy Newton : IV.2 Công thức nội suy Newton thứ nhất IV.3 Công thức nội suy Newton thứ hai V. Thuật toán xác định công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc, trên cơ sở công thức nội suy Newton thứ nhất: V.1. Thuật toán dạng bảng: V.2. Thuật toán dạng mã giả : VI. Thuật toán chuyển công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng sang chính tắc: VI.1. Thuật toán dạng bảng: VI.2. Thuật toán dạng mã giả: VII. Một số ví dụ: PHẦN D: SỬ DỤNG CÔNG THỨC NEWTON XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC CỦA HÀM ĐA THỨC KHI CÁC MỐC NỘI SUY KHÔNG CÁCH ĐỀU I. Thuật toán chuyển bài toán có các mốc nội suy không cách đều về bài toán có mốc nội suy đều. Sau đó sử dụng công thức Newton xác định công thức của hàm đa thức: I.1 Thuật toán 1: I.2 Thuật toán 2: I.3 Ví dụ : II. Thuật toán xác định công thức của hàm số trên cơ sở dùng công thức nội suy Newton đối với bài toán có mốc nội suy không cách đều: II.1 Thuật toán dạng bảng: II.2 Thuật toán dạng mã giả: PHẦN E: NHẬN XÉT PHẦN A: MỞ ĐẦU III. Đặt vấn đề : • Trong toán học, ta thường gặp những bài toán khảo sát và tính giá trị của hàm số y = f(x) nhưng trên thực tế, nhiều trường hợp ta không xác định biểu thức của hàm f(x) mà chỉ nhận được những giá trị rời rạc: y 0 , y 1 , … y n tại các điểm tương ứng x 0 , x 1 , … x n . (Các giá trị này được cung cấp qua thực nghiệm hay tính toán). Vấn đề đặt ra là xác định giá trị của hàm số tại tất cả các điểm còn lại. Muốn vậy, cần xây dựng hàm ( )g x sao cho: Bài toán xây dựng hàm ( )g x gọi là bài toán nội suy. Hàm ( )g x gọi là hàm nội suy của ( )f x trên [ ] ,a b , các điểm i x , 0,i n= là các mốc nội suy. • Hàm nội suy cũng được áp dụng trong trường hợp đã xác định được biểu thức của hàm ( )f x nhưng nó quá phức tạp. Khi đó cần tìm hàm nội suy xấp xỉ với hàm ( )f x để việc khảo sát và tính giá trị đơn giản hơn. IV. Mục tiêu của đề tài : • Với P(x) là một hàm đa thức bậc n theo biến x. Giả sử biết giá trị của P tại (n+1) điểm i x ( 0,i n= ) phân biệt nhau đôi một sao cho: ( ) ( ) i i i P x y f x = = , 0,i n= Mục tiêu của Tiểu luận là sử dụng công thức nội suy Newton thứ nhất để xác định công thức của hàm P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng, sau đó chuyển công thức trên về dạng chính tắc. • Trong thực tế, các điểm i x có thể được phân bố cách đều hoặc không. Tiểu luận trình bày cách giải quyết cả hai trường hợp: các nốc nội suy cách đều và các nốc nội suy không cách đều. PHẦN B: CƠ SỞ LÝ LUẬN I. Lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h : Cho * , ,a h n ∈ ∈ ¥¡ . Ta gọi lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h là số: [ ] ( ) ( ), 0, ( ) ( ), , , i i i i i i i g x y f x i n g x y f x x a b x x  = = =   ≈ = ∈ ≠   Quy ước: Trường hợp h =1 ta viết a (n) thay cho a (n;h) và đọc vắn tắt là lũy thừa suy rông bậc n của a II. Các dạng biểu diễn đa thức: Cho ( ) P x là đa thức bậc n theo biến x • Dạng chính tắc của P(x) là: ( ) 0 n i i i P x a x = = ∑ với 0 1 ,a , ,a n a là các hằng số. • Dạng chuẩn tắc của ( ) P x là: ( ) ( ) 0 0 n i i i P x b x x = = − ∑ với 0 1 , , , n b b b là các hằng số. • Dạng chính tắc suy rộng của ( ) P x là: ( ) ( ) 0 n i i i P x c x = = ∑ với 0 1 ,c , ,c n c là các hằng số. • Dạng chuẩn tắc suy rộng của ( ) P x là: ( ) ( ) ( ) , 0 0 n i h i i P x d x x = = − ∑ với 0 1 ,d , ,d n d là các hằng số. Nhận xét : Dạng chuẩn tắc suy rộng là dạng tổng quát của 3 dạng trên:  Khi 0 0, 0x h= = thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chính tắc.  Khi 0 0, 1x h= = thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chính tắc suy rộng.  Khi 0h = thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chuẩn tắc. Do vậy nếu xây dựng được thuật toán xác định công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng ta sẽ chuyển được về dạng chính tắc, chính tắc suy rộng, chuẩn tắc. III. Mệnh đề : Mọi đa thức hệ số thực có thể biểu diễn dưới dạng chuẩn tắc suy rộng. Chứng minh: Giả sử ( ) P x là đa thức bậc n trong vành đa thức hệ số thực [ ] x¡ Chọn 0 ,x h ;là các số thực tùy ý. Ta sẽ chứng minh hệ các đa thức ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] { } 1; 2; ; 0 0 0 1, , , , h h n h x x x x x x − − − là một cơ sở của [ ] n x¡ ( [ ] n x¡ là không gian vectơ các đa thức hệ số thực bậc không quá n ) Vì hệ trên gồm ( ) 1n + đa thức thuộc vào [ ] n x¡ , nên nếu ta chứng minh hệ trên độc lập tuyến tính thì nó chính là cơ sở của [ ] n x¡ . Giả sử tồn tại 0 1 , , , n a a a ∈ ¡ không đồng thời bằng 0 sao cho: ( ) [ ] ; 0 0 i h n i i a x x = − = θ ∑ (đa thức không) ( ) [ ] ; 0 0 0, n i h i i a x x x = ⇔ − = ∀ ∈ ∑ ¡ Gọi { } 0 max 0 : 0 i i i n a = ≤ ≤ ≠ thì ( ) ( ) [ ] ; 0 0 i h n i i P x a x x = = − ∑ có bậc là 0 i n ≤ , nghĩa là ( ) P x không thể là đa thức không, ta gặp mâu thuẫn. Vậy hệ đa thức trên độc lập tuyến tính trong [ ] n x¡ nên là một cơ sở của [ ] n x¡ . Do ( ) [ ] n P x x ∈ ¡ nên ( ) P x có biểu diễn tuyến tính duy nhất theo hệ trên. Tức là ( ) ( ) [ ] ; 0 0 ! , 0, : n i h i i i a i n P x a x x = ∃ ∈ ∈ = − ∑ ¡ , trong đó 0 ,x h được chọn tùy ý. Vậy: hệ ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] { } 1; 2; ; 0 0 0 1, , , , h h n h x x x x x x − − − là độc lập tuyến tính. Nhận xét:  Mọi đa thức hệ số thực đều có thể biểu diễn dưới dạng chuẩn tắc suy rộng nên mọi đa thức hệ số thực đều biểu diễn được dưới dạng chính tắc, chính tắc suy rộng, chuẩn tắc.  Với mỗi ( ) [ ] 0 , ,x h P x x∈ ∈¡ ¡ tồn tại duy nhất biểu diễn: ( ) ( ) [ ] ; 0 0 , , 0, n i h i i i P x d x x d i n = = − ∈ ∀ ∈ ∑ ¡ IV. Định lý về tính duy nhất của đa thức: Cho bộ ( , ) i i x y ∈ × ¡ ¡ ( 0,i n = ). Nếu i j x x ≠ khi i j ≠ ( , 0,i j n = ) thì tồn tại duy nhất một đa thức ( )P x bậc nhỏ hơn hoặc bằng n sao cho: ( ), 0, i i y P x i n = = . Chứng minh: Giả sử 0 ( ) n j j j P x a x = = ∑ , ta có: 0 , n j i j i j y a x = = ∑ 0,i n= (*) (*) là hệ n + 1 phương trình theo n +1 ẩn , 0, j a j n = . Đa thức ( )P x tồn tại duy nhất khi và chỉ khi hệ phương trình (*) có duy nhất nghiệm. Gọi A là ma trận hệ số của hệ (*). Ta có: 0 0 1 1 1 1 1 n n n n n x x x x A x x    ÷  ÷ =  ÷  ÷  ÷   K K K K K K K ( ) , 0, det i j i j n i j A x x = > = − ∏ (Định thức Vandermond) mà i j x x ≠ khi i j ≠ ( , 0,i j n = ) nên det 0A ≠ Suy ra hệ phương trình (*) là hệ Cramer. Do đó hệ (*) có duy nhất nghiệm hay đa thức ( )P x tồn tại duy nhất. PHẦN C: PHÉP NỘI SUY – ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON I. Sai phân: I.1 Định nghĩa: Khi các mốc nội suy cách đều nhau một khoảng h, ta có khái niêm sai phân bước nhảy h của hàm số f tại x 0 như sau: • Định nghĩa 1: Cho f là hàm số thực, biến số thực: 0 ,x h ∈ ¡  Giả sử f xác định tại 0 0 ,x x h + . Sai phân của f tại 0 x , bước nhảy h là số định bởi công thức: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0h f x f x h f x ∆ = + − (Để đơn giản ghi ( ) 0h f x ∆ thay cho ( ) ( ) 0h f x ∆ )  Hàm số thực định bởi : ( ) h h f x f x ∆ ∆ a được gọi là hàm sai phân của f với bước nhảy h  Toán tử sai phân bước nhảy h là ánh xạ: : h h f f∆ ∆a Chú ý: Khi f là hàm hằng, ta có: ( ) ( ) 0 0 h f x∆ = tại mọi x. • Định nghĩa 2:  Sai phân cấp hai của f tại 0 x , bước nhảy h là số định bởi công thức: ( ) ( ) ( ) 2 0 0h h h f x f x ∆ = ∆ ∆  Hàm số thực định bởi: ( ) 2 2 : h h f x f x ∆ ∆ a được gọi là hàm sai phân cấp hai của f với bước nhảy h  Toán tử sai phân cấp hai, bước nhảy h là ánh xạ: 2 2 : h h f f ∆ ∆ a • Định nghĩa tương tự cho các sai phân cấp cao hơn. • Quy ước :  Khi cần nhấn mạnh cấp của sai phân, ta gọi sai phân của hàm f trong định nghĩa là sai phân cấp một của hàm f, hơn nữa để đơn giản trong trình bày, ta quy ước gọi hàm f là sai phân cấp 0 của hàm f. Kí hiệu: sai phân cấp i, bước nhảy h của hàm f là: i h f ∆ ; 0,i n =  Khi h = 1 ta bỏ bớt nhóm từ “bước nhảy h” trong các thuật ngữ trên và kí hiệu: f ∆ thay cho 1 f ∆ I.2 Công thức tính sai phân: • Mệnh đề 1 : (Tính chất của sai phân) i. ( ) h h h f g f g α β α β ∆ + = ∆ + ∆ với , α β là các hằng số. ii. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . h h h h h f g x f x h g x f x g x f x g x f x g x h ∆ = + ∆ + ∆ = ∆ + ∆ + iii. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h h f x g x - f x g x f x = g g x g x+ h    ÷   ∆ ∆ ∆ iv. ( ) m n m n f f + ∆ ∆ = ∆ với , , , 0m n m n ∈ > ¢ v. 1 ( ) ( ) ( ) h b x a f x f b f a − = = − ∑ V vi. Sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất: Nếu m = n thì sai phân cấp m là hằng số Nếu m > n thì sai phân cấp m bằng không • Mệnh đề 2: ( Sai phân của hàm lũy thừa ) : i. Cho ( ) ( ) , n f x x n h = ∈ ∈ ¥ ¡ . Khi đó: ( ) ! , n n h f x n h x ∆ = ∀ và ( ) 0, i h f x i n ∆ = ∀ > ii. Cho ( ) ( ) ( ) , * 0 0 , , n h f x x x n x h     = − ∈ ∈ ¥ ¡ . Khi đó: ( ) ( ) 1, 0 n h n f x nh x x     − ∆ = − Chứng minh: i. Ta chứng minh ( ) 0, i h f x i n ∆ = ∀ > (*) bằng phương pháp quy nạp Với 1n = , ta có ( )f x x= , ta có : 2 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 0 h h h h h f f x h f x h f x f x h ∆ = + − = ∆ = ∆ ∆ = ∆ = Do đó (*) đúng. Giả sử (*) đúng với 1n k = > , tức là: ( ) k f x x = thì ( ) 0 i h f x ∆ = , i k ∀ > Ta chứng minh : ( ) 1k f x x + = thì ( ) 0 i h f x ∆ = , 1i k ∀ > + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 k k j k j k j h k j f x f x h f x x h x C h x + + + + − + = ∆ = + − = + − = ∑ Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 k k j j k k k j k j j k k j h h h h k k h j j f x f x C h x C h x + + + + + + − + + − + + = =    ÷  ÷   ∆ = ∆ ∆ = ∆ = ∆ = ∑ ∑ (Do giả thiết quy nạp) Vậy: ta đã chứng minh được ( ) 0, i h f x i n ∆ = ∀ > Ta chứng minh: ( ) ! n n h f x n h ∆ = (**) bằng phương pháp quy nạp Với 0, ( ) 1n f x = = , 0 0 ( ) ( ) 1 0! h f x f x h ∆ = = = Với 0n k = > , giả sử (**) đúng, tức là: ( ) ! k k h f x k h ∆ = với ( ) k f x x = (1) Ta chứng minh (**) đúng với 1n k = + , tức là: 1 1 ( ) ( 1)! k k h f x k h + + ∆ = + với 1 ( ) k f x x + = (2) Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) h k k k k i i k i i i k k i i f x x h x C h x C h g x + + + + + − + + = = ∆ = + − = = ∑ ∑ Với 1 ( ) , 1, 1 k i i g x x i k + − = = + thì deg( ) , i g k ≤ 1, 1i k= + Theo giả thiết quy nạp và (*) ta có: ! ,( 1) 0, 2, 1 ( ) k k i h k h k i k g x      = = = + ∆ Suy ra: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( 1). . !. ( 1)!. k k k i i k k k k i h h h k h k h i f x f x C h g x C h g x k h k h k h + + + + + = ∆ = ∆ ∆ = ∆ = ∆ = + = + ∑ Do đó (2) đúng Vậy ta đã chứng minh được: ( ) !. n n h f x n h ∆ = ii. Giả sử [ . ] 0 ( ) ( ) n h f x x x = − = 1 0 0 ( ) n i x x ih − = − − ∏ Suy ra: ( ) ( ) ( ) h f x f x h f x ∆ = + − 1 1 0 0 0 0 ( ) ( ) n n i j x h x ih x x jh − − = = = + − − − − − ∏ ∏ 1 1 0 0 0 0 ( ( 1) ) ( ) n n i j x x i h x x jh − − = = = − − − − − − ∏ ∏ 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )( )( 3 ) ( ( 1) ) ( )( )( 2 ) ( ( 1) )x x h x x x x h x x n h x x x x h x x h x x n h = − + − − − − − − − − − − − − − − − 0 0 0 0 0 0 [( )( )( 2 ) ( ( 2) )][( ) ( ( 1) )]x x x x h x x h x x n h x x h x x n h = − − − − − − − − − + − − − − 2 0 0 ( ). . n i x x ih n h − = = − − ∏ [ 1, ] 0 ( ) . . n h x x n h − = − I.3 Bảng sai phân các cấp của hàm f tại điểm 0 x : Giả sử cần tính sai phân các cấp 1, 2, , n của hàm f, bước nhảy h tại 0 x . [...]... = d n zn 2,n 1 zn 2,n 2 z3, n 1 z3,n 2 z33 x3 z3n = d n n-1 n-2 3 2 1 0 x2 z2 n = d n z2,n 1 z2, n 2 z23 z22 x1 z1n = d n z1, n 1 z1,n 2 z13 z12 z11 x0 z0 n = d n z0,n 1 z0,n 2 z03 z02 z01 z00 bi bn = d n bn 1 bn 2 b3 b2 b1 b0 Din gii: Ct mu xanh (bờn trỏi bng): cỏc giỏ tr ca xi Ct n: cỏc bin c gỏn giỏ tr ca d n ng chộo mu vng: cỏc bin c gỏn giỏ tr ca di ; i = n, 0 Dũng mu (cui bng): . TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN  PHƯƠNG PHÁP TÍNH TIỂU LUẬN ĐỀ TÀI: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC CUA HÀM ĐA THỨC BẰNG CÔNG THỨC NỘI SUY NEWTON • Giáo. nghĩa: I.2. Công thức tính sai phân: I.3. Bảng sai phân các cấp của hàm f tại điểm 0 x : II. Tỉ sai phân: II.1. Định nghĩa: II.2. Các tính chất của tỉ sai phân: II.3. Bảng tính tỉ sai phân các. nghiệm hay tính toán). Vấn đề đặt ra là xác định giá trị của hàm số tại tất cả các điểm còn lại. Muốn vậy, cần xây dựng hàm ( )g x sao cho: Bài toán xây dựng hàm ( )g x gọi là bài toán nội