Câu 1: a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn b) Đặt A = n 3 + 3n 2 + 5n + 3 . Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dơng của n. c) Nếu a chia 13 d 2 và b chia 13 d 3 thì a 2 +b 2 chia hết cho 13. Câu2 : Rút gọn biểu thức: a) A= ))(( caba bc + ))(( abcb ca + ))(( bcac ab b) B = 3 3 3 6 6 6 11 2 11 x x x x x x x x ++ + + + Câu 3: Tính tổng: S = 3.1 1 + 5.3 1 + 7.5 1 + + 1 2009.2011 Câu 4: Cho 3 số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z : 2011x y z xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z 1 + + + + + + + + Câu 5: Giải phơng trình: 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x 5 1942 1944 1946 1948 1950 + + + + = Câu 6: Cho ABC tam giác đều, gọi M là trung điểm của BC . Một góc ã xMy = 60 0 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E . Chứng minh : a) BD.CE= 4 2 BC b) DM, EM lần lợt là tia phân giác của ã BDE và ã CED . c) Chu vi ADE không đổi. Đáp án và biểu điểm Câu Sơ lợc lời giải Biểu điểm 1 a, Thực hiện chia 2 n n 1 m n 1 + + = + = n + 1 n 1 + 0.5 Để m nguyên với n nguyên khi n + 1 là ớc của 1 0.5 Hay n + 1 {1; -1 }. Khi đó : n + 1 = 1 n = 0 Z ( t/m) n + 1 = -1 n = -2 Z (t/m) Với n = 0 m = 1 . Với n = -2 m = - 3 . Vậy 0.5 b, A = n 3 + 3n 2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) 3 +2(n+1) = = n ( n +1) (n+ 2) + 3( n+1) 0.5 Khi đó : 3(n+1) M 3 n( n +1) (n+ 2) là tích của 3 số nguyên dơng liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 0.5 c, a = 13k +2, b = 13q +3 0.5 a 2 + b 2 = ( 13k +2 ) 2 + ( 13q + 3) 2 = = 13( 13k 2 +4k +13 q 2 + 4q +1) M 13 1 2 a) A= bc ca ab (a b)(a c) (b c)(a b) (a c)(b c) + (đổi dấu) = . = (a b)(a c)(b c) (a b)(a c)(b c) = 1 b) Ta có: 6 1 x x + ữ = 2 3 3 1 1 (x ) 3(x ) x x + + + ữ ; ( ) 2 2 2 6 3 3 6 3 3 1 1 1 x x x 2 x x x + = + = + ữ ữ Tử thức: 6 6 6 1 1 x x 2 x x + + ữ ữ = 2 3 3 1 1 (x ) 3(x ) x x + + + ữ - 2 3 3 1 x x + ữ = 3 3 1 1 1 3 x 2 x 3 x x x x + + + + ữ ữ ữ Mộu thức: 3 3 3 1 1 x x x x + + + ữ = 3 3 1 1 2 x 3 x x x + + + ữ ữ Rút gọn ta có: B = ) 1 (3 x x + 4 3 S = 1 1 1 1 1 1 1 1 1005 (1 ) (1 ) 2 3 3 5 2009 2011 2 2011 2011 + + + = = 2 4 2011x y z 2011 2011x xy xyz y yz 1 z zx + + + + + + + + = 2 xy.xz y z xyz x yz xy xyz y yz 1 z zx + + + + + + + + = )1( . ++ zxzxy xzxy + zxz ++1 1 + zxz z ++1 = zxz xzz ++ ++ 1 1 = 1 không đổi 2 5 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x 1 1 1 1 1 0 1942 1944 1946 1948 1950 + + + + + + + + + = ữ ữ ữ ữ ữ 0.5 (2011 x) 1 1 1 1 1 ( ) 1942 1944 1946 1948 1950 + + + + = 0 1 2011 - x = 0 ( vì 1 1 1 1 1 0 1942 1944 1946 1948 1950 + + + + > ) x = 2011. 0.5 6 Vẽ hình a,Chứng minh BMD CEM Vì BM = CM = BC 2 BD.CE = 2 BC 4 b, Chứng minh BMD MED Từ đó suy ra 1 2 D D= , do đó DM là tia phân giác của góc BDE Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED c, Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK. Chu vi bằng 2.AH . Kết luận . 0,5 2.5 1.5 1.5 Chú ý: Có nhiều cách khác nhau , nhng có chung 1 kết quả. 3 2 1 2 1 x y E D M C B A . Chứng minh : a) BD.CE= 4 2 BC b) DM, EM lần lợt là tia phân giác của ã BDE và ã CED . c) Chu vi ADE không đổi. Đáp án và biểu điểm Câu Sơ lợc lời giải Biểu điểm 1 a, Thực hiện chia 2 n n 1 m n. Câu 6: Cho ABC tam giác đều, gọi M là trung điểm của BC . Một góc ã xMy = 60 0 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E . Chứng minh : a) BD.CE= 4 2 BC b). 19 48 1950 + + + + + + + + + = ữ ữ ữ ữ ữ 0.5 (2011 x) 1 1 1 1 1 ( ) 1942 1944 1946 19 48 1950 + + + + = 0 1 2011 - x = 0 ( vì 1 1 1 1 1 0 1942 1944 1946 1948