BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN - TIN ĐỀ TÀI: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIÁ TRỊ CÁC HÀM SIN, COS GIẢNG VIÊN : TS. TRỊNH CÔNG DIỆU THỰC HIỆN : NHÓM 10 – VB2 TOÁN – KHÓA 2 01 : KIỀU DIỄM 02 : ĐINH HÙNG KỲ 03 : HUỲNH VĂN HUÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÁNG 01 NĂM 2015 1 NỘI DUNG I. ĐẶT VẤN ĐỀ 3 II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3 1. MỘT SỐ NHẬN XÉT 3 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SIN VÀ COS 5 2.1. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA SINX, COSX BẰNG KHAI TRIỂN TAYLOR 6 2.1.1. Cơ sở toán học 6 2.1.1.1. Khai triển Taylor của sinx tại 0 6 2.1.1.2. Khai triển Taylor của cosx tại 0 7 2.1.2. Bài toán và giải pháp 7 2.1.2.1. Các bài toán 7 2.1.2.2. Giải pháp 7 2.1.3. Thuật giải cho bài toán 1 và bài toán 2 14 2.1.3.1. Thuật toán tính sinx () x∈ với sai số không quá { } .10 , 0,1,2,3, ,9 k λλ − ∈ 14 2.1.3.2. Thuật toán tính cosx ()x ∈  với sai số không quá { } .10 , 0,1,2,3, ,9 k λλ − ∈ 15 2.1.4. Ví dụ minh họa 16 2.1.5. Đoạn chương trình tương ứng 23 2.2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA SINX, COSX BẰNG ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE: 29 2.2.1. Cơ sở toán học 29 2.2.1.1. Xây dựng đa thức nội suy Lagrange 29 2.2.1.2. Đánh giá sai số của công thức nội suy Lagrange: 30 2.2.2. Bài toán và giải pháp 32 2.2.2.1. Các bài toán 32 2.2.2.2. Giải pháp 32 2.2.3. Thuật giải của bài toán 1 và bài toán 2 43 2.2.3.1. Thuật toán tính sinx ()x∈  với sai số không quá { } .10 , 0,1,2,3, ,9 k λλ − ∈ 43 2.2.3.2. Thuật toán tính cosx () x∈  với sai số không quá { } .10 , 0,1,2,3, ,9 k λλ − ∈ 44 2.2.4. Ví dụ minh họa: 45 2.2.5. Đoạn chương trình tương ứng 56 2.3. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA SINX, COSX BẰNG ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON: 61 2.3.1. Cơ sở lý toán học 61 2.3.1.1. Xây dựng đa thức nội suy Newton 61 2.3.1.2. Đánh giá sai số của của công thức nội suy Newton 62 2.3.2. Bài toán và giải pháp 62 2.3.2.1. Các bài toán 62 2.3.2.2. Giải pháp 63 2.3.3. Thuật giải của bài toán 1 và bài toán 2 73 2.3.3.1. Thuật toán tính sinx () x∈ với sai số không quá { } .10 , 0,1,2,3, ,9 k λλ − ∈ 73 2.3.3.2. Thuật toán tính cosx ()x∈ với sai số không quá { } .10 , 0,1,2,3, ,9 k λλ − ∈ 74 2.3.4. Ví dụ minh họa 75 2.3.5. Đoạn chương trình tương ứng 83 III. NHẬN XÉT CHUNG 88 2  TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 I. ĐẶT VẤN ĐỀ Lượng giác có nhiều ứng dụng trong đời sống. Từ xa xưa người ta đã biết ứng dụng lượng giác trong việc đo đạc, trắc địa, xây dựng, thiên văn,… Ngày nay, các em học sinh đã được làm quen với lượng giác từ lớp 8, 9. Các em cũng đã được học cách tính giá trị của các hàm lượng giá như sin, cos,… bằng cách vẽ các tam giác vuông và tính tỷ số giữa các cạnh của tam giác đó. Tuy nhiên, cách làm này chỉ thực hiện được dễ dàng với một số góc đặc biệt như 0 0 , 30 0 , 45 0 , 60 0 ,… Vì với các tam giác vuông có các góc đặc biệt này, ta không cần dựng hình chính xác mà có thể dựa vào các tính chất của nửa tam giác đều, tam giác vuông cân để tính tỷ số giữa các cạnh. Đối với một góc bất kỳ, cách tính như vậy sẽ gặp phải một số vấn đề sau: - Làm thế nào dựng chính xác một góc cho trước? - Giả sử rằng đã dựng được tam giác vuông với góc cho trước, làm thế nào để đo chính xác các cạnh của tam giác đó? Như vậy, do hạn chế của việc dựng hình và đo đạc, câu hỏi được đặt ra là: “Với giá trị gần đúng của sinx, cosx mà ta đã tính được bằng phương pháp nêu trên, làm thế nào để xác định được sai số của nó?” Sự ra đời của bảng lượng giác và gần đây với sự xuất hiện của các loại máy tính bỏ túi đã giúp chúng ta giải quyết được nhanh chóng các yêu cầu của việc tính toán lượng giác. Tuy nhiên, đối với nhiều học sinh, sinh viên, việc làm thế nào để tính được các giá trị sin, cos của một góc bất kỳ vẫn còn là một “bí ẩn”. Ngoài ra, các máy tính bỏ túi mà ta đang dùng hiện nay có thể giúp ta tính nhanh giá trị sin, cos của một góc bất kỳ nhưng nó chưa giúp ta giải quyết được bài toán: “Tính giá trị gần đúng của hàm sin và cos với sai số tùy ý cho trước”. Trong bài tiểu luận này, nhóm xin được đưa ra một số phương pháp để giải quyết bài toán đã nêu. II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. MỘT SỐ NHẬN XÉT a. Do hàm sin, cos có chu kỳ 2 π nên ta chỉ cần xét trên [ ) 0;2 π . b. Mặt khác với [ ) 0;2x π ∀∈ ta đều có thể tính được giá trị sin x , cos x bằng cách tính giá trị của sin α , cos α với α là một giá trị thích hợp trong 0; 2 π    . Thật vậy, giả sử x thuộc góc phần tư thứ (II), (III) hoặc (IV). Trường hợp 1: ; 2 x π π  ∈    (góc phần tư thứ II) Ta có: sin sinx α = , cos cos α = −x với ( ) 0; 2 x π απ  = −∈   3 Trường hợp 2: 3 ; 2 x π π  ∈    (góc phần tư thứ III) Ta có: sin sinx α = − , cos cosx α = − với ( ) 0; 2 x π απ  =−∈   Trường hợp 3: 3 ;2 2 x π π  ∈    (góc phần tư thứ IV) Ta có: sin sinx α = − , cos cosx α = với (2 ) 0; 2 π απ  = −∈   x c. ; 42 x ππ  ∀∈    ta có: sin cosx α = , cos sinx α = với 0; 24 x ππ α    = −∈      . Kết luận: Để tính giá trị sin x , cos x với x∈ , ta chỉ cần tính giá trị của sin α , cos α với α là một giá trị thích hợp trong đoạn 4 0; π   . Ích lợi của việc tính giá trị của sin α / cos α ( ) 0, 4 π α  ∈  thay vì tính ( ) sin / cosx xx ∈ sẽ được làm rõ hơn trong các phần sau.  Thuật toán xác định giá trị [ ) 0;2 απ ∈ tương ứng với giá trị ∈ x Tên thuật toán: [0 2 )( )QuyVe x π − {Quy về đoạn [ ) 0;2 π } + Input: x { x∈ } + Output: α và l { [ ) 0;2 απ ∈ , l ∈ : 2xl απ = + ) Thuật toán: Bước 1: Cho 0 l = Bước 2: Nếu 02x π ≤< thì đặt x α = rồi kết thúc. Bước 3: Nếu 2x π ≥ thì Bước 3.1: Tăng l 1 đơn vị, Bước 3.2: Nếu 22xl ππ −< thì đặt 2xl απ = − rồi kết thúc Ngược lại, quay lại Bước 3.1. Bước 4: {Nếu 0x < } Bước 4.1: Giảm l 1 đơn vị Bước 4.2: Nếu 20xl π −≥ thì đặt 2xl απ = − rồi kết thúc Ngược lại, quay lại Bước 4.1. * Do 2 2 2 ( 1) 0xl x l ππ π − < ⇔− + < nên ta có thể viết lại Bước 3.2. như sau: 4 Bước 3.2: Nếu 2 ( 1) 0xl π − +< thì đặt 2xl απ = − rồi kết thúc Ngược lại, quay lại Bước 3.1.  Thuật toán xác định giá trị 0; 2 π α  ∈  tương ứng với giá trị [ ) 0;2x π ∈ Tên thuật toán: [ ] 0 /2 ( )QuyVe x π − {Quy về đoạn 0; 2 π   } + Input: x { [ ) 0;2x π ∈ } + Output: α , i, j { 0; 2 π α  ∈  , {, 1, 2}ij∈ : sin ( 1) sin , cos ( 1) cos ij xx αα =−=− } Thuật toán: Nếu 0; 2 x π  ∈  thì { góc phần tư thứ I } 2 2 x i j α =   =   =  { vì 2 2 sin sin ( 1) sin cos cos ( 1) cos x x x α αα αα =   = = −   = = −  } Ngược lại nếu ( ; 2 x π π  ∈  thì { góc phần tư thứ II } 2 1 x i j απ = −   =   =  { vì 2 1 sin sin ( 1) sin cos cos ( 1) cos x x x απ αα αα = −   = = −   =−=−  } Ngược lại nếu ( 3 ; 2 x π π  ∈  thì { góc phần tư thứ III } 1 1 x i j απ = −   =   =  { vì 1 1 sin sin ( 1) sin cos cos ( 1) cos x x x απ αα αα = −   =−=−   =−=−  } Ngược lại {TH: ( 3 ;2 2 x π π  ∈  } { góc phần tư thứ IV} 2 1 2 x i j π −   =   =  { vì 1 2 2 sin sin ( 1) sin cos cos ( 1) cos x x x απ αα αα = −   =−=−   = = −  } 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SIN VÀ COS Trong bài tiểu luận này, nhóm thực hiện xin đưa ra 3 phương pháp tính giá trị của hàm sin va cos 1. Tính giá trị của sinx và cosx bằng khai triển Taylor 2. Tính giá trị của sinx và cosx bằng đa thức nội suy Lagrange 5 3. Tính giá trị của sinx và cosx bằng đa thức nội suy Newton 2.1. Tính giá trị của sinx, cosx bằng khai triển Taylor 2.1.1. Cơ sở toán học Định lý : Nếu f có đạo hàm cấp n là ( ) n f liên tục trên [ ] , ab và f có đạo hàm cấp n+1 trên ( ) ,ab thì ( ) ,c ab∃∈ sao cho : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 21 ! 1! 1! 2! ! 1 ! kn n kn k nn nn fa f c fb ba ba kn fa f a f a f c fa ba ba ba ba nn + + = + + = −+ − + ′ ′′ = + − + − ++ − + − + ∑ Công thức trên được gọi là công thức khai triển Taylor của f tại a ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1! n n n fc R ba n + + = − + gọi là sai số (dư số ) bậc n của công thức khai triển Taylor của f tại a. 2.1.1.1. Khai triển Taylor của sinx tại 0 Áp dụng khai triển Taylor với ( ) sinfx x= tại 0: Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ,2 sin 0 sin 22 1, 2 1 nn k nk f x xn f n nk ππ =      = +⇒ = =     −=+      Chú ý rằng: với 21nk= + thì ( ) ( ) sin 1, 2 , 2 sin sin 2 1 sin 1 2 22 sin 1, 2 1 2 k k uu N nk k ku π π ππ π π  = = ∈        = + = += =−            − =−=+   Vậy khai triển Taylor của sinx tại 0 là: ( ) 3 5 7 121 21 ( 1) sin 3! 5! 7! (2 1)! nn n xxx x xx R x n −− − − =− + − ++ + − (1.1) Trong đó: ( ) 2 21 ( 1) sin (2 )! n n n x Rx x n θ − − = (với 01 θ << ) (1.2) Đặt ( ) 3 5 7 121 21 ( 1) 3! 5! 7! (2 1)! nn n xxx x P xx n −− − − =− + − ++ − . (1.3) Để tính giá trị của sin x , ta tính giá trị ( ) 21n Px − . Khi đó sai số được xác định bởi: 6 ( ) 21 sin n xP x − − ( ) 21n Rx − = 2 ( 1) . sin (2 )! n n x x n θ − = 2 (2 )! n x n ≤ (vì sin 1x θ < ). (1.4) Trong trường hợp 0; 4 x π  ∈   thì 1x < nên ( ) 21 sin n xP x − − 2 (2 )! n x n ≤ 1 (2 )!n < (1.5) 2.1.1.2. Khai triển Taylor của cosx tại 0 Áp dụng khai triển Taylor với ( ) cosfx x= tại 0: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 2 1 cos 0 cos 22 1, 2 nn k nk f x xn f n nk ππ = +      = +⇒ = =     −=      Vậy khai triển Taylor của cosx tại 0 là: ( ) 246 2 2 ( 1) cos 1 2! 4! 6! (2 )! nn n xxx x x Rx n − =− + − ++ + (1.6) Trong đó: ( ) 1 21 2 ( 1) sin (2 1)! n n n x Rx x n θ + + − = + (với 01 θ << ) (1.7) Đặt ( ) 246 2 2 ( 1) 1 2! 4! 6! (2 )! nn n xxx x Px n − =− + − ++ . (1.8) Để tính giá trị của cos x , ta tính giá trị ( ) 2n Px . Khi đó sai số được xác định bởi: ( ) 2 cos n xP x− ( ) 2n Rx= 1 21 ( 1) . sin (2 1)! n n x x n θ + + − = + 21 (2 1)! n x n + ≤ + (vì sin 1x θ < ). (1.9) Trong trường hợp 0; 4 x π  ∈   thì 1x < nên ( ) 2 cos n xP x− 21 (2 1)! n x n + ≤ + 1 (2 1)!n < + (1.10) 2.1.2. Bài toán và giải pháp 2.1.2.1. Các bài toán Bài toán 1: Tính giá trị của sin ( )xx∈ với sai số không quá .10 k λ − , với { } 0,1,2,3, ,9 λ ∈ kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng dạng k–chuẩn tắc. Bài toán 2: Tính giá trị của cos ( )xx∈  với sai số không quá .10 k λ − , với { } 0,1,2,3, ,9 λ ∈ kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng dạng k–chuẩn tắc. 2.1.2.2. Giải pháp Từ những nhận xét trong phần (II.1), ta thấy rằng việc giải bài toán 1 và bài toán 2 được quy về việc giải hai bài toán sau: 7 Bài toán 1.1: Tính giá trị của sin x với 0, 4 x π  ∈   với sai số không quá .10 k λ − , với { } 0,1,2,3, ,9 λ ∈ kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng dạng k–chuẩn tắc. Bài toán 2.1: Tính giá trị của cos x với 0, 4 x π  ∈   với sai số không quá .10 k λ − , với { } 0,1,2,3, ,9 λ ∈ kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng dạng k–chuẩn tắc. a) Giải bài toán 1.1 0, 4 x π  ∀∈   , xét khai triển Taylor của sinx tại 0: 0 121 1 ( 1) sin (2 1)! n kk k x x k −− = − = − ∑ ( ) 0 21n Rx − + Đặt 0 121 1 1 ( 1) (2 1)! n kk k x a k −− = − = − ∑ làm giá trị thay thế cho sinx. Khi đó, sai số được xác định bởi: ( ) 0 0 0 2 2 1 21 00 sin (2 )! (2 )! n n n x x xa R x nn − −= ≤ = Vậy: 0 2 1 0 sin (2 )! n x xa n −≤ Tuy nhiên trong thực tế, ta có thể gặp các yêu cầu tính giá trị sin x với là x là số vô tỷ (chẳng hạn 3 ; 12 4 x π = , …). Lúc này ta gặp khó khăn khi tính và biểu diễn 1 a dưới dạng số thập phân. Nếu ta lấy x là giá trị làm tròn của x đến chữ số hàng thứ 1 ()k− thì ta có sai số 1 1 10 2 k xx − −≤ . Đặt 0 121 2 1 ( 1) (2 1)! n kk k x a k −− = − = − ∑ , ta có: 00 0 121 121 1 21 21 12 11 1 ( 1) ( 1) ( 1) () (2 1)! (2 1)! (2 1)! nn n kk kk k kk kk k xx aa x x k kk −− −− − −− = = = −− − −= − = − − −− ∑∑ ∑ 00 21 21 21 21 11 (2 1)! (2 1) kk kk nn kk xx xx kk −− −− = = −− ≤≤ −− ∑∑ 00 0 22 23 22 22 0 1 3 21 nn n x xx x x xx x xx n −− −  + ++ ++  =− + ++  −  00 0 2 2 22 23 22 0 1 3 21 nn n x xx x x x x x xx n −− −  + + + ++ ≤ − + + +   −  Vì 4 0,x π  ∈  nên dễ thấy rằng , [0,1]xx ∈ . Suy ra: 8 00 0 1 22 23 22 22 12 0 0 0 1 1.1 1 1 1 1 1 1 1 10 3 21 2 nn n k a a xx xxn n n −− − −  + + + ++ − ≤− + ++ =− ≤  −  Vậy: 1 0 12 10 2 k n aa − −≤ Đặt 121 ( 1) (2 1)! kk k x b k −− − = − thì 00 121 2 11 ( 1) (2 1)! nn kk k kk x ab k −− = = − = = − ∑∑ . Ta lại thấy rằng khi tính k b trong hầu hết các trường hợp ta phải thay thế bởi k b là giá trị làm tròn của k b đến chữ số hàng thứ 2 ()k− và 2 1 10 2 k kk bb − −≤ Đặt 0 1 n k k ab = = ∑ , khi đó: 0 00 22 0 2 1 11 1 ( ) 10 10 22 n nn kk kk kk k kk n aa bb bb −− = = = −= − ≤ − ≤ = ∑ ∑∑ Vậy: 2 0 2 10 2 k n aa − −≤ Do yêu cầu của bài toán là kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng dạng k-chuẩn tắc của sinx nên ta lấy a là giá trị làm tròn của a đến chữ số hàng thứ (-k) và khi đó: 1 10 2 k aa − −≤ Đánh giá sai số: trong quá trình tính toán trên ta thấy có các sai số sau: 1) Sai số phương pháp: do lấy 1 a thay thế cho sinx 2) Sai số tính toán: do lấy 2 a thế cho 1 a và lấy a thay thế cho 2 a . 3) Sai số do làm tròn: do lấy a thay thế cho a. Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 12 1 12 2 1 12 2 2 00 0 sin sin a + a a a a a sin a a a a a a 1 10 10 10 (2 )! 2 2 2 n kk k xa x a xa nn x n −− − −= − − + − +− ≤ − + − + − +− ≤+ + + Để sin .10 k xa λ − −≤ , ta cần có: 0 12 2 00 0 1 10 10 10 .10 (2 )! 2 2 2 n kk kk nn x n λ −− −− + + +≤ 9 0 12 2 00 0 1 10 10 .10 (2 )! 2 2 2 n kk k nn x n λ −− −  ⇔ + + ≤−   Bây giờ ta sẽ tìm các hệ số , 1, 2, 3 i i λ = sao cho: 0 1 2 2 1 0 0 2 0 3 123 1 .10 (2 )! 2 1 10 10 22 1 10 10 22 1 n k k k k k x n n n λλ λλ λλ λλλ − − − − −   ≤−       ≤−        ≤−     ++=  Để đơn giản, ta có thể chọn: 1 23 1 11 ;; 2 44 λλλ = = = , khi đó 0 0 1 1 2 2 2 2 0 0 00 0 0 11 21 .10 0 (2 )! 2 2 4.10 (2 )! 1 1 21 10 10 0 2 4 2 4.10 10 21 11 0 10 10 4.10 10 2 42 n n k k k k k k k k k k x x n n nn n n λ λ λ λ λ λ − − − − −   −  ≤− −≥         −   ≤ − ⇔ −≥     −   −≥ ≤−       (I.1) Vậy với 012 ,,nkk là các số nguyên dương nhỏ nhất thỏa (I.1) thì a giá trị thỏa yêu cầu của bài toán 1.1. Nhận xét: do 12 ,kk đều là các số nguyên dương nhỏ nhất thỏa điều kiện 0 21 , 4.10 10 ky n y λ + − −∈ , nên 12 kk= . Vì thế khi thực hành ta chỉ cần xác định một trong hai giá trị này Thuật toán tính sinx ( ) 0, 4 x π  ∈  với sai số không quá .10 k λ − bằng phương pháp khai triển Taylor - Tên thuật toán: ( ) sin [0 ]4 ,, TL x k πλ − {Tính sinx ( ) 0, 4 x π  ∈  bằng phương pháp khai triển Taylor} + Input: { } { } 0, , 0,1,2, ,9 , 4 , , xk kx π λλ +  ∈∈ ∈   + Output: a { a là biểu diễn thập phân gần đúng dạng k-chuẩn tắc của sinx: sin .10 k xa λ − = ± } - Thuật toán B1: { Tìm 0 n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa: 0 2 0 21 0 4.10 (2 )! n k x n λ − −≥ } B1.1: Đặt 0 1n = 10 [...]... + 0 10 k1 + 0 10 k2 + 10 k (2n0 + 1)! 2 2 2 Để cos x − a ≤ λ .10 k , ta cần có: n n x 2 n0 +1 1 + 0 10 k1 + 0 10 k2 + 10 k ≤ λ .10 k (2n0 + 1)! 2 2 2 ⇔ n n x 2 n0 +1 1  + 0 10 k1 + 0 10 k2 ≤  λ −  10 k (2n0 + 1)! 2 2 2  Bây giờ ta sẽ tìm các hệ số λi , i = 1, 2,3 sao cho:  x 2 n0 +1 1  ≤ λ1  λ −  10 k  2   (2n0 + 1)!  n0 − k 1  −k   10 1 ≤ λ2  λ − 10 2 2  n  0 10 ... 10 k2 ≤ λ3  λ − 1 10 k   2 2  λ + λ + λ = 1 3  1 2 Để đơn giản, ta có thể chọn: λ1 = 1 1 1 , khi đó ; λ2 ; λ3 = = 2 4 4  x 2 n0 +1 1 1  2λ − 1 x 2 n0 +1 ≤  λ −  10 k − ≥0   (2n0 + 1)! 2  2 4.10k (2n0 + 1)!    n0 − k 1   2λ − 1 n0 1  −k  (I.2) ⇔ − ≥0  10 1 ≤  λ − 10 2 4 2 4.10k 10k1    n0 − k 1   2λ − 1 n0 1  −k  10 2 ≤  λ − 10  4.10k − 10k2 ≥ 0 2 4 2  ... = π 10 để xác định α ∈ 0, π  ,i tương ứng với 2  x − 2lπ } x Do= π 10 ) ∈ 0, π { góc phần tư thứ I }, suy ra α= x= π , i= 2 2 10  B3: { Tính sin α = sin π 10 và a } 16 Do α = π 10 ∈ 0, π  nên thực hiện thuật toán sin TL[0 − π 4](α , λ , k ) để tính sin α với sai số không quá 4  10 3 Thực hiện sin TL[0 − π 4](π 10 ,1, 3) ta được sin TL[0 − π 4](π ( Suy ra a =−1)i sin TL[0 − π 4](π 10 10 ,1,3)... π  1  x  x −   x −   x −   x −  + 5 .10 k1 + 2 .10 k2 + 10 k 6  4  3  2 2  Để sin x − a ≤ λ .10 k , ta cần có: 1 120 ⇔ 1 π  π  π  π   x  x −   x −   x −   x −  + 5 .10 k1 + 2 .10 k2 + 10 k ≤ λ .10 k 6  4  3  2 2  1 120 1 π  π  π  π    x  x −   x −   x −   x −  + 5 .10 k1 + 2 .10 k2 ≤  λ −  10 k 6  4  3  2 2   Bây giờ ta sẽ tìm... 7π  x − 2lπ = 10 ∈ [ 0, 2π )  18 B2: {Thực hiện thuật toán QuyVe[0 − π 2]( x) với x = 7π 10 để xác định α ∈ 0, π  ,i tương ứng với 2  7π x − 2lπ =} 10 Do x − 2lπ = ( 7π ∈ π , π  { góc phần tư thứ II }, suy ra: 2  10 7π 3π  π = α = − 10 10  i = 2  B3: { Tính sin α = sin 3π Do = α 10 và a } 3π  π  nên ta thực hiện thuật toán cos TL[0 − π 4](π − α , λ , k ) ∉ 0, 2 4 10  để tính sin(α )... trị làm tròn của a đến chữ số hàng thứ ( −k ) 2.1.3 Thuật giải cho bài toán 1 và bài toán 2 Từ các nhận xét ở mục (II.1), ta có thuật toán cho bài toán 1 và bài toán 2 như sau: 2.1.3.1 Thuật toán tính sinx ( x ∈ ) với sai số không quá λ .10 k , λ ∈ {0,1, 2,3, ,9} - Tên thuật toán: sin TL ( x, λ , k ) {Tính sinx ( x ∈  ) bằng phương pháp khai triển Taylor } 14 + Input: x, λ , k { x ∈ , λ ∈ {0,1, 2,... 0.309 ± 10 3 Vậy sin18 sin 10  Thực hiện thuật toán sin TL[0 − π 4](π + Input:= π x 10 10 ,1, 3) ;= 1; k 3 λ = + Output: a { a là biểu diễn thập phân gần đúng dạng 3 – chính tắc của sin 2λ − 1 x 2 n0 B1: {Tìm n0 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa: − ≥0 } 4.10k (2n0 )! n0 (π ) 2 n0 1 − 10 3 4 .10 (2n0 )! 1 . −   =−=−   = = −  } 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SIN VÀ COS Trong bài tiểu luận này, nhóm thực hiện xin đưa ra 3 phương pháp tính giá trị của hàm sin va cos 1. Tính giá trị của sinx và. 11 ;; 2 44 λλλ = = = , khi đó 0 0 1 1 2 2 2 2 0 0 00 0 0 11 21 .10 0 (2 )! 2 2 4 .10 (2 )! 1 1 21 10 10 0 2 4 2 4 .10 10 21 11 0 10 10 4 .10 10 2 42 n n k k k k k k k k k k x x n n nn n n λ λ λ λ λ λ − − − − −   −  ≤− −≥         −   ≤. 44 λλλ = = = , khi đó 0 0 1 1 2 2 21 21 0 0 00 0 0 11 21 .10 0 (2 1)! 2 2 4 .10 (2 1)! 1 1 21 10 10 0 2 4 2 4 .10 10 21 11 0 10 10 4 .10 10 2 42 n n k k k k k k k k k k x x n n nn n n λ λ λ λ λ λ + + − − − − −   −  ≤− −≥    + +      −   ≤