Một số công thức xác định sai số khi lấy tổng riêng thay cho tổng của chuỗi số hội tụ Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Khoa Toán-Tin Chủ Đề 6 MỘT SỐ CÔNG THỨC XÁC ĐỊNH SAI SỐ KHI LẤY TỔNG RIÊNG THAY CHO TỔNG CỦA CHUỖI SỐ HỘI TỤ. GVHD: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU. Sinh Viên: Nguyễn Minh Thành Nguyễn Thị Thùy Phương Bùi Văn Long Bùi Thị Thu Chủ đề 6 1 Một số công thức xác định sai số khi lấy tổng riêng thay cho tổng của chuỗi số hội tụ BÀI TOÁN 6 MỘT SỐ CÔNG THỨC XÁC ĐỊNH SAI SỐ KHI LẤY TỔNG RIÊNG THAY CHO TỔNG CỦA CHUỖI SỐ HỘI TỤ. A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Về lý thuyết, ta có một số phương pháp để xác định một chuỗi số hội tụ hay không, và dĩ nhiên nếu chuỗi hội tụ thì giá trị của chuỗi là một số thực nào đó. Trong thực tế, những con số người ta cần không phải là những con số thực mà đơn giản là những số thập phân con người có khả năng chạm đến qua các phương pháp đo đạc. Do đó, có những chuỗi hội tụ không tính được giá trị chính xác (hoặc không cần thiết phải tính giá trị chính xác) thì ta sẽ dùng tổng riêng n S thay thế cho giá trị chính xác xem như một giá trị gần đúng. Về mặt kỹ thuật, giá trị gần đúng chỉ có ý nghĩa khi đi kèm với một sai số, ở đây là sai số phương pháp. Nội dung đề tài này thảo luận về một số phương pháp xác định sai số khi lấy tổng riêng làm giá trị gần đúng của một chuỗi số đã được chứng minh là hội tụ. B. NỘI DUNG: 1. Tổng quan: Cho chuỗi số: 1 1 1 n i i i i i i n u u u ∞ ∞ = = = + = + ∑ ∑ ∑ hội tụ về giá trị S. Đặt 1 n n i i S u = = ∑ : tổng riêng thứ n 1 n i i n R u ∞ = + = ∑ : phần dư thứ n (xem như sai số ứng với tổng riêng n S ). Ta có: 1 lim lim lim( ) 0. i n n i n n n n u S S R S S ∞ →∞ = →∞ →∞ = = ⇒ = − = ∑ Nghĩa là với một sai số ε cho trước, ta luôn tìm được số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n R ε < . Khi đó tổng riêng n S là giá trị gần đúng của chuỗi với sai số ε . Sau đây ta sẽ xét một số công thức xác định sai số n R của một số dạng chuỗi hội tụ. Chủ đề 6 2 Một số công thức xác định sai số khi lấy tổng riêng thay cho tổng của chuỗi số hội tụ 2. Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn d’Alembert: a. Cơ sở toán học. Cho chuỗi số dương hội tụ: 1 i i u ∞ = ∑ trong đó 1 lim 1 i i i u D u + →∞ = < . Theo định nghĩa giới hạn, ta có: với 1 1 1 , : i i i i u u D n i n D D D u u δ δ δ δ + + < − ∃ ∀ > ⇒ − < ⇔ − < < + 1 ( ) . , ( : , 1). i i i u u D q u i n q D q δ δ + ⇒ < + = ∀ > = + < Như vậy: 2 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 . . 1 n n n n n i n i n i n n i n i n i n i i u q u u q u q u u q u u R u u u q q + + + + + + + + ∞ ∞ ∞ + + + + = + = = <   < <     <  ⇒ = = < = − ∑ ∑ ∑ Với sai số ε cho trước, ta chọn m sao cho 1 1 (1 ) 1 4 4 m m u q u q ε ε + + − < ⇒ < − , Chọn 0 max{ , }n n m= ta sẽ có 0 4 n R ε < là sai số phương pháp ứng với tổng riêng 0 n S . b. Thuật toán: • Cho chuỗi 1 i i u ∞ = ∑ , sai số ε . • Tính 1 lim i i i u D u + →∞ = • Chọn ( ;1)q D∈ . • Tìm n sao cho 1i i u i n q u + ∀ > ⇒ < . • Tìm m sao cho 1 (1 ) 4 m q u ε + − < . • Chọn 0 max{ , }n n m= . • Tính 0 * * * 1 2 , , , . n u u u , sai số làm tròn 0 . 4n ε ≤ • Khi đó tổng 0 * n S là giá trị gần đúng với sai số 0 1 1 4 2 n u q ε ε ε + + + < − . Chủ đề 6 3 Một số công thức xác định sai số khi lấy tổng riêng thay cho tổng của chuỗi số hội tụ c. Ví dụ: Tính giá trị gần đúng của chuỗi số: 1 2 i i i ∞ = ∑ với sai số không quá 2 10 − . Giải 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 i i i i i i u i u i + →∞ + +   = = + →  ÷   . Chọn 2 3 (1 ) 0.6 0.1 10 10 . 4 q q ε − − − = ⇒ = × = [ ] 1 1 1 1 1 1 5 5 2 2 1 2 0.6 1 i i u q q i n u i q +   ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≥ = = ⇒ =  ÷ − × −   . [ ] 3 4 10 14 14 14 14.10 2 .2 1 13 (1 ) 2 2 4 u m q ε = < = ⇒ = − . Chọn 2 4 4 0 0 10 13 10 0.5 10 4 52 n n ε − − − = ⇒ = > > × ⇒ tính 1 14 u u→ ra số thập phân làm tròn đến số thập phân thứ 4. i * i u i * i u i * i u 1 0.5 6 0.0938 11 0.0054 2 0.5 7 0.0547 12 0.0029 3 0.375 8 0.0313 13 0.0016 4 0.25 9 0.0176 14 0.0009 5 0.1563 10 0.0098 13 Σ 1.9984 Sai số làm tròn lần 1: 4 1 13 0.5 10 0.00065 0.0025. ε − ≤ × × = < Dùng 13 Σ thay cho tổng riêng 13 S , làm tròn đến số thập phân thứ 2: 2.00. Sai số làm tròn lần 2: 2 2 0.5 10 . ε − ≤ × Sai số phương pháp: 14 3 14 14 0.0025. 1 2 0.4 u q ε ≤ = < − × Sai số: 1 2 3 0.00065 0.005 0.0025 0.01. ε ε ε ε = + + ≤ + + ≤ Vậy chuỗi được tính gần đúng: 1 2.00 0.01. 2 i i i ∞ = = ± ∑ 3. Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy: a. Cơ sở toán học: Cho chuỗi số dương hội tụ: 1 i i u ∞ = ∑ trong đó lim 1 i i i u D →∞ = < . Chủ đề 6 4 Một số công thức xác định sai số khi lấy tổng riêng thay cho tổng của chuỗi số hội tụ Theo định nghĩa giới hạn, ta có: với 1 , : 1 i i i i D n i n u D u D q δ δ δ < − ∃ ∀ > ⇒ − < ⇔ < + = < , . i i u q i n⇒ < ∀ > Như vậy: 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 1 n n n n n i n i n n i n i n i i n i i u q u q u q q R u u q q q + + + + + + + + + ∞ ∞ ∞ + + + = + = =  <  <     <  ⇒ = = < = − ∑ ∑ ∑ Với sai số ε cho trước, ta chọn m sao cho 1 1 (1 ) 1 4 4 m m q q q q ε ε + + − < ⇒ < − (1 ) log 1 4 q q m ε − ⇒ > − . Chọn 0 max{ , }n n m= ta sẽ có 0 0 1 1 4 n n q R q ε + = < − là sai số phương pháp ứng với tổng riêng 0 n S . b. Thuật toán: • Cho chuỗi 1 i i u ∞ = ∑ , sai số ε . • Tính lim i i i D u →∞ = • Chọn ( ;1)q D∈ . • Tìm n sao cho i i i n u q∀ > ⇒ < . • Tìm m sao cho (1 ) log 1 4 q q m ε − > − . • Chọn 0 max{ , }n n m= . • Tính 0 * * * 1 2 , , , . n u u u sai số làm tròn 0 . 4n ε ≤ • Khi đó tổng 0 * n S là giá trị gần đúng với sai số 0 1 1 4 2 n q q ε ε ε + + + < − . c. Ví dụ: Tính giá trị gần đúng của chuỗi số: 1 1 1 1 3 i i i i ∞ =   +  ÷   ∑ với sai số không quá 2 10 − . Chủ đề 6 5 Một số công thức xác định sai số khi lấy tổng riêng thay cho tổng của chuỗi số hội tụ Giải 1 1 1 1 1 lim 1 lim 1 1. 3 3 3 i i i i i D i i →∞ →∞     = + = + = <  ÷  ÷     Chọn 0.4.q = Ta có: [ ] 1 1 1 0.4 5 5 3 i i u q i n i   < ⇔ + < ⇔ > → =  ÷   . [ ] 2 3 3 0.4 (1 ) 0.6 10 1.5 10 . 4 4 log 1.5 10 1 7 . q m m ε − − − − × = = × > × − → = Chọn 2 4 4 0 0 10 7 10 0.5 10 4 28 n n ε − − − = ⇒ = > > × ⇒ tính 1 7 u u→ ra số thập phân làm tròn đến số thập phân thứ 4. i 1 2 3 4 5 6 7 7 Σ * i u 0.666 7 0.25 0.0878 0.030 1 0.0102 0.0035 0.0012 1.0495 Sai số làm tròn lần 1: 4 1 7 0.5 10 0.00035 0.0025. ε − ≤ × × = < Dùng 7 Σ thay cho tổng riêng 7 S , làm tròn đến số thập phân thứ 2: 1.05. Sai số làm tròn lần 2: 2 2 0.5 10 . ε − ≤ × Sai số phương pháp: 0 1 8 3 0.4 0.0025. 1 0.6 n q q ε + ≤ = < − Sai số: 1 2 3 0.00035 0.005 0.0025 0.01. ε ε ε ε = + + ≤ + + ≤ Vậy chuỗi được tính gần đúng: 1 1 1 1 1.05 0.01. 3 i i i i ∞ =   + = ±  ÷   ∑ 4. Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân Maclaurin – Cauchy: a. Cơ sở toán học: Cho chuỗi số: 1 ( ) i f i ∞ = ∑ trong đó f(x) là hàm liên tục, không âm và giảm trên [1, )∞ và 1 ( )f x dx ∞ ∫ hội tụ. Theo định lý về giá trị trung bình của tích phân và tính giảm của f(x): 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i n i n i n i i f i f x dx f c f i f x dx f i f x dx f x dx f i f x dx + + − + ∞ ∞ ∞ = + = + = + − + ≤ = ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ∫ ∫ ∫ ∑ ∑ ∑ ∫ ∫ Chủ đề 6 6 Một số công thức xác định sai số khi lấy tổng riêng thay cho tổng của chuỗi số hội tụ 1 0 0 ( ) ( ) 0 : ( ) . 4 n n n n n f x dx R f x dx n n n f x dx ε ∞ ∞ →∞ + ∞ ⇒ ≤ ≤ → ⇒ ∃ > ⇒ ≤ ∫ ∫ ∫ b. Thuật toán: • Cho chuỗi số 1 ( ) i f i ∞ = ∑ , sai số ε . • Tính ( ) ( ) n g n f x dx ∞ = ∫ . • Xác định : ( ) 4 n g n ε ≤ . • Tính * * * 1 2 , , , . n u u u Sai số làm tròn 4n ε ≤ . • Khi đó tổng * n S là giá trị gần đúng với sai số là ( ) 4 2 g n ε ε ε + + ≤ . c. Ví dụ: Tính giá trị gần đúng của chuỗi số: 3 1 1 i i ∞ = ∑ với sai số không quá 2 10 − . Giải Ta có: 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) lim lim lim 2 2 2 2 10 1 10 ( ) 200 4 2 4 m m m m m n n n dx g n f x dx x x n m n g n n n ∞ −>∞ →∞ →∞ − −   = = = = − =  ÷ −   ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≥ ∫ ∫ Ta chọn 1 1 15 (15) 0.0025. 2 225 400 n g= ⇒ = < = × 2 4 4 10 10 0.5 10 4 60n ε − − − = > > × ⇒ tính 1 15 u u→ ra số thập phân làm tròn đến số thập phân thứ 4. i * i u i * i u i * i u 1 1 6 0.0046 11 0.0008 2 0.125 7 0.0029 12 0.0006 3 0.037 8 0.002 13 0.0005 4 0.0156 9 0.0014 14 0.0004 5 0.008 10 0.001 15 0.0003 15 * 15 1 1.2001 i i u = Σ = = ∑ . Sai số làm tròn lần 1: 4 1 15 0.5 10 0.00075 0.0025. ε − ≤ × × = < Dùng 15 Σ thay cho tổng riêng 15 S , làm tròn đến số thập phân thứ 2: 1.20. Sai số làm tròn lần 2: 2 2 0.5 10 . ε − ≤ × Chủ đề 6 7 Một số công thức xác định sai số khi lấy tổng riêng thay cho tổng của chuỗi số hội tụ Sai số phương pháp: 3 1 (15) 0.0025. 450 g ε ≤ = < Sai số: 1 2 3 0.00075 0.005 0.0025 0.01. ε ε ε ε = + + ≤ + + ≤ Vậy chuỗi được tính gần đúng: 3 1 1 1.20 0.01. i i ∞ = = ± ∑ 5. Chuỗi đan dấu hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz: a. Cơ sở toán học: Cho chuỗi: 1 1 ( 1) i i i u ∞ + = − ∑ trong đó dãy i u dương, giảm về 0. Phần dư cũng là một chuỗi đan dấu: 1 2 2 1 1 1 0 0 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) i n i n i n i n i n i i n i i R u u u ∞ ∞ ∞ + + + + + + + + = + = = = − = − = − − ∑ ∑ ∑ Đặt 1 0 ( 1) i n i i A u ∞ + + = = − ∑ ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 0 0 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 ( 1) 0 , m m i m n i n i n i i i m n n m n i n i i m n A u u u u u u u A u m − − − + + + + + + + = = − + + + + − + + = − + = − = − = − − − ⇒ ≤ ≤ ∀ ∈ ∑ ∑ ∑ ¥ 1n n R u + ⇒ ≤ . Khi đó ta có sai số được xác định: 2 1 1 1 ( 1) n n n n i n R u u ∞ + + + = + = − ≤ ∑ . b. Thuật toán: • Cho chuỗi đan dấu Leibnitz 1 1 ( 1) i i i u ∞ + = − ∑ , sai số ε . • Xác định 1 : 4 n n u ε + ≤ . • Tính 1 2 , , , . n u u u • Khi đó tổng * n S là giá trị gần đúng với sai số là 1 4 2 n u ε ε ε + + + ≤ . c. Ví dụ: Tính giá trị gần đúng của chuỗi: 1 2 1 ( 1) i i i + ∞ = − ∑ với sai số không vượt quá 2 10 − . Chủ đề 6 8 Một số công thức xác định sai số khi lấy tổng riêng thay cho tổng của chuỗi số hội tụ Giải Ta có: 2 1 2 1 10 1 20 19 4 ( 1) 4 n u n n n ε − + ≤ ⇔ ≤ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ + . Chọn 19.n = 2 4 4 10 10 0.5 10 4 76n ε − − − = > > × ⇒ tính 1 19 u u→ ra số thập phân làm tròn đến số thập phân thứ 4. i * i u i * i u i * i u i * i u 1 1 6 -0.0278 11 0.0083 16 -0.0039 2 -0.25 7 0.0204 12 -0.0069 17 0.0035 3 0.1111 8 -0.0156 13 0.0059 18 -0.0031 4 -0.0625 9 0.0123 14 -0.0051 19 0.0028 5 0.04 10 -0.01 15 0.0044 19 Σ 0.8238 Sai số làm tròn lần 1: 4 1 19 0.5 10 0.00095 0.0025. ε − ≤ × × = < Dùng 19 Σ thay cho tổng riêng 19 S , làm tròn đến số thập phân thứ 2: 0.82. Sai số làm tròn lần 2: 2 2 0.5 10 . ε − ≤ × Sai số phương pháp: 3 20 2 1 0.0025. 20 n R u ε = ≤ = = Sai số: 1 2 3 0.00095 0.005 0.0025 0.01. ε ε ε ε = + + ≤ + + ≤ Vậy chuỗi được tính gần đúng: 1 2 1 ( 1) 0.82 0.01. i i i + ∞ = − = ± ∑ 6. Chuỗi Taylor, chuỗi Maclaurin: a. Cơ sở toán học:  Định lý: Cho f(x) khả vi vô hạn lần và :C ∃ ( ) 0 0 ( ) , ( , ) n n f x C x x R x R≤ ∀ ∈ − + Khi đó ta có: ( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( 1) 1 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , ( , ) ! ( ) ( ) ( ) ( ) , ( , ) ! ( 1)! i i i i n n i n i f x f x x x x x R x R i f x f x x x x x R x R i n ξ ξ ∞ = + + = = − ∈ − + = − + − ∈ − + + ∑ ∑ Khi đó sai số được xác định: 1 0 0 ( 1)! n n n n C R x x n + →∞ ≤ − → + Đặc biệt: Khi 0 0x = ta có khai triển Maclaurin: ( ) ( 1) 1 0 (0) ( ) ( ) , (- , ) ! ( 1)! i i n i n i f f f x x x x R R i i ξ + + = = + ∈ + ∑ trong đó sai số: 1 ( 1)! n n n C R x n + ≤ + . Chủ đề 6 9 Một số công thức xác định sai số khi lấy tổng riêng thay cho tổng của chuỗi số hội tụ b. Thuật toán: • Tính giá trị hàm số f(x), sai số ε . • Tính giá trị các đạo hàm '(0), "(0), '''(0), f f f • Tính max{ ', ", '", }M f f f= . • Tìm n sao cho 1 ( 1)! 4 n M x n ε + ≤ + . • Tính các giá trị ( ) (0) ! i i i f u x i = , tình ra số thập phân làm tròn với sai số 4n ε ≤ . • Khi đó giá trị gần đúng là * n S , sai số 1 ( 1)! 4 2 n M x n ε ε ε + + + ≤ + . c. Ví dụ: Tính gần đúng giá trị e với sai số không vượt quá 3 10 − . Giải Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 1 x n x n f x e f x e f= ⇒ = ⇒ = Khai triển Maclaurin của x e : ( 1) 1 0 1 2 1 0 ( ) , (0, ) ! ( 1)! 1 !2 ( 1)!2 i n n x n i n i n i x f e x x i n e e e i n ξ ξ ξ + + = + = = + ∈ + ⇒ = = + + ∑ ∑ Sai số: 3 1 1 1 2 10 2 ( 1)!2 ( 1)!2 4 5 1 0.00025. 720 32 n n n n e R n n n R ξ − + +   ≤ ≤ ≤  ÷ + +   ⇒ = ⇒ = < × 5 5 0 1 1 1 1 1 1 6331 1 !2 2 8 48 384 3840 3840 i i S i = = = + + + + + = ∑ . Tính ra số thập phân làm tròn đến số thập phân thứ 3: * 5 1.649S = sai số làm tròn 3 2 0.5 10 ε − ≤ × . Sai số tổng cộng: 3 2 0.00075 10 n R ε − + < < . Vậy 1.649 0.001.e = ± C. KẾT LUẬN: Nội dung đề tài này có thể không trình bày hết tất cả phương pháp tính sai số của chuỗi, nhưng chúng tôi hy vọng qua đề tài này các bạn sẽ có được tư duy để tìm ra cách tính sai số cho những bài toán thực tế, cụ thể của mình. Các dạng chuỗi và các ví dụ được chúng tôi chọn có tính chất tiêu biểu để minh họa cho vấn đề. Đề tài có thể có nhiều sai sót, chúng tôi mong các bạn có thể đóng góp ý kiến để hoàn thiện. Chủ đề 6 10 . gần đúng chỉ có ý nghĩa khi đi kèm với một sai số, ở đây là sai số phương pháp. Nội dung đề tài này thảo luận về một số phương pháp xác định sai số khi lấy tổng riêng làm giá trị gần đúng của. ± C. KẾT LUẬN: Nội dung đề tài này có thể không trình bày hết tất cả phương pháp tính sai số của chuỗi, nhưng chúng tôi hy vọng qua đề tài này các bạn sẽ có được tư duy để tìm ra cách tính sai. con người có khả năng chạm đến qua các phương pháp đo đạc. Do đó, có những chuỗi hội tụ không tính được giá trị chính xác (hoặc không cần thiết phải tính giá trị chính xác) thì ta sẽ dùng tổng