GVHD: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU Lớp: Toán VB2- K2 NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN MÔN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH Chủ Đề 3: THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TÍNH GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC, GHI Ở DẠNG CHÍNH TẮC, TRÊN CƠ SỞ DÙNG CÔNG THỨC NỘI SUY NEWTON Giảng viên hướng dẫn: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU Sinh viên thực hiện: 1. BÙI THỊ THƠM 2. TRẦN VĂN TÂN 3. NGUYỄN THỊ CHÍ THANH BÀI TIỂU LUẬN GVHD: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU Lớp: Toán VB2- K2 NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2 TÓM TẮT NỘI DUNG Phần 1: MỞ ĐẦU Phần 2: CƠ SỞ LÝ LUẬN I. Lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h II. Các dạng biểu diễn đa thức III. Định lý 1 (Định lý Bezout) IV. Định lý 2 V. Hệ quả VI. Xây dựng bài toán chuyển đa thức từ dạng chuẩn tắc suy rộng về chính tắc bằng phương pháp Hoocne ngược VII. Sai phân: 1. Định nghĩa 2. Bảng sai phân dùng tính sai phân các cấp của hàm f tại điểm 0 x 3. Công thức tính sai phân VIII. Nội suy NEWTON: 1. Đa thức nội suy NEWTON 2. Đa thức nội suy NEWTON có mốc nội suy cách đều a. Định lý của công thức nội suy NEWTON thứ nhất b. Công thức nội suy NEWTON thứ hai IX. Cách chuyển từ bài toán có các mốc nội suy không đều về bài toán có mốc cách đều Phần 3: THUẬT TOÁN I. Dạng bảng: 1. Dạng bảng của công thức tìm giá trị của đa thức ở dạng chuẩn tắc suy rộng bằng phép nội suy Newton. 2. Dạng bảng của thuật toán chuyển từ dạng chuẩn tắc suy rộng về dạng chính tắc bằng phương pháp Hoocne ngược. 3. Dạng bảng của thuật toán chuyển từ dạng chuẩn tắc suy rộng về dạng chính tắc theo nhóm 2 GVHD: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU Lớp: Toán VB2- K2 NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2 II. Thuật toán: 1.Trường hợp 1: Khi các mốc nội suy cách đều (bước nhảy h đều) 2. Trường hợp 2: Khi các mốc nội suy không cách đều III. Mã giả Phần 4: MỘT SỐ VÍ DỤ CHI TIẾT Phần 5: ĐOẠN CHƯƠNG TRÌNH NHẬN XÉT CHUNG GVHD: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU Lớp: Toán VB2- K2 NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Trong toán học, ta thường gặp những bài toán khảo sát và tính giá trị của hàm số y = f(x) nhưng trên thực tế, nhiều trường hợp ta chỉ nhận được những giá trị rời rạc: y 0 , y 1 , … y n tại các điểm tương ứng x 0 , x 1 , … x n . (Các giá trị này được cung cấp qua thực nghiệm hay tính toán). Vấn đề đặt ra là xác định giá trị của hàm số tại các điểm còn lại. Cần xây dựng hàm ()gx sao cho: ( ) ( ), 0, ( ) ( ), , , i i i i i i i g x y f x i n g x y f x x a b x x Vì vậy cần xây dựng hàm ()gx . Do đó nhóm đã sử dụng công thức nội suy Newton để tìm ra công thức của hàm để giải quyết bài toán sau: Bài toán: Cho   Px là đa thức bậc n biết: x 0 x 1 x ……. …… n x   Px 0 y n y …… ……. n y Mục tiêu của đề tài là sử dụng công thức nội suy Newton thứ nhất để tìm công thức xác định giá trị P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng và chuyển công thức trên về dạng chính tắc. PHẦN 2: CƠ SỞ LÝ LUẬN I. Lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h : Cho * ,,a h n . Ta gọi lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h là số:      ế      ế    Quy ước: Trường hợp h =1 ta viết a (n) thay cho a (n;h) và đọc vắn tắt là lũy thừa suy rông bậc n của a II. Các dạng biểu diễn đa thức: Cho   Px là đa thức bậc n theo biến x Dạng chính tắc của P(x) là:   0 n i i i P x a x    với 01 ,a , ,a n a là các hằng số. Dạng chuẩn tắc của   Px là:     0 0 n i i i P x b x x    với 01 , , , n b b b là các hằng số. GVHD: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU Lớp: Toán VB2- K2 NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2 Dạng chính tắc suy rộng của   Px là:     0 n i i i P x c x    với 01 ,c , ,c n c là các hằng số. Dạng chuẩn tắc suy rộng của   Px là:       , 0 0 n ih i i P x d x x    với 01 ,d , ,d n d là các hằng số. Nhận xét : Dạng chuẩn tắc suy rộng là dạng tổng quát của 3 dạng trên.  Khi 0 0, 0xh thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chính tắc.  Khi 0h  thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chuẩn tắc.  Khi 0 0, 1xh thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chính tắc suy rộng. Vì vậy nếu đã có thuật toán tính giá trị đa thức có dạng biểu diễn chuẩn tắc suy rộng thì ta cũng tính được giá trị đa thức có dạng biểu diễn thuộc ba dạng còn lại. III. Định lý 1 (Định lý Bezout): Cho     ,P x R x    là đa thức ở dạng chính tắc   1 0 n n i i P x a x     . Khi đó dư của phép chia P(x) cho   x   là   P  . Chứng minh: Nếu ta chia P(x) cho   x   dư hoặc bằng 0 hoặc một đa thức bậc 0 vì bậc   x   bằng 1. Vậy dư là một phần tử r . Ta có       P x x q x r     Thay x bằng  ta được:     0.P q x r   hay   Pr   IV. Định lý 2: Cho P(x) là một đa thức dạng chính tắc 1 0 n n i i ax    ,  là một số thực bất kỳ. Khi đó, ta có đẳng thức:     1 1 00 nn n i n i i i n ii P x a x b x x b               Trong đó: 00 1 ,i 1,2, ,n i i i ba b a b          Chứng minh: Theo định lý Bezout thì đẳng thức trên tồn tại. Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức truy hồi:   1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 n n n n n n i n i n n i n i n n i i i n i n i i i i i i i i VP b x b x b b x b x b b x b x b b x                                     GVHD: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU Lớp: Toán VB2- K2 NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2 Đồng nhất hệ số của hai vế, ta có: 00 1 ,i 1,2, ,n i i i ba b a b          V. Hệ quả: Cho Q(x) là đa thức hệ số thực có dạng chính tắc 1 1 0 , n ni i i ax       Khi đó, ta có đẳng thức:   1 1 00 nn n i n i i n i ii a x x a b x              (I) + Biến đổi từ vế trái sang vế phải của (I) đó chính là dùng phương pháp dùng sơ đồ hoocner ngược với các hệ số cho bởi : 00 1 ,i 1,2, ,n i i i ba b a a          + Biến đổi từ vế phải sang vế trái (I) đó chính là phương pháp dùng sơ đồ hoocner với các hệ số cho bởi 00 1 b ,i 1,2, ,n i i i ab aa          VI. Xây dựng bài toán chuyển đa thức từ dạng chuẩn tắc suy rộng về chính tắc bằng phương pháp Hoocne ngược: Xây dựng thuật toán: Dạng chuẩn tắc suy rộng: ( ; ) 0 0 ( ) ( ) n ih i i P x d x x    Dạng chính tắc: 0 () n i i i P x a x    Bước 1: Đặt               , 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 nn ih i ii x x P x x x x x x h x x x x h x x n h                    Đặt:   0 10 2 0 0 0 0 0 1 ( )( ) ( )( h) ( 1 h) n P P x x P x x h x x P x x x x x x n                       GVHD: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU Lớp: Toán VB2- K2 NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2 Dùng so đồ Hoocne ngược để chuyển các i P về dạng chính tắc 0 , 0,1, , i ij i ij j P a x i n     Áp dụng định lý 2 ta có: 0 00 11Pb   10 00 1 0 0 0 0 11 0 00 0 1 ( ) ( ) , . bb P x x x x P x b x b x                        2 0 0 0 1 0 20 10 21 0 0 0 10 11 22 0 0 0 11 ( h)( ) ( h) , 1 h ( h). h . ( h). 0 P x x x x x x P x h bb b x x x b b b x x x b                                   …… 1 1 2 1 1 ( 1)0 ( 1)1 ( 1)(n 1) ( 1) j 0 n n n n j n n n n n j P b x b x b b x                   1 0 1 n j 0 n n n n j n n n n n j P b x b x b b x         Với          0 ( 1)0 0 1 1 1 1 1 , 0,1, , nn nj n j n j bb b x n h b b j n                 Sau đó ta tính 0 , 0,1, , i ij i ij j P a x i n     Để đơn giản khi tính toán ta trình bày dạng bảng như sau: 0 0   1 0 10 x     1 0 x 0   20 xh      1   00 x h x     00 x h x 0 ……. 1 … ……. …. ……… 1 ( 1)1i b  ( 1)2i b  …     0 1 i x i h       1 2 ( 1)1 .1 i i i bb      2 ( 1)1 ( 1)2 . i i i i b b b      … ……… 1 … …….     0 1 n x n h       1 1n b 2n b … nn b Bảng 1:Ttính các hệ số ij b của đa thức i P viết ở dạng chính tắc bằng sơ đồ Hoocne ngược GVHD: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU Lớp: Toán VB2- K2 NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2 Bước 2: Ta có:     , 0 00 nn ih i ii x x P    Mà 0 , 0,1, , i ij i ij j P a x i n         , 0 00 nn ih i i i ii d x x d P    Đặt 0 , 0,1, , i ij i i i ij j Q d P c x i n       , (0,1, , ),i 0,1, ,n ij i ij c d b j i    Bảng tính các hệ số của i Q : 0 d 00 c 1 d 10 c 11 c … …. …. …. i d 0i c 1i c … …. …… … …. …. … …. n d 0n c 1n c …… ……. nn c Bảng 2: xác định các hệ số ij c của i Q Bước 3 Ta tính các hệ số i a bằng công thức    0 , 0,1, , i ij n j i j j a c i n     ta có bảng tính sau: 0 00 c 1 10 c 11 c … …. …. …. I 0i c 1i c … …. …… … …. …. … n-1 ( 1)0n c  ( 1)1n c  n 0n c 1n c 2n c ……. nn c i a 0n a 1n a 2n a … nn a GVHD: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU Lớp: Toán VB2- K2 NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2 Bảng 3: xác định các hệ số ij a của   Px Ta tính các i a bằng cách cộng các i c theo đường chéo như bảng phía trên. Như vậy sau 3 bước ta được công thức ở dạng chính tắc của   Px như sau:   1 0 1 1 nn nn P x a x a x a x a        = 0 n i i i ax   VII. Sai phân: 1. Định nghĩa: Định nghĩa 1: Cho f là hàm số thực, biến số thực: 0 ,xh  Giả sử f xác định tại 00 ,x x h . Sai phân của f tại 0 x , bước nhảy h, là số định bởi công thức:        0 0 0h f x f x h f x    . (Để đơn giản ghi   0h fx thay cho    0h fx )  Hàm số thực định bởi : ( ) hh f x f x được gọi là hàm sai phân của f với bước nhảy h  Toán tử sai phân bước nhảy h là ánh xạ: : hh ff Chú ý: Khi f là hàm hằng, ta có:    0 0 h fx tại mọi x Định nghĩa 2:  Sai phân cấp hai của f tại 0 x , bước nhảy h của hàm f là:      2 00h h h f x f x    .  Hàm sai phân cấp hai bước nhảy h là:   22 : hh f x f x .  Toán tử sai phân cấp hai, bước nhảy h là ánh xạ: 22 : hh ff . Định nghĩa tương tự cho các sai phân cấp cao hơn. Khi cần nhấn mạnh cấp của sai phân, ta gọi sai phân của hàm f trong định nghĩa là sai phân cấp một của hàm f, hơn nữa để đơn giản trong trình bày ta quy ước gọi hàm f là sai phân cấp 0 của hàm f. Ký hiệu: hàm sai phân cấp i ( 0,in ), bước nhảy h, của hàm f là: i h f Quy ước: Khi h = 1 ta bỏ bớt nhóm từ “bước nhảy h” trong các thuật ngữ trên và khi đó ta ký hiệu f thay cho 1 f 2. Bảng sai phân dùng tính sai phân các cấp của hàm f tại điểm 0 x : Giả sử cần tính sai phân các cấp 1, 2, , n của hàm f, bước nhảy h, tại 0 x .Đặt: GVHD: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU Lớp: Toán VB2- K2 NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2   0 ; 1, ; 0, i ii x x ih i n y f x i n          . Sai phân các cấp của hàm f tại 0 x có thể được xác định bởi bảng sau: i x   ii y P x   hi Px   2 hi Px …   1n hi Px     n hi Px 0 x 0 y 0 1 0 t y y 0 1 0 u t t …. 0 1 0 s r r 0 1 0 z s s 1 x 1 y 1 2 1 t y y 1 2 1 u t t …. 1 2 1 s r r …. …. …. … … … 2n x  2n y  2 1 2n n n t y y     2 1 2n n n u t t     1n x  1n y  11n n n t y y   …. n x n y Ví dụ 1: Lập bảng sai phân của hàm f biết: i x 4 6 8 i y 93 259 569 Giải: Áp dụng công thức tính sai phân, ta có bảng sai phân của hàm f như sau: i x i y   2 i fx   2 2 i fx 4 93 166 144 6 259 310 8 569 3. Công thức tính sai phân:  Mệnh đề 1: [...]... số của P(x) ở dạng chính tắc: Cách 1: Chuyển theo phương pháp của nhóm 2 ai 18 -97 193 18 -25 93 xi 4 NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2 GVHD: TS TRỊNH CÔNG DIỆU 6 18 8 Lớp: Toán VB2- K2 83 18 Vậy dạng chính tắc của P(x) là: P( x)  193  97 x  18 x 2 Cách 2: Làm theo phương pháp dùng hoocne ngược Ta tính các hệ số bij trước dựa vào bảng sau: i 0 -4 -6 -8 Tính các cij bij 1 0 1 -4 1 -10 1 -18  di bij theo... vào Pn(x) đúng một số hạng mà không phải xây dựng lại tất cả các đa thức cơ sở như với phương pháp Lagrange Như vây, phương pháp Lagrange tương đối đơn giản nhưng có nhược điểm là khi bổ sung các điểm quan sát mới thì phải tính lại từ đầu Phương pháp nội suy Newton của P(x) khắc phục được nhược điểm này, ko cần tính lại đa thức Đa thức nội suy Newton của P  x  trong trường hợp các mốc nội suy cách... chuẩn tắc suy rộng sang dạng chính tắc: Cách 1: (theo phương pháp của nhóm 2) Ta lập bảng sau: xi 1 0 1 1 1 2 1 3 1 P  x   x3  11 2 11  2 9  2 5  2  11 2 11 2 1 2 2 11 2 11 x  x2 2 2 Cách 2: (theo phương pháp hoocne ngược) Ta tính các hệ số bij trước dựa vào bảng sau: i 0 0 -1 -2 -3 bij 1 1 1 1 1 0 0 -1 -3 -6 0 0 2 11 0 0 -6 0 0 0 2 0 Tính các cij  di bij theo bảng sau: dij cij 2 1 2 1 0... các mốc nội suy cách đều bằngcách áp dụng công thức nội suy Lagrange xác định công thức tính giá trị của P(x) Sau đó tính giá trị của P(x) tại các mốc nội suy mới cách đều  Tài liệu tham khảo: 1 TS Trịnh Công Diệu, các bài giảng Phương Pháp Tính 2 Lê Trọng Vinh, Giải Tích Số, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2 ... để tính i! Cho i chạy từ 1 đến n ifact = ifact*i m[i] = ifact*h[i] //Khởi tạo cột đầu của mảng delta[] Cho i chạy từ 0 đến n, tính delta[i][0]=y[i] //Khởi tạo các giá trị x[i] Chi i chạy từ 1 đến n, tính x[i]=x[i-1]+h[1] //Lập bảng sai phân cấp i Cho i giảm từ (n-1) đến 0 Cho j tang từ 1 đến (n-i) Tính theo công thức delta[i][j] = delta[i+1][j-1] - delta[i][j-1] / /Tính d[i] Cho i chạy từ 0 đến n, tính. .. thức tính P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng Sau đó, áp dụng thuật toán ở chủ đề 2 để đưa công thức tìm được về dạng chính tắc IX Cách chuyển từ bài toán có các mốc nội suy không đều về bài toán có mốc cách đều: Nếu bài toán đa thức nội suy không cách đều ta chỉ cần thêm các mốc nội suy sao cho được các mốc mới cách đều, sau đó dùng công thức nội suy Lagange để tính các giá trị hàm số Lúc này bài toán... Cho bảng giá trị sau: xi 0 1 2 4 yi 2 3 -1 0 Bài giải: NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2 GVHD: TS TRỊNH CÔNG DIỆU Lớp: Toán VB2- K2 Do các bước nhảy h ở bài toán không đều nên ta sẽ thêm một số mốc nội suy mới xi để cho bài toán chuyển về bài toán có bước nhảy đều, dùng công thức nội suy Lagrange để tìm các giá trị yi sau đó sẽ dùng công thức nội suy Newton cho bài toán có bước nhảy đều Ta thấy vì x1  x0 ... m[i] / /Tính các hệ số a[i] của đa thức P(x) Cho i chạy từ 0 đến n, z[i][n]=d[n] Cho i chạy từ 0 đến (n-1), z[i][i]=d[i] Cho i giảm từ (n-2) đến 0 Cho j giảm từ (n-1) đến i Tính các z[i][j] theo công thức z[i][j]=z[i+1][j] - x[i+1]*z[i+1][j+1] NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2 GVHD: TS TRỊNH CÔNG DIỆU Lớp: Toán VB2- K2 //Mảng z[][] là bước đệm để tính các hệ số a[i] a[n] = z[n][n]; Cho j giảm từ n đến 0, tính. .. ) cout =0)?"+ ":"- ") . VB2- K2 NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN MÔN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH Chủ Đề 3: THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TÍNH GIÁ. NGUYỄN THỊ CHÍ THANH BÀI TIỂU LUẬN GVHD: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU Lớp: Toán VB2- K2 NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2 TÓM TẮT NỘI DUNG Phần 1: MỞ ĐẦU Phần 2: CƠ SỞ LÝ LUẬN I. Lũy thừa suy rộng. Hệ quả VI. Xây dựng bài toán chuyển đa thức từ dạng chuẩn tắc suy rộng về chính tắc bằng phương pháp Hoocne ngược VII. Sai phân: 1. Định nghĩa 2. Bảng sai phân dùng tính sai phân các cấp