Câu hỏi: Phát biểu tính chất tích có hướng Tính tích có hướng hai vectơ a = (2;−3;4) b = (−2;1;5) §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Định nghĩa: r r Vectơ n khác gọir vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α ) giá n vng góc với (α ) I r n α Chú ý r Nếu n vectơ pháp tuyến mặt phẳng vectơ r k n (k ≠ 0) vectơ pháp tuyến mặt phẳng rr [ a, b] r b r a b' α a' r r Nếu hai vectơ không phương a, b có giá rsong song r r nằm mặt phẳng (α ) vectơ n = [a, b] vectơ pháp tuyến (α ) r r Hai vectơ a, b nói gọi cặp vectơ phương mặt phẳng (α ) Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A(2;-4;5), B(0;2;-1) C(1;1;2) Hãy tìm tọa độ vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) Giải uuu r uuu r Vì AB = (−2;6; −6), AC = (−1;5; −3) cặp vectơ phương mp(ABC) r uuu uuu r r Nên n = [ AB, AC ] = ( 12;0; −4 ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) 3 Một mặt phẳng xác định biết điểm thuộc mặt phẳng vectơ pháp tuyến mặt phẳng II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG Bài tốn Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) qua điểm r M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận n = ( A; B; C ) làm vectơ pháp tuyến Tìm điều kiện cần đủ để điểm M ( x; y; z ) ∈ (α ) Giải uuuuur u Ta có M M = ( x − x0 ; y − y0 ; z − z0 ) uuuuur r u M ∈ (α ) ⇔ M M ⊂ (α ) ⇔ M M ⊥ n uuuuuu r r ⇔ M M n = ⇔ A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = (1) PT (1) điều kiện cần đủ để điểm M ( x; y; z ) ∈ (α ) Bài tốn Trong khơng gian Oxyz, chứng minh tập hợp điểm M(x;y;z) thỏa mãn phương trình Ax + By + Cz + D = (các hệ số A, B, C không đồng thời 0) mặt phẳng nhận r làm vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) Định nghĩa Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = (các hệ số A, B, C không đồng thời 0) gọi phương trình tổng quát mặt phẳng Nhận xét a Nếu mặt phẳng có phương trình (α ) có vectơ pháp tuyến Ax + By + Cz + D = r n = ( A; B; C ) b Phương trình mặt phẳng qua điểm (α )  M ( x0 ; y0 ; z0 ) có  VTPT r n = ( A; B; C )  A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng (α ) r a Đi qua điểm M ( −3; 2;1)và nhận n = (1;3; −4) làm vectơ pháp tuyến b Đi qua điểm A(1;0;-3) vng góc với đường thẳng MN với M(2;-2;1), N(2;2;5) c Đi qua điểm A(1;1;-3) có cặp vectơ phương r r u = (2;0; −3), v = ( −3;1;0) d Đi qua ba điểm A(0;1;-1), B(-2;0;1) C(2;3;-6) Giải a) Mặt phẳng có PT là: (α ) qua điểm M(-3;2;1)  có  r VTPT n = (1;3; −4) 1( x + 3) + 3( y − 2) − 4( z − 1) = ⇔ x + y − z + = b) Mặt phẳng qua điểm A(1;0;-3) (α )  r  có VTPT uuuu = (0; 4; 4) MN  có PT là: 0( x − 1) + 4( y − 0) + 4( z + 3) = ⇔ y + z + 12 = ⇔ y + z + = r rr c) Ta có n = [u , v] = (3;9; 2) VTPT mặt phẳng (α ) Mặt phẳng (α ) qua điểm A(1;1;-3)   có VTPT r  n = (3;9; 2) Có PT là: 3( x − 1) + 9( y − 1) + 2( z + 3) = ⇔ x + y + z − = r uuu r d) Ta có uuu cặp vectơ AB = (−2; −1; 2), AC = (2; 2; −5) phương mặt phẳng (α ) r r Suy r uuu uuu VTPT n = [ AB, AC ] = (1; −6; −2) (α ) Mặt phẳng qua điểm A(0;1;-1) có PT (α ) có VTPT r   n = (1; −6; −2) 1( x − 0) − 6( y − 1) − 2( z + 1) = ⇔ x − y − z + = 2 Các trường hợp riêng Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = a Nếu D = (α ) qua gốc tọa độ b Nếu ba hệ số A, B, C 0, chẳng hạn A=0 (α ) song song chứa trục Ox c Nếu hai ba hệ số A, B, C 0, chẳng hạn A = B = 0, C ≠ (α ) song song trùng với mặt phẳng (0xy) ??? Hãy cho biết vị trí tương đối a Điểm O mp(P): -3x+2y+4z=0; b Trục Ox mp(Q): 2x+6y-5=0; c Trục Ox mp(R): 3y-5z=0; d mp(Oxy) mp(S): -4z+7=0 Nhận xét Nếu (α ) cắt trục Ox, Oy, Oz A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a.b.c ≠ phương trình cịn (α ) viết dạng x y z + + = a b c Phương trình gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm M(2;0;0), N(0;-3;0), P(0;0;1) Giải Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có x y z ( MNP ) : + + = −3 Hay x − y + z − = KiẾN THỨC CẦN NHỚ r r 1) Vectơ n khác gọi vectơ pháp tuyến mặt r phẳng (α ) giá n vng góc với (α ) rr 2) Hai vectơ không phương a, b gọi cặp vectơ phương mặt phẳng giá chúng song song nằm mặt phẳng r rr rr 3) Nếu a, b cặp VTCP mp (α ) n = [ a, b] VTPT (α ) 4) Phương trình mặt phẳng (α )  qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) r  có  VTPT n = ( A; B; C ) A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) =  ... C(0;0;c) với a.b.c ≠ phương trình cịn (α ) viết dạng x y z + + = a b c Phương trình gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm M (2; 0;0), N(0;-3;0),... không đồng thời 0) gọi phương trình tổng quát mặt phẳng Nhận xét a Nếu mặt phẳng có phương trình (α ) có vectơ pháp tuyến Ax + By + Cz + D = r n = ( A; B; C ) b Phương trình mặt phẳng qua điểm (α... vectơ phương mp(ABC) r uuu uuu r r Nên n = [ AB, AC ] = ( 12; 0; −4 ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) 3 Một mặt phẳng xác định biết điểm thuộc mặt phẳng vectơ pháp tuyến mặt phẳng II PHƯƠNG TRÌNH