PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ HẠ LONG Đ Ề CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề ) Bài 1: (2,0 điểm) Chứng minh rằng: | xy yx − + 2 | + | xy yx + + 2 | = |x| + |y| (xy ≥ 0) Bài 2: (5,5 điểm) Giải các phương trình sau: a, 10. 2 1 2       + − x x + 2 1 2       − + x x - 11. 0 1 4 2 2 =         − − x x b, ( ) ( ) 3107125 2 =++++−+ xxxx Bài 3:(2,5 điểm) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức: xyyxyxxy ++=+++ 222 212 Bài 4: (2,0 điểm) Cho hệ tọa độ xOy và 3 điểm A(2,5) ;B(-1,-1),C(4,9) CMR: 3 điểm A, B, C thẳng hàng. Bài 5: (8,0 điểm) Cho hình vuông ABCD , M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho ∠ MAN = ∠ MAB + ∠ NAD 1, BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q. Chứng minh rằng năm điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 2, Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thay đổi. 3, Kí hiệu diện tích của tam giác APQ là S 1 và diện tích tứ giác PQMN là S 2 .Chứng minh rằng tỉ số 2 1 S S không đổi khi M và N thay đổi. ________Hết_______ 1 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 Năm học 2010-2011 (Vòng 2) Bài Hướng dẫn chấm Điểm Bài 1 Ta có: (| xy yx − + 2 | + | xy yx + + 2 |) 2 = ( xy yx − + 2 ) 2 + ( xy yx + + 2 ) 2 + 2. | xy yx − + 2 |.| xy yx + + 2 | = ( ) 2 yx + Ta lại có: (|x| + |y|) 2 = x 2 + 2xy + y 2 = ( ) 2 yx + (Vì xy ≥ 0) NX để suy ra ĐPCM. 2,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ Bài 2 a b ĐK: x khác 1,-1 Đặt u = = + − v x x , 1 2 1 2 − + x x p hương trình có dạng : 01110 22 =−+ uvvu hay ( )( ) 010 =−− vuvu Nếu v=10u thì từ 1 )2(10 1 2 + − = − + x x x x ta tìm được x=3; x=2/3 Nếu v = u thì từ 1 2 1 2 + − = − + x x x x ta tìm được x = 0 So với ĐK và KL:       ∈ 3; 3 2 ;0x Điều kiện căn thức có nghĩa là 2−≥x Ta có : ( )( ) 25107 2 ++=++ xxxx Nhân cả 2 vế phương trình với ( ) 025 >+++ xx ta được : 251071 2 +++=+++ xxxx ( )( )    −= −= <=>     =+ =+ <=>=−+−+<=> 1 4 12 15 01215 x x x x xx x=-4 loại do vậy x=-1 là giá trị cần tìm 6,0đ 0,25đ 1,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 1,5đ 0,25đ Bài 3 2y 2 x + x + y + 1 = x 2 + 2y 2 + xy <=> 2y 2 (x – 1) – x(x – 1) – y(x – 1) + 1 = 0 (1) Nhận xét rằng x = 1 không phải là nghiệm của (1) khi đó chia cả 2 vế của (1) cho x – 1 thì (1) tương đương với : 0 1 1 2 2 = − +−− x yxy (2) 2,5đ 0,5đ 0,5đ 2 Với x,y nguyên suy ra 1 1 −x nguyên nên x – 1 = ± 1    = = <=> 0 2 x x Thay x = 2 và x = 0 vào (2) và ta có y là số nguyên khi y = 1 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên là (2 ; 1) và (0 ; 1) 0,5đ 0,75đ 0,25đ Bài 4 Tìm được Phương trình đường thẳng đi qua BC là : y= 2x+1 Chứng minh được : Tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình y = 2x + 1 KL 2,0đ 1,0đ 1,0đ Bài 5 1 2 3 Từ giả thiết suy ra ∠ MAN = 45 0 Tứ giác ABMP có ∠ PBM = ∠ PAM = 45 0 nên tứ giác nội tiếp .Suy ra ∠ MPA = 90 0 . Tương tự tứ giác ADNQ nội tiếp và có ∠ NQA = 90 0 Vậy 5 điểm P , Q , M , C , N nằm trên đường tròn đường kính MN Ta có ∠ AMN = ∠ APB = ∠ AMB Kẻ AH ⊥ MM.Dễ thấy : ∆ AHM = ∆ ABM => AH = AB Vậy MM luôn tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB cố định Do ∆ AQN và ∆ APM vuông cân tại Q và P nên : 2 1 == AM AP AN AQ => 1 2 1 2 1 . 2 1 . . 2 1 ==>=== S S AMAN QPAQ S S AMN APQ 8,0đ 2,0đ 1,0đ 2,5đ 2,5đ Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm hoặc lời giải sơ lược, học sinh trình bày lời giải phải chi tiết, chặt chẽ mới đạt điểm tối đa. Học sinh làm bài theo cách khác - nếu đúng được số điểm tương đương. Tổ chấm thảo luận chia điểm thành phần ở mỗi câu ( Nếu cần thiết) và ghi biên bản thống nhất trước khi chấm. 3 . : ( )( ) 25107 2 ++ =++ xxxx Nhân cả 2 vế phương trình với ( ) 025 > ;++ + xx ta được : 251071 2 ++ + =++ + xxxx ( )( )    −= −= <=>     =+ =+ <=>= + +& lt;=> 1 4 12 15 01215 x x x x xx x=-4. DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 Năm học 2010-2011 (Vòng 2) Bài Hướng dẫn chấm Điểm Bài 1 Ta có: (| xy yx − + 2 | + | xy yx + + 2 |) 2 = ( xy yx − + 2 ) 2 + ( xy yx + + 2 ) 2 + 2. | xy yx − + 2 |.| xy yx + + 2 | =. 11. 0 1 4 2 2 =         − − x x b, ( ) ( ) 3107125 2 =++ ++ + xxxx Bài 3:(2,5 điểm) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức: xyyxyxxy ++ =++ + 222 212 Bài 4: (2,0 điểm) Cho hệ tọa độ xOy và 3