BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:……………………………… ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:……………………………… KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2010 ( Đợt 1) Môn thi: GIẢI TÍCH (Dành cho cao học) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a. Chứng minh bất đẳng thức 2 + 2 < ln  + 1  ,   + . b. Cho > 1, tìm tất cả các số thực  để chuỗi sau hội tụ     1   =1 . c. Cho hàm số  xác định trên hình vuông  =  0; 1    0; 1    ,   =    1   nếu    1   nếu >  .  Khảo sát tính khả vi của hàm  tại các điểm trong của . Câu 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên > 1, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất trong tập =  0; 1    0; 1  :    +   +  = 3  2 +  2 + = 6.  Câu 3. Cho =   0;1  với chuẩn    = max        :   0; 1  . Cho ánh xạ :   xác định bởi     =   1     1       ,  ,   0; 1  . Chứng minh  là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tìm    . Câu 4. Cho  là một không gian Hilbert. a. Giả sử    ,    là hệ trực giao trong . Chứng minh rằng, chuỗi     =1 hội tụ yếu khi và chỉ khi nó hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn). b. Cho     là dãy hội tụ yếu về  trong . Giả sử dãy       hội tụ về    trong . Chứng minh dãy     hội tụ mạnh về . Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 1 NĂM 2010 Câu 1. (4đ) a. Xét hàm     = ln  1 +    2 +2 , 0. Ta có      =   +4   +1  +2  2 ,  > 0. Do vậy     >   0  = 0 hay ln  1 +   > 2 +2 , > 0. (1đ) b. Đặt   =    1 thì   > 0 và    = 1 +   . Theo trên ta có 2    + 2 < 1  ln = ln  1 +    <   hay   2   + 2 < ln <   (0,5) Suy ra lim    = ln . Nên các chuỗi      1   =1 và  1    =1 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi > 1 và phân kỳ khi 1. (1đ) c. Dễ thấy  khả vi tại các điểm của  mà  <  hay > . (0,5đ) Để xét tính khả vi của  tại các điểm  ,   ,    < 1, ta xét hàm     =   ,   , khi đó     +  =       = 1  tại mọi    < 1. Suy ra  không khả vi tại các điểm  ,   ,    < 1. (1đ) Câu 2. (2đ) Xét không gian metric  =  2 với khoảng cách  xác định bởi    1 ,  1  ,   2 ,  2  = max    1  2  ,   1  2   ,    1 ,  1  ,   2 ,  2    ,   là không gian metric đầy đủ. (0,5đ) Xét hàm :   xác định bởi   ,   =    +   +  3 ,  2 +  2 + 2 6 ,  ,   .    1 ,  1  ,   2 ,  2   ta có    1 ,  1  ,    2 ,  2  = = max    1   2  +  1   2   3 ,   1 2  2 2 +  1 2  2 2  6 (0,5) Chú ý   1   2  +  1   2      1   2   +   1   2      1  2  +   1  2   2    1 ,  1  ,   2 ,  2  .   1 2  2 2 +  1 2  2 2     1 2  2 2  +   1 2  2 2  2   1  2  +   1  2  4    1 ,  1  ,   2 ,  2  . (0,5) Do đó    1 ,  1  ,    2 ,  2   2 3    1 ,  1  ,   2 ,  2  . Theo nguyên lý ánh xạ co, có duy nhất  ,    sao cho  ,   =   ,   , tức là hệ phương trình có duy nhất nghiệm. (0,5đ) Câu 3. (2đ) Kiểm tra tính tuyến tính của . (0,5đ)  ,   0; 1  ta có           1    +  1             . Nên        .Vậy A liên tục và    1 (1đ) Xét hàm     = 21,   0; 1  . Ta có    = 1 còn    = max   0;1   1 2  =1 Vậy    = 1. (0,5đ) Câu 4. (2đ) a. Đặt   =     =1 . Giả sử lim    =  0. Khi đó với mọi  ta có lim   <    0 , >   lim      0      = 0. Vậy     0 . (0,5) Ngược lại, giả sử     0 khi đó với mọi   ta có lim   <   , >  =<  0 ,  >. Do đó dãy  <   , >   bị chặn. Theo nguyên lý bị chặn đều     , . Suy ra     2 =      2  =1  2 , . Vì vậy      2  =1 hội tụ nên     =1 hội tụ. (0,5đ) b. Giả sử    . Ta có      2 =<   ,    >=<   ,   > < ,   > <   , > + +< , > =     2 < ,   > <   , > +    2 (0,5) Theo giả thiết lim      =    nên lim       = 0. Vậy lim    = . (0,5) . Họ và tên thí sinh:……………………………… ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:……………………………… KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2010 ( Đợt 1) Môn thi: GIẢI TÍCH (Dành cho cao học) Thời gian làm bài: 180 phút . dãy     hội tụ mạnh về . Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 1 NĂM 2010 Câu 1. (4đ) a. Xét hàm     = ln  1 +    2 +2 ,. >  =<  0 ,  >. Do đó dãy  <   , >   bị chặn. Theo nguyên lý bị chặn đều     , . Suy ra     2 =      2  =1  2 , . Vì vậy      2  =1