Trờng THPT Nông Cống II Đề thi khảo sát chất lợng đầu kỳ II ( Năm học: 2010 2011 ) Môn thi: Toán. Khối 11 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian phát đề ) Phần chung cho tất cả thí sinh Câu I. ( 3, 0 điểm) Cho hàm số: y = -x 4 + 2m x 2 2m + 1 1. Khi m = 5 tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành. 2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Câu II. ( 1,5 điểm). Giải phơng trình: sin 3 x. sin3x + cos 3 x. cos 3x = 8 1 Câu III. (1,5 điểm). Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE = a, kéo dài BD một đoạn DF = a. Gọi M là trung điểm AB. Tính diện tích của thiết tạo bởi mặt phẳng (MEF) và tứ diện. Câu IV. ( 1,0 điểm). Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn 4 111 =++ zyx . Chứng minh rằng: 1 2 1 2 1 2 1 ++ + ++ + ++ zyxzyxzyx Phần riêng Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần: ( phần A hoặc phần B ) A.Theo chơng trình Chuẩn. Câu V.a. ( 1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy, cho ABC biết A( -1; -1 ) và hai đờng cao lần lợt nằm trên hai đờng thẳng d 1 : 7x + 2y - 22 = 0 và d 2 : 3x + 5y - 23 = 0 Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp ABC. Câu VI.a. ( 1,5 điểm). Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 2 và 4 ? B. Theo chơng trình Nâng cao Câu V.b. ( 1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy, cho hai đờng thẳng d 1 : x y = 0 và d 2 : x + y 1 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc d 1 , đỉnh C thuộc d 2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. Câu VI.b. ( 1,5 điểm). Tìm hệ số chứa x 10 trong khai triển n x x 2 2 2 3 , biết rằng 210 . = + 3 4-n -1n 2n PA P ( n là số nguyên dơng, k n A là chỉnh hợp chập k của n phần tử, P n là hoán vị của n phần tử ) Hết Họ và tên thí sinh ; Số bao danh Trờng THPT Nông Cống II Đáp án thang điểm 1 Đề thi khảo sát chất lợng đầu kỳ II ( Năm học: 2010 2011 ) Môn thi: Toán. Khối 11 Câu Đáp án Điểm I (3,0 đ ) 1. (1,5 điểm). Khi m = 5 tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoàn. Khi m = 5 ta xét phơng trình -x 4 + 10x 2 9 = 0 Giải phơng trình ta đợc 4 nghiệm x = 1 và x 3 Vậy đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm ( - 3 ; 0 ), ( -1; 0 ), ( 1; 0 ) và ( 3 ; 0 ) 0,5 0,5 0,5 2. (1,5 điểm). Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại Xét phơng trình -x 4 + 2m x 2 2m + 1 = 0 (1) đặt x 4 = t 0 ta đợc phơng trình t 2 2mt + 2m 1 = 0 (2) Phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt Phơng trình (2) có 2 nghiệm dơng phân biệt > > > >+ > > > 1 2 1 012 02 012 0 0 0' 2 m m m m mm P S (*) Với điều kiện (*) thì phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng Phơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt t 1 , t 2 sao cho t 1 = 9t 2 Theo định lí viet ta có t 1 + t 2 = 2m và t 1 . t 2 = 2m 1 Khi đó ta đợc phơng trình 9m 2 50m + 25 = 0 m = 5 và m = 5/ 9 t/m ĐK * Vậy m = 5 và m = 5/ 9 là giá trị cần tìm 0,5 0,5 0,25 0,25 II ( 1, 5 đ ) Giải phơng trình: sin 3 x. sin3x + cos 3 x. cos 3x = 8 1 sin 2 x. sin x sin3x + cos 2 x. cos x cos 3x = 8 1 )( 6 6 2 1 2cos 2 1 2cos2.2cos2 2 1 )4cos1(2cos2 8 1 4cos.2cos22cos2 8 1 2 4cos2cos . 2 2cos1 2 4cos2cos . 2 2cos1 2 Zk kx kx x xxxx xxx xxxxxx += += = ==+ =+ = ++ + 0,5 0,5 0,5 III ( 1, 5 đ ) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Trong mp(ABF) gọi J = AD MF Trong mp(ABE) gọi I = AC ME Thiết diện tao bởi mp( MEF) và tứ diện ABCD là MIJ Ta có 3 2 === CD IJ AD AJ AC AI ( Do I, J là trọng tâm ABE và ABF ) Suy ra 3 2a IJ = Do ME = MF MI = MJ mà MI 2 = AM 2 + AJ 2 2AM.AI.cos60 MI = 6 13a Gọi H là trung điểm IJ suy ra MH IJ mà MH 2 = MI 2 IH 2 MH = a/2 0,25 0,5 0,5 0,25 2 Khi đó diện tích MIJ là S = 6 2 1 2 a MHIJ = ( đvdt) Vậy diện tích thiết diện bằng 6 2 a ( đvdt) IV ( 1,0 đ ) Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn Ta có: với a. b > 0 thì 4ab ( a + b ) 2 + + + + babaab ba ba 11 4 11 4 1 Dấu = xảy ra a = b áp dụng kết quả trên ta có ++ + + ++ zyxzyxzyx 11 4 1 2 1 4 11 2 1 4 1 2 1 ++ ++ zyxzyx 2 1 2 11 8 1 2 1 (1) Tơng tự ta có ++ ++ zyxzyx 2 11 2 1 8 1 2 1 ( 2 ) ++ ++ zyxzyx 1 2 1 2 1 8 1 2 1 (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta đợc 1 111 4 1222 8 1 2 1 2 1 2 1 = ++= ++ ++ + ++ + ++ zyxzyxzyxzyxzyx Dấu = xảy ra x = y = z = 3/4 0,25 0,25 0,25 0,25 V.a. ( 1,5 đ ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy, cho ABC biết A( -1; -1 ) Ta thấy A d 1 và d 2 giả sử B d 1 và C d 2 Cạnh AC đi qua A và vuông góc với d 1 có phơng trình là 2x 7y 5 = 0 Cạnh AB đi qua A và vuông góc với d 2 có phơng trình là 5x 3y + 2 = 0 điểm B là giao điểm của AB và d 1 suy ra B( 2; 4 ) điểm C là giao điểm của AC và d 2 suy ra C( 6; 1 ) Gọi phơng trình đờng tròn cần lập có dạnh 0,25 0,5 A K B M I D C E F H 3 x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 ( S) ( ĐK a 2 + b 2 c > 0 ) Do A, B, C thuộc đơng tròn ta có hệ = = = =+ =+ =++ 29 218 58 21 58 139 37212 2084 222 c b a cba cba cba (thoả mãn đk * ) Vậy phơng trình đờng tròn là: 0 29 218 29 21 29 139 22 =+ yxyx 0,5 0,25 VI.a. ( 1,5 đ ) Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập đợc Gọi số tự nhiên cần lập là A = 4321 aaaa ( a 1 0 ) và a 1 , a 2 , a 3 , a 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 TH1 Trong A có mặt chữ số 0 Có ba cách xếp chữ số 0, ba cách xếp chữ số 2, hai cách xếp chữ số 4 và 1 3 A cách xếp chữ số 1, 3, 5 Suy ra có 3.3.2. 1 3 A = 54 ( số ) TH2 Trong A không có mặt chữ số 0 Có bốn cách xếp chữ số 2, ba cách xếp chữ số 4, và 2 3 A cách xếp chữ số 1, 3, 5 Suy ra có 4.3. 2 3 A = 72 (số ) Từ TH1, TH2 suy ra có 54 + 72 = 126 ( số ) t/m yêu cầu bài toán 0,5 0,5 0,5 V.b. ( 1,5 đ ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy, cho hai đờng thẳng d 1 : x y = 0 Do A d 1 nên ta gọi A ( a; a ) Vì A, C đối xứng nhau qua BD mà B, D 0x Từ A ( a; a ) C ( a; - a ) mặt khác C d 2 a = 1 Suy ra A ( 1; 1 ) và C ( 1; -1 ) Ta lại có B, D 0x nên B ( b; 0 ), D ( d ; 0 ) Gọi I là trung điểm của AC I( 1 ; 0) khi đó I là tâm của hình vuông ABCD Khi đó IB = ID = IA = IC = 1 ( ) ( ) == == = = = = = = 2,0 2,0 11 11 11 11 1 1 2 2 dd bb d b d b ID IB Suy ra B( 0; 0 ) và D ( 2 ; 0 ) hoặc B( 2; 0 ) và D ( 0 ; 0 ) Vậy 4 đỉnh của hình vuông là: A( 1; 1 ) và B ( 0 ; 0 ), C( 1; -1 ) và D ( 2 ; 0 ) hoặc A( 1; 1 ) và B ( 2 ; 0 ) , B( 1 ; -1 ) và D ( 0 ; 0 ) 0,25 0,5 0,5 0,25 VI.b. ( 1,5 đ ) Tìm hệ số chứa x 10 trong khai triển Ta có 210 . = + 3 4-n -1n 2n PA P ( ) ( ) ( ) ( ) 504285210 !3. !3 !1 !2 2 ==++= + nnnn n n Khi n = 5 ta có khai triển ( ( ) 5 22 23 xx số hạng tổng quát là ( ) ( ) kkkk kk k xCxxC 4105 5 2 5 2 5 .)2.(3.2.3 = Số hạng này chứa x 10 khi k = 0 Khi đó số hạng chứa x 10 là 243x 10 1,0 0,5 Chú ý : Nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần đó 4 . hoán vị của n phần tử ) Hết Họ và tên thí sinh ; Số bao danh Trờng THPT Nông Cống II Đáp án thang điểm 1 Đề thi khảo sát chất lợng đầu kỳ II ( Năm học: 2010 2 011 ) Môn thi: Toán. Khối. ) == == = = = = = = 2,0 2,0 11 11 11 11 1 1 2 2 dd bb d b d b ID IB Suy ra B( 0; 0 ) và D ( 2 ; 0 ) hoặc B( 2; 0 ) và D ( 0 ; 0 ) Vậy 4 đỉnh của hình vuông là: A( 1; 1 ) và B ( 0 ; 0 ), C( 1; -1 ) và D ( 2 ;. Trờng THPT Nông Cống II Đề thi khảo sát chất lợng đầu kỳ II ( Năm học: 2010 2 011 ) Môn thi: Toán. Khối 11 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian phát đề ) Phần chung cho tất cả thí