Tù häc: N©ng cao tr×nh ®é chuyªn m«n NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI KIẾN THỨC : Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phương(phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai. * Nội dung của phép khai phương gồm : - Giới thiệu phép khai phương(thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai số học của số không âm) - Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương(với a≥0, có ( ) aa = 2 ; với a bất kỳ có || 2 aa = ) - Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi Định lý về so sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b ba <⇔ ”) - Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi : định lý “ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : baab = ” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có : b a b a = ”) * Các phép biến đổi biểu thức chứa CBH mà SGK giới thiệu cho bởi các công thức sau : 2 A = | A| (với A là biểu thức đại số hay nói gọn là biểu thức ) BAAB = ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0) B A B A = ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0) BABA || 2 = ( với A, B là hai biểu thức mà B ≥ 0 ) AB BB A 1 = ( với A, B là hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ 0 ) B BA B A = ( với A, B là biểu thức và B > 0) 2 )( BA BAC BA C − = ±  (với A, B, C là biểu thức mà A≥ 0 và A ≠ B 2 ) BA BAC BA C − = ± )(  ( với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B ) 1. SAI LẦM VỀ TÊN GỌI HAY THUẬT NGỮ TOÁN HỌC : a) Định nghĩa về căn bậc hai : * Ở lớp 7 : - Đưa ra nhận xét 3 2 =9; (-3) 2 =9. Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9. - Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x 2 =a. - Số dương a có đúng hai CBH, một số dương ký hiệu là a và một số âm ký hiệu là- a . * ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đưa ra định nghĩa căn bậc hai số học. GV: Bïi Xu©n Trêng – Trêng THCS B×nh S¬n 1 Tù häc: N©ng cao tr×nh ®é chuyªn m«n b) Định nghĩa căn bậc hai số học : Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Sau đó đưa ra chú ý : với a ≥ 0, ta có : Nếu x = a thì x ≥ 0 và x 2 =a; Nếu x ≥ 0 và x 2 =a thì x = a . Ta viết x= a    = ≥ ⇔ ax x 2 Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương (gọi tắt là khai phương). ⋆ Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “ căn bậc hai” và"căn bậc hai số học”. Ví dụ 1 : Tìm các căn bậc hai của 16. Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 16 có hai CBH là hai số đối nhau là 4 và - 4. Ví dụ 2 : Tính 16 Học sinh đến đây sẽ giải sai như sau : 16 = 4 và - 4 có nghĩa là 16 = ± 4 Như vậy học sinh đã tính ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là : 16 =4 và 16 = -4 Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau. Lời giải đúng : 16 = 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 4 2 = 16) c) So sánh các căn bậc hai số học : Với hai số a và b không âm, ta có a < b ⇔ ba < Ví dụ 3 : so sánh 4 và 15 Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì theo định nghĩa số 15 chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽ đưa ra lời giải sai như sau : 4 < 15 (vì trong cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn 15 ). Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa. Lời giải đúng : 16 > 15 nên 16 > 15 . Vậy 4 = 16 > 15 d) Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học : với a ≥ 0, ta có : Nếu x = a thì x ≥ 0 và x 2 =a; GV: Bïi Xu©n Trêng – Trêng THCS B×nh S¬n 2 Tự học: Nâng cao trình độ chuyên môn Nu x 0 v x 2 =a thỡ x = a . Vớ d 4 : Tỡm s x, khụng õm bit : x = 15 Hc sinh s ỏp dng chỳ ý th nht v s gii sai nh sau : Nu x = a thỡ x 0 v x 2 =a; vỡ phng trỡnh x 2 = a cú 2 nghim l x = a v x =- a hc sinh ó c gii lp 7 nờn cỏc em s gii bi toỏn trờn nh sau : Do x 0 nờn 2 x = 15 2 hay x = 225 v x = -225. Vy tỡm c hai nghim l x 1 =225 v x 2 =-225 Li gii ỳng : cng t chỳ ý v cn bc hai s hc, ta cú x = 15 2 . Vy x =225. e) Sai trong thut ng khai phng : Vớ d 5 : Tớnh - 25 - Hc sinh hiu ngay c rng phộp toỏn khai phng chớnh l phộp toỏn tỡm cn bc hai s hc ca s khụng õm nờn hc sinh s ngh - 25 l mt cn bc hai õm ca s dng 25, cho nờn s dn ti li gii sai nh sau : - 25 = 5 v - 5 Li gii ỳng l : - 25 = -5 g) Sai trong khi s dng cn thc bc hai v hng ng thc 2 A = | A| Cn thc bc hai : Vi A l mt biu thc i s, ngi ta gi A l cn thc bc hai ca A, cũn A c gi l biu thc ly cn hay biu thc di du cn. A xỏc nh (hay cú ngha ) khi A ly giỏ tr khụng õm. Hng ng thc : 2 A = | A| Cho bit mi liờn h gia phộp khai phng v phộp bỡnh phng. Vớ d 6 : Hóy bỡnh phng s -8 ri khai phng kt qu va tỡm c. Hc sinh vi vn hiu bit ca mỡnh s cú li gii sau ( li gii sai ) : (-8) 2 = 64 , nờn khai phng s 64 li bng -8 Li gii ỳng : (-8) 2 = 64 v 64 = 8. Mi liờn h 2 a = | a| cho thy Bỡnh phng mt s, ri khai phng kt qu ú, cha chc s c s ban u Vớ d 7 : Vi a 2 = A thỡ A cha chc ó bng a C th ta cú (-5) 2 = 25 nhng 25 = 5; rt nhiu vớ d tng t ó khng nh c kt qu nh trờn. 2. SAI LM TRONG CC K NNG TNH TON : a) Sai lm trong vic xỏc nh iu kin tn ti ca cn bc hai : Vớ d 8 : Tỡm giỏ tr nh nht ca : A = x + x GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn 3 Tù häc: N©ng cao tr×nh ®é chuyªn m«n Lời giải sai : A= x + x = (x+ x + 4 1 ) - 4 1 = ( x + 2 1 ) 2 ≥ - 4 1 . Vậy min A = - 4 1 . Phân tích sai lầm : Sau khi chứng minh f(x) ≥ - 4 1 , chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = - 4 1 . Xảy ra khi và chỉ khi x = - 2 1 (vô lý). Lời giải đúng : Để tồn tại x thì x ≥0. Do đó A = x + x ≥ 0 hay min A = 0 khi và chỉ khi x=0 Ví dụ 9 : Tìm x, biết : 2 )1(4 x− - 6 = 0 Lời giải sai : 2 )1(4 x− - 6 = 0 6)1(2 2 =−⇔ x ⇔ 2(1-x) = 6 ⇔ 1- x = 3 ⇔ x = - 2. Phân tích sai lầm : Học sinh có thể chưa nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có 2 A = | A|, có nghĩa là : 2 A = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm ); 2 A = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ). Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm. Lời giải đúng : 2 )1(4 x− - 6 = 0 6)1(2 2 =−⇔ x ⇔ | 1- x | = 3. Ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 1- x = 3 ⇔ x = -2 2) 1- x = -3 ⇔ x = 4. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x 1 = -2 và x 2 = 4. Ví dụ 10 : Tìm x sao cho B có giá trị là 16 Với B = 1616 +x - 99 +x + 44 +x + 1+x với x ≥ -1 Lời giải sai : B = 4 1+x -3 1+x + 2 1−x + 1−x B = 4 1+x 16 = 4 1+x ⇔ 4 = 1+x ⇔ 4 2 = ( 1+x ) 2 hay 16 = 2 )1( +x ⇔ 16 = | x+ 1| Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1 ⇔ x = 15 2) 16 = -(x+1) ⇔ x = - 17. Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x 1 = 15 và x 2 =-17 nhưng chỉ có giá trị x 1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x 2 = -17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá dập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x ≥ -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.! Lời giải đúng : B = 4 1+x -3 1+x + 2 1−x + 1−x B = 4 1+x 16 = 4 1+x ⇔ 4 = 1+x (do x ≥ -1) ⇔ 16 = x + 1. Suy ra x = 15. GV: Bïi Xu©n Trêng – Trêng THCS B×nh S¬n 4 Tù häc: N©ng cao tr×nh ®é chuyªn m«n b) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi : Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai. Ví dụ 11 : Tìm x, biết : (4- )174(32).17 −<x . Lời giải sai : (4- )174(32).17 −<x ⇔ 2x < 3 ( chia cả hai vế cho 4- 17 ) ⇔ x < 2 3 Phân tích sai lầm : Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”. Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và 17 cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - 17 là số âm, dẫn tới lời giải sai. Lời giải đúng : Vì 4 = 16 < 17 nên 4 - 17 < 0, do đó ta có (4- )174(32).17 −<x ⇔ 2x > 3 ⇔ x > 2 3 . Ví dụ 12 : Rút gọn biểu thức : 3 3 2 + − x x Lời giải sai : 3 3 2 + − x x = 3 )3)(3( + +− x xx = x - 3 . Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu x = - 3 thì x + 3 = 0, khi đó biểu thức 3 3 2 + − x x sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được. Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần phải có x + 3 ≠ 0 hay x ≠ - 3 . Khi đó ta có : 3 3 2 + − x x = 3 )3)(3( + +− x xx = x - 3 (với x ≠ - 3 ). Ví dụ 13 : Rút gọn M, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M. M = 12 1 : 1 11 +− +         − + − aa a aaa với a > 0. Lời giải sai : M = 12 1 : 1 11 +− +         − + − aa a aaa = : )1( 1         − + aa a 2 )1( 1 − + a a M =         − + )1( 1 aa a . 1 )1( 2 + − a a M = a a 1− GV: Bïi Xu©n Trêng – Trêng THCS B×nh S¬n 5 Tù häc: N©ng cao tr×nh ®é chuyªn m«n Ta có M = a a 1− = a a - a 1 = 1- a 1 , khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a >0 Do đó min M = 0 khi và chỉ khi a = 1. Phân tích sai lầm : Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai, nhưng sai ở chỗ học sinh lập luận và đưa ra kết quả về giá trị nhỏ nhất của M thì lại sai. Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết khi a = 1 thì a = 1 do đó a - 1= 0, điều này sẽ mâu thuẫn trong điều kiện tồn tại của phân thức. Lời giải đúng : M = 12 1 : 1 11 +− +         − + − aa a aaa có a > 0 và a - 1 ≠ 0 hay a >0 và a ≠ 1. Với điều kiện trên, ta có : M =         − + )1( 1 aa a . 1 )1( 2 + − a a M = a a 1− Khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a >0. Nếu min M = 0, khi và chỉ khi a = 1(mâu thuẫn với điều kiện). Vậy 0 < min M < 1, khi và chỉ khi 0< a <1. Ví dụ 14 : Cho biểu thức : Q = 1 3 11 − − +         + + − x x x x x x với x ≠ 1, x > 0 a) Rút gọn Q b) Tìm x để Q > -1. Giải : a) Q = 1 3 11 − − +         + + − x x x x x x Q =       +− −++ )1)(1( )1()1( xx xxxx - x x − − 1 3 Q = −         − −++ x xxxx 1 x x − − 1 3 Q = − − x x 1 2 x x − − 1 3 = x xx − −− 1 )3(2 Q = x x − − 1 33 = x+ − 1 3 Q = - x+1 3 b) Lời giải sai : Q > -1 nên ta có: GV: Bïi Xu©n Trêng – Trêng THCS B×nh S¬n 6 Tự học: Nâng cao trình độ chuyên môn - x+1 3 > -1 3 > 1+ x 2 > x 4 > x hay x < 4. Vy vi x < 4 thỡ Q < -1. Phõn tớch sai lm : Hc sinh ó nghim nhiờn b du õm c hai v ca bt ng thc vỡ th cú luụn c bt ng thc mi vi hai v u dng nờn KQ ca bi toỏn dn n sai. Li gii ỳng : Q > -1 nờn ta cú - x+1 3 > -1 x+1 3 < 1 1+ x > 3 x > 2 x > 4. Vy vi x > 4 thỡ Q > - 1. V - NHNG PHNG PHP GII TON V CN BC HAI : 1. Xột thut ng toỏn hc : Vn ny khụng khú, d dng ta cú th khc phc c nhc im ny ca hc sinh. 2. Xột biu thc ph cú liờn quan : Vớ d 1 : Vi a > 0, b > 0 hóy chng minh ba + < ba + Gii : Ta i so sỏnh hai biu thc sau : a + b v ( a + b ) 2 Ta cú : ( a + b ) 2 = a+ b + 2 ab Suy ra a + b < ( a + b ) 2 do ú ta khai cn hai v ta c : ba + < 2 )( ba + vỡ a > 0, b > 0 nờn ta c : ba + < ba + Nh vy trong bi toỏn ny mun so sỏnh c ba + vi ba + thỡ ta phi i so sỏnh hai biu thc khỏc cú liờn quan v bit c quan h th t ca chỳng, do ú biu thc liờn quan ú ta gi l biu thc ph. Vớ d 2 : Tỡm giỏ tr nh nht, ln nht ca biu thc A = 2 32 1 x Gii : Ta phi cú |x| 3. D thy A > 0 . Ta xột biu thc ph sau : B = = A 1 2- 2 3 x Ta cú : 0 2 3 x 3 => - 3 - 2 3 x 0 => 2- 3 2 - 2 3 x 2 Giỏ tr nh nht ca B = 2- 3 3 = 2 3 x x = 0 Khi ú giỏ tr ln nht ca A = 32 1 = 2+ 3 . Giỏ tr ln nht ca B = 2 khi v ch khi 2 3 x = 0 x = 3 , khi ú giỏ tr nh nht ca A = B 1 = 2 1 . Nhn xột : Trong vớ d trờn, tỡm c giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc A, ta phi i xột mt biu thc ph A 1 . GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn 7 Tù häc: N©ng cao tr×nh ®é chuyªn m«n 3. Vận dụng các hệ thức biến đổi đã học : Ví dụ 3 : Cho biểu thức : P =         − + − + −         − 1 1 1 1 . 2 1 2 2 a a a a a a với a > 0 và a ≠ 1. a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm giá trị của a để P < 0 Giải : a) P = )1)(1( )1()1( . 2 1. 22 2 −+ +−−         − aa aa a aa = 1 1212 . 2 1 2 − −−−+−         − a aaaa a a = 2 )2( )4)(1( a aa −− = a aa 4 4).1( − = a a−1 . Vậy P = a a−1 với a > 0 và a ≠ 1. b) Do a > 0 và a ≠ 1 nên P < 0 khi và chỉ khi a a−1 < 0 ⇔ 1- a < 0 ⇔ a > 1. Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1−x + 2−y biết x + y = 4 Giải : Ta có A 2 = ( x-1) + (y - 2) + 2 )2)(1( −− yx = (x + y) - 3 + 2 )2)(1( −− yx = 1+ 2 )2)(1( −− yx Ta lại có 2 )2)(1( −− yx ≤ (x -1) + (y- 2) = 1 Nên A 2 ≤ 2 Vậy giá trị lớn nhất của A = 2 khi và chỉ khi    = = ⇔    =+ −=− 5,2 5,1 4 21 y x yx yx GV: Bïi Xu©n Trêng – Trêng THCS B×nh S¬n 8 . sau : Do x 0 nờn 2 x = 15 2 hay x = 22 5 v x = -22 5. Vy tỡm c hai nghim l x 1 =22 5 v x 2 = -22 5 Li gii ỳng : cng t chỳ ý v cn bc hai s hc, ta cú x = 15 2 . Vy x =22 5. e) Sai trong thut ng. => 2- 3 2 - 2 3 x 2 Giỏ tr nh nht ca B = 2- 3 3 = 2 3 x x = 0 Khi ú giỏ tr ln nht ca A = 32 1 = 2+ 3 . Giỏ tr ln nht ca B = 2 khi v ch khi 2 3 x = 0 x = 3 , khi ú. 1−x + 2 y biết x + y = 4 Giải : Ta có A 2 = ( x-1) + (y - 2) + 2 )2) (1( −− yx = (x + y) - 3 + 2 )2) (1( −− yx = 1+ 2 )2) (1( −− yx Ta lại có 2 )2) (1( −− yx ≤ (x -1) + (y- 2) = 1 Nên A 2 ≤ 2