Trường THCS Huy Nam Yên- Cẩm Xuyên Hà Tĩnh Chuyªn đề: Một số dạng toán đa thức bậc hai hai biến Và toán liên quan A- Đặt vấn đề: - Trong kỳ thi HSG, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi vào trờng chuyên, lớp chọn thờng gặp dạng toán ®a thøc bËc hai hai biÕn Qua t×m hiĨu thấy số lợng HS làm đợc dạng tập không nhiều, số làm đợc nhng lập luận không chặt chẻ thờng gặp phải số sai sót đáng tiếc Vì lẻ đó, GV dạy toán đợc giao nhiệm vụ bồi dỡng đội tuyển HSG lớp 8- Lớp cận kề để chuẩn bị cho em bớc vào nhiều kỳ thi quan trọng- ®· häc hái, tÝch lịy nhiỊu ®iỊu vµ ®ã phân dạng tập để từ xây dựng phơng pháp giải cho dạng Trong viết muốn chia sẻ đồng nghiệp: Một số dạng toán đa thức bậc hai hai biến toán liên quan mà ta thờng gặp kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, vào trờng chuyên lớp chọn B- Nội dung: Xét đa thức bậc hai hai biến dạng tổng quát: f(x;y) = ax + by2 + cxy + dx + ey + h ta thờng gặp số dạng sau - Dạng 1: Tìm GTLN, tìm GTNN f(x;y) tìm cực trị biểu thức nàođó có giá trị liên quan đến đa thức f(x;y) - Dạng 2: Tìm nghiệm nguyên đa thức f(x;y) - Dạng 3: Giải hệ phơng trình phơng trình hệ đa thức f(x;y) - Dạng 4: Biến đổi đồng biểu thức Để giải đợc dạng ta cần cho HS nắm vững ®¼ng thøc: ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2+ 2( ab + bc + ac); ( a + b - c)2 = a2 + b2 + c2+ 2( ab + bc - ac) - Sau xin vào ví dụ cụ thể phơng pháp giải số dạng đà nêu: Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN: Phơng pháp giải: Cách1: Đối với dạng ta thờng biến đổi đa thức f(x;y) thành tổng số không âm tổng số không dơng số, tức là: f(x;y) = [g(x;y)]2 + k f(x;y) = - [g(x;y)]2 + m Cách2: Sư dơng tÝnh chÊt cã nghiƯm cđa tam thøc bËc để đánh giá ẩn Ví dụ 1: Tìm GTNN cđa biĨu thøc A = x2 + y2 +xy - 6x - 6y + 2011 Gi¶i y y - 2x − y + + y − y + + 2008 BiÕn ®æi A = x + 2x + 2 22 4 4 y 3 = ( x + − )2 + ( y- 1)2+ 2008 ≥ 2008 2 Ngời báo cáo : Hoàng Bá Thông Trng THCS Huy Nam Yờn- Cm Xuyờn H Tĩnh y  y 3 x + − = ⇔ V× ( x + − ) ≥ ; ( y- 1) ≥ DÊu “ =” x¶y ⇔  2 2  y −1 =  ⇔ x= y= VËy minA = 2008 x =  y =1 Lu ý: Trong toán trên, HS găp sai sót nh sau: Biến đổi 2A = 2x2 +2y2 +2xy – 6x – 6y +4022 = ( x2 + 2xy +y2) + ( x2 - 6x + 9) + ( y2 -6x + 9) + 4004 = ( x + y)2 + ( x - 3)2 + ( y - 3)2 + 4004 ≥ 4004 (1) Tuy nhiªn dấu = (1) không xảy ( x + y)2 + ( x - 3)2 + ( y - 3)2 Ví dụ 2:Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc: B = - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y - Gi¶i 2 B = - ( x - 2xy + y - 2x + 2y +1) -3(y - 4y +4) +10 = - (x – y- 1)2- 3(y- 2)2+ 10 ≤ 10 x − y −1 = x = ⇔ y − = y = V× - (x – y- 1)2 ≤ ; - 3(y- 2)2 0, nên dấu = xảy ⇔  x = y = VËy MaxB = 10 ⇔  Chó ý: Ta cđng cã thÓ xÐt biÓu thøc: - B = x2 - 2xy + 4y2 - 2x - 10y + = (x - y- 1)2+3(y- 2)2- 10 ≥ - 10 ⇒ B 10 Trên sở cách vụ tỷ hóa ta củng làm đợc tập sau : BT:T×m Min A = x +5y - xy − x − y + B = x +2y - 4xy + x − 10 y Ví dụ 3: (Đề thi TS vào lớp 10 năm học 2008 - 2009 Tỉnh Hà Tĩnh) Cho số thùc x, y thâa m·n x2 + 2y2 + 2xy + 8( x + y) +7 =0 (2) T×m min, Max S = x + y Giải Cách 1: Ta tìm cách biến đổi giả thiết (2) làm xuất hiƯn tỉng x+ y Tõ (2) ⇔ (x +y)2 + 2(x+y).4 +16 +y2 =9 ⇔ (x +y + 4)2 +y = (*) Vì y2 nên dấu “ =” ë (*) x¶y ⇔ (x +y + 4)2 ≤ ⇔ -3 ≤ x+ y+ ≤ ⇔ -7 ≤ x+ y ≤ -1 x + y + =  x = −1 ⇔  y = y =  x + y + = −3  x = − ⇔ S = -7 ⇔  y = y = VËy Max S = -1 ⇔  Cách 2: Ta giải theo điều kiện có nghiệm phơng trình bậc 2: Từ S= x+y=> y=S-x thay vµo biĨu thøc ta cã: (2) x2 -2Sx +2S2 +8S +7 =0 Ngời báo cáo : Hoàng Bá Th«ng Trường THCS Huy Nam Yên- Cẩm Xuyên Hà Tĩnh , Phơng trình bậc hai ẩn x có nghiÖm ⇔ ∆ ≥ -S2 -8S -7 ≥ (S+7)(S+1)  x + y = −1  x = −1  ≥ -7 ≤ S ≤ -1 VËy Max S = -1  x = S y =  x + y = −7  x = −7  Min S= -7  x = S y = VÝ dơ ( §Ị thi TS líp 10- TØnh Hà tĩnh- năm học 2010 -2011) Tìm x để y lín nhÊt thâa m·n: x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 6y +13 = (3) Gi¶i 2 Tõ (3) ⇔ x + 2xy + y - 2.x.4 -2y.4 +16 + y2 + 2y + = ⇔ ( x +y - 4)2 +( y +1)2 = Vì ( x +y - 4)2 nên dÊu “ =” ë (3) x¶y ⇔ ( y + 1)2 ≤ ⇔ - ≤ y+ ≤ x + y − = ⇔ -3 ≤ y ≤ ⇒ y ≤ , dÊu “ =” x¶y ⇔  ⇔ y =1 VËy Max(y) = ⇔ x =3 VÝ dô :( Đề thi TS lớp 10- ĐHQG Hà nội - năm học 04-05) Tìm căp số ( x; y) cho y nhá nhÊt tháa m·n: x2 + 5y2 +2y - 4xy -3 = C¸ch1: x2 + 5y2 +2y - 4xy - = ⇔ ( x2 - 4xy + 4y2 ) + (y2 + 2y +1) = ⇔ ( x – 2y)2 + ( y +1)2 = (*) Vì ( x -2y)2 nên dÊu “ =” ë (*) x¶y ⇔ ( y + 1)2 ≤ ⇔ - ≤ y+ ≤ x =  y =1  x − 2y = x = ⇔ -3 ≤ y ≤ ⇒ y ≥ −3 , dÊu “ =” x¶y ⇔  ⇔  y = −3  y = −3 C¸ch2: x2 + 5y2 +2y - 4xy - = ⇔ x2 - 4xy + (5y2 +2y - 3) = ( pt bËc ẩn x) , Phơng trình có nghiệm ⇔ 4y2 - ( 5y2 + 2y – 3) ≥ ⇔ ( 1-y)(y+3) ≥ -3 ≤ y ≤ LËp luËn nh trªn ta cã ( x;y) = ( 6; -3) ã Bài tập tự luyện: 1) T×m Max P = -x2 -y2 + xy + 2x + 2y + 2) T×m P = 2x2 + 4y2 + 4xy + 2x + 4y + 3) Tìm cặp số (x;y) cho y nhỏ nhÊt tháa m·n: x2 + 5y2 - 4xy + 2y - = 4) Cho c¸c sè thùc (x;y) tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy + 6x + 8y + = T×m min, Max cđa S = x + y +2010 5) Cho x + y + z =3 T×m Max D = xy + 2yz + 3xz 6) Cho c¸c sè thùc (x;y; z) tháa m·n: x + y +2z = T×m P = 2x2 + 2y2 - z2 7) Cho x, y, z số không âm thỏa mÃn: x+y+z = Tìm Max P = ( x+2y+3z)(6x+3y+2z) Ngời báo cáo : Hoàng Bá Thông Trng THCS Huy Nam Yờn- Cm Xuyờn H Tnh Dạng 2: Tìm nghiệm nguyên đa thức f(x;y) Tìm nghiệm nguyên đa thức f(x;y)= ax2 + by2 + cxy + dx + ey + h ĐK: a2 + b2 Phơng pháp giải: +) C1: Có thể biến đổi đa thức f(x;y) thành tổng bình phơng biểu thức +) C2: Đa phơng trình ớc số +) C3: Tách f(x;y) thành phần nguyên +) C4: Giải điều kiện phơng trình bậc2 ẩn x y Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên đa thức: 5x2 + 5y2 + 8xy - 2x + 2y + = (1) Giải Cách 1: Từ (1) 25x2 + 25y2 + 40xy - 10x + 10y + 10 = ⇔ (5x)2 +2.5x.4y +(4y)2 - 2.4y.1 + +9y2 +18y + = ⇔ ( 5x + 4y – 1)2 + 9( y + 1)2 = 5 x + y − = x = ⇔ ⇔  y +1 = y =1 thư l¹i ta cã x = 1; y = C¸ch 2: Sư dơng ®iỊu kiƯn cã nghiƯm cđa tam thøc bËc Tõ (1) ⇔ 5x2 + 2( 4y - 1)x + 5y2 + 2y + = ( pt bËc Èn x) , ∆ = 16y2 – 8y +1- 25y2 -10y -10 = - 9y2 -18y - = - 9( y -1)2 ≤ , (1) cã nghiÖm ⇔ ∆ = ⇔ y = tõ ®ã suy x = Thư l¹i ta cã (x;y) = ( 1;1) Ví dụ 2: Tìm cặp số (x, y ) nguyªn tháa m·n: 3x2 + 4y2 + 6x +4 y - = (2) Gi¶i ⇔ 3( x + 1)2 +( 2y +1)2 = (*) Cách1: (2) Do 3(x + 1)2 nên dấu “ =” ë (*) x¶y ⇔ (2y + 1)2 ≤ ⇔ - ≤ 2y+ ≤ ⇔ -2 ≤ y ≤ V× y ∈ Z nªn y ={-2; -1; 0; 1}suy (x;y) =(-1; -2); (-1; 1) Cách2: Sử dụng điều kiện có nghiệm tam thøc bËc ( §èi víi HS líp 9) 3x2 + 4y2 + 6x +4 y - = ⇔ 3x2 + 6x + (4y2 +4 y -5) = ( pt bËc Èn x) , ∆ = - 12y2 - 12y + 15 = - 12( y2 + y -2) = -12(y-1)( y +2) , Để pt có nghiệm -2 y Vì y Z nên y ={-2; -1; 0; 1} Thay y vào để tính x thử lại ta có (x;y) =(-1; -2); (-1; 1) Theo cách ta giải toán sau Ví dụ3 ( Đề TS 10 Chuyên tỉnh Hà tĩnh 07-08) Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 - xy +y2 = 2x - 3y -2 (3) Gi¶i ⇔ x2 - ( y +2)x + y2 + 3y +2 = (3) ( pt bËc Èn x) Ngời báo cáo : Hoàng Bá Thông Trng THCS Huy Nam Yên- Cẩm Xuyên Hà Tĩnh ∆ = ( y +2) - 4y - 12y -8 2 = y2 +4y +4 -4y2 -12y -8 = - ( 3y2 + 8y + 4) = - ( y +2)( 2y + 2) Để pt có nghiệm ⇔ - ( y +2)( 3y + 2) ≥ ⇔ - ≤ y ≤ − V× y Z nên y ={-2; -1} từ ta tính đợc cặp (x;y) = (0;-1); ( 1; -1) ; ( 0; -2) VÝ dơ 4: ( §Ị thi TS lớp 10-Chuyên Toán ĐH Vinh) Tìm số x, y tháa m·n : xy + 2x + y +1 ≥ 4x2 + y2 (4) Tõ (4) ⇔ 4x2 + y2 - 2xy - 2x - y ≤ 2 y y 1 ⇔ (2x) - 2.2x + y - 2.2x + + + y − y + ≤ 2 2 4 4 ⇔ ( 2x - y y − ) + (y -1)2 ≤ ( 2x - − )2 ≥ nªn (y -1)2 ≤ 2 2 ⇔ (y -1)2 ≤ ⇔− 8 8 ≤ y −1 ≤ ⇔ 1− ≤ y≤ + y ∈ Z nªn y ={ -1; 0; 1; 2} 3 3 TH1: y =-1 ta cã: (2x)2 + ≤ ( không xảy ra) TH2: y = ta có ( 2x - ⇔ ) + ≤ ⇔ ( 2x - )2 ≤ 4 5 ≤ 2x ≤ + 4 Do x ∈ Z nªn ( x; y) = ( ; 0) TH3: y = Ta cã: ( 2x -1)2 ≤ ⇔ - ≤ 2x - ≤ 1− 1+ ≤x≤ ⇔ 2 Do x ∈ Z nên cặp số ( x; y) = ( 0; 1) ; ( 1; 1) TH4: y = ( ta giải tơng tự) Ví dụ 5: Tìm x, y Z tháa m·n: 4x2 + 2xy + 4x + y + = (5) Tõ (3) ⇔ y( 2x +1) + 4x2 +4x +3 = (*) NhËn thấy x = - 0,5 nghiệm (*) nªn ta cã: y = −4 x − 4x − = 2x +1 −( x +1) −2 2x +1 ∈ Z nªn 2x +1 ∈ ¦(2) VËy ta cã: Do y 2x + = 2x + = Từ suy ( x; y) = ( 0; -3) ; ( -1;3) = −2 x − − 2x +1 Ví dụ 6: Tìm cặp số (x, y ) nguyên tháa m·n: 2y2x +x +y +1 = x2 + 2y2 + xy Gi¶i 2 2 2y x +x +y +1 = x + 2y + xy ⇔ 2y ( x-1) - y( x-1) - x( x- 1) +1 = (6) Ngời báo cáo : Hoàng Bá Thông Trường THCS Huy Nam Yên- Cẩm Xuyên Hà Tĩnh NhËn thấy x = nghiệm (6) Chia vế (6) cho (x-1) ta đợc: 2y2 - y -x + = (6.1) Do y ∈ Z nªn x - ∈ { -1; 1} suy x = hc x = Thay x x vào (6.1) thử lại ta đợc (x;y) = ( ;1) ; (0;1) Từ toán trên, nâng lên ta củng giảI toán sau: Ví dụ 7: Tìm x, y, z nguyên dơng thỏa mÃn: x + = y + z ⇒ x + = y + z + yz ⇒ [ x -( y +z)]2 + [ x -( y +z)] + 12 = 4yz (1) NÕu x ≠ y + z (2) th× ta cã: Tõ (1) ⇔ = − x−  ( y + z )  − 12 + 4yz  x − ( y + z ) nên số hữu tỷ ( v« lý) NÕu x = y + z Tõ (1) ⇒ yz = ⇒ y =1; z = y =3; z = Vì từ (2) ta suy x = Thư l¹i ta thÊy ( x; y; z ) = (4; 3; 1) ; ( 4; 1; 3) *) Bµi tËp tù lun: Tìm cặp số (x, y ) nguyên thỏa mÃn: 1) x2 + y2 + xy - 2x - y = 2) x2 + 2y2 - 2xy + 3x - 3y + = 3) x2 + 2y2 + 2xy - 3y - = 4) 2x2 + y2 - 2xy + y = 5) 10x2 + 20y2 + 24xy + 8x - 24y + 51 ≤ Dạng 3: Giải hệ phơng trình: Phơng pháp giải: BiÕn ®ỉi biĨu thøc ax2 + by2 + cxy + dx + ey + h thành tổng tích đa thức Kết hợp với phơng trình thứ hệ để giải Ví dụ1: Giải hệ phơng trình:  2− x y − xy − x + 11y − = ( 1)  ( I)  2  x + y = 5(2) Giải Nhân vế (1) với 4, biến ®ỉi ta ®ỵc: 4x2 - 4xy + y2 - 2.2x.2 + 2y.2 + 4- 25y2 + 40y - 16 = ⇔ ( 2x – y – 2)2 – (5y – 4)2 = ⇔ ( 2x -6y +2) ( 2x + 4y -6) = 2 x − y + = ⇔ 2 x + y − =  x − y + =  2   x + y =  Khi ®ã (I) ⇔  Từ x vào y, ta giải đợc x + y − =   2  x + y =  Ngêi báo cáo : Hoàng Bá Thông Trng THCS Huy Nam Yờn- Cm Xuyờn H Tnh Ví dụ2: Giải hệ phơng tr×nh:km x + y =   x + y =  x +y x + y =  ⇔   ( x + y )  x − xy +   y =   x +y x + y = x = x = ⇔ ⇔ hc   xy = y = y = Ví dụ3: Giải hệ phơng tr×nh:  3x =  (I )  3x − ) 2x − y + 1) =  x + y =  2   y = 2x + + =1  (II )   x + y =   ( 6x − 3xy + x = − y  ⇔  2 x + y = x   ( y Giải hệ (I) (II) ta đợc nghiệm ( x;y) : 1 2   −4 −3   −2   ; ÷, ( 0;1) ,  ; ÷,  ; ÷ 3 ÷  5  3 ÷     Ví dụ4: Giải phơng trình 3x 5x 6x + + 2 − 10 x + = + x − x (4) (4) ⇔ ( x −1) + + ( x −1) + = − ( x −1) NhËn xÐt: ( x- 1)2 ≥ víi mäi x nªn VT ≥ 3; VP ≤ DÊu “ = “ x¶y ⇔ x-1 = ⇔ x = Ví dụ5: Giải phơng trình: x x + − x + + 10 = (5) §K: x ≥ −1 2 (5) ⇔ ( x + − x + + 1) + ( x + − x + + 4) = ⇔ Ta thÊy x = lµ nghiƯm cđa pt (5) ( ) ( x +1−1 + x+ −2 ) =0 Bài tập tự luyện: Giảiphơng trình hệ phơng trình: 2 + − x + y =  x y 1)  2 3 x − y − x − y =  2)  + y + x+ y = x   x ( x + y + 1) + y ( y + 1) =  5) x − x + + 6) x 45x − 30 x + = x − x + + x − 36 = 12 x + Dạng 4: Biến đổi đồng biểu thức Ví dụ1: Cho x+y+z =xyz ; 1 + + =2 x y z TÝnh P = 3)  xy + x + y = − 2y 2(1)  x ( x,y ∈ R)   x 2y − y x − = 2x − 2y (2)  4)  2+ =2 x y   x + xy + = x + y  + + x y z Ngời báo cáo : Hoàng Bá Thông Trng THCS Huy Nam Yên- Cẩm Xuyên Hà Tĩnh Gi¶i  1  Tõ x+y+z =xyz ⇒  + + ÷=  xy xz yz  1 Tõ + + = ⇒ x y z ⇒ + + x y z 1 1  x+y+z ÷ =   1 +  + +  = ⇒ + + +2 =4  ÷  xy xz x y z yz  VËy P = -2 = VÝ dô2 1 1 Cho + + = Chøng minh x y z xyz x y z Tõ gi¶ thiÕt ⇒ ( + ) + ( − x + 2011 y + 2011 z 2011 = x 2011 +y 2011 +z 2011 = ( x+y +z ) x+y x+y ) = ⇒ xy + z x + y + z = ( ) x+y+z ( ⇒ ( x +y )[z(x +y + z) + xy] = ⇒ ( x +y ) xz + yz + xy + z ⇒ ( x+y) (y+z) ( x+z) = x + y =  x = −y  y + z = ⇒  y = −z ⇒  x + z = z = −x 1 ) =0 Từ ta có điều phải chứng minh Ví dụ3: Cho x + y − z = x + y − z (víi x; y; z không âm) Chứng minh: 2010 x + 2010 y − 2010 z = 2010 x + y − z Tõ GT ⇒ x + y = x + y z + z Bình phơng vế ta đợc: x+y +2 xy = x + y z +z +2 z ( x + y − z ) ⇒ xy = z ( x + y − z ) ⇒ xy = xz +yz ⇒ ( x –z)(y –z) =0 ⇒ x =z hc y = z Từ ta có điều cần phải chứng minh Bài tËp tù luyÖn: x + y + z = Bài 1: Cho x, y, z sè d¬ng tháa m·n:  2 x + y + z =  TÝnh  + 1)  + 1 y  x   +y S=z  z +1 ( x + 1)( z + 1) 2 y +1 ( )  + 1 + y z  +x  x +1 Gi¶i Tõ gi¶ thiÕt x+y+z = ⇒ x +y +z +2( xy+xz+yz) = ⇒ xy +xz + yz = ⇒ x2 +1 = x2 +xy+xz +yz = (x +y)( x+z) y2 + = y2 + xy+xz +yz = (x +y)( y+z) 2 Ngời báo cáo : Hoàng Bá Thông z 2011 Trường THCS Huy Nam Yên- Cẩm Xuyên Hà Tĩnh z + 1= y + xy+xz +yz = (x +z)( y+z) ⇒ S=z ( x+ y ) +y ( x+ z ) +x ( y+ z ) = z (x+y) + y(x+z) + x (y+z) = 2(xy +xz + yz ) = Bµi Cho số dơng thỏa mÃn x + y + z = vµ x+y+z =  y x z  +  1 + x + y + z    TÝnh P = (1 + x )(1 + y )(1 + z ) C-Kết luận: Dạy học toán trờng phổ thông hoạt động toán học mà đối tợng nghiên cứu toán sở khái niệm, định nghĩa, địnhlý,của toán học Chính việc giúp HS lỉnh hội tri thức toán học để phục vụ cho việc học toán trớc nhứau này, việc rèn luyện kỷ năng, phơng pháp giải toán, phơng pháp t sáng tạo vô quan trọng cần thiết Ngời báo cáo : Hoàng Bá Thông ... -2) Ví dụ 4: ( Đề thi TS lớp 10 -Chuyên Toán ĐH Vinh) Tìm số x, y thỏa mÃn : xy + 2x + y +1 ≥ 4x2 + y2 (4) Tõ (4) ⇔ 4x2 + y2 - 2xy - 2x - y ≤ 2 y y 1 ⇔ (2x) - 2. 2x + y - 2. 2x + + + y − y + ≤ 2. .. nhÊt tháa m·n: x2 + 5y2 +2y - 4xy -3 = C¸ch1: x2 + 5y2 +2y - 4xy - = ⇔ ( x2 - 4xy + 4y2 ) + (y2 + 2y +1) = ⇔ ( x – 2y )2 + ( y +1 )2 = (*) Vì ( x -2y )2 nên dấu =” ë (*) x¶y ⇔ ( y + 1 )2 ≤ ⇔ - ≤ y+... Max P = -x2 -y2 + xy + 2x + 2y + 2) T×m P = 2x2 + 4y2 + 4xy + 2x + 4y + 3) Tìm cặp số (x;y) cho y nhỏ thỏa m·n: x2 + 5y2 - 4xy + 2y - = 4) Cho c¸c sè thùc (x;y) tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy + 6x +