Đang tải... (xem toàn văn)
Bao gồm những phép toán các bài giải mẫu và ví dụ giúp cho việc học hiệu quả và hiểu bài hơn trong môn Toán cao cấp, đặc biệt là phần giải tích, giải ma trận, một trong những phần làm nhiều học sinh băn khoăn
§ 2. CÁC PHÉP TOÁN ĐỐI VỚI MA TRẬN I. Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số 1. Định nghĩa phép toán 2. Các tính chất cơ bản II. Phép nhân ma trận với ma trận 1. Định nghĩa phép toán 2. Các tính chất cơ bản 1 I. Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số. Định nghĩa 1: Cho hai ma trận cùng cấp: Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp 2 Ký hiệu là A + B và được xác định như sau: Định nghĩa2: Chomatrậnvàsốthực. TíchcủatrậnAvàsốthựclàmộtmatrậncấp 3 Ký hiệu là và được xác định như sau: Nhận xét: +Phépcộngmatrậnchỉápdụngchocácmatrậncùngcấp. +Việcthựchiệnphépcộnghaimatrậnvànhânmatrậnvớisốđược thựchiệntươngtựnhưđốivớivectơ: 4 Cụ thể: Quy tắc cộng: ”Cộng hai ma trận cùng cấp ta cộng các phần tử ở vị trí tương ứng với nhau.” Quy tắc nhân véc tơ với số: ”Nhân một ma trận với số ta nhân số với tất cả các phần tử của ma trận đó.” 5 Ví dụ: Cho hai ma trận , Hãylập:A+B,2A,3B,2A+3B. Giải: 6 , 7 Các tính chất cơ bản của phép cộng và nhân ma trận với số: (8 tính chất) VớiA,B,Clàcácmatrậncùngcấplàcácsốbấtkỳ,tacó: 1. Giaohoán: 2. Kếthợp: 3. Cộngvớimatrận0:A + 0 = 0 + A = A 8 4. Cộngvớimatrậnđối:A + (–A) = 0. 5. Nhân với 1: 1.A = A.1 =A. 6. Phân phối: 7. Phânphối: 8. Kếthợpvớiphépnhân: 9 Chú ý: Tacóphéptrừhaimatrận: A – B = A + (–B) Như vậy, Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp : Thì: 10 [...]... Dạng ma trận Các tính chất cơ bản của của hệ nhân: phép pttt 1) Tính kết hợp: (AB)C = A(BC) =ABC 2) Tính phân phối đối với phép cộng: 31 3) Tính chất này cho ta qua tắc: “Khi nhân một số với tích của hai ma trận ta có thể nhân số đó với một trong hai ma trận của tích” 4) Mọi ma trận đều không thay đổi khi nhân với ma trận đơn vị: 32 Đặc biệt nếu A vuông: 5) Mở rộng: Chú ý: Đối với. .. các ma trận: 13 b) Tìm ma trận X thỏa mãn Giải: a) 14 15 b) Giả thiết: ta có, 16 Vậy, X= 17 II Phép nhân ma trận với ma trận Định nghĩa: Cho hai ma trận a11 a12 a a 22 21 A= L L a m1 a m2 L L L L a1n b11 b12 ÷ b a 2n ÷ B = 21 b 22 L L ÷ L ÷ a mn m×n b n1 b n 2 số cột của A bằng số dòng B 18 L L L L b1p ÷ b 2p ÷ L ÷ ÷ b np n×p Định nghĩa: Tích của ma trận. .. 2 Cấp của ma trận tích AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước và số cột bằng số cột của ma trận đứng sau 22 3 Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử cij (nằm ở dòng i, cột j của AB) là tích vô hướng của dòng i (của ma trận đứng trước) và cột j (của ma trận đứng sau) cij = A × B d i c j 23 Ví dụ 1: Cho hai ma trận −3 1 2 A= ÷ ; 9 −4 2 2×3 5... hai ma trận cùng cấp ta trừ các phần tử của ma trận đứng trước cho các phần tử tương ứng của ma trận đứng sau” Nhận xét: 11 Chú ý: “Từ các tính chất trên ta suy ra thực hiện biến đổi một biểu thức ma trận (hay đẳng thức ma trận) có thể thực hiện như biến đổi một biểu thức(hay đẳng thức đại số) Tức là, có thể: nhân phân phối, chuyển vế đổi dấu,… ” 12 Ví dụ: (Bài 2 – Trang 112-SGTr) Cho hai ma trận: ... ma trận A và ma trận B là một ma trận cấp , ký hiệu là AB và được xác định như sau: c11 c12 c c 22 21 L L c m1 c m2 L L L L c1p ÷ c 2p ÷ L ÷ ÷ c mp m×p 19 Ở đó: Phần tử thuộc dòng i cột j của AB 20 Chẳng hạn: 21 Chú ý: 1 Tích AB có nghĩa (thực hiện được) khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước (A) bằng số dòng của ma trận đứng sau (B) 2 Cấp của ma trận tích AB... Phần tử nằm ở dòng 2, cột 3 của ma trận A'B là: 50:50 A: 13 B: - 23 C: 25 D: -2725 3 1 2 3 2 ÷ 4÷ 3÷ ÷ 1 Ví dụ 4: Cho 3 ma trận: −3 2 1 1 2 3 3 −2 1 5 −6 1 ÷;B = 8 −4 1 ÷;C = 3 6 −2 ÷ A= ÷ ÷ ÷ 7 −2 4 ÷ 3 6 −2 ÷ 5 1 7 ÷ a) Tìm phần tử nằm ở dòng 2, cột 3 của ma trận: b) Tìm phần tử nằm ở dòng 3, cột 1 của ma trận: 28 Liên hệ với hệ phương trình tuyến tính:... Hãy lập ma trận BA (A, B trong Ví dụ 1) B3×2 A 2×3 = BA 3×3 24 −11 8 33 −14 2 ÷ BA = ÷ −24 9 8 ÷ Nhận xét: Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán 25 Ví dụ 2: Cho hai ma trận: 2 −4 1 3 −2 1 3 4 2 5 ÷; B = 5 m 4 −1÷ A= ÷ ÷ 8 2 −3 ÷ 2 5 3 6 ÷ Lập 42 4m + 36 42 50 2 2m + 18 10 −2 ÷ A′B = ÷ 22 5m − 17 12 −20 ÷ 26 Ví dụ 3: Cho 2 ma trận: 2... với hệ phương trình tuyến tính: Xét hệ phương trình tuyến tính: a11x1 a x 21 1 L a m1x1 + + a12 x 2 a 22 x 2 L + a m2 x 2 + L + L L + L + + = = a1n x n a 2n x n L b1 b2 L + a mn x n = bm 29 Ma trận hệ Ta có: a11 a12 a a 22 21 A= L L a m1 a m2 số L L L L Cột ẩn số Cột số hạng tự dosố a1n x1 b1 ÷ x ÷ b ÷ a 2n ÷; X = 2 ÷; B = 2 ÷ L ÷ L ÷ L ÷ ÷ ÷ ÷ a mn xn ... ma trận ta có thể nhân số đó với một trong hai ma trận của tích” 4) Mọi ma trận đều không thay đổi khi nhân với ma trận đơn vị: 32 Đặc biệt nếu A vuông: 5) Mở rộng: Chú ý: Đối với ma trận vuông ta có thể sử dụng ký hiệu lũy thừa: 33 Tổng quát: m lần ………………34……………… 34 . cộng ma trận và nhân ma trận với số. Định nghĩa 1: Cho hai ma trận cùng cấp: Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp 2 Ký hiệu là A + B và được xác định như sau: Định nghĩa2: Cho ma trậnvàsốthực. TíchcủatrậnAvàsốthựclàmột ma trậncấp 3 Ký. § 2. CÁC PHÉP TOÁN ĐỐI VỚI MA TRẬN I. Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số 1. Định nghĩa phép toán 2. Các tính chất cơ bản II. Phép nhân ma trận với ma trận 1. Định nghĩa phép toán 2 Cho ma trậnvàsốthực. TíchcủatrậnAvàsốthựclàmột ma trậncấp 3 Ký hiệu là và được xác định như sau: Nhận xét: +Phépcộng ma trậnchỉápdụngchocác ma trậncùngcấp. +Việcthựchiệnphépcộnghai ma trậnvànhân ma trậnvớisốđược thựchiệntươngtựnhưđốivớivectơ: 4 Cụ