B h a b c a a a B h A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DI Ệ N I/ Các công thức thể tích của khối đa diện: 1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h với B:dieän tích ñaùy h : chieàu cao    a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c là ba kích thước b) Thể tích khối lập phương: V = a 3 với a là độ dài cạnh 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: V= 1 3 Bh với B: dieän tích ñaùy h : chieàu cao    3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có: SABC SA'B'C' V SA SB SC V SA' SB' SC' = C' B' A' C B A S Chú ý: 1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 , Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 , Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = 2 2 2 a b c + + , 2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 3 2 a 3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy). 4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc với mp ( ABC), biết AB = a, BC = 3a và SA = 3a. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn BI theo a. Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh SA vuông góc với BC b) Tính thể tích khối chóp S. ABI theo a Bài 3: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA=AB=BC= a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 1 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SA bằng 3a . a) Tính thể tích của khối chóp S. ABCD b) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp S. ABCD. Bài 5: Cho hình chóp S. ABC có SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a, AB =BC= 3a . Tính thể tích của khối chóp S. ABC. Bài 6: Cho khối chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là hai tam giác đều nằm trong hai mp vuông góc nhau . Biết BC =1, tính thể tích của khối chóp S.ABC. Bài 7: Cho khối chóp S. ABC có đáy ABC là tam gíac vuông cân tại A và hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Biết SA hợp với đáy góc 0 60 α = . Tính thể tích của khối chóp S.ABC Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi , ABC va SAC là hai tam giác đều cạnh a, SB =SD. Tính thể tích của khối chóp S. ABCD. Bài 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cho SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết SA =2a, AB = a, BC =3a. Tính thể tích của khối chóp S. ABC. Bài 10: Cho khối chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B , Cho SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). , SA = AD = 2a và AB =BC = a . Tính thể tích của khối chóp S. ABCD. Bài 11: Cho hình chop S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) , góc giữa SC và đáy (ABCD) là 45 0 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB =a, AC =2a. Đỉnh S cách đều A,B,C, mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. HD : bài 12: Bài 13: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng 3a và hình chiếu ( vuông góc ) của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ ,từ đó suy ra thể tích của khối chóp A’. ABC HD: Bài 14: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 60 0 , A’ cách đều A,B,C. Chứng minh BB’C’C là hình chữ nhật và tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. HD: Bài 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại A, AC = b, · 0 60ACB = . Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng ( AA’C’C) một góc 30 0 . 2 a) Chứng minh tam giác 'ABC vuông tại A b) Tính độ dài đoạn AC’ c) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ đó suy ra thể tích của khối chóp C’.ABC HD: Bài 16: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA’ và BB’. Mặt phẳng (C’MN) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần . a)Tính thể tích của khối chóp C’.ABC theo V b) Tính thể tích của khối chóp C’. ABB’A’ theo V c) Tính thể tích khối chóp C’. MNB’A’ theo V d) Tính tỉ lệ thể tích của hai khối chóp C’. MNB’A’ và ABC.MNC’. 17. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại B. Biết BB’ = AB = h và góc của B’C với mặt đáy bằng α . a) CMR: g(BCA) = g(B’CB) và tính thể tích của khối lăng trụ. b) Tính diện tích thiết diện tạo nên do mp(ACB’) cắt hình lăng trụ. 18. Một hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC. a) Tính góc giữa cạnh bên với đáy và tính thể tích của lăng trụ. b) CMR: mặt bên AA’C’C là hình chữ nhật. 19.Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = b, góc C = 60 0 .Đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 30 0 . a) Tính độ dài đoạn AC’ b) Tính thể tích của lăng trụ. 20. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và ba góc ở đỉnh A đều bằng 60 0 . Tính thể tích của khối hộp đó theo a. 21. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy một góc 60 0 . a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó. b) CMR: mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật. c) Tính tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ(Gọi là diện tích xung quanh). 22. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ . Gọi M là trung điểm của AA’. Mặt phẳng đi qua M, B’, C chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. 23. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. a) Tính thể tích khối tứ diện A’.BB’C b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích khối chóp C.A’B’FE. 24. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB’D’ và thể tích khối hộp. 25. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính tỉ số thể tích của khối chóp O.A’B’C’D’ và khối hộp đã cho. 26. Đáy của khối chóp là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Mặt bên qua cạnh huyền vuông góc với đáy, mỗi mặt bên tạo với đáy một góc 45 0 . a) CMR chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh huyền. b) Tính thể tích khối chóp. 3 37. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB bằng α . CMR: đường cao của khối chóp h = 1 2 cot 2 2 − aa và tính thể tích khối chóp. 28. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên với đáy bằng 60 0 . a) Tính thể tích khối chóp. b) Tính góc do mặt bên tạo với đáy. 29. Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, AC = a, SA ⊥ (ABC), góc giữa cạnh bên SB và đáy bằng 60 0 . a) Chứng minh BC ⊥ (SAB) b) Tính thể tích tứ diện SABC. 30. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên hợp với đáy một góc 60 0 a) Tính thể tích khối chóp. b) Tính khoảng cách giữa AB và mp(SCD). 31. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA ⊥ (ABC), góc giữa mặt bên (SBC) và đáy bằng 60 0 . a) Tính thể tích khối chóp. b) Xác định điểm I cách đều các đỉnh của hình chóp và tính IA 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi I là trung điểm của AB, SI ⊥ (ABCD), góc giữa mặt bên (SCD) và đáy bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp. 33. Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Tính đường cao OH của hình chóp. 34. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF. 35. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 60 o . Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA. a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC. b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC. 36. Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60 o . Tính thể tích của khối chóp. 37. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60 o . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF B. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU. I) MẶT NÓN, HÌNH NÓN, KHỐI NÓN: 1) Mặt nón: Cho hai đường thẳng ∆ và d cắt nhau tại O và tạo thành góc α (0 < α < 90 0 ). Mặt tròn xoay sinh ra bởi đường thẳng d khi quay quanh đường thẳng ∆ gọi là mặt nón. * d: đường sinh * ∆ : trục * O đỉnh * 2 α : góc ở đỉnh 2) Hình nón: Hình nón tròn xoay là hình sinh ra bởi một tam giác vuông khi quay quanh một cạnh góc vuông. * Diện tích xung quanh: S xq = π rl l: độ dài đường sinh r: bán kính đường tròn đáy. 3) Khối nón: Hình nón cùng với phần trong của nó 4 được gọi là khối nón. * Thể tích khối nón: V= π 3 1 r 2 h . h: độ dài đường cao r: bán kính đường tròn đáy II) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ: 1) Mặt trụ: Cho hai đường thẳng ∆ và d song song nhau và cách nhau một khoảng bằng r. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng d khi quay quanh ∆ gọi là mặt trụ. * d: đường sinh * ∆ : trục 2) Hình trụ: Hình trụ tròn xoay là hình sinh ra bởi một hình chữ nhật khi quay quanh một cạnh. * Diện tích xung quanh: S xq = 2 π rl l: độ dài đường sinh r: bán kính đường tròn đáy. 3) Khối trụ: Hình trụ cùng với phần trong của nó được gọi là khối trụ. * Thể tích khối nón: V= r 2 h . h: độ dài đường cao r: bán kính đường tròn đáy  Chú ý: đối với khối trụ h = l. III) MẶT CẦU, HÌNH CẦU, KHỐI CẦU: 1) Mặt cầu: Cho điểm O cố định và số thực r. Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O một khoảng bằng r được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r. Kí hiệu: S(O,r) = { } rOMM = Chú ý: * OA > r ⇔ A nằm ngoài (S) * OA < r ⇔ A nằm trong (S) * OA = r ⇔ A nằm trên (S) 2) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu S(O,r) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O trên mp(P) và d= OH là khoảng cách từ O đến mp(P). * d > r ⇔ (P) không cắt (S) hay (P) ∩ (S) = φ * d = r ⇔ (P) tiếp xúc (S) tại H Khi đó: (S): tiếp diện, (H): tiếp điểm * d < r ⇔ (P) cắt (S) theo đường tròn (C) có tâm H, bán kính 22 dr −  Chú ý: nếu d = 0 hay O ≡ H thì (P) cắt (S) theo đường tròn C(O, r) 3) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu S(O,r) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của O trên ∆ và d= OH là khoảng cách từ O đến ∆. * d > r ⇔ ∆ không cắt (S) hay ∆ ∩ (S) = φ * d = r ⇔ ∆ tiếp xúc (S) tại H Khi đó: ∆: tiếp tuyến, (H): tiếp điểm 5 * d < r ⇔ (P) cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B 4) Diện tích xung quanh hình cầu, thể tích khối cầu: * Diện tích xung quanh hình cầu: S xq = 4 π r 2 . * Thể tích khối cầu: V = 3 4 π r 3 . BÀI TẬP 1) Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm. a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho. b) Tính thể tích của khối nón. c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 cm. Tính diện tích thiết diện đó. 2) Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ. b) Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song vói trục và cách trục 3cm. Tính diện tích của thiết diện được tạo nên. 3) Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được một thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a.Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó. 4) Một hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h = r 3 . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ. c) Cho hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30 0 . Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. 5) Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 . a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích khối nón. b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 60 0 . Tính diện tích tam giác SBC. 6) Mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ. c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ. 7) Một khối nón có góc ở đỉnh bằng 120 0 và có bán kính đáy bằng r . Tính diện tích của thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau. 8) Một khối lăng trụ đứng có chiều cao h và có đáy là một tam giác đều cạnh a. Tính thể tích của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ này. 9) Một khối tứ diện đều có cạnh bằng a nội tiếp trong một khối nón. Tính thể tích của khối nón đó. 10) Một khối trụ gọi là nội tiếp trong một khối cầu nếu hai đường tròn đáy của khối trụ nằm trên mặt của khối cầu. a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ nội tiếp trong một khối cầu bán kính R nếu biết đường cao của khối trụ là h. b) Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ nội tiếp trong khối cầu bán kính R cho trước. 11) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của của khối trụ có đường tròn của hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABCD và A’B’C’D’. b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là đường tròn nội tếp hình vuông A’B’C’D’. 12) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương đã cho. 13) Cho tứ diện D.ABC có DA ⊥ (ABC) và DA = 5a, tam giác ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện 14) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp. 15) Cho tứ diện D.ABC có DA ⊥ (ABC) và DA = 4a, tam giác ABC vuông tại B và AB = 6a, BC = 8a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện. 16) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a, 6 Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D. 17) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D. 18) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng 19) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Dựng mp(P) qua A và vuông góc với SC. Mặt phẳng (P) cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. a) CMR: 7 điểm A, B, C, D, A’, B’ C’, D’ luôn nằm trên một mặt cầu b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo thành. 20) Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc bằng 60 0 . a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng. 21) Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao h. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ. b) Tính diện tích mặt cầu đó 7 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1.Hệ tọa độ trong không gian Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đội một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. Nếu ta lấy ba vectơ đơn vị →→→ kji ,, lần lượt trên Ox, Oy, Oz thì: 0 ,1 222 ====== →→→→→→→→→ ikkjjikji 2.Tọa độ của điểm và của vectơ. M(x ; y ; z) →→→ ++=⇔ kzjyixOM →→→→→ ++=⇔= kzjyixuzyxu );;( Cho A(x 1 ; y 1 ; z 1 ), B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) );;( 121212 zzyyxxAB −−−=⇒ 3.Vectơ bằng nhau. Tọa độ của vectơ tổng, hiệu. Cho );;(),;;( 222111 zyxvzyxu == →→ *      = = = ⇔= →→ 21 21 21 zz yy xx vu * );;( 212121 zzyyxxvu ±±±=± →→ * Rkkzkykxuk ∈= → );;( 111 * ),();;( 212121 Rnmnzmznymynxmxvnum ∈+++=+ →→ 4.Hai vectơ cùng phương. . →→ vu, cùng phương ( 1 2 1 2 1 2 12 12 12 .:)0)(// z z y y x x kzz kyy kxx ukvRkuvu ==⇔      = = = ⇔=∈∃⇔≠ →→→→→→ 5.Chia đọan thẳng theo tỉ số cho trước. .M chia đọan AB theo tỉ số k          − − = − − = − − = ⇔=⇔≠ k kzz z k kyy y k kxx x MBkMA BA M BA M BA M 1 1 1 1 .M là trung điểm AB thì M       +++ 2 ; 2 ; 2 BABABA zzyyxx 6.Tích vô hướng của hai vectơ. Cho hai vectơ );;(),;;( 222111 zyxvzyxu == →→ . 212121 ,cos.||||. zzyyxxvuvuvu ++=       = →→→→→→ .| 2 1 2 1 2 1 2 | zyxuu ++== →→ .AB = 222 )()()( ABABAB zzyyxxAB −+−+−= 8 . )0||,0|(| . |||| . ),cos( 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 →→→→ →→ →→ →→ ≠≠ ++++ ++ == vv zyxzyx zzyyxx vu vu vu . 0. 212121 =++⇔⊥ →→ zzyyxxvu 7.Tích có hướng của hai vectơ. .[         = →→ 22 11 22 11 22 11 ;;], yx yx xz xz zy zy vu . →→→→→→ ⊥⊥ vvuuvu ],[,],[ . ),sin(.|||||],[| →→→→→→ = vuvuvu . →→ vu, cùng phương →→→ =⇔ 0],[ vu . →→→ wvu ,, đồng phẳng 0].,[ =⇔ →→→ wvu 8.Các ứng dụng. . [ ] ACABS ABC , 2 1 = . [ ] '., ''''. AAADABV DCBAABCD = . [ ] ADACABV ABCD ., 6 1 = 9. Mặt cầu. - Mặt cáu tâm I(a ; b ; c) có bán kính R có phương trình: (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2 - Ngược lại, phương trình: x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d =0 là phương trình của mặt cầu nếu có điều kiện : a 2 + b 2 + c 2 > d. Khi đó I( -a ; -b; -c) là tâm của mặt cầu và bán kính R = dcba −++ 222 9 II.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. * vectơ →→ ≠ 0n được gọi là VTPT của mp( ) α nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mp( ) α , viết tắt là )( α ⊥ → n * Nếu );;(),;;( 222111 zyxvzyxu == →→ không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song với (hoặc nằm trên) một mp( ) α ( →→ vu, còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp( ) α ) thì :         =       = →→→ 22 11 22 11 22 11 ;;, yx yx xz xz zy zy vun là một VTPT của mp( ) α . 2. Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 với A 2 + B 2 + C 2 0 ≠ VTPT ( = → n A ; B ; C) 3. mp 0)()()(:)( );;( );;( :)( 000 0000 =−+−+−⇒      = → zzCyyBxxAmp CBAnVTPT zyxMqua αα 4. Trường hợp đặc biệt. Cho mp( ) α : Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó: * D = 0 ⇔ ( ) α đi qua gốc tọa độ. * C = 0 , D )(0 α ⇔≠ song song với trục Oz C = D = 0 )( α ⇔ chứa trục Oz. * B = C = 0 , D )(0 α ⇔≠ song song với mp(Oyz). * B = C = D = 0 )( α ⇔ chính là mp(Oyz) ( Các trường hợp khác suy ra tương tự). 5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Cho hai mặt phẳng :)( α Ax + By + Cz + D = 0 và )'( α : A’x + B’y + C’z + D’ = 0. '''' )'//()( D D C C B B A A ≠==⇔ αα '''' )'()( D D C C B B A A ===⇔≡ αα '''''' )'()( A A C C hay C C B B hay B B A A ≠≠≠⇔∩ αα 0''')'()( =++⇔⊥ CCBBAA αα • Chú ý: Ta quy ước nếu một “ phân số” nào đó có “ mẫu số “ bằng 0 thì “tử số “cũng bằng 0. 6. Phương trình theo đọan chắn của mặt phẳng. Mp( ) α cắt Ox tại A(a ; 0 ; 0), cắt Oy tại B(0 ; b ; 0), cắt Oz tại C(0 ; 0 ; c) có phương trình là: 0,1 ≠=++ abc c z b y a x 7. Góc của hai mặt phẳng. Cho hai mặt phẳng )( α : Ax + By + Cz + D = 0 và )'( α : A’x + B’y + C’z + D = 0 Gọi ϕ là góc của hai mặt phẳng, ta có: 222222 '''. ''' cos CBACBA CCBBAA ++++ ++ = ϕ 8. Khỏang cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Cho mp( ) α : Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ). Khi đó: 10 [...]... Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (Q) x + 2y + 3z + 3 = 0 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vng góc với (Q) ĐS:x - 2y + z - 2 = 0 3) Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vng góc với mp (P) ĐS: 2x + 5y + z − 11 = 0 4) Trong kh«ng gian víi... 7.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) và mp(P): x + y + z - 6 = 0 Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: M(2; 2; 2) Bài 8 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3) I (0; 2; 1) R = 5 ĐS: Bài 9 Trong khơng gian với hệ... mặt phẳng chứa d và điểm A 2/ Tìm điểm A’ đối xứng của A qua d 7/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0 và điểm M(1, -2 ; 3) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mp(P).Tính khỏang cách từ M đến mp(P) 2/ Tìm tọa độ hinh chiếu của điểm M lên mp(P) 8/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z – 5 = 0, (Q): 4x... 5 x + 34 y − 11z − 38 = 0 15.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d với x −1 y +1 z = = d: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vng góc với đường 2 1 −1 thẳng d và tìm toạ độ của điểm M’ đối xứng với M qua d 17  x = 1 + 2t  ĐS:d  y = −1 + t z = −t  8 3 5 3 4 3 M’ ( ; − ; − ) 16 Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x... hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình:  y = −1 + t z = −t  18 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho, đường thẳng d : Viết ptrtham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vng góc với đường thẳng d x = 2 + t  ĐS:  y = 1 − 4t  z = −2t  20 Trong khơng gian cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng (d) có phương trình: x = -3 + 2t; y = 1 - t; z = -1 + 4t; t ∈ R Viết phương... đường thẳng ∆ đi qua M(-4 ; -5 ; 3) sao cho ∆ cắt d và d’ 6 Trong khơng gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P) ĐS: ∆ :  x = 3 − 4t   y = −1 + 6t z = 1+ t  7 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: x+2 y−2 z = = và mặt phẳng... R)  z = 1 + 2t  ĐS: ∆ : x−5 y +2 z +5 = = 2 −3 1 ∆: x +3 y + 4 z −5 = = 2 −3 1 7.Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2) Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC x = 1+ t  ĐS:  y = −2 + 4t  z = 3 − 5t  8 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: d2: x +1 y −1 z −1 = = ; 2 −1 1 x −1 y − 2 z... 5 − 15t  8 11 9 Trong khơng gian với hệ tọa đợ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0 x−2 y +1 z = = Gọi ∆ 2 là giao tuyến của (P) và (Q).Viết phương trình đường thẳng (d) −2 1 3 vng góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 và đường thẳng ∆ 1 : ĐS: 23 1 1 z− y− 8 12 = 12 = 1 2 −3 x− 10 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz... 2010 = 0 độ dài đoạn MN bằng 2 4 4 8 1 4 3 ; ), N ( ; − ; ) 7 7 7 7 7 7 ĐS: M (0; 0; 0), N ( −1; 0;1) hoặc M ( ; Bài 3.Trong khơng gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC) 4 2 2 O ' ( ; ;− ) 3 3 3 Bài 4.Trong khơng gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), DH ⊥ ( ABC ) và DH = 3 với H là trực tâm tam giác ABC Tính góc... 1 2 sao cho khoảng cách từ A đến ( α ) lớn nhất ĐS: 2 x + y + 2 z − 15 = 0 4 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng Đs: x-y+z+2=0 7x+5y+z+2=0 3 5.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M(1;2;3).Lập phương trình mặt phẳng đi qua M cắt ba tia Ox . KHÔNG GIAN I : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1.Hệ tọa độ trong không gian Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đội một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. Nếu. khụng gian vi h trc to Oxyz cho im A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) v mt phng (Q) x + 2y + 3z + 3 = 0. Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B v vuụng gúc vi (Q). S:x - 2y + z - 2 = 0 3) Trong khụng gian. khác 1.rong kgian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình      += = += tz ty tx 31 21 . 12 Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, song song vi d v khong cỏch