MÔN: TOÁN LỚP 11 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu I.(5đ) Giải các phương trình sau: 1) 6 2 5 2 0x x − + = ; 2) 3 3 12 14 2x x − + + = Câu II.(5đ) Cho tam ABC∆ thỏa mãn: 2 2 2 ( ) ( ) ( ) sin cos a p a b p b c p c A A abc − + − + − + = Chứng minh ABC ∆ vuông: Câu III.(4đ) Tìm k ∈¥ sao cho: 2 1 14 14 14 2 + + + = k k k C C C Câu IV.(3đ) Cho , ,a b c là độ dài 3 cạnh của một tam giác với chu vi 2 p . Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c   + + ≥ + +  ÷ − − −   Câu V.(3đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: 4 14 0; 2 5 2 0x y x y + + = + − = . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C? ……………… Hết……………… Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh……………… ……………… Số báo danh……………… HƯỚNG DẪN CHẤM: TOÁN LỚP 11 DƯƠNG ĐÌNH CHIẾN - LS Trang 1 Chú ý: Cách giải khác hướng dẫn chấm, mà đúng thì vẫn cho điểm theo thang điểm Câu Nội dung Điểm I (5đ) 1) x 6 - 5x 2 + 2 = 0 ⇔ x 6 - 4x 2 - x 2 + 2 = 0 ⇔ x 2 (x 4 - 4) - (x 2 - 2) = 0 ⇔ x 2 (x 2 + 2)(x 2 - 2) - (x 2 - 2) = 0 ⇔ (x 2 - 2)(x 4 + 2x 2 - 1) =0 ⇔ 2 4 2 2 0 2 1 0 x x x  − =  + − =  +) x 2 - 2 = 0 ⇔ x 2 = 2 ⇔ x = 2 ± . +) x 4 + 2x 2 - 1 = 0 ⇔ 2 2 1 2 1 2.( ) x x loai  = − +  = − −   x 2 = 1 2 − + 1 2.x ⇔ = ± − + Kết luận: PT đã cho có 4 nghiệm: x = 2 ± ; 1 2.x ⇔ = ± − + 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 2) 3 3 12 14 2x x − + + = Đặt u = 3 12 x− ; v = 3 14 x+ . Ta có: 3 3 3 2 2 26 ( ) 3 ( ) 26 3 1 2 3 1 3 u v u v u v u v uv u v u v u v uv u v + = + =   ⇔   + = + − + =    =    = − + =    ⇔ ⇔   = − = −     =    +) u = 3 3 12 x⇔ − = 3 ⇔ 12 - x = 27 ⇔ x = - 15. +) u = - 1 3 12 x ⇔ − = - 1 ⇔ 12 - x = - 1 ⇔ x = 13. Kết luận: PT đã cho có 2 nghiệm: x = - 15, x = 13. 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ II (5đ) 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 a p a b p b c p c a b c a b a c b c a b c VT abc abc − + − + − + − + + − + + − = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b a c b c a b c abc + − + + − + + − 2 2 2 2 b c a bc + − = + 2 2 2 2 a c b ac + − + 2 2 2 2 a b c ab + − = cosA + cosB + cosC Khi đó dẳng thức đã cho sin osA = cosA+cosB+cosC sinA= cosB+cosCA c ⇔ + ⇔ A B-C A B-C 2sin os 2sin os os os 2 2 2 2 2 2 2 ông 2 A A c c c c B A B C A C B ABCvu A C B A B C C π π ⇔ = ⇔ =  =  = − + =   ⇔ ⇔ ⇔ ⇒    = − + =    =   V 0,5 1 1 0.5 1 1 DƯƠNG ĐÌNH CHIẾN - LS Trang 2 III (4đ) §iÒu kiÖn , 1 12k N k∈ ≤ ≤ . Ta cã : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 14 14 14 2 14! 14! 14! 2 2 ! 14 ! 2 ! 12 ! 1 ! 13 ! 1 1 2 14 13 2 1 1 13 2 1 14 13 2 2 14 4 48 128 0 k k k C C C k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k + − + = ⇔ + = − + − + − ⇔ + = − − + + + − ⇔ + + + − − = + − ⇔ − + = 8 4k k ⇔ = ∨ = (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn , 1 12k N k∈ ≤ ≤ ) 1 1 1 1 IV (3đ) Chứng minh 1 1 4 , 0:x y x y x y ∀ > + ≥ + (1) Áp dụng (1) ta có: 1 1 4 4 2p a p b p a b c + ≥ = − − − − 1 1 4 4 1 1 4 4 ; 2 2p b p c p b c a p c p a p c a b + ≥ = + ≥ = − − − − − − − − Do đó 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c   + + ≥ + +  ÷ − − −   Dấu dẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c = = 1 1 1 V (3đ) Tọa độ A là nghiệm của hệ { { 4x y 14 0 x 4 2x 5y 2 0 y 2 + + = = − ⇔ + − = = ⇒ A(–4, 2) Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ∆ABC nên    −=+ −=+ ⇔    ++= ++= 2yy 2xx yyyy3 xxxx3 CB CB CBAG CBAG (1) Vì B(x B , y B ) ∈ AB ⇔ y B = –4x B – 14 (2) C(x C , y C ) ∈ AC ⇔ 5 2 5 x2 y C C +−= ( 3) Thế (2) và (3) vào (1) ta có    =⇒= −=⇒−= ⇒      −=+−−− −=+ 0y 1x 2y3x 2 5 2 5 x2 14x4 2xx CC BB C B CB Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) 0,25 0,75 1 1 ……………… Hết……………… DƯƠNG ĐÌNH CHIẾN - LS Trang 3 . abc − + − + − + − + + − + + − = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b a c b c a b c abc + − + + − + + − 2 2 2 2 b c a bc + − = + 2 2 2 2 a c b ac + − + 2 2 2 2 a b c ab + − = cosA + cosB. k + − + = ⇔ + = − + − + − ⇔ + = − − + + + − ⇔ + + + − − = + − ⇔ − + = 8 4k k ⇔ = ∨ = (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn , 1 12k N k∈ ≤ ≤ ) 1 1 1 1 IV (3đ) Chứng minh 1 1 4 , 0:x y x y x y ∀ > + ≥ + (1) Áp. nghiệm của hệ { { 4x y 14 0 x 4 2x 5y 2 0 y 2 + + = = − ⇔ + − = = ⇒ A(–4, 2) Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ∆ABC nên    − =+ − =+ ⇔    ++ = ++ = 2yy 2xx yyyy3 xxxx3 CB CB CBAG CBAG (1) Vì