Bài tập Hình học 11 chương III Trang 1 Chương III: QUAN HỆ VNG GĨC VẤN ĐỀ 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ. 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là trung điểm của EF. CM a) 0IA IB IC ID+ + + = uur uur uur uur r . b) 4MA MB MC MD MI+ + + = uuur uuur uuuur uuuur uuur , với M tuỳ ý. 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm BCD∆ , O là trung điểm đoạn AG. CMR: a) 3 0OA OB OC OD+ + + = uuur uuur uuur uuur r b) 3 6MA MB MC MD MO+ + + = uuur uuur uuuur uuuur uuuur 3. Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC .G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh rằng : VẤN ĐỀ 2: Tích vơ hướng và ứng dụng. 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng. Tất cả các cạnh bên và cạnh đáy của hình chóp = a. Tính các tích vơ hướng: a) .SA SB uur uuur b) .SA SC uur uuur c) .SA BA uur uuur 2. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều cạnh a. Chứng minh rằng AB và CD vng góc với nhau. VẤN ĐỀ 3: Góc giữa hai đường thẳng. • Dựa vào qui tắc các phép toán về vectơ và các hệ thức vectơ. + Quy tắc 3 điểm: A, B, C tùy ý. Ta có: AB BC AC+ = uuur uuur uuur ; AB AC CB− = uuur uuur uuur + Quy tắc trừ: O, A, B tùy ý. Ta có: 0 − = uur uuur uuur B OA AB ; = − uuur uuur uuur AB OB OA + Qui tắc hình bình hành: ABCD là hình bình hành AB AD AC⇔ + = uuur uuur uuur + Qui tắc hình hộp: ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp ' 'AB AD AA AC⇔ + + = uuur uuur uuur uuuur + Nếu I là trung điểm AB, M tùy ý. Ta có: IA IB= − uur uur ⇔ 0IA IB+ = uur uur r hay 0AI BI+ = uur uur r và 2MA MB MI+ = uuur uuur uuur + Nếu G là trọng tâm tam giác ABC, M tùy ý. Ta có: 0GA GB GC+ + = uuur uuur uuur r hay 0AG BG CG+ + = uuur uuur uuur r và 3MA MB MC MG+ + = uuur uuur uuuur uuuur + = − uuur uuur AB BA • Góc giữa hai vectơ trong không gian: · · 0 0 (0 180 ), ( , ) BACAB u AC v u v BAC ≤ ≤= = ⇒ = uuur uuur r r r r • Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: + Cho , 0u v ≠ r r r . Tích vơ hướng của 2 vectơ , 0u v ≠ r r r là: . . .cos( , )u v u v u v= r r r r r r + Với 0 0u hoặc v= = r r r r . Qui ước: . 0u v = r r + . 0u v u v ⊥ ⇔ = r r r r • Tính độ dài 1 đoạn thẳng: 2 AB AB AB= = uuur uuur Bài tập Hình học 11 chương III Trang 2 1. Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a 2 . Tính góc giữa a) 2 vectơ AB vaø SC uuur uuur b) 2 đường thẳng AB và SC VẤN ĐỀ 4: Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc. 1’. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và · · 0 60BAC BAD= = . CMR: AB ⊥ CD 1. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. CMR: AC ⊥ B’D’, AB’ ⊥ CD’, AD’ ⊥ B’C 2. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và · · · ASB BSC CSA= = . CMR: SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông ở A và B, AD = 2AB = 2BC. a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b) Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh BI ⊥ SC và CI ⊥ SD. 4. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB = AC, I là trung điểm của BC, AH ⊥ SI. Chứng minh: a) BC ⊥ AH. b) AH ⊥ SB. • Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau: góc giữa chúng bằng 0 0 • Hai đường thẳng vuông góc: góc giữa chúng bằng 90 0 • Nếu ,u v r r lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và ( , )u v α = r r thì: góc giữa 2 đường thẳng a, b bằng: 0 0 0 0 0 0 90 180 90 180 neáu neáu α α α α ≤ ≤ − < ≤ • Góc giữa 2 đường thẳng là góc giữa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với 2 đường thẳng đó • Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc ta thực hiện 1 trong các cách sau: CM: góc giữa 2 đường thẳng đó bằng 90 0 CM: 2 VTCP của 2 đường thẳng đó vuông góc (tích vô hướng của 2 VTCP = 0) CM: ( ) ( ) a P a b b P  ⇒ ⊥  ⊥  P CM: ( ) ( ) a P a b b P  ⊥ ⇒ ⊥  ⊂  Sử dụng định lý 2 đường vuông góc: 'a b a b⊥ ⇔ ⊥ với a’ là hình chiếu của a lên mặt phẳng chứa b. Sử dụng các tính chất của hình học phẳng: định lí Pitago, các hệ thức lượng trong tam giác, tính chất trong hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi. Bài tập Hình học 11 chương III Trang 3 VẤN ĐỀ 5: Chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng. 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy. CMR: a) ( )BC SAB⊥ b) )(SACBD ⊥ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết rằng SA = SC, SB = SD. CMR: a) ( )SO ABCD⊥ b) )(SACBD ⊥ c) ( )AC SBD⊥ 3. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA ⊥ (ABC). a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB). b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB. Chứng minh: AH ⊥ SC 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh bên SA ⊥ (ABC). Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh rằng: ( )BC SAI⊥ . b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAI. Chứng minh rằng: ( )AH SBC⊥ . 5. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = SD. a) Chứng minh: SO ⊥ (ABCD). b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ ⊥ (SBD). 6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD. a) CMR: ( ) ⊥SO ABCD b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BA, BC. CMR: ( ) ,⊥ ⊥IK SBD IK SD 7. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2 . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. CMR: a) SH ⊥ (ABCD). b) AC ⊥ SK và CK ⊥ SD. 8. Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD.Gọi M là trung điểm của CD, H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác AMB. Chứng minh rằng: a) CD ⊥ (AMB). b) AH ⊥ (BCD). 9. Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác BCD. Chứng minh rằng: a) HK ⊥ (BCD). b) BD ⊥ (CHK). 10. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB và CD, cho SC = 2a , HK ⊥ SI. Chứng minh rằng: • Chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng ta thực hiện 1 trong các cách sau: CM: đường thẳng đó vng góc với 2 đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng thì CM: 2 đường thẳng song song, mặt phẳng nào vng với đường thẳng này thì cũng vng với đường thẳng kia. // ( ) ( ) a b a P b P  ⇒ ⊥  ⊥  CM: 2 mặt phẳng song song, đường thẳng nào vng với mặt phẳng này thì cũng vng với mặt phẳng kia. ( ) ( ) ( )//( ) a Q a P Q P ⊥  ⇒ ⊥   CM: 2 mặt phẳng vng góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này vng góc với giao tuyến thì cũng vng góc với mặt phẳng kia. ( ) ( ) ( ) ( ) P Q d a Q a P a d ⊥ =   ⊂ ⇒ ⊥   ⊥  CM: 2 mặt phẳng cắt nhau cùng vng góc với 1 mặt phẳng thứ 3thì giao tuyến của chúng cũng vng góc với mặt phẳng thứ 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q P R a P Q R a ⊥   ⊥ ⇒ ⊥   ∩ =  Bài tập Hình học 11 chương III Trang 4 a) SH ⊥ (ABCD). b) HK ⊥ (SDC). 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng ABCD, SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Chứng minh: a) BD ⊥ (SAC). b) MN ⊥ (SAB). 12. Cho hình chóp S.ABC có SB ⊥ (BCD). Gọi H là trực tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng: a) DH ⊥ (ABC). b) CH ⊥ (ABD). c) CD ⊥ (ABH). 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, cạnh bên SA )(ABC⊥ . a) Chứng minh rằng: )(SABBC ⊥ . b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng: )(SACBM ⊥ . 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh bên )(ABCDSA ⊥ a) Chứng minh rằng: )(SAOBD ⊥ . b) Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: )(SABOM ⊥ . 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng, tâm O và SA ⊥ (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên SB, SD. CMR: a) BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC). b) SC ⊥ (AHK). c) HK ⊥ (SAC). 16. Cho hình vng ABCD. Gọi H, K là trung điểm AB, AD. Trên đường thẳng vng góc với mp(ABCD) tại H, lấy điểm S (khác H). Chứng minh: a) AC ⊥ (SHK). b) CK ⊥ SD. 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = 3a , SA ⊥ (ABCD). a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vng. b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO⊥ (ABCD). c) Tính góc giữa SC và (ABCD). 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, tâm O và SA = SC = SB = SD = 2a . a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD). b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IK⊥SD c) Tính góc giữa SB và (ABCD). VẤN ĐỀ 6: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O cạnh a, SA = a và vng góc với đáy. Tính góc giữa a) SB và CD. (CD // AB) b) SC và mp(ABCD) 2. Cho Cho tứ diện SABC, ( ) SA ABC⊥ , SA = a, 3AB a= , tam giác SBC cân tại S. Tính góc giữa: a) SB và mp(ABC). b) SC và mp(ABC). 2’. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, AB = SA = a, 3AD a= , ( ) SA ABCD ⊥ Tính góc giữa: a) SB và (ABCD). b) SD và (ABCD). c) SD và (SAB). • Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: + Nếu đt ⊥ mp(P) ⇒ góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là 90 o . + Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng Tìm hình chiếu vng góc (hình chiếu) của đường thẳng đó lên mặt phẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt. • Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng: Điểm ∈ mặt phẳng ( ( )M α ∈ ) ⇒ hình chiếu của điểm là chính nó. Điểm ∉ mặt phẳng ( ( )M α ∉ ) ⇒ từ điểm đó kẻ đường vng góc với mặt: ( )MH α ⊥ ( ( )H α ∈ ) ⇒ hình chiếu của M là H • Tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng: Tìm hình chiếu của 2 điểm thuộc đường thẳng đó lên mặt phẳng. Bài tập Hình học 11 chương III Trang 5 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là vng ABCD tâm O cạnh a, ( ) SA ABCD⊥ , 6SA a= . Tính góc giữa SC và mp(ABCD). 4. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD) và SA = a 6 . Tính góc giữa: a) SC và (ABCD) b) SC và (SAB) c) SB và (SAC) d) AC và (SBC) 5. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vng tại A, SA ⊥ với đáy, AD = 2BC = 2AB = 2a, SA = 3a . Tính góc giữa: a) Các cạnh bên của hình chóp với mặt đáy (ABCD). b) SB, SC với mặt bên (SAD). 6. Cho lăng trụ ABC.A / B / C / , ABC là tam giác vng cân, AB = BC = a; B / A = B / B = B / C = a. Tính góc giữa B / B với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (B / AC). 7. Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với AB và BC, tam giác ABC vng cân tại đỉnh B, cạnh AB = a, AD = 2a . Tính góc giữa: a) DB và (ABC). b) CD và (ABD). c) AC và (ABD). 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA ⊥ với đáy, SA = a. Tính góc giữa: a) Các cạnh bên và mặt đáy. b) Cạnh SC và mặt bên (SAD). c) Cạnh bên SB và mặt phẳng (SAC). 9. Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = a và cùng tạo với đáy (ABC) các góc bằng nhau, biết AB = AC = 2BC = a. Tính góc giữa: a) SA và (ABC). b) SA và (SBC). 10. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Từ trung điểm H của AB kẻ đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC). Trên d lấy điểm S sao cho 3 2 a SH = .Tính góc giữa: a) SA với (ABC). b) SC với (ABC). c) SH với (SBC). 11. Cho hình hộp ABCD.A / B / C / D / có tất cả các cạnh đều bằng a, · 0 120BAC = ; A / B = A / D = A / A. Tính góc giữa A / A và A / C / với mặt phẳng đáy. VẤN ĐỀ 7: Góc giữa 2 mặt phẳng. 1. Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (BCD) và AB = a. Biết BCD là tam giác đều cạnh 2a. Tính góc giữa hai mp(ACD) và (BCD). 2. Cho Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O cạnh a, SA = a và SA vng đáy. Tính góc giữa 2 mặt phẳng: a) (SBD) và (ABCD) b) (SCD) và (ABCD). 3. Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA ⊥ (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Tính góc giữa 2 mặt phẳng: a) (SAC) và (SBC). b) (SEF) và (SBC). 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng đỉnh B, AB = a, BC = 3a , SA = 2a và vng góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa 2 mặt phẳng: a) (ABC) và (SBC). b) (SCM) và (ABC). • Góc giữa 2 mặt phẳng: Muốn tìm góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau: • Tìm a ⊥ (P), b ⊥ (Q) ⇒ góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng vừa tìm. • Tìm: (P) ∩ (Q) = c và , ( ) , ( ) tại I tại I a c a P b c b Q    ⊥ ⊂ ⊥ ⊂ ⇒ góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng vừa tìm. Bài tập Hình học 11 chương III Trang 6 VẤN ĐỀ 8: Chứng minh 2 mặt phẳng vng góc. 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy. CMR: a) ( ) ( )SBC SAB⊥ . b) ( ) ( )SBD SAC⊥ . 2. Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác cân tại A. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vng góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của BC, dựng AH vng góc với SM tại H. CMR: a) ( )SA ABC⊥ b) ( ) ( )SBC SAM⊥ . c) ( ) ( )AHC SBC⊥ . 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B có AB = BC = a, cạnh bên )(ABCSA ⊥ và SA = a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SB và AC. Chứng minh rằng: a) ( ) ( )AEC SBC⊥ . b) ( ) ( )SFB SAC⊥ . 4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi có SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a) )()( ABCDSAC ⊥ . b) )()( SBDSAC ⊥ . 5. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung điểm của BC, AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng ming rằng: a) )()( AIDABC ⊥ . b) )()( BCDAID ⊥ . 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vng, SA ⊥ (ABCD). a) Chứng minh rằng: )()( SBDSAC ⊥ . b) Gọi BE và DF là hai đường cao của SBD ∆ . CMR: ( ) ( ) ( ) ( )ACF SBC và AEF SAC⊥ ⊥ 7. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đường cao BE, DF của ∆BCD, đường cao DK của ∆ACD. a) Chứng minh: AB ⊥ (BCD). b) Chứng minh: 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC). 8. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD). b) Gọi BE, DF là hai đường cao của ∆SBD. CMR: (ACF) ⊥ (SBC), (AEF) ⊥ (SAC). 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 . SA = a và SA vng góc (ABCD) . a) Chứng minh: (SBC) ⊥ (SAB) và (SCD) ⊥ (SAD) b) Tính góc giữa (SCD) và (ABCD) 10. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D, AB = 2a, AD = CD = a, cạnh SA vng góc với đáy và SA = a . a) Chứng minh: (SAD) ⊥ (SCD) và (SAC) ⊥ (SBC) . b) Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) . Tính tan ϕ . 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA (ABCD)⊥ và SA a 2= . a) CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vng. b) CMR: (SAC) ⊥ (SBD) . c) Tính góc giữa SC và (ABCD), SC và (SAB). d) Tính tang của góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, a 3 SA SB SD 2 = = = và · 0 60BAD = . Gọi H là hình chiếu của S trên AC. a) CMR: BD (SAC)⊥ và SH (ABCD)⊥ . b) CMR: AD SB⊥ . c) CMR: (SAC) ⊥ (SBD). d) Tính sin của góc α giữa SD và (SAC), cơsin của góc β giữa SC và (SBD). • Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: * Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: • Chứng minh trong mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vng góc với mặt phẳng kia • Chứng minh góc giữa 2 mặt phẳng bằng 90 0 Bài tập Hình học 11 chương III Trang 7 13. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và · 0 45ADC = . Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a 2 . a) CMR: BC ⊥ mp(SAB). b) CMR: CD SC⊥ . c) Tính góc giữa SC và (ABCD), SC và (SAB), SD và (SAC). d) Tính góc giữa mp(SBC) và mp(ABCD) 14. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, (SAB) ⊥ (ABCD), AB = a, AD = 2a . a) CMR: SA ⊥ (ABCD), (SAD) ⊥ (SCD) b) AH là đường cao. CMR: AH ⊥ (SBC), (SBC) ⊥ (AHC) c) CMR: DH ⊥ SB d) Tính góc giữa (SAC) và (SAD) 15. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a, SA ⊥ (ABCD) a) CMR: (SAB) ⊥ (SAD); (SBC) ⊥ (SAB); (SCD) ⊥ (SAD) b) CMR: (SAC) ⊥ (SBD) c) Gọi AI, AJ là đường cao SAB, SAC. CMR: (SCD) ⊥ (AI J) d) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) & (ABCD), (SBD) & (ABCD) 16. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I, J là trung điểm AB, CD. Trên đường thẳng vuông góc (ABCD) tại I lấy S. a) CMR: BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SI J) b) CMR: (SAD) ⊥ (SBC), (SAB) ⊥ (SI J) c) Gọi M là trung điểm BC. CMR: (SIM) ⊥ (SBD) d) SI = a. Tính góc giữa (SCD) và (ABCD) 17. Cho h`chóp đều S.ABCD, O là tâm ABCD. Gọi I là trung điểm AB, cho SA = a, AB = a. a) CMR: (SAC) ⊥ (SBD), (SOI) ⊥ (ABCD) b) CMR: (SIO) ⊥ (SCD) c) Gọi OJ là đường cao ∆ SOI. CMR: OJ ⊥ SB d) Gọi BK là đường cao ∆ SBC. CMR: (SCD) ⊥ (BDK) e) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy. 18. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. Cho (SAB) ⊥ (ABCD), (SAD) vuông góc với (ABCD). a) CMR: SA ⊥ (ABCD), BD ⊥ (SAC) b) Gọi AH, AK là đường cao. CMR: AH ⊥ BD, AK ⊥ (SCD) c) CMR: (SAC) ⊥ (AHK) d) Tính góc giữa (SAC) và (SCD) (biết SA = a) 19. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. SA ⊥ (ABCD), SA = a. a) CMR: các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông b) CMR: BD ⊥ SC c) Tính góc giữa SC & (ABCD); (SBD) & (ABCD) d) Tính góc giữa (SCD) & (ABCD). 20. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác ⊥ tại C và SB ⊥ (ABC), biết AC = a 2 , BC = a, SB = 3a. a) Chứng minh: AC ⊥ (SBC) b) Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. Chứng minh: SA ⊥ BH. c) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) 21. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2 5a . Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, M là trung điểm của SC. a) Chứng minh: (MBD) ⊥ (SAC) b) Tính góc giữa SA và mp(ABCD) . c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD). d) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) Bài tập Hình học 11 chương III Trang 8 VẤN ĐỀ 8: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau * Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Cách 1: Giả sử a ⊥ b: • Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A. • Dựng AB ⊥ b tại B ⇒ AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song. • Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a. • Chọn M ∈ a, dựng MH ⊥ (P) tại H. • Từ H dựng đường thẳng a ′ // a, cắt b tại B. • Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a tại A. ⇒ AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)). Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc. • Dựng mặt phẳng (P) ⊥ a tại O. • Dựng hình chiếu b ′ của b trên (P). • Dựng OH ⊥ b ′ tại H. • Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại B. • Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A. ⇒ AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Chú ý: d(a,b) = AB = OH. 1.Cho hình tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng: a) OA và BC. b) AI và OC. HD: a) 2 2 a b) 5 5 a 2.Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: a) SC và BD. b) AC và SD. HD: a) 6 6 a b) 3 3 a 3.Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui. b) Chứng minh SC ⊥ (BHK), HK ⊥ (SBC). c) Xác đònh đường vuông góc chung của BC và SA. HD: c) Gọi E = AH ∩ BC. Đường vuông góc chung của BC và SA là AE. 4.Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng IS ⊥ (ABCD) và IS = 3 2 a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng: a) NP và AC b) MN và AP. HD: a) 3 4 a b) 2 a VẤN ĐỀ 9: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Bài tập Hình học 11 chương III Trang 9 * Để tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác đònh đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng). 1.Cho hình chóp SABCD, có SA ⊥ (ABCD) và SA = a 6 , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kinh AD = 2a. a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD). b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC). c) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) và cách (SAD) một khoảng bằng 3 4 a . HD: a) d(A,(SCD)) = a 2 ; d(B,(SCD)) = 2 2 a b) 6 3 a c) 2 6 2 a 2.Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) và AA′ = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 . a) Tính khoảng cách từ AA′ đến mặt phẳng (BCC′B′). b) Tính khoảng cách từ A đến (A′BC). c) Chứng minh rằng AB ⊥ (ACC′A′) và tính khoảng cách từ A′ đến mặt phẳng (ABC′). HD: a) 3 2 a b) 21 7 a c) 2 2 a 3.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là h`v cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a. a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD). b) M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng MN song song với (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến (SBD). HD: a) 2a ; 2 2 a b) 6 3 a 4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và · 0 60BAD = . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO ⊥ (ABCD) và SO = 3 4 a . Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE. a) Chứng minh (SOF) ⊥ (SBC). b) Tính các khoảng cách từ O và A đến (SBC). HD: b) d(O,(SBC)) = 3 8 a , d(A,(SBC)) = 3 4 a . BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG III Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA ⊥ đáy , SA = a 2 . a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vng. b) CMR (SAC) ⊥ (SBD) . c) Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) . d) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD) e) Tính d(A, (SCD)) . Bài 2. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác ⊥ tại C và SB ⊥ (ABC), biết AC = a 2 , BC = a, SB = 3a. d) Chứng minh: AC ⊥ (SBC) e) Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. Chứng minh: SA ⊥ BH. f) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) Bài tập Hình học 11 chương III Trang 10 Bài 3. Hình chóp S.ABC. ∆ABC vuông tại A, góc µ B = 60 0 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = 2a. Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC). a) CM: SB ⊥ (ABC) b) CM: (BHK) ⊥ SC. c) CM: ∆BHK vuông . d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK). Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2 5a . Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Và M là trung điểm của SC. e) Chứng minh: (MBD) ⊥ (SAC) f) Tính góc giữa SA và mp(ABCD) . g) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD). h) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) Bài 5. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) và AA′ = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 . a) Tính khoảng cách từ AA′ đến mặt phẳng (BCC′B′). b) Tính khoảng cách từ A đến (A′BC). c) Chứng minh rằng AB ⊥ (ACC′A′) và tính khoảng cách từ A′ đến mặt phẳng (ABC′). Bài 6. Hình chóp S.ABC. ∆ABC vuông tại A, góc µ B = 60 0 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = 2a. Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC). a) CM: SB ⊥ (ABC) b) CM: mp(BHK) ⊥ SC. c) CM: ∆BHK vuông . d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK). Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2 5a . Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Và M là trung điểm của SC. a) Chứng minh: (MBD) ⊥ (SAC) b) Tính góc giữa SA và mp(ABCD) . c) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD). d) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) Bài 8. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) và AA′ = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 . a) Tính khoảng cách từ AA′ đến mặt phẳng (BCC′B′). b) Tính khoảng cách từ A đến (A′BC). c) Chứng minh rằng AB ⊥ (ACC′A′) và tính khoảng cách từ A′ đến mặt phẳng (ABC′). Bài 9. Cho h`chóp S.ABCD có đáy là HCN, tâm O và AB = SA = a,BC = 3a , SA ⊥ (ABCD) a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b. Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO ⊥ (ABCD) c. Tính góc giữa SC và (ABCD). Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng 1 và các cạnh bên bằng nhau và bằng 2 . a. Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC) b. Tính độ dài đường cao của hình chóp. c. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ∆ ABC ⊥ tại A, SA = AB = AC = a , SA ⊥ (ABC) a. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC ⊥ (SAI) b. Tính SI c. Tính góc giữa (SBC) và mặt đáy. [...]...Bài tập Hình học 11 chương III Trang 11 Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA ⊥ (ABCD) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD a Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC) b Chứng minh SC ⊥ (AHK) c Chứng minh HK ⊥ (SAC) Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD a Chứng minh SO ⊥ (ABCD)... ⊥ SD Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và SA ⊥ (ABCD) a Tính khoảng cách từ A đến (SBD) b Chứng minh (SBC) ⊥ (SAB) c Tính khoảng cách từ C đến (SBD) Bài 15 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a, SA = a, SA vuông góc với cạnh BC, khoảng cách từ S đến cạnh BC là a.Gọi M trung điểm BC a) CMR: BC vuông góc với (SAM) b) Tính chiều cao của hình chóp c) Dựng... của hình chóp c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SA và BC Bài 16 Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = a 3 , SA ⊥ (ABC), SA = 2a Gọi M là trung điểm của AB a) Tính góc giữa (SBC) và (ABC) b) Tính đường cao AK của tam giác AMC c) Tính góc giữa (SMC) và (ABC) d) Tính khoảng cách từ A đến (SMC) . (SBC). b) Tính các khoảng cách từ O và A đến (SBC). HD: b) d(O,(SBC)) = 3 8 a , d(A,(SBC)) = 3 4 a . BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG III Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh. trong các cách sau: • Chứng minh trong mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vng góc với mặt phẳng kia • Chứng minh góc giữa 2 mặt phẳng bằng 90 0 Bài tập Hình học 11 chương III Trang 7 13. Cho hình. với a’ là hình chiếu của a lên mặt phẳng chứa b. Sử dụng các tính chất của hình học phẳng: định lí Pitago, các hệ thức lượng trong tam giác, tính chất trong hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi. Bài