Chủ đề . TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A – Lý thuyết : B – Bài tập : I- Dạng 1 : Bài tập tính tích phân bằng cách áp dụng trực tiếp định nghĩa và các tính chất Bài 1 : Tính các tích phân sau : 1, 4 3 xdx ∫ ; 1 2 0 2, ;x dx ∫ 2 2 1 3, ; dx x ∫ ( ) 3 1 4, 4 ;x dx+ ∫ 2 2 2 1 2 5, ; 2 x dx x + ∫ 3 3 3 1 4 6, ; x x dx x + ∫ 5 3 1 1 7, ; x dx x + ∫ Giải 4 4 2 2 2 3 3 4 3 5 1, = = - = ; 2 2 2 2 x xdx ∫ 1 1 3 2 0 0 1 2, = ; 3 3 x x dx = ∫ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3, = = - = ; 2 1 2 dx x dx x x − − − −   =  ÷   ∫ ∫ ( ) 3 3 2 1 1 9 1 4, 4 4 = 12 - 4 =12 ; 2 2 2 x x dx x       + = + + +  ÷  ÷  ÷       ∫ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 5, + = + = - = 2 1 - 1 =1; 2 2 2 2 2 2 2 x x dx dx dx dx dx x x x x x x +   = − −  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 3 3 3 2 3 1 1 1 4 4 4 14 6, 1 4 = = 3 - 1 4 = ; 3 3 x x dx x dx x x x − +     = + − − −  ÷  ÷     ∫ ∫ ( ) 5 5 5 5 5 2 3 3 3 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 32 7, = = 25 2 x x dx dx dx x x dx x x x x x x x − − + −       + + = + = − =  ÷  ÷  ÷       ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 2 : Tính các tích phân sau : ( ) 1, 2sin 3cos ;x x dx π π − − ∫ ( ) 0 2, sinx ;x dx π + ∫ ( ) 3, sinx cos dx x π π − + ∫ 2 0 4, sin . ;xdx π ∫ 4 2 2 4 1 5, ; sin . os dx x c x π π − ∫ 0 6, os 4 c x dx π π −   +  ÷   ∫ 2 4 4 7, ; sin dx x π π ∫ Giải ( ) ( ) 1, 2sin 3cos = 2cos 3sinx x dx x x π π π π − − − − − ∫ ( ) ( ) 2cos 3sin 2cos( ) 3sin( ) 0 π π π π = − − − − − − − = ( ) 2 0 0 2, sinx = cos 2 x x dx x π π   + −  ÷   ∫ ( ) 2 2 cos 0 os0 2 2 2 c π π π   = − − − = +  ÷   2 0 0 1 os2 4, sin . 2 c x xdx dx π π − = ∫ ∫ ( ) 0 1 1 1 sin 2 0 2 2 2 2 x x π π π   = − = − =  ÷   GV: Đào Thị Thương Hoài 1 b a b f (x)dx F(b) F(a) F(x) a = − = ∫ 4 4 4 4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 4 1 1 1 5, = tan otx 0 sin . os os sin dx dx dx x c x c x c x x π π π π π π π π π π − − − − − + = − = ∫ ∫ ∫ 0 0 3 6, os sin sin sin 2 4 4 4 4 c x dx x π π π π π π − −         + = + = − − =  ÷  ÷  ÷  ÷         ∫ ( ) 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 cot 1 4 7, 1 cot 1 3 3 3 sin sin sin sin dx x dx x dx x x x x x π π π π π π π π   = = + = + = + =  ÷   ∫ ∫ ∫ Bài 3: Tính các tích phân sau : 1, 4 2 xdx ∫ ; 2, 1 2 0 x dx ∫ ; 3, 3 1 (x 4)dx+ ∫ ; 4, 4 3 2 2 x 1 dx x + ∫ ; 5, 4 2 3 1 dx x 3x 2− + ∫ ; 6, 5 2 1 x dx 1 x + − ∫ ; 7, e 3 2 1 x 2x 1 dx x − + ∫ Giải : 1, 4 2 xdx 6= ∫ ; 2, 1 2 0 1 x dx 3 = ∫ ; 3, 3 1 (x 4)dx 12+ = ∫ 4, 4 4 3 2 2 2 2 x 1 1 25 dx (x )dx x x 4 + = + = ∫ ∫ ; 5, 4 2 3 1 dx x 3x 2− + ∫ ; 6, 5 2 1 x dx 1 x + − ∫ ; 7, e 3 2 1 x 2x 1 dx x − + ∫ Bài 4: Tính các tích phân sau : 1, 8 3 1 xd x ∫ ; 2, 2 2 1 1 1 x x x d   +  ÷   ∫ ; 3, 1 2 2 2 2 1 xd x ∫ ; 4, 3 1 2 1 x x d ∫ ; 5 6 0 os3 ;c xdx π ∫ 2 2 0 6, 4 . dx ;x x− ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 3 2, dx ; x x x x + + + ∫ 2 2 0 1 3, dx ; 2 3x x− − ∫ ( ) 2 2 0 4, os sin ;c d π ϕ ϕ ϕ + ∫ ( ) 2 0 5, sinx ;x dx π + ∫ Giải GV: Đào Thị Thương Hoài 2 II- Dạng 2: Bài tập tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số * Đổi biến dạng 1 : Phương pháp : Cần tìm ( ) b a f x dx ∫ -Đặt u = u(x) , u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] , u(x) là một phần của f(x) - Biểu thị f(x) dx theo u(x) và du ; giả sử f(x) dx = g(u)du - Tìm một nguyên hàm G(u) của g(u), đổi cận -Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u b u b u a u a g u du G u= ∫ và kết luận Bài 1: Tính các tích phân sau 1, 6 0 cos3xdx π ∫ ; 2, 2 5 1 (2x 1) dx− ∫ ; 3, 2 2 0 4 x .xdx− ∫ ; 4, 4 0 tan xdx π ∫ ; 5, 2 2 3 1 x dx x 2+ ∫ 6, 2 3 0 sin xdx π ∫ ; 7, 2 2 0 cosxdx 7 5sin x cos x π − − ∫ ; 8, 2 3 2 0 sin xcos xdx π ∫ ; 9, 2 2 0 sin 2xdx 4 cos x π − ∫ Lời giải: 1, Đặt u =3x ⇒ du = 3dx ⇒ dx= 3 du , u(0) = 0; u( 6 π ) = 2 π Ta có : 6 2 2 0 0 0 1 1 1 cos3xdx cosudu sin u 3 3 3 π π π   = = =  ÷   ∫ ∫ 2, Đặt u =2x -1 ⇒ du = 2dx ⇒ dx= 2 du , u(1) = 1; u(2) = 3 Ta có: 3 2 3 6 5 5 1 1 1 1 1 u 182 (2x 1) dx u du 2 2 6 3 − = = = ∫ ∫ 3, Đặt u = 2 4 x− ⇒ xdx= - 2 4 x− du = -udu , ⇒ u(0) = 2; u(2) = 0 Ta có: 2 2 0 2 3 2 2 2 0 2 0 0 8 4 . 3 3 u x xdx u du u du− = − = = = ∫ ∫ ∫ 4, Đặt u = cosx ⇒ du = - sinxdx ⇒ u(0) = 1; u( 4 π ) = 2 2 Ta có 2 1 4 2 1 2 2 0 1 2 2 2 2 tan ln 0 ln ln 2 2 du du xdx u u u π = − = = = − = ∫ ∫ ∫ 5, Đặt u =x 3 +2 ⇒ du = 3x 2 dx ⇒ x 2 dx= 3 du , u(1) = 3; u(2) = 10 Ta có : GV: Đào Thị Thương Hoài 3 2 10 10 1 2 10 2 3 3 1 3 3 1 1 1 2 .2 ( 10 3) 3 3 3 3 2 x du dx u du u u x = = = = − + ∫ ∫ ∫ 6, I = 2 2 2 3 2 2 0 0 0 sin sin .sin (1 cos ).sinxdx x xdx x xdx π π π = = − ∫ ∫ ∫ , Đặt u = cosx ⇒ du = - sinxdx ⇒ u(0) = 1; u( 2 π ) = 0 ⇒ I = 1 0 1 3 2 2 1 0 0 2 (1 ) (1 ) ( ) 3 3 u u du u du u− − = − = − = ∫ ∫ 7, 2 2 2 2 2 2 0 0 0 cosxdx cosxdx cosxdx 7 5sin x cos x 7 5sin x 1 sin x 6 5sin x sin x π π π = = − − − − + − + ∫ ∫ ∫ = J Đặt u = sinx ⇒ du = cosxdx ⇒ u(0) = 0; u( 2 π ) =1 ⇒ J = 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 4 ln 3 ln 2 ln 5 6 ( 3)( 2) 3 2 3 du du du du u u u u u u u u = = − = − − − = − + − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 8, 2 2 2 3 2 2 2 2 2 0 0 0 sin xcos xdx sin x cos xsin xdx (1 cos x)cos xsin xdx π π π = = − ∫ ∫ ∫ = I Đặt u = cosx ⇒ du = - sinxdx ⇒ u(0) = 1; u( 2 π ) = 0 Ta có I = 1 0 1 1 3 5 2 2 2 2 2 4 1 0 0 0 2 (1 ) (1 ) ( ) 3 5 15 u u u u du u u du u u du   − − = − = − = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ 9, Đặt u = 4 - cos 2 x ⇒ du = 2 sinxcosxdx = sin2xdx ⇒ u(0) =3; u( 2 π ) =4 Ta có 4 2 4 2 3 0 3 sin 2 4 ln ln 4 ln3 ln 4 cos 3 xdx du u x u π = = = − = − ∫ ∫ Bài 2: Tính các tích phân sau : 1, 2 4 1 (3 1)x dx+ ∫ ; 2, 1 2 3 0 ( 1) xdx x + ∫ ; 3, 2 4 0 cos xdx π ∫ ; 4, 2 4 0 costdt (1 sint) π + ∫ ; 5, 9 4 1 xdx x − ∫ ; 6, 2 3 6 6 sin cos x dx x π π ∫ ; 1, , Đặt u =3x+1 ⇒ du = 3dx ⇒ dx= 3 du , u(-1) = -2; u(2) = 7 Ta có : 2 7 7 4 4 5 2 1 2 1 1 16839 (3x 1) dx u du u 3 15 15 − − + = = = ∫ ∫ 2, Đặt u =x 2 +1 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = 2 du , u(0) = 1; u(1) = 2 Ta có 2 1 2 2 3 2 3 2 1 0 1 1 1 1 1 3 ( 1) 2 3 2 4 16 xdx du u du x u − = = = = + ∫ ∫ ∫ GV: Đào Thị Thương Hoài 4 3, 2 2 4 2 2 0 0 cos (1 sin ) cosxdx x xdx π π = − ∫ ∫ Đặt u =sinx ⇒ du = cosxdx ⇒ , u(0) = ; u( 2 π ) = 1 Ta có 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 3 5 0 0 0 0 2 1 8 (1 sin ) cos (1 ) (1 2 ) ( ) 3 5 15 x xdx u du u u du u u u π − = − = − − + = − + = ∫ ∫ ∫ 4, Đặt u = 1+sinx ⇒ du = cosxdx ⇒ , u(0) =0 ; u( 2 π ) = 2 Ta có 2 2 2 2 4 3 4 4 0 0 0 0 costdt du 1 7 u du u (1 sint) u 3 24 π − − = = = − = + ∫ ∫ ∫ 5, Đặt u = x ⇒ u 2 = x ⇒ dx =2udu ⇒ , u(4) = 2; u(9) = 3 Ta có 9 3 3 2 3 2 2 2 4 2 2 1 2 2 ( 1 ) ( 2 2ln 1 7 2ln 2 1 1 1 xdx u du u du u u u u u x = = + + = + + − = + − − − ∫ ∫ ∫ 6, 2 2 3 3 3 2 2 6 2 2 2 2 6 6 6 sin sin 1 1 . . tan .(1 tan ). cos cos cos cos cos x x dx dx dx x x x x x x x π π π π π π = = + ∫ ∫ ∫ Đặt u = tanx ⇒ du = 2 cos dx x ⇒ , u( 6 π ) = 3 3 ; u( 3 π ) = 3 Ta có 3 3 3 5 3 2 2 2 2 2 3 3 2 6 2 124 3 tan .(1 tan ). (1 ) cos 3 5 45 dx u u x x u u du x π π   + = + = + =  ÷   ∫ ∫ Bài 3: Tính các tích phân sau : 1, 3 2 2 x 1 x e dx ∫ ; 2, 3 2 1 1 (ln x) dx x ∫ ; 3, 3 2 0 x 1 x dx+ ∫ ; 4, 3 1 2 3x 0 x e dx ∫ ; 5, 2 0 cosxdx 1 sin x π + ∫ Lời giải: 1, Đặt u =x 3 ⇒ du = 3x 2 dx ⇒ x 2 dx= 3 du , u(1) = 1; u(2) = 8 Ta có : 3 2 8 8 8 2 x u u 1 1 1 1 1 e e x e dx e du e 3 3 3 − = = = ∫ ∫ 2, Đặt u =lnx ⇒ du = dx x , u(1) = 0; u(3) = ln3; Ta có : ln3 3 ln 3 3 3 2 2 1 0 0 1 u (ln3) (ln x) dx u du x 3 3 = = = ∫ ∫ 3, Đặt u =1+x 2 ⇒ du = 2x dx ⇒ xdx= 2 du , u(0) = 1; u( 3 ) =4 GV: Đào Thị Thương Hoài 5 Ta có : 4 3 4 4 1 3 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1 2 7 x 1 x dx udu u du . u 2 2 2 3 3 + = = = = ∫ ∫ ∫ 4,Đặt u =3x 3 ⇒ du = 9x 2 dx ⇒ x 2 dx= 9 du , u(0) = 0; u(1) = 3 Ta có 3 1 3 3 3 2 3x u u 0 0 0 1 1 e 1 x e dx e du e 9 9 9 − = = = ∫ ∫ 5,Đặt u = 1+sinx ⇒ du = cosxdx ⇒ , u(0) =1 ; u( 2 π ) = 2 Ta có 2 2 2 1 0 1 cosxdx du ln u ln2 1 sin t u π = = = + ∫ ∫ Bài 4: Tính các tích phân sau : 1, 1 5 0 x(1 2x) dx− ∫ ; 2, 2 1 x x 1dx− ∫ ; 3, 2 2 1 dx x 1 x+ ∫ ; 4, 1 3 2 0 x 1 x dx− ∫ ; Lời giải: 1, Đặt u = 1- 2x ⇒ du = -2dx ⇒ dx=- 2 du ,x= - 1 2 u − ; u(0) = 1; u( 2 π ) = 2 Ta có: 1 1 1 7 6 5 5 0 0 0 1 1 u u 1 x(1 2x) dx (u 1)u du 4 4 7 6 14   − = − − = − − = −  ÷   ∫ ∫ 2, Đặt u = 1x − ⇒ u 2 = x- 1 ⇒ 2udu = dx , u(1) = 0; u(2) =1 Ta có: 1 2 1 1 5 3 2 4 2 1 0 0 0 u u 16 x x 1dx (u 1)u.2udu 2 (u u )du 2 5 3 15   − = − = − = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ 3, Đặt u = 2 1 x+ ⇒ u 2 = 1 + x 2 ⇒ udu = dx , u(1) = 2 ; u(2) = 5 Ta có: 5 2 5 5 2 2 1 2 2 2 dx du du 1 u 1 ln( 5 1)( 2 1) ln u 1 (u 1)(u 1) 2 u 1 2 x 1 x − − − = = = = − − + + + ∫ ∫ ∫ 4, Đặt u = 2 1 x− ⇒ u 2 = 1 - x 2 ⇒ udu = xdx ,x 3 = x 2 .x , x 2 = 1-u 2 ; u(0) =1; u(1) =0 Ta có: 1 1 1 1 3 5 3 2 2 2 4 0 0 0 0 2 1 (1 ). . ( ) 3 5 15 u u x x dx u u udu u u du   − = − = − = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ Bài 5: Tính các tích phân sau : ( ) 1 2 0 1, 1 ;y ydy− ∫ ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2, 1 1 dz ;z z+ − ∫ 1 2 1 2 3 0 3, 1 dt ;t t   +  ÷   ∫ ( ) 2 5 5 0 4, os sin ;c d π ϕ ϕ ϕ − ∫ 3 0 5, os . os3 ;c c d π α α α ∫ Giải: ( ) 1 2 0 1, 1 ;y ydy− ∫ Đặt 2 t 2t y y tdt dy= ⇒ = ⇒ = GV: Đào Thị Thương Hoài 6 Đổi cận y 0 1 t 0 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 7 5 3 2 2 4 2 2 6 4 2 0 0 0 0 2 1, 1 .2 = 2 1 .2 2 2 2 7 5 3 1 2 1 15 42 35 16 2. 2. 7 5 3 105 105 t t t t t tdt t t t dt t t t dt   − − + = − + = − +  ÷   − +   = − + = =  ÷   ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2, 1 1 dz ;I z z= + − ∫ Đặt 3 3 2 3 1 1 1 3u z u z z u dz u du= − ⇒ = − ⇒ = + ⇒ = Đổi biến z 1 2 u 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2 2 3 3 1 1 0 1 1 dz = 1 1 dz= 1 1 3I z z z z u u u du= + − + − + + ∫ ∫ ∫ ( ) 1 6 3 4 0 2 2 3u u u du= + + ∫ ( ) 1 1 11 8 5 10 7 4 0 0 2 3 2 2 3 2 11 8 5 u u u u u u du   = + + = + +  ÷   ∫ 1 1 2 20 55 88 3.163 489 49 3. 3 2 11 4 5 220 220 220 220 + +   = + + = = = =  ÷   Bài 6:Tính các tích phân sau : 1, 2 2 1 2 1 1 x dx x x − − + ∫ ; 2, 1 2 2 0 (2 1) x dx x + ∫ ; 3, 2 1 1 0 . x x e dx + ∫ ; 4, 2 0 sin ; 1 8 os x dx c x π + ∫ 4 4 5, cot ;xdx π π − ∫ 2 0 sin 6, ; 1 3 os x dx c x π + ∫ 6 0 8, 1 4sin . os ;x c xdx π + ∫ 2 sin 0 9, . os ; x e c xdx π ∫ 2 2 0 s 10, ; (1 sin ) co x dx x π + ∫ Bài 7:Tính các tích phân sau : 2 1 0 1, ; x e xdx − ∫ 4 1 2, d ; x e x x ∫ 1 2 0 3, 1. d ;x x x+ ∫ 1 2 3 3 1 4, ; 1 x dx x− ∫ 1 1 ln 5, d ; e x x x + ∫ 2 2 0 6, 4 ;x x dx− ∫ * Đổi biến dạng 2 : Phương pháp : Cần tìm ( ) b a f x dx ∫ - Đặt x = u(t), u(t) có đạo hàm liên tục trên [ α ; β ], f[u(t)] xác định / [ α ; β ] và a= u( α ), b=u( β ) - Biểu thị f(x) dx =f[u(t)].u’(t).dt=g(t)dt - Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t), đổi cận -Tính ( ) ( )g t dt G t β β α α = ∫ và kết luận Bài 1: Tính các tích phân sau : GV: Đào Thị Thương Hoài 7 1, 1 2 0 1 x dx− ∫ ; 2, 2 2 0 4 x dx− ∫ ; 3, 1 2 2 0 1 x dx− ∫ ; 4, 1 2 0 1 dx x+ ∫ ; 5, 1 2 2 1 1 dx x− ∫ ; 6, 1 2 0 1 dx x x− ∫ Giải 1, Đặt x = sint ⇒ dx = costdt; x = 0 ⇒ t =0; x = 1 ⇒ t = 2 π Ta có: 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 sin cos cos (1 cos2 ) sin 2 2 2 4 4 x dx t tdt tdt t dt t t π π π π π   − = − = = + = + =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ 2, Đặt x = 2sint ⇒ dx = 2costdt; x = 0 ⇒ t =0; x = 2 ⇒ t = 2 π Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 4 4 4sin 2cos 4 cos 4 (1 cos2 ) 2 sin2 2 x dx t tdt tdt t dt t t π π π π π − = − = = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫ 3, Đặt x = sint ⇒ dx = costdt; x = 0 ⇒ t =0; x = 1 2 ⇒ t = 6 π 1 6 6 6 2 6 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 sin cos cos (1 cos2 ) sin 2 2 2 4 x dx t tdt tdt t dt t t π π π π   − = − = = + = + =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ 5, Đặt x = sint ⇒ dx = costdt; x = 0 ⇒ t =0; x = 1 2 ⇒ t = 6 π Ta có: 1 6 6 2 6 0 2 2 1 0 0 cos cos cos 6 1 1 sin dx tdt tdt t t x t π π π π = = = = − − ∫ ∫ ∫ Bài 2: Tính các tích phân sau : 1, 1 2 2 0 x x dx− ∫ ; 2, 1 2 2 0 x 1 x dx− ∫ ; \3, 2 2 2 0 x 4 x dx− ∫ ; 4, 2 3 2 0 4 9 dx x− ∫ ; 5, 4 2 2 4x dx x − ∫ ; 6, 0 1 sin xdx x π + ∫ ; 7, 1 2 2 2 3 6 1 3 dx x x− ∫ ; 8, 1 2 2 2 3 4 1 4x dx x − ∫ ; 9, 2 2 0 2cos 3 4 sin tdt t π − ∫ ; Lời giải: 1, 2, Đặt x = tant ⇒ dx = (1+tan 2 t)dt; x = 0 ⇒ t =0; x = 1 ⇒ t = 4 π Ta có: 1 2 4 4 4 2 2 0 0 0 0 dx (1 tan t)dt dt t 1 x 1 tan t 4 π π π π + = = = = + + ∫ ∫ ∫ GV: Đào Thị Thương Hoài 8 3, Đặt x = sin 2 t ⇒ dx = 2sint.costdt; x = 0 ⇒ t =0; x = 1 2 ⇒ t = 4 π Ta có: 1 2 4 4 4 2 2 2 0 0 0 0 4 4 0 0 1 1 x x dx 2 sin t(1 sin t) sin t.costdt sin 2t.sin 2tdt (1 cos4t)dt 2 4 1 1 1 t . sin 4t 4 4 4 16 π π π π π π − = − = = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ 4, , Đặt x = cost ⇒ dx =-sintdt; x = 0 ⇒ t = 2 π ; x = 1 ⇒ t =0 Ta có: 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 1 x 1 x dx cos t 1 cos t.( sin t)dt cos tsin tdt sin 2tdt 4 1 1 cos4t 1 1 1 dt t sin 4t .0 4 2 8 32 16 32 16 π π π π π π π − = − − − = = −   = = − = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 5, Đặt x = cost ⇒ dx =-sintdt; x = 0 ⇒ t = 2 π ; x = 1 ⇒ t =0 Ta có: 1 2 2 0 0 dx sin tdt cost sin t x 1 x π = + − ∫ ∫ . Đặt M = 2 0 sin tdt cost sin t π + ∫ ; N = 2 0 costdt cost sin t π + ∫ Ta có: M+N= 2 2 0 0 2 dt t π π π = = ∫ ; M-N= 2 2 0 0 sin t cost dt ln cos t sin t 0 cost sin t π π − = + = + ∫ ⇒ 2 4 0 M N M M N π π  + =  ⇒ =   − =  6, Đặt x = π - t ⇒ dx =- dt; x = 0 ⇒ t = π ; x = π ⇒ t =0 Ta có 0 0 0 0 0 0 1 sin 1 sin( ) 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin xdx t dt tdt dt xdx dt x t t t t x π π π π π π π π π π − = = − = − + + − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 0 0 0 0 0 2 cos 2 1 sin 1 sin 2 4 (sin cos ) 2sin 2 2 2 4 xdx dt dt dt t t t t x t π π π π π π π π π π π π   ⇒ = = = = − + =  ÷ + +     + +  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ 0 1 sin xdx x π π ⇒ = + ∫ 7, Đặt x = 1 3 sint ⇒ dx = 1 3 .costdt; 2 2 1 sin 3 x t= ; x = 3 6 ⇒ t = 6 π ; x = 1 2 ⇒ t = 3 π Ta có 1 3 3 2 3 2 2 2 2 6 3 6 6 6 cos 3 3cos 2 1 sin 1 3 3. sin cos 3 dx tdt dt t t x x t t π π π π π π = = = = − ∫ ∫ ∫ GV: Đào Thị Thương Hoài 9 8, Đặt x = 2sint ⇒ dx =2.costdt; 2 2 4sinx t= ; x =0 ⇒ t =0; x = 2 ⇒ t = 2 π Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 x 4 x dx 4sin t 4 4sin t.2cos tdt 16.sin tcos tdt 4 sin 2tdt 1 cos4t 1 4 dt 2t sin 4t 2 2 π π π π π π − = − = = −   = = + =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 9, Đặt x = 1 2 sint ⇒ dx = 1 2 costdt; 2 2 1 sin 4 x t= ; x = 3 4 ⇒ t = 3 π ; x = 1 2 ⇒ t = 2 π 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 1 4 1 sin 1 cos 1 . cos 2 2 (1 cot 1) 2 ( 1) 1 2 sin sin sin 4 x t t dx tdt dt t dt dt x t t t π π π π π π π π − − = = = + − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 2 3 2(cot ) 3 3 t t π π π = − − = − 10, 2 3 2 0 4 9 dx x− ∫ , Đặt x = 3 2 sint ⇒ dx = 3 2 costdt; ; x = 0 ⇒ t =0; x = 3 2 ⇒ t = 2 π 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 3 3 9 1 cos 2 9 9 4sin cos 3cos (1 cos 2 ) 2 2 2 2 4 t M t tdt tdt dt t dt π π π π +   = − = = = +  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ 2 0 9 1 9 sin 2 4 2 8 t t π π   = + =  ÷   11, 2 2 0 2cos 3 4 sin tdt t π − ∫ 12, 4 2 2 4x dx x − ∫ Dang 2 2 b a x a dx− ∫ . Đặt x = cos a t ⇒ Đặt x = 2 2 2 2 sin 4 2. ; cos cos cos t dx dt x t t t ⇒ = = ; x = 2 ⇒ t =0; x =4 ⇒ t = 3 π 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 3 2 0 4 4 sin 4(1 cos ) sin sin cos .2 2 .cos 2 (1 tan 1) 2 cos cos cos cos cos 1 2 1 2( 3 ) sin 3 t t t t t P dt t dt dt t dt t t t t t dt t π π π π π π − − = = = = + −   = − = −  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ III- Dạng 3: Bài tập tính tích phân bằng phương pháp tính tích phân từng phần GV: Đào Thị Thương Hoài 10 [...]... 4 2, y = 3 , x 3,y=lnx trc tung v hai ng thng y=1 v y=2 ,trc tung v hai ng thng y=0 v y=2 4, y =3 x 2 , trc yung v ng thng y=1 Bi 15: Tớnhth tớch ca phn vt th gii hn bi hai mt phng x=0 v x=3 bit rng thit din ca nú 0 x 3 ct bi mt phng vuụng gúc vi trc 0x ti ddiemr cú honh x ( ) l mt hỡnh ch nht cú hai kớch thc l x v 2 9 2 x 3 Ta cú V= ũ 2x 9 - x 2 dx = 0 3 2 ( 9 - x 2 ) 9 - x 2 0 =18 3 V.Rỳt kinh . dàng, từ đó suy ra I. Vấn đề là lúc nào thì dùng tích phân liên kết và liên kết đến tích phân nào? Tính các tích phân sau nhờ sử dụng tích phân liên kết: Bài 1: Tính các tích phân sau : 1. 3 6 cos sinx. tương đối dễ dàng, từ đó suy ra I. Vấn đề là lúc nào thì dùng tích phân liên kết và liên kết đến tích phân nào? Tính các tích phân sau nhờ sử dụng tích phân liên kết: 1. 3 6 cos sinx cos xdx I x π π = + ∫ 2 + =  ÷  ÷     ∫ VI- Vấn đề tích phân liên kết : Trong nhiều trường hợp việc tính tích phân I phức tạp, ta tìm cách xét thêm tích phân J (gọi là tích phân liên kết, có quan hệ với I)