Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo án toán kinh tế được soạn chi tiết, định dạng .doc, bạn đọc có thể tải về và chỉnh sửa dễ dàng. bao gồm các bài giảng theo chương trình toán kinh tế của các trường kinh tế. giáo án ngắn gọn đầy đủ.
Tuần 1: CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1. KHÔNG GIAN VÉC TƠ I. Mục tiêu bài dạy * Về kiến thức: Giúp sinh viên hiểu được các khái niệm cơ bản về đại số tuyến tính như: không gian véc tơ; không gian véc tơ con; tổ hợp tuyến tính; hệ véc tơ độc lập (phụ thuôc) tuyến tính; hệ sinh; cơ sở, số chiều của không gian véc tơ; hạng của họ véc tơ và một số tính chất cơ bản. * Về kỹ năng: Giúp sinh viên có khả năng chứng minh một tập hợp tạo thành một không gian véc tơ; kỹ năng tìm cơ sở, số chiều và tìm hạng của không gian véc tơ, tìm tọa độ của véc tơ với cơ sở cho trước. * Về tư duy, thái độ: Cẩn thận trong tư duy và tính toán, giúp sinh viên biết được toán học có ý nghĩa trong thực tiễn. II. Phương tiện dạy học Máy chiếu; bảng viết; giáo trình bài giảng III. Nội dung chi tiết 1.1 Khái niệm về không gian véc tơ 1.1.1 Định nghĩa 1. Nếu V là một tập hợp khác rỗng, V được gọi là Không gian vec tơ nếu trên V ta định nghĩa hai phép toán: cộng hai vec tơ và phép nhân vec tơ với một số như sau: Tổng hai vec tơ v và u, ký hiệu v + u Tích của vec tơ v với một số λ, ký hiệu là: λv Hai phép toán đó thỏa mãn các tiên đề sau: 1, Nếu u, v ∈ V thì u + v ∈ V 2, ∀ u , v ∈ V thì u + v = v + u (giao hoán) 3, Nếu ∀ u, v, w ∈ V thì u + (v+w) = (u + v) + w (kết hợp) 4, Tồn tại vec tơ θ sao cho θ + u = u + θ = u, ∀ u ∈ V; (θ được gọi là véc tơ không). 5, ∀ u ∈ V, ∃ -u ∈ V sao cho u + (-u) = θ; (vec tơ -u được gọi là vec tơ đối của vec tơ u). 6, Nếu u ∈ V, λ ∈ R thì λu ∈ V. 7, λ(u +v) = λu + λv, ∀ u, v ∈ V; λ ∈ R. 8, (λ + μ)u = λu + μu, ∀ λ, μ ∈ R, u ∈ V. -1- 9, λ(μu) = (λμ)u, ∀ λ, μ ∈ R, u ∈ V. 10, 1.u = u.1 = u, ∀ u ∈ V Như vậy để chứng minh một tập hợp là một không gian vec tơ ta phải chứng minh tập hợp đó khác rỗng và hai phép toán cộng hai vec tơ và phép nhân véctơ với một số phải thỏa mãn 10 tính chất trên. 1.1.2 Các ví dụ a. Ví dụ 1. Chứng minh rằng tập hợp R là tập hợp các bộ số thực có thứ tự (x 1 , x 2 , …, x n ) với hai phép toán được xác định nếu x = (x 1 , x 2 , …, x n ), y = (y 1 , y 2 , …, y n ) ∈ R và λ ∈ R thì: x + y = (x 1 + x 2 , …., x n + y n ) λx = (λx 1 ,λx 2 , …, λx n ) Là không gian véctơ Chứng minh: Kiểm tra 8 tiên đề còn lại của định nghĩa với θ = (0, 0, …,0) và véctơ đối của véc tơ x là -x = (-x 1 , -x 2 ,…, -x n ) b. Ví dụ 2. Trong R với hai phép toán cộng và nhân được xác định như sau ∀ x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ) ∈ R và λ ∈ R thì: x + y = (x 1 + y 2 , x 2 + y 1 ) λx = (λx 1 , λx 2 ) R có phải là không gian véctơ? 1.2 Không gian con 1.2.1 Định nghĩa 2. Giả sử V là không gian véc tơ với hai phép toán: Cộng hai véc tơ và nhân véc tơ với một số thực. W là một tập hợp con của V. Nếu với hai phép toán trên W cũng là một không gian véc tơ thì W gọi là không gian con của V. Như vậy theo định nghĩa muốn kiểm tra W V là không gian con của V, ta chứng minh hai phép toán đã định nghĩa trong V cũng thỏa mãn 10 tiên đề của không gian véc tơ đối với W. Ta có định lý sau giúp cho việc kiểm tra dễ dàng hơn. 1.2.2 Định lý 1. Giả sử V là một không gian véc tơ, W là một tập hợp con khác rỗng của V. Nếu: (i) u, v W ⇒ u + v W (ii) u W, R ⇒ u W thì W là không gian con của V. -2- Nhận xét: Hai điều kiện i) và ii) ở trên có thể được thay thế bằng điều kiện sau: 2 , , ( , ) , .x y W x y W α β α β ∀ ∈ ∀ ∈ + ∈¡ Như vậy: Để chứng minh một tập hợp khác rỗng là không gian véc tơ thì có hai cách hoặc chứng minh tập hợp này với hai phép toán cộng và nhân vô hướng thỏa các tiên đề của không gian vectơ; hoặc chứng minh rằng tập hợp đó là không gian vecto con của một không gian vecto khác. Ví dụ: R 3 là một không gian véc tơ, xét W = {(x 1 , x 2 , x 3 ) R 3 1 2 3 0x x x + + = } Khi đó W là một không gian con của R 3 . (việc chứng minh xem như bài tập về nhà) Chú ý: Hai tập V, {θ} là hai không gian con tầm thường của V. 1.3 Tổ hợp tuyến tính. Hệ sinh 1.3.1 Định nghĩa 4. V là một không gian véc tơ, S = {x 1 , x 2 , … ,x n } V. Biểu thức: x = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n với c i R, i = 1, 2, … , n là một véc tơ thuộc V và gọi là một tổ hợp tuyến tính của họ S. Ví dụ 4: Trong không gian véc tơ R 2 , véc tơ (x, y) là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ i = (1, 0), j = (0, 1), vì x.i +y.j = x(1, 0) + y(0,1) = (x, y). Véc tơ (7, -3) là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ x 1 = (1, 1), x 2 = (1, -1) vì 2x 1 + 5x 2 = 2(1, 1) + 5(1, -1) = (7, -3). 1.3.2 Định nghĩa 5. Giả sử S = {x 1 , x 2 , …, x n } là một họ véc tơ của không gian véc tơ V. Tập hợp tất cả những tổ hợp tuyến tính của họ S gọi là bao tuyến tính của họ S. Ký hiệu là Span(S). 1.3.3 Định lý 2. Nếu S là một họ véc tơ của không gian véc tơ V thì W = span(S) là một không gian con của V. 1.3.4 Định nghĩa 6. Nếu span(S) = W, tức là mọi véc tơ x V đều có thể biểu diễn được dưới dạng: c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n ta nói rằng họ S sinh ra V hay S là một hệ sinh của V. Ví dụ 5. Trong không gian véc tơ R 2 xét hai véc tơ i = (1, 0); j = (0. 1). Mọi véc tơ trong R 2 đều có dạng: x(x 1 , x 2 ) = x 1 (1, 0) + x 2 (0, 1) = x 1 i + x 2 j nên họ S = {i, j} là một hệ sinh của R 2 . 1.4 Họ véc tơ độc lập tuyến tính. Cơ sở và số chiều của không gian véc tơ. -3- 1.4.1 Họ véc tơ độc lập tuyến tính Định nghĩa 7. Ta nói hệ véc tơ S = {x 1 , x 2 , …, x n } của không gian véc tơ V là độc lập tuyến tính, nếu c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n = θ ⇔ c 1 = c 2 = … = c n = 0 (1.1.1) trong đó c 1 , c 2 , …, c n là các số thực. Nếu tồn tại số c i ≠ 0 (i = 1, 2, …, n) sao cho c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n = θ, ta nói hệ S phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ: Trong R 4 cho hệ vectơ 1 2 3 (1,0,1,1); (0,1,2,3); (1,2,3,4) α α α = = = . Hệ trên độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải: Xét hệ phương trình vectơ: 1 3 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 0 2 0 0 2 3 0 3 3 0 x x x x x x x x x x x x x α α α + = + = + + = ⇔ + + = + + = . Ta có ma trận các hệ số của hệ trên là 1 0 1 0 1 2 1 2 3 1 3 4 A ÷ ÷ = ÷ ÷ và rankA = 3, nên hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (0, 0, 0). Do đó, hệ các vectơ trên độc lập tuyến tính. 1.4.2 Cơ sở. Số chiều của không gian véc tơ Định lý 3. Cho V là không gian véc tơ sinh bởi n véc tơ. Nếu S là một họ n véc tơ độc lập tuyến tính trong V thì m ≤ n. Định nghĩa 8. Họ các véc tơ S = {e 1 , e 2 , … , e n } được gọi là cơ sở của không gian véc tơ V nếu thỏa mãn các điều kiện (i) Họ S độc lập tuyến tính (ii) Họ S là hệ sinh của V. Định lý 4. Nếu {e 1 , e 2 , … , e n } và {f 1 , f 2 , …, f n } là hai cơ sở của V thì n = m. Định nghĩa 9. Nếu {e 1 , e 2 , … , e n } là cơ sở của không gian véc tơ V, ta nói V là không gian véc tơ n chiều, n gọi là số chiều của V và ký hiệu là dim(V) = n. Quy ước: dim(θ) = 0. Nhận xét: Trong không gian n chiều, mọi hệ véc tơ S gồm n véc tơ độc lập tuyến tính đều là một cơ sở. Ví dụ: Trong không gian R n , họ véc tơ {e 1 , e 2 , … , e n } trong đó e i = (0, …, 0, 1, 0, …, 0) -4- (số 1 ở vị trí thứ i) là một cơ sở và gọi là cơ sở chính tắc. Định lý 5. Nếu S = {e 1 , e 2 , … , e n } là một cơ sở của không gian véc tơ n chiều V thì mọi véc tơ x ∈ V đều có thể diễn một cách duy nhất dưới dạng x = c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n e n trong đó c 1 , c 2 , …, c n ∈ R. Và khi đó bộ số (c 1 , c 2 , …, c n ) được gọi là tọa độ của véc tơ x đối với cơ sở S. 1.5 Hạng của một họ véc tơ 1.5.1 Định nghĩa 10. S = {x 1 , x 2 , … , x n } là một họ véc tơ trong không gian véc tơ V. Số lớn nhất các véc tơ độc lập tuyến tính lấy ra từ họ S gọi là hạng của họ véc tơ S, ký hiệu là r(S). 1.5.2 Định lý 6. Hạng của họ S bằng số chiều của không gian con sinh bởi họ S. r(S) = dim(span(S)). 1.5.3 Tính hạng của một họ véc tơ bằng các phép biến đổi sơ cấp Phương pháp này được tính giống tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp trên ma trận. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ: tính hạng của họ véc tơ S = {x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) R 3 với x 1 = (1, 2, 3); x 2 = (2, 3, 4); x 3 = (3, 5, 7); x 4 = (1, 1, 1); x 5 = (0, 1, 2). Giải: Lập ma trận A với 5 dòng là 5 véc tơ tọa độ của các véc tơ đã cho 1 2 3 2 3 4 3 5 7 1 1 1 0 1 2 A ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ Dùng các phép biến đổi sơ cấp về hàng để đưa ma trận A về dạng bậc thang 2 31 2 1 3 2 4 2 5 1 4 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 4 0 1 2 0 1 2 3 5 7 0 1 2 0 0 0 1 1 1 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 h hh h h h h h h h h h A − +− + − + − + + − + ÷ ÷ ÷ − − − − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = → → − − ÷ ÷ ÷ − − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ Vì r(A) = 2 nên hạng của hệ véc tơ đã cho bằng 2 do đó hệ véc tơ này phụ thuộc tuyến tính, hơn nữa một cơ sở của không gian con sinh bởi họ S là: {e 1 (1, 2, 3), e 2 (0, -1, -2)}. Nhận xét: Hạng của họ véc tơ S bằng hạng của ma trận thành lập bởi các hàng của ma trận là các véc tơ của họ S. 1.6 Tọa độ của véc tơ. Chuyển cơ sở -5- 1.6.1 Tọa độ của véc tơ Cho không gian véc tơ V, dimV = n, n N * . Giả sử S = {e 1 , e 2 , …, e n } là một cơ sở của V. Như vậy với n x R ∀ ∈ sao cho 1 n i i i x x e = = ∑ (*) Các số x i , 1,i n = trong (*) được xác định duy nhất. Thật vậy, giả sử còn có 1 ' n i i i x x e = = ∑ thì 1 1 1 0 ' ( ' ) ' 0, 1, n n n i i i i i i i i i i i i x e x e x x e x x i n = = = = − = − ⇔ − = ∀ = ∑ ∑ ∑ (vì {e 1 , e 2 , …, e n } độc lập tuyến tính). Do vậy ta gọi bộ số (x 1 , x 2 , …, x n ) là tọa độ của véc tơ x đối với cơ sở S. Ký hiệu: 1 ( ) n s i i x x = = hoặc 1 2 s n x x x x ÷ ÷ = ÷ ÷ 1.6.2 Chuyển cơ sở Cho không gian véc tơ V, S = {e 1 , e 2 , …, e n } và S’ = {e’ 1 , e’ 2 , …, e’ n } là hai cơ sở của V. Giả sử giữa S và S’ có mối liên hệ: ij =1 ' , 1, n j i i e x e j n= = ∑ Ta gọi ma trận 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn x x x x x x A x x x = là ma trận chuyển từ cơ sở S sang cơ sở S’ (cột thứ j là tọa độ của e’ j đối với cơ sở S). Và ma trận chuyển từ cơ sở S’ sang cơ sở S là A -1 . Ví dụ 11. Trong không gian véc tơ R 2 , cho S = {e 1 (1, 0); e 2 (0, 1)} và S’ = {e’ 1 (2, 4); e’ 2 (3, -1)} là hai cơ sở. Khi đó ta có 1 1 2 2 1 2 ' 2 4 ' 3 e e e e e e = + = − Do đó, ma trận chuyển từ cơ sở S sang cơ sở S’ là: 2 3 4 1 A = − Ma trận chuyển từ cơ sở S’ sang cơ sở S là: -6- 1 1 3 1 4 2 14 B A − − − = = − − CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH §1. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất a. Nội dung bài toán: Một cơ sở sản xuất có thể sản xuất được hai loại sản xuất A và B, từ các nguyên liệu I, II, III. Chi phí từng loại nguyên liệu và tiền lãi của một đơn vị sản phẩm, cũng như dự trữ nguyên liệu được cho bảng sau đây: I II III Lãi A 2 0 1 3 B 1 1 0 5 Dự trữ 8 4 3 Hãy lập kế hoạch sản xuất sao cho phù hợp với điều kiện dự trữ nguyên liệu đồng thời tổng số lãi lớn nhất. b. Mô hình toán học của bài toán: Gọi x 1 , x 2 tương ứng là số sản phẩm A, B được sản xuất. Khi đó: - Tổng số lãi là: 3x 1 + 5x 2 - Tổng số nguyên liệu I cần sử dụng là: 2x 1 + x 2 -7- Nguyên liệu Sản phẩm - Tổng số nguyên liệu II cần sử dụng là: x 2 - Tổng số nguyên liệu III cần sử dụng là: x 1 Theo bài ra ta có mô hình toán học sau đây: Tìm X(x 1 , x 2 ) sao cho: max{f(X) = 3x 1 + 5x 2 } Với điều kiện: 1 2 2 1 2 8 4 3 0 j x x x x x + ≤ ≤ ≤ ≥ 2. Bài toán phân công lao động a. Nội dung bài toán: Một phân xưởng có 4 dây chuyền sản xuất khác nhau có thể sản xuất 3 loại sản phẩm. Lượng sản phẩm mỗi loại sản xuất ra được khi sử dụng một dây chuyền sản xuất trong một giờ và chi phí sản xuất ở dây chuyền đó sau một giờ hoạt động cùng với nhu cầu tối thiểu về các sản phẩm được cho bởi bảng sau: Sản phẩm (SP) Dây chuyền sản xuất Nhu cầu tối thiểu I II III IV SP1 2 3 1 1 1600 SP2 1 2 3 4 2200 SP3 3 1 4 5 2000 Chi phí (1.000 đ) 10 5 13 16 Hãy bố trí thời gian cho các dây chuyền sản xuất sao cho thỏa mãn nhu cầu tối thiểu về các sản phẩm đồng thời tổng chi phí sản xuất thấp nhất. b. Mô hình toán học của bài toán: Gọi x j là thời gian (giờ) áp dụng dây chuyền sản xuất thứ j ( ) 1,4j = khi đó: - Tổng chi phí sản xuất là: 10x 1 + 5x 2 + 13x 3 + 16x 4 (1.000đ) - Tổng lượng sản phẩm 1 sản xuất ra là: 2x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 - Tổng lượng sản phẩm 2 sản xuất ra là: x 1 + 2x 2 + 3x 3 +4 x 4 - Tổng lượng sản phẩm 3 sản xuất ra là: 3x 1 + x 2 + 4x 3 + 5x 4 Theo bài ra ta có mô hình toán học sau: Tìm X(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) sao cho: f(X) = 10x 1 + 5x 2 + 13x 3 + 16x 4 → min -8- với điều kiện: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1600 2 3 4 2200 3 4 5 2000 0, 1,4 j x x x x x x x x x x x x x j + + + ≥ + + + ≥ + + + ≥ ≥ = 3. Bài toán vận tải a. Nội dung bài toán: Một đơn vị vận tải cần vận chuyển xi măng từ 3 kho K 1 , K 2 , K 3 tới 4 công trường xây dựng T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . Cho biết lượng xi măng có ở mỗi kho, ngjn xi măng cần ở mỗi công trường và giá cước vận chuyển (nghìn đồng) 1 tấn xi măng từ mỗi kho tới mỗi công trường như sau: Kho xi măng Công trường xây dựng T 1 : 130 tấn T 2 : 160 tấn T 3 : 120 tấn T 4 : 140 tấn K 1 : 170 tấn 20 18 22 25 K 2 : 200 tấn 15 25 30 15 K 3 : 180 tấn 45 30 40 35 Vấn đề đặt ra là tìm kế hoạch vận chuyển xi măng từ các kho tới các công trường sao cho mọi kho đều phát hết lượng xi măng có, mọi công trường nhận đủ lượng xi măng cần và tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất? b. Mô hình toán học của bài toán: Gọi x ij là lượng xi măng cần vận chuyển từ kho i (i = 1, 2, 3) tới công trường j (j = 1, 2, 3, 4). Khi đó: Kho K 1 phát hết lượng xi măng có: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 170 Kho K 2 phát hết lượng xi măng có: x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 200 Kho K 3 phát hết lượng xi măng có: x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 180 Công trường T 1 nhận đủ số xi măng cần: x 11 + x 21 + x 31 = 130 (1.1.1) Công trường T 2 nhận đủ số xi măng cần: x 12 + x 22 + x 32 = 160 Công trường T 3 nhận đủ số xi măng cần: x 13 + x 23 + x 33 = 120 Công trường T 4 nhận đủ số xi măng cần: x 14 + x 24 + x 34 = 140 Lượng hàng vận chuyển không âm: x ij ≥ 0, 1,3, 1,4i j = = Tổng chi phí vận chuyển: f(X) = 20x 11 + 18x 12 + 22x 13 + 25x 14 + 15x 21 + 25x 22 + 30x 23 + 15x 24 + 30x 31 + 40x 32 + x 33 + 35x 34 Vậy mô hình toán học của bài toán là: Tìm X = [x ij ] 3x4 sao cho f(X) min với X thỏa mãn điều kiện (1.1.1). -9- Tổng quát: Gọi m là số kho chứa hàng (điểm phát), n là nơi tiêu thụ hàng (điểm thu). a i là lượng hàng có (cung) ở điểm phát thứ i ( 1,i m = ) b j là lượng hàng cần (cầu) ở điểm phát thứ j ( 1,j n = ) c ij là chi vận chuyển một đơn vị hàng từ điểm phát i tới điểm thu j x ij là lượng hàng vận chuyển cần tìm từ điểm phát i tới điểm thu j Mô hình toán học của bài toán vận tải có dạng f(X) = ij ij 1 1 min m n i j c x = = → ∑∑ với các điều kiện: ij 1 ij 1 ij , 1, , 1, 0, 1, , 1, n i j m j i x a i m x b j n x i m j n = = = = = = ≥ = = ∑ ∑ -10- [...]... nếu bài toán dạng chính tắc có PATƯ thì từ đó suy ra được PATƯ của bài toán ban đầu, còn nếu bài toán chính tắc không có PATƯ thì bài toán ban đầu cũng không có PATƯ Nói cách khác: bài toán ban đầu có PATƯ khi và chỉ khi bài toán chính tắc tương ứng với nó có PATƯ Ta cũng có kết luận: bài toán ban đầu có PA khi và chỉ khi bài toán dạng chính tắc tương ứng có PA Như vậy, ta chỉ cần tìm cách giải bài toán. .. quát I BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẨU KHÔNG ĐỐI XỨNG -21- -22- II BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẨU ĐỐI XỨNG -23- TOP -24- III BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẨU TỔNG QUÁT -25- TOP Dựa vào qui tắc ( 1-15 ) ta thấy rằng bài toán đối ngẫu của bài toán dạng chuẩn tắc cũng là bài toán dạng chuẩn tắc Vì vậy cặp bài toán dạng chuẩn tắc và bài toán đối ngẫu của nó được gọi là cặp bài toán. .. f(X*) ≥ f(X), ∀X ∈ Ω (đối với bài toán f(X) → max) Chú ý: tập PATƯ của bài toán QHTT hoặc một điểm, hoặc vô số điểm hoặc không có điểm nào Định nghĩa 4 Nếu bài toán QHTT có phương án tối ưu thì bài toán được gọi là giải được (hay bài toán có lời giải) và phương án tối ưu của bài toán còn gọi là lời giải của bài toán Nếu bài toán QHTT không có phương án tối ưu thì bài toán được gọi là không giải được... BÀI 2: CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU TOP Mối liên hệ giữa bài toán Qui hoạch tuyến tính gốc và bài toán đối ngẫu của nó được thể hiện trong các Ðịnh lí đối ngẫu sau đây -27- Ðịnh lí 1 Cho bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát ( D , f ) và giả sử bài toáïn Qui hoạch tuyến tính đối ngẫu của nó là (E , g ) Khi đó, bài toán đối ngẫu của bài toán ( E , g ) là bài toán ( D , f ) Như vậy , nếu thành lập bài toán. .. toán đối ngẫu của bài toán đối ngẫu thì được bài toán gốc ban đầu Ðịnh lí 1 được chứng minh đễ dàng dựa vào qui tắc thành lập bài toán đối ngẫu và các mũi tên hai chiều trong ( 1-15 ) -28- Bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát có thể đưa về dạng chính tắc (Ðịnh lí 1 Chương I ) , mặt khác , Ðịnh lí 1 Chương II cho thấy nếu thành lập bài toán đối ngẫu của bài toán đối ngẫu thì được bài toán gốc ban đầu... thể X* là PACB tối ưu của bài toán (1.4.1)-(1.4.3) Nhận xét: Từ định lý 3 và 4 cho phép chúng ta tìm phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính trên tập các PACB Sau này chúng ta thấy thêm rằng số PACB là hữu hạn CHƯƠNG 2 : BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU BÀI 1: BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU Chúng ta sẽ lần lượt xây dựng bài toán đối ngẫu của các bài toán Qui hoạch tuyến tính... phương án, tức là tập Ω có vô số phần tử - Bài toán (1.2.2) – (1.2.5) chỉ có một phương án, tức là tập Ω chỉ có một phần tử - Bài toán (1.2.2) – (1.2.5) không có phương án nào, tức là tập Ω = ∅ Định nghĩa 3 Phương án X*(x1*, x2*, …, xn*) của bài toán (1.2.2) – (1.2.5) được gọi là phương án tối ưu (PATƯ) của bài toán nếu: f(X*) ≤ f(X), ∀X ∈ Ω (đối với bài toán f(X) → min) f(X*) ≥ f(X), ∀X ∈ Ω (đối với bài. .. ngược lại Bài toán tìm cực đại f → max có thể đưa về bài toán tìm cực tiểu: g = -f → min -14- Nhận xét: i) Khi đưa biến phụ xn+1 vào thì hệ số của nó trong hàm mục tiêu là cn+1 = 0 ii) Khi đưa biến phụ xj+, xj- vào thì hệ số của nó trong hàm mục tiêu tương ứng là cj+ = cj, cj- = -cj iii) Mọi bài toán QHTT đều đưa được về dạng chính tắc và việc giải bài toán QHTT đã cho tương ứng với việc giải bài toán QHTT...§2 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1 Dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính Định nghĩa 1 Từ các bài toán thực tế đã nêu cùng rất nhiều bài toán khác, ta có thể thấy bài toán QHTT tổng quát có dạng sau: Tìm véc tơ X(x1, x2, …, xn) sao cho hàm số f(X) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn → min (hoặc... của bài toán Các ràng buộc (1.2.2) – (1.2.4) được gọi là các ràng buộc chính (hay ràng buộc cưỡng bức) Các ràng buộc (1.2.5) được gọi là ràng buộc về dấu (hay ràng buộc tự nhiên) của bài toán Định nghĩa 2 Véc tơ X(x1, x2, …, xn) thỏa mãn hệ ràng buộc (1.2.2) – (1.2.5) được gọi là phương án của bài toán Ký hiệu tập hợp các phương án của bài toán QHTT là Ω Có 3 khả năng xảy ra đối với Ω : -11- - Bài toán . = ∑ ∑ -10- §2. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1. Dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính Định nghĩa 1. Từ các bài toán thực tế đã nêu cùng rất nhiều bài toán khác, ta có thể thấy bài toán QHTT. được (hay bài toán có lời giải) và phương án tối ưu của bài toán còn gọi là lời giải của bài toán. Nếu bài toán QHTT không có phương án tối ưu thì bài toán được gọi là không giải được (hay không. được PATƯ của bài toán ban đầu, còn nếu bài toán chính tắc không có PATƯ thì bài toán ban đầu cũng không có PATƯ. Nói cách khác: bài toán ban đầu có PATƯ khi và chỉ khi bài toán chính tắc tương