Dáng điệu tiệm cận tính ổn định nghiệm phương trình sai phân ẩn tuyến tính số Ngơ Thị Thanh Nga Khoa Tốn-Tin, Đại học Thăng Long Tóm tắt: Trong năm gần phương trình sai phân ẩn (IDEs), hay cịn gọi phương trình sai phân kỳ dị (SDEs), nhận mối quan tâm lớn xuất chúng nhiều lĩnh vực thực hành, ví dụ mơ hình động lực Leontiev cho hệ kinh tế đa ngành, mơ hình tăng trưởng dân số Leslie, toán điều khiển tối ưu rời rạc suy biến, Phương trình sai phân ẩn xuất cách tự nhiên trình rời rạc hóa để giải phương trình vi phân đại số (DAEs) phương trình đạo hàm riêng đại số, đối tượng thu hút nhiều ý nhà nghiên cứu Trong báo cáo này, đưa số định lý dáng điệu tiệm cận tính ổn định nghiệm phương trình sai phân ẩn tuyến tính số Ở trường hợp hệ số hằng, đưa số điều kiện B(n) F (n) để phương trình ban đầu Ex(n + 1) = Ax(n), n ∈ N (n0 ) ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận) phương trình (E + F (n))x(n + 1) = (A + B(n))x(n), n ∈ N (n0 ) ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận) Trường hợp hệ số biến thiên, kết đạt dừng lại việc đưa số định lý tính ổn định ổn định mũ cho tình nhiễu tuyến tính bên phải Một số kiến thức đại số tuyến tính phương trình sai phân thường 1.1 Một số kiến thức đại số tuyến tính: Định nghĩa 1.1 Cho A ma trận, A ∈ R d×d Chỉ số Kronecker ma trận A, ký hiệu ind A số tự nhiên k cho Im Ak = Im Ak+1 , Im Ak−1 ̸= Im Ak Định nghĩa 1.2 Cho E, A hai ma trận, E, A ∈ R d×d Cặp ma trận {E, A} gọi quy tồn số thực c cho: ma trận cE + A ma trận khả nghịch Định nghĩa 1.3 Cho cặp ma trận quy {E, A} Chỉ số Kronecker cặp ma trận {E, A}, ký hiệu ind{E, A}, số Kronecker ma trận (cE + A)−1 E Bổ đề 1.4 Cho E, A hai ma trận thuộc R d×d , rank(E) = r Giả sử cặp ma trận {E, A} quy Khi tồn U , V khả nghịch cho: ( ) ( ) E11 A11 A12 U EV = , U AV = , 0 A21 A22 E11 ma trận vng cấp r khơng suy biến Chú ý: • ind{E, A} = tương đương với A22 khơng suy biến • Cách xây dựng U, V : Để thuận lợi cho tính tốn phía sau, ta đưa cách xây dựng U, V đặc biệt Chọn U1 , V1 ∈ R d×(d−r) có cột tạo thành sở không gian hạch trái, ⊥ tương ứng hạch phải E, ký hiệu U1 , V1⊥ tương ứng hai không gian trực giao với U1 ⊥ V1 Khi U = [U1 U1 ]T , V = [V1⊥ V1 ] 61 Tr ng Đ i h c Th ng ong Bổ đề 1.5 Cho p, q hai số thực không âm, f (l) ≥ với l ∈ N , l ≥ n0 , n0 ∈ N cho trước (có thể viết gọn l ∈ N (n0 )) Giả sử k−1 ∑ u(k) ≤ p + q f (l)u(l), ∀k ∈ N (n0 ) l=n0 Khi đó, u(k) ≤ p k−1 ∏ (1 + qf (l)), ∀k ∈ N (n0 ) l=n0 1.2 Một số định lý dáng điệu tiệm cận phương trình sai phân thường chịu nhiễu Xét phương trình sai phân thường hệ số hằng: x(n + 1) = Ax(n), n ∈ N (n0 ), (1) đó: x(n) ∈ R d , ∀n ∈ N (n0 ); A ∈ R d×d ma trận cho trước Khi có nhiễu tuyến tính bên phải ta phương trình x(n + 1) = (A + B(n))x(n), n ∈ N (n0 ), (2) ma trận nhiễu B(n) ∈ R d×d , ∀n ∈ N (n0 ) Định lý 1.6 (Xem [1]) Giả sử tất nghiệm phương trình (1) bị chặn N (n0 ) ∞ ∑ ∥B(l)∥ < ∞ l=n0 Khi tất nghiệm phương trình (2) bị chặn N (n0 ) Định lý 1.7 (Xem [1]) Giả sử tất nghiệm x(k) phương trình (1) tiến k → ∞ ∥B(k)∥ → k → ∞ Khi tất nghiệm y(k) phương trình (2) tiến k → ∞ Một số định lý dáng điệu tiệm cận phương trình sai phân ẩn tuyến tính số chịu nhiễu 2.1 Các kết đạt trường hợp hệ số Xét phương trình sai phân ẩn tuyến tính hệ số hằng, số Ex(n + 1) = Ax(n), n ∈ N (n0 ), (3) đó: E, A ∈ R d×d , rank(E) = r, x(n) ∈ R d , n ∈ N (n0 ) Phương trình (3)( gọi có số ( ind{E, A} = hay A22 không suy biến Khi đó, đặt ) ) y1 (n) A11 A12 x(n) = V y(n) = V U AV = , phương trình (3) trở thành y2 (n) A21 A22 ( )( ) ( )( ) 62 E11 y1 (n + 1) A11 A12 y1 (n) = , 0 y2 (n + 1) A21 A22 y2 (n) Tr ng Đ i h c Th ng ong hay ta có hệ: { E11 y1 (n + 1) = A11 y1 (n) + A12 y2 (n) = A21 y1 (n) + A22 y2 (n) (4) Do E11 A22 khả nghịch nên (4) tương đương với hệ: { −1 y1 (n + 1) = E11 (A11 − A12 A−1 A21 )y1 (n) 22 y2 (n) = A−1 A21 y1 (n) 22 Xét dạng nhiễu tuyến tính phương trình (3) Ex(n + 1) = (A + B(n))x(n), n ∈ N (n0 ), đó: B(n) ∈ R d×d , n ∈ N (n0 ) ma trận nhiễu Sử dụng cách biến đổi phương trình (3), đồng thời đặt U B(n)V = (5) ( ) B11 (n) B12 (n) B21 (n) B22 (n) ta đưa phương trình (5) dạng sau: { E11 y1 (n + 1) = (A11 + B11 (n))y1 (n) + (A12 + B12 (n))y2 (n) = (A21 + B21 (n))y1 (n) + (A22 + B22 (n))y2 (n) (6) Nếu A22 + B22 (n) khả nghịch với n ∈ N (n0 ) từ phương trình thứ hai hệ (6) ta rút y2 (n) = (A22 + B22 (n))−1 (A21 + B21 (n))y1 (n) (7) Thay vào phương trình đầu ta thu phương trình sai phân thường −1 −1 y1 (n + 1) = [E11 (A11 − A12 A−1 A21 ) + E11 R(n)]y1 (n), 22 (8) ˜ R(n) = B11 (n) + B12 (n)A−1 A21 − B12 (n)B22 (n)A21 22 ˜ − A12 B22 (n)A21 + A12 A−1 B21 (n) + B12 (n)A−1 B21 (n) 22 22 ˜ ˜ − B12 (n)B22 (n)B21 (n) − A12 B22 (n)B21 (n), ˜ với B22 (n) = A−1 B22 (n)(A22 + B22 (n))−1 22 Một số điều kiện sử dụng định lý hệ phát biểu: Điều kiện (A1 ): A22 + B22 (n) khả nghịch, với n ∈ N (n0 ) Điều kiện (A2 ): Tồn số c > cho ∥(A22 + B22 (n))−1 (A21 + B21 (n))∥ < c, với n ∈ N (n0 ) Điều kiện (A3 ): ∞ ∑ −1 ∥E11 R(l)∥ < ∞ l=n0 −1 Điều kiện (A4 ): ∥E11 R(k)∥ → k → ∞ Nhận xét: Có thể thấy điều kiện điều kiện đặt lên cho hệ nhiễu (6) hệ gốc ban đầu (4) Định lý 2.1 Giả sử phương trình (3) có số 1, giá trị riêng cặp ma trận {E,A} có mơ đun nhỏ giá trị riêng có mơ đun nửa đơn Nếu thêm vào điều kiện (A1 ), (A2 ) (A3 ) thỏa mãn nghiệm phương trình (5) bị chặn 63 Tr ng Đ i h c Thăng Long Chứng minh: Các điều kiện đặt lên cho cặp ma trận {E,A} đảm bảo cho nghiệm phương trình (3) bị chặn Khi điều kiện (A1 ) thỏa mãn nghiệm v(n) phương trình ( ) y1 (n) ¯ (5) xác định v(n) = V y (n) = V ¯ , y1 (n) nghiệm (8) y2 (n) ¯ ¯ y2 (n) ¯ xác định qua phương trình đại số (7) Khi điều kiện (A3 ) thỏa mãn, áp dụng định lý 1.6 ta y1 (n) bị chặn Kết hợp thêm điều kiện (A2 ) ta suy y2 (n) bị chặn Từ ¯ ¯ nghiệm v(n) (5) bị chặn Hệ 2.2 Giả sử cặp ma trận {E,A} thỏa mãn điều kiện nêu định lý 2.1, thêm vào điều kiện sau thỏa mãn: (i) sup ∥A−1 B22 (n)∥ < 1, 22 n∈N (n0 ) (ii) với i, j ∈ {1, 2}, ta có ∞ ∑ ∥Bij (l)∥ < ∞, l=n0 ta thu kết luận giống định lý 2.1 Chứng minh: Dễ dàng được, điều kiện (i) kéo theo điều kiện (A1 ) (A2 ) Khi điều kiện (ii) thỏa mãn, ta suy điều kiện (A3 ) Áp dụng định lý 2.1 ta điều phải chứng minh Định lý 2.3 Giả sử phương trình (3) có số giá trị riêng hữu hạn cặp {E,A} có mơ đun nhỏ Khi điều kiện (A1 ), (A2 ) (A4 ) thỏa mãn nghiệm v(n) phương trình (5) tiến n → ∞ Chứng minh Các điều kiện đặt lên cho cặp ma trận {E,A} đảm bảo cho nghiệm u(n) phương trình (3) tiến n → ∞ Khi điều kiện (A1 ) thỏa mãn nghiệm v(n) phương trình (5) xác định nêu chứng minh định lý 2.1 Khi điều kiện (A4 ) thỏa mãn, áp dụng định lý 1.7 ta y1 (n) tiến n → ∞ Kết hợp thêm điều kiện (A2 ) ta ¯ suy y2 (n) tiến n → ∞ Từ nghiệm v(n) (5) tiến n → ∞ ¯ Hệ 2.4 Giả sử cặp ma trận {E,A} thỏa mãn điều kiện nêu định lý 2.3, thêm vào điều kiện sau thỏa mãn: (i) sup ∥A−1 B22 (n)∥ < 1, 22 n∈N (n0 ) (ii) với i, j ∈ {1, 2}, ∥Bij (k)∥ → k → ∞, ta thu kết luận giống định lý 2.3 Chứng minh: Dễ dàng được, điều kiện (i) kéo theo điều kiện (A1 ) (A2 ) Khi điều kiện (ii) thỏa mãn, ta suy điều kiện (A4 ) Áp dụng định lý 2.3 ta điều phải chứng minh Nhận xét: Các định lý hệ nói thực chất phát biểu cho hệ có nhiễu (6) hệ gốc ban đầu (4) Sau ta xét phương trình có nhiễu tuyến tính hai bên phương trình (3): (E + F (n))x(n + 1) = (A + B(n))x(n), n ∈ N (n0 ), (9) đó: F (n), B(n) ∈ R d×d ma trận nhiễu, với F (n) có cấu trúc đặc biệt Nhiễu F (n) thỏa mãn điều kiện sau: Điều kiện (B1 ): Ker E ⊂ Ker F (n) hay Ker E = Ker(E + F (n)), với n ∈ N (n0 ) Tr ng Đ i h c Th ng ong 64 Khi điều kiện (B1 ) thỏa mãn, ta chứng minh ma trận U F (n)V có dạng: ( ) F11 (n) U F (n)V = F21 (n) Tiếp tục sử dụng cách đổi biến biến đổi giống trước ta đưa phương trình (9) hệ: { (E11 + F11 (n))y1 (n + 1) = (A11 + B11 (n))y1 (n) + (A12 + B12 (n))y2 (n) (10) F21 (n)y1 (n + 1) = (A21 + B21 (n))y1 (n) + (A22 + B22 (n))y2 (n) Điều kiện (B2 ): E11 + F11 (n) khả nghịch, với n ∈ N (n0 ) Khi điều kiện (B2 ) thỏa mãn, ta có −1 −1 (E11 + F11 (n))−1 = E11 − E11 F11 (n)(E11 + F11 (n))−1 Nhân hai vế phương trình đầu hệ (10) với E11 (E11 + F11 (n))−1 , ta được: ¯ ¯ E11 y1 (n + 1) = (A11 + B11 (n))y1 (n) + (A12 + B12 (n))y2 (n), ¯ B11 (n) =B11 (n) − F11 (n)(E11 + F11 (n))−1 (A11 + B11 (n)) ¯ B12 (n) =B12 (n) − F11 (n)(E11 + F11 (n))−1 (A12 + B12 (n)) Nhân hai vế phương trình đầu (10) với −F21 (n)(E11 +F11 (n))−1 cộng vế với vế vào phương trình thứ hai hệ, ta thu phương trình: ¯ ¯ = (A21 + B21 (n))y1 (n) + (A22 + B22 (n))y2 (n), ¯ B21 (n) =B21 (n) − F21 (n)(E11 + F11 (n))−1 (A11 + B11 (n)) ¯ B22 (n) =B22 (n) − F21 (n)(E11 + F11 (n))−1 (A12 + B12 (n)) Như hệ (10) tương đương với hệ { ¯ ¯ E11 y1 (n + 1) = (A11 + B11 (n))y1 (n) + (A12 + B12 (n))y2 (n) ¯ ¯ = (A21 + B21 (n))y1 (n) + (A22 + B22 (n))y2 (n) (11) Nhận xét: hệ (11) hệ có nhiễu có dạng giống với (6) hệ gốc ban đầu (4) Đặt ˜ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ R(n) = B11 (n) + B12 (n)A−1 A21 − B12 (n)B22 (n)A21 22 ˜ ¯ ¯ ¯ ¯ − A12 B22 (n)A21 + A12 A−1 B21 (n) + B12 (n)A−1 B21 (n) 22 22 ˜ ˜ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − B12 (n)B22 (n)B21 (n) − A12 B22 (n)B21 (n), ˜ ¯ ¯ ¯ với B22 (n) = A−1 B22 (n)(A22 + B22 (n))−1 22 Các điều kiện đưa sau: ¯ Điều kiện (B3 ): A22 + B22 (n) khả nghịch, với n ∈ N (n0 ) Tr ng Đ i h c Thăng Long 65 ¯ ¯ Điều kiện (B4 ): Tồn số c > cho ∥(A22 + B22 (n))−1 (A21 + B21 (n))∥ < c, với n ∈ N (n0 ) Điều kiện (B5 ): ∞ ∑ −1 ¯ ∥E11 R(l)∥ < ∞ l=n0 −1 ¯ Điều kiện (B6 ): ∥E11 R(k)∥ → k → ∞ Định lý 2.5 Giả sử cặp ma trận {E,A} thỏa mãn điều kiện nêu định lý 2.1, thêm vào điều kiện (B1 ), (B2 ), (B3 ), (B4 ) (B5 ) thỏa mãn Khi nghiệm phương trình (9) bị chặn Chứng minh: Điều kiện (B1 ) (B2 ) đảm bảo cho phương trình (9) đưa hệ (11) Từ áp dụng trực tiếp định lý 2.1 ta điều phải chứng minh Hệ 2.6 Giả sử phương trình (3) thỏa mãn điều kiện định lý 2.1 Khi điều kiện (B1 ) điều kiện thỏa mãn: (i) −1 sup ∥E11 F11 (n)∥ < 1, n∈N (n0 ) (ii) sup ∥A−1 (B22 (n) − F21 (n)(E11 + F11 (n))−1 (A12 + B12 (n)))∥ < 1, 22 n∈N (n0 ) (iii) với i, j ∈ {1, 2}, ta có ∞ ∑ ∥Bij (l)∥ < ∞, l=n0 (iv) với i ∈ {1, 2}, ta có ∞ ∑ ∥Fi1 (l)∥ < ∞, l=n0 ta thu kết luận giống định lý 2.5 Chứng minh: Từ (i) ta suy (B2 ) Khi điều kiện (B1 ), (B2 ) thỏa mãn phương trình (9) đưa hệ (11) Các điều kiện (i), (ii), (iii), (iv) suy hệ (11) thỏa mãn điều kiện hệ 2.2, từ áp dụng trực tiếp hệ ta có điều phải chứng minh Định lý 2.7 Giả sử cặp ma trận {E,A} thỏa mãn điều kiện nêu định lý 2.3, thêm vào điều kiện (B1 ), (B2 ), (B3 ), (B4 ) (B6 ) thỏa mãn Khi nghiệm v(n) phương trình (9) tiến n → ∞ Chứng minh: Nhờ có điều kiện (B1 ) (B2 ) ta đưa phương trình (9) đưa hệ (11) Từ đó, điều kiện (B3 ), (B4 ) (B6 ) thỏa mãn nên áp dụng định lý 2.3 ta điều phải chứng minh Hệ 2.8 Giả sử phương trình (3) thỏa mãn điều kiện định lý 2.3 Khi điều kiện (B1 ) điều kiện thỏa mãn: (i) −1 sup ∥E11 F11 (n)∥ < 1, n∈N (n0 ) (ii) sup ∥A−1 (B22 (n) − F21 (n)(E11 + F11 (n))−1 (A12 + B12 (n)))∥ < 1, 22 n∈N (n0 ) (iii) với i, j ∈ {1, 2}, ta có ∥Bij (k)∥ → k → ∞, Tr ng Đ i h c Th ng ong 66 (iv) với i ∈ {1, 2}, ta có ∥Fi1 (k)∥ → k → ∞, ta thu kết luận giống định lý 2.7 Chứng minh: Tương tự cách chứng minh hệ 2.6, ta đưa phương trình (9) hệ (11), từ áp dụng hệ 2.4 để thu điều phải chứng minh 2.2 Phương trình sai phân ẩn tuyến tính hệ số biến thiên số 2.2.1 Định nghĩa phương trình sai phân ẩn tuyến tính số Định nghĩa phương trình sai phân ẩn tuyến tính số số tính chất trình bày chi tiết [5] Phương trình sai phân ẩn tuyến tính phương trình có dạng sau: En x(n + 1) = An x(n), n ∈ N (n0 ), (12) đó: En , An ∈ R d×d ma trận cho trước ma trận En suy biến với n ∈ N (n0 ) Định nghĩa 2.9 Phương trình (12) gọi có số thỏa mãn điều kiện sau: (i) rank(En ) = r với n ∈ N (n0 ), (ii) Sn ∩ Nn−1 = {0}, với n ∈ N (n0 + 1), Sn = {z ∈ R d : An z ∈ Im En } Để điều kiện (ii) định nghĩa 2.9 với n ∈ N (n0 ), ta giả sử thêm dimS0 = r, cho En0 −1 ∈ R d×d ma trận cố định thỏa mãn R d = S0 ⊕ Ker En0 −1 Đặt Gn = En − An Tn Qn , n ∈ N (n0 ), đó: Qn phép chiếu lên Nn = Ker(En ); Tn phép biến đổi khả nghịch R d cho hạn chế Nn ta đẳng cấu từ Nn lên Nn−1 Mệnh đề 2.10 Ta có ba điều kiện sau tương đương nhau: • Sn ∩ Nn−1 = {0}, Sn = {z ∈ R d : An z ∈ Im En }; • ma trận Gn = En − An Tn Qn khả nghịch; • R d = Sn ⊕ Nn−1 Mệnh đề 2.11 Khi phương trình (12) có số ta có số tính chất quan trọng sau: (i) Pn = G−1 En , n −1 (ii) Pn G−1 An = Pn G−1 An Pn−1 Pn G−1 An = Qn G−1 An Pn−1 − Tn Qn−1 , n n n n ˜ ˜ (iii) Qn−1 = Tn Qn G−1 An phép chiếu lên Nn−1 dọc theo Sn (Qn−1 gọi phép chiếu n tắc lên Nn−1 ) 2.2.2 Ma trận nghiệm bản: Khi phương trình (12) có số 1, nhân bên phải hai vế phương trình với Pn G−1 n Qn G−1 , đồng thời ý Pn G−1 En = Pn = Pn , Qn G−1 En = Qn Pn = (theo tính chất (i) n n n mệnh đề 2.11), ta được: { 67 Pn x(n + 1) = Pn G−1 An x(n), với n ∈ N (n0 ), n −1 = Qn Gn An x(n), với n ∈ N (n0 ) Tr ửng Đằi h c Thăng Long Tiếp tục sử dụng tính chất (ii) mệnh đề 2.11 ta biến đổi hệ tương đương sau:   Pn−1 x(n) = Pn−1 G−1 An−1 x(n − 1), với n ∈ N (n0 + 1), n−1 Qn−1 x(n) = Tn Qn G−1 An Pn−1 x(n), với n ∈ N (n0 + 1), n  Qn0 −1 x(n0 ) = Tn0 Qn0 G−1 An0 Pn0 −1 x(n0 ) n0 Cộng vế với vế hai phương trình đầu hệ, với lưu ý ma trận Tn Qn G−1 An Pn−1 lũy linh cấp n hai nên (I − Tn Qn G−1 An Pn−1 )−1 = I + Tn Qn G−1 An Pn−1 , ta có: n n { x(n) = (I + Tn Qn G−1 An Pn−1 )Pn−1 G−1 An−1 x(n − 1), với n ∈ N (n0 + 1), n−1 n −1 Qn0 Gn0 An0 x(n0 ) = ˜ Khi ta sử dụng phép chiếu tắc Qn−1 = −Tn Qn G−1 An , n ∈ N (n0 ), hệ viết dạng n sau: { ˜ ˜ n−1 x(n) = Pn−1 G−1 An−1 x(n − 1), ∀n ∈ N (n0 + 1), ˜ Qn0 −1 x(n0 ) = Từ đó, tốn tử Cauchy Φ(k, l) (12) xác định theo cơng thức sau: Φ(k, l) = l ∏ ˜ ˜ Pi G−1 Ai , i ˜ ˜ Pl−1 Φ(l, l) = Pl−1 , ∀k ≥ l, k, l ∈ N (n0 ) i=k−1 Giả sử Φ0 (k, l) ma trận Cauchy phương trình ˜ ˜ n−1 x(n) = Pn−1 G−1 An−1 x(n − 1), ∀n ∈ N (n0 + 1) Tức ta có { ˜ ˜ Φ0 (k + 1, l) = Pk G−1 Ak Φ0 (k, l), ∀k, l ∈ N (n0 ), k ≥ l, k Φ0 (l, l) = I ˜ ˜ Khi ta có: Φ( k, l) = Pk Φ0 (k, l)Pl−1 Dễ dàng Φ( k, l) có tính chất sau: • Φ(n, m) = Φ(n, k).Φ(k, m), với n ≥ k ≥ m, k, m, n ∈ N (n0 ), ˜ ˜ • Pm−1 Φ(m, m) = Pm−1 , ˜ • Φ(n, m)Pm−1 = Φ(n, m), 2.2.3 Công thức biến thiên số: Xét phương trình có nhiễu bên phải phương trình (12): En x(n + 1) = (An + Bn )x(n), n ∈ N (n0 ), (13) B(n) ∈ R d×d ma trận nhiễu Nghiệm y(n) phương trình (13) biểu diễn cơng thức biến thiên số sau: ˜ y(n) = Φ(n, n0 )Pn0 −1 y(n0 ) + n−1 ∑ ˜ ˜ ˜ ˜n Φ(n, i + 1)Pi G−1 Bi y(i) + Tn Qn G−1 Bn y(n) i i=n0 ˜ ˜ Nếu I − Tn Qn G−1 Bn khả nghịch, ta có: n ˜ ˜ ˜ y(n) = (I − Tn Qn G−1 Bn )−1 (Φ(n, n0 )Pn0 −1 y(n0 ) + n n−1 ∑ i=n0 Tr ng Đ i h c Thăng Long ˜ ˜ Φ(n, i + 1)Pi G−1 Bi y(i)) i (14) 68 2.2.4 Các kết đạt được: Các điều kiện sử dụng định lý: Điều kiện (C1 ) Tồn số c1 > cho: sup ∥Φ(n, m)∥ < c1 n≥m,m,n∈N (n0 ) ˜ ˜n Điều kiện (C2 ) Các ma trận I − Tn Qn G−1 Bn khả nghịch tồn số c2 > cho ˜ ˜n ∥(I − Tn Qn G−1 Bn )−1 ∥ < c2 , ∀n ∈ N (n0 ) Điều kiện (C3 ) ∃c3 > 0, < δ < cho: ∥Φ(k, l)∥ ≤ c3 δ k−l , ∀k ≥ l, k, l ∈ N (n0 ) Điều kiện (C4 ) Tồn số ε đủ nhỏ để δ + c2 ε < tồn N đủ lớn cho: ˜ ˜ ∥Pl G−1 Bl ∥ < ε, ∀l ∈ N (N ) l Điều kiện (C5 ) ∞ ∑ ˜ ˜ ∥Pl G−1 Bl ∥ < ∞ l l=n0 Điều kiện (C6 ) ˜ ˜ ∥Pl G−1 Bl ∥ → l Điều kiện (C7 ) l → ∞ ˜ ˜ sup ∥Tn Qn G−1 Bn ∥ < n n∈N (n0 ) Nhận xét: • Điều kiện (C2 ) dễ dàng suy từ điều kiện (C7 ) ˜ ˜ • Hơn nữa, điều kiện I − Tn Qn G−1 Bn khả nghịch kéo theo phương trình (13) có số n • Khi điều kiện (C5 ) thỏa mãn, ta có tồn số c4 > cho: k ∑ ˜ ˜ ∥Pl G−1 Bl ∥ < c4 , ∀k ∈ N (n0 ) l l=n0 Định lý 2.12 Giả sử điều kiện (C1 ), (C2 ), (C5 ) thỏa mãn Khi đó, tồn số c > cho: nghiệm y(k) (13) thỏa mãn ∥y(k)∥ < c∥y(l)∥, với k ≥ l, k, l ∈ N (n0 ) Chứng minh: Khi điều kiện (C2 ) thỏa mãn, ta có nghiệm y(k) phương trình (13) viết dạng: ˜ ˜ ˜ y(k) = (I − Tk Qk G−1 Bk )−1 (Φ(k, l)Pl−1 y(l) + k k−1 ∑ i=l Tr ng Đ i h c Th ng ong ˜ ˜ Φ(k, i + 1)Pi G−1 Bi y(i)) i 69 Do đó, ˜ ˜ ∥y(k)∥ ≤ ∥(I − Tk Qk G−1 Bk )−1 ∥.(∥Φ(k, l)∥.∥y(l)∥ + k k−1 ∑ ˜ ˜ ∥Φ(k, i + 1)∥.∥Pi G−1 Bi ∥.∥y(i))∥ i i=l ≤ c2 c1 ∥y(l)∥ + c2 c1 k−1 ∑ ˜ ˜ ∥Φ(k, i + 1)∥.∥Pi G−1 Bi ∥.∥y(i)∥( theo (C1 ), (C2 )) i i=l Áp dụng bổ đề 1.5, ta thu được: ∥y(k)∥ ≤ c1 c2 ∥y(l)∥ ≤ c1 c2 ∥y(l)∥ k−1 ∏ ˜ ˜ (1 + c1 c2 ∥Pi G−1 Bi ∥), i i=l k−1 ∏ ˜ ˜ exp(c1 c2 ∥Pi G−1 Bi ∥), i i=l ≤ c1 c2 ∥y(l)∥ exp(c1 c2 k−1 ∑ ˜ ˜ ∥Pi G−1 Bi ∥), i i=l < c1 c2 exp(c1 c2 c4 ).∥y(l)∥ Đặt c = c1 c2 exp(c1 c2 c4 ), ta có điều phải chứng minh Định lý 2.13 Giả sử điều kiện (C2 ), (C3 ) (C5 ) thỏa mãn Khi đó, tồn số c > < δ1 < cho: nghiệm y(k) (13) thỏa mãn k−l ∥y(k)∥ < cδ1 ∥y(l)∥, với k ≥ l, k, l ∈ N (n0 ) Chứng minh: Giả sử y(k) nghiệm phương trình (13) Trước tiên ta ý nhận xét quan trọng sau: với N ∈ N (n0 ), tồn K > cho ∥y(k)∥ ≤ K.∥y(l)∥, ∀k ∈ N (n0 ), k ≤ N (ở K phụ thuộc vào N chất phương trình (13) mà khơng phụ thuộc vào nghiệm y(k) cụ thể nào) Khi điều kiện (C2 ), (C3 ) C4 thỏa mãn, ta có: ∥y(k)∥ ≤ c2 c3 δ ≤ c2 c3 δ k−l k−l ∥y(l)∥ + c2 ∥y(l)∥ + c2 k−1 ∑ ˜ ˜ δ k−(i+1) ∥Pi G−1 Bi ∥.∥y(i)∥, i i=l N −1 ∑ δ k−(i+1) ˜ ˜ ∥Pi G−1 Bi ∥.K.∥y(l)∥ + c2 i k−1 ∑ δ k−(i+1) ε.∥y(i)∥ i=N i=l Nhân hai vế với δ −k , ta được: δ −k −l ∥y(k)∥ ≤ (c2 c3 δ ∥y(l)∥ + c2 N −1 ∑ εc2 ∑ −i ˜ ˜ ∥Pi G−1 Bi ∥.K.∥y(l)∥) + δ ∥y(i)∥ i δ i=N k−1 δ −(i+1) i=l Áp dụng bổ đề 1.5, ta có: δ −k ∥y(k)∥ ≤ (c2 c3 δ −l + K.c2 N −1 ∑ i=l ˜ ˜ δ −(i+1) ∥Pi G−1 Bi ∥).∥y(l)∥ i k−1 ∏ (1 + i=N εc2 δ hay ∥y(k)∥ ≤ (c2 c3 + K.c2 < (c2 c3 + K.c2 N −1 ∑ i=l N −1 ∑ i=l ≤ Tr k−l c.δ1 ∥y(l)∥, ng Đ i h c Thăng Long ˜ ˜ δ l−(i+1) ∥Pi G−1 Bi ∥)δ N −l (δ + εc2 )k−N ∥y(l)∥, i ˜ ˜ δ l−(i+1) ∥Pi G−1 Bi ∥).(δ + εc2 )k−l ∥y(l)∥, i 70 c = c2 c3 + K.c2 chứng minh ∑N −1 i=l ˜ ˜ δ l−(i+1) ∥Pi G−1 Bi ∥, δ1 = δ + εc2 Như định lý 2.13 i Hệ 2.14 Giả sử điều kiện (C2 ), (C3 ) (C6 ) thỏa mãn Khi đó, ta thu kết giống định lý 2.13 Chứng minh: Dễ thấy điều kiện (C6 ) suy điều kiện (C4 ), từ áp dụng định lý 2.13 ta điều phả chứng minh Nhận xét: Trong định lý 2.12, 2.13, hệ 2.14, thay điều kiện (C2 ) điều kiện (C7 ) ta thu hệ tương ứng Tài liệu tham khảo [1] R P AGARWAL, Difference Equations and Inequalities, Theory, Methods and Applications, vol 228 of Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, New York, NY, USA, 2nd edition, 2000 [2] S N ELAYDI, An Introduction to Difference Equations, Springer, London, UK, 3rd edition, 2005 [3] P K ANH, D S HOANG, Stability of a class of singular difference equations, Inter J Difference Equ., 1, 181-193(2006) [4] P K ANH, N H DU, L C LOI Singular difference equations: an overview, Vietnam J Math 35, 339- 372(2007) [5] P.K ANH, N H DU, AND L C LOI, Connections between implicit difference equations and differential-algebraic equations, Acta Math Vietnam 29 (2004) 23–39 [6] L.C LOI, Linear Implicit Nonautonomous Difference Equations, Ph.D disserta- tion, Hanoi, Vietnam National Univ., 2004 [7] L.C LOI, N.H DU, and P.K ANH, On linear implicit non-autonomous systems of difference equations, J Difference Eqns Appl (2002) 1085–1105 [8] P.K ANH AND H.T.N YEN, On the solvability of initial-value problems for nonlinear implicit difference equations, Adv Difference Eqns (2004) 195–200 [9] L YA.ADRIANOVA, Introduction to Linear Systems of Differential Equations,Trans Math Monogr 146, AMS, Providence, RI, 1995 [10] J L DALECKII AND M G KREIN, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces, American Mathematical Society, Providence, RI, 1974 [11] K BALLA AND V H LINH, Adjoint pairs of differential-algebraic equations and Hamiltonian systems, Appl Numer Math., 53 (2005), pp 131–148 [12] C J CHYAN, N.H.DU, AND V H LINH, On data-dependence of exponential stability and the stability radii for linear time-varying differential-algebraic systems, J Differential Equations, 245 (2008), pp 2078–2102 [13] N H DU AND V H LINH, Robust stability of implicit linear systems containing a small parameter in the leading term, IMA J Math Cont In [14] B RODJANADID, N V SANH, N T HA AND N H DU, Stability radii for implicit difference equations, Asian-European Journal of Mathematics, Vol 2, No (2009) pp 95-115 71 Tr ng Đ i h c Thăng Long ... (n))? ?1 , ta được: ¯ ¯ E 11 y1 (n + 1) = (A 11 + B 11 (n))y1 (n) + (A12 + B12 (n))y2 (n), ¯ B 11 (n) =B 11 (n) − F 11 (n)(E 11 + F 11 (n))? ?1 (A 11 + B 11 (n)) ¯ B12 (n) =B12 (n) − F 11 (n)(E 11 + F 11 (n))? ?1. .. minh 2.2 Phương trình sai phân ẩn tuyến tính hệ số biến thiên số 2.2 .1 Định nghĩa phương trình sai phân ẩn tuyến tính số Định nghĩa phương trình sai phân ẩn tuyến tính số số tính chất trình bày... B 21 (n) =B 21 (n) − F 21 (n)(E 11 + F 11 (n))? ?1 (A 11 + B 11 (n)) ¯ B22 (n) =B22 (n) − F 21 (n)(E 11 + F 11 (n))? ?1 (A12 + B12 (n)) Như hệ (10 ) tương đương với hệ { ¯ ¯ E 11 y1 (n + 1) = (A 11 + B 11 (n))y1