SKKN Hướng dẫn học sinh một kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức trong chương trình Toán học tại trường THPT Quảng Xương 4 nhằm nâng cao hiệu quả dạy học

12 564 0
SKKN Hướng dẫn học sinh một kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức trong chương trình Toán học tại trường THPT Quảng Xương 4 nhằm nâng cao hiệu quả dạy học

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Duy Lâm A – MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Như ta biết chương trình Tốn trung học phổ thơng có phần mà học sinh thường ngại học – Đó phần bất đẳng thức lại phần mà kì thi thi Đại học, Cao đẳng TH hay kì thi học sinh giỏi cấp thường để phân loại học sinh Thông thường tốn khó thuộc loại chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức liên quan đến chứng minh bất đẳng thức.Việc tìm hướng giải tốn thường khơng đơn giản học sinh Để thay đổi thái độ học sinh học phần Tôi đưa kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức để từ học sinh vận dụng vào việc giải toán phần mở rộng, đào sâu thêm để từ làm tốt tốn phần B - NỘI DUNG Cơ sở lí luận Phần chứng minh toán bất đẳng thức toán tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức phần khó học sinh phần khó dạy giáo viên Việc đưa phương pháp giải chung cho phần khó, tốn BĐT thường đa dạng phong phú.Nó thường khơng theo quy luật Việc học sinh nắm cách giải toán phần giúp củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ nămg Qua vận dụng vào dạng toán khác cách nhanh nhạy, linh hoạt giải số toán bất đẳng thức; giá trị lớn nhỏ Mặt khác từ chuyên đề nhỏ với số kinh nghiệm mà tơi tích lũy em mở rộng tư tiếp cận số toán khác Đặc biệt giúp em giải số tập liên quan đến phần dạng toán thi THCN, CĐ, ĐH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Duy Lâm Cơ sở thực tiễn Qua thời gian giảng dạy trường THPT Quảng Xương tiếp cận với học sinh, nắm khả học sinh việc học phần qua việc đọc tài liệu, sách báo, tìm hiểu đề kì thi kinh nghiệm thân Tôi nghiên cứu sâu vào vấn đề để biên soạn hệ thống khối 10 khối 12 Nhằm mục đích tạo điều kiện phù hợp với học sinh từ việc ngại giải toán dạng đến có phương pháp giải tốt Giải pháp: a Đối với giáo viên: + Chuẩn bị kĩ dạng tốn tập có liên quan + Hệ thống phát triển phương pháp chứng minh bất đẳng thức + Chuẩn bị hệ thống câu hỏi gợi mở, dạng tập, tập phát triển tập tự luyện b Đối với học sinh: + Chú ý nghe giảng, chủ động tự giác rèn luyện vận dụng qua hệ thống tập mà giáo viên đề + Tự tìm tịi làm tốn liên quan sách tham khảo + Giải toàn tập tự luyện để phương pháp khắc sâu c Những biện pháp thực - Tôi sử dụng chuyên đề để truyền đạt cho học sinh vào buổi học tự chọn khối lớp 10.Đây điều kiện thuận lợi mặt thời gian để học sinh rèn luyện nhiều - Đặc biệt chuyên đề dạy ôn cho học sinh khối 12 ôn thi đại học, học sinh giỏi I.Đặt vấn đề Trong đề tài chủ yếu cho học sinh làm quen với kỹ chứng minh bất đẳng thức hiệu giải số tốn bất đẳng thức (BĐT) mà SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Duy Lâm biến có vai trị hay hốn vị vịng quanh đẳng thức xảy biến II Một số tốn vận dụng: Ví dụ 1: Cho x, y, z > Chứng minh x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ≥ 2( x + y + z ) (1) Tôi cho học sinh nhận xét dạng BĐT ; nhận xét vai trò biến Học sinh nhận vai trị biến bình đẳng Phân tích : Trong BĐT (1) biến hốn vị vịng quanh đẳng thức xảy x = y = z Do vậy, ta chọn hai số m, n để có BĐT x + xy + y ≥ mx + ny (*) ta gọi BĐT sở Thì sở để suy BĐT (1) - Tôi lại đặt câu hỏi ? Nêu nhận xét quan hệ hai số m n - Học sinh không dễ trả lời câu hỏi - Tôi hướng cách rằng: Nếu có thêm BĐT BĐT ( *) với biến khác y + yz + z ≥ my + nz z + zx + x ≥ mz + nx Khi cộng hai vế tương ứng ba BĐT ta thấy quan hệ m, n nào? - Học sinh nhận để có BĐT (1) m + n = - Tơi lại đặt câu hỏi ? Tìm m, n để m + n = thỏa mãn BĐT (*) Học sinh khó trả lời câu hỏi - Tơi hướng dẫn học sinh tìm m, n sau: Ta có (*) tương đương x + xy + y ≥ mx + ny ⇔ x + xy + y ≥ mx + (2 − m) y ⇒ ( − m ) x + ( 2m − 4m + 1) xy + ( 4m − m − ) y ≥ x - Đặt t = y > ta ( − m ) t + ( 2m 2 − 4m + 1) t + 4m − m − ≥ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Duy Lâm  4m − m −  ⇔ ( − m ) ( t − 1)  t − ÷≥ − m2   Để BĐT với t ta cần điều kiện gì? 1 − m >  Học sinh trả lời  4m − m − ⇔ m = ⇒ n = 4 =1   − m2 Tôi trình bày lời giải cho học sinh Lời giải Với x, y > 0, ta có x + xy + y ≥ 3x + y ⇔ ( x − y ) ≥ Đẳng thức xảy x = y y + yz + z ≥ y + 5z z + zx + x ≥ Tương tự 3z + x Cộng hai vế tương ứng ba BĐT ta BĐT (1) Đẳng thức xảy x = y=z Kết luận: Qua ví dụ ta rút nhận xét việc chứng minh BĐT lớn thực chất chứng minh BĐT đơn giản phụ thuộc vào hai biến Cũng qua ví dụ học sinh nhận kỹ tìm m, n để có BĐT cở sở hai biến quan trọng tiền đề để chứng minh Ví dụ Cho x, y, z > xy + yz + zx = Chứng minh x y + 3z + y z + 3x + z x + y ≥ Phân tích Tơi hướng dẫn học sinh cách chứng minh việc thay = 5.1 = 5.( xy + yz + zx) Nên ta chứng minh BĐT sau x y + z + y z + x + z x + y ≥ 5.( xy + yz + zx) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Duy Lâm Đến học sinh nhận BĐT có biến hốn vị vòng quanh đẳng thức xảy x = y = z Tơi đặt câu hỏi tìm m, n để có BĐT nào? Học sinh tìm m, n để có BĐT x y + z ≥ mxy + nxz ⇔ y + z ≥ my + nz Hỏi ? Nêu quan hệ m n? Học sinh trả lời m+n = hay m = - n Hỏi ? Tìm m, n ? Học sinh làm tương tự ví dụ y + 3z ≥ my + ( − m) z ⇔ (2 − m ) y − 2m( − m) xy + (2 5m − m − 2) y ≥ x - Đặt t = y > ta ( 2−m ) t 2 − 2m ( ) − m t + 5m − m − ≥  5m − m −  ⇔ ( − m ) ( t − 1)  t − ÷≥  ÷ − m2   Hỏi? Tìm điều kiện để BĐT với t? Học sinh trả lời điều kiện 2 − m2 >  ⇔m= ⇒n=  5m − m − 5 =1  − m2  Tơi gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải 2 Lời giải Với x, y >0 ta có x y + 3z ≥ xy + xz ⇔ 6( y − z )2 ≥ (I) 5 Đẳng thức xảy khia x = y y z + 3x ≥ yz + yx 5 z x2 + y2 ≥ Tương tự ta có zx + zy 5 (II) (III) Cộng hai vế tương ứng ba BĐT (I), (II) (III) ta x y + z + y z + x + z x + y ≥ 5( xy + yz + zx) ⇔ x y + z + y z + x + z x + y ≥ đpcm SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đẳng thức xảy x = y = z = Lê Duy Lâm Tơi đưa ví dụ BĐT bậc cao mà sinh phương trình bậc ba Kết luận: Qua ví dụ học sinh rút học chứng minh BĐT cách thay đổi biểu thức cần chứng minh biểu thức khác mà việc chứng minh tìm BĐT sở đơn giản có sở Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a Phân tích Tơi cho học sinh nhận xét dạng BĐT Hỏi? Ta cần tìm m,n để có BĐT nào? Học sinh cần tìm m, n cho có BĐT a3 ≥ ma + nb a + ab + b Hỏi? Nêu quan hệ m n? Học sinh nhận m + n = 1 hay n = - m 3 Hỏi? Tìm m, n ? Ta cần tìm m để có BĐT a3 ≥ ma + ( − m)b 2 a + ab + b 1 ⇔ (1 − m) a3 − a 2b − ab + ( m − )b3 ≥ 3 a b Đặt t = >0 ta 1 (1 − m)t − t − t + (m − ) ≥ 3 ⇔ (t − 1) 3(1 − m)t + (2 − 3m)t + − 3m  ≥   (*) Hỏi? Để BĐT (*) ta cần điều kiện gì? Học sinh không dễ để ra, hướng dẫn điều kiện 3(1 − m)t + (2 − 3m)t + − 3m = có nghiệm t = suy m = −1 ⇒ n= 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Duy Lâm Sau tơi cho học sinh trình bày giải Lời giải Với a, b >0 ta có a3 ≥ a − b ⇔ (a + b)(a − b) ≥ 2 a + ab + b 3 (I) Đẳng thức xảy a = b b3 ≥ b− c 2 b + bc + c 3 (II) c3 ≥ c− a 2 c + ca + a 3 Tương tự (III) Cộng hai vế tương ứng ba BĐT (I), (II) (III) ta a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ đpcm 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a Đẳng thức xảy a = b = c Tôi cho học sinh áp dụng phương pháp vào giải tốn tìm giá trị lớn nhỏ Ví dụ Cho ba số dương a, b, c a + b + c = Tìm giá trị lớn P= 29b3 − a3 29c3 − b3 29a3 − c3 + + ab + 6b bc + 6c ca + 6a Phân tích Tơi cho học sinh trả lời câu hỏi giá trị lớn đạt nào? Học sinh trả lời a = b =c =1 Hỏi? Tìm giá trị lớn đó? Học sinh trả lời 12 Tơi hướng dẫn học sinh chứng minh Hay chứng minh P ≤ 12 P ≤ 4(a + b + c) Hỏi? Ta tìm m,n để có BĐT nào? HS trả lời ta tìm m, n để có BĐT 29b3 − a ≤ ma + nb ab + 6b Hỏi? Tìm quan hệ m n? Học sinh trả lời m + n = hay n = – m Hỏi? Thay vào BĐT tìm m, n? SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Duy Lâm 29b3 − a ≤ ma + (4 − m)b Ta có ab + 6b ⇔ a + ma 2b + (4 + 5m)ab + (−5 − 6m)b ≥ a b Đặt t = > ta t + mt + (4 + 5m)t + (−5 − 6m) ≥ ⇔ (t − 1) t + (m + 1)t + + 6m  ≥ (*)   Hỏi? Để BĐT (*) ta cần điều kiện gì? Học sinh điều kiện t + (m + 1)t + + 6m = có nghiệm t = suy m = -1 ⇒ n =5 Sau tơi cho học sinh lên bảng trình bày giải Lời giải Với a, b > ta có 29b3 − a ≤ −a + 5b ⇔ (a + b)(a − b) ≥ (I) ab + 6b Đẳng thức xảy a = b Tương tự 29c3 − b3 ≤ −b + 5c ( II), bc + 6c 29a − c ≤ −c + 5a ca + 6a (III) Cộng hai vế tương ứng ba BĐT (I), (II) (III) ta P ≤ 4(a + b + c) ⇔ P ≤ 4.3 ⇔ P ≤ 12 Hỏi? P = 12 nào? Học sinh trả lời P = 12 a = b = c = Vậy giá trị lớn P 12 a = b = c =1 Kết luận: Từ ví dụ học sinh rút học kinh nghiệm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nắm kỹ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thay đổi kiểu tốn để dễ dàng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ví dụ Cho x, y, z xyz = Tìm giá trị nhỏ P = x y2 + 2z + y z + 2x2 + z x2 + y Phân tích Hỏi ? Dự đốn giá trị nhỏ ? Và đạt ? SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Duy Lâm Học sinh dễ trả lời giá trị nhỏ 3 x = y =z =1 Hỏi ? Ta phải chứng minh BĐT ? Ta chứng minh P ≥ 3 Hướng dẫn học làm xuất xyz xuất x+y+z xy + yz+zx … sau dùng BĐT Cơsi Vận dụng ví dụ ta chứng minh P ≥ 3( xy + yz + zx) sau tơi gọi học sinh lên trình bày nêu cách tìm m, n Lời giải Ta có y2 + 2z ≥ y+ z ⇔ 2( y − z ) ≥ 3 Đẳng thức xảy y = z Suy x y + 2z ≥ xy + xz (I) 3 Tương tự y z2 + 2x2 ≥ yz + yx (II) 3 z x2 + y ≥ zx + zy (III) 3 Cộng hai vế tương ứng ba BĐT (I), (II) (III) ta P ≥ 3( xy + yz + zx) theo BĐT Cơsi ta lại có 3( xy + yz + zx) ≥ 3 ( xyz ) = 3 Suy P ≥3 P = 3 x = y = z =1 Vậy giá trị nhỏ P 3 x = y = z = CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥ a+b b+c c+a 2 Cho a, b, c > Chứng minh a3 b3 c3 a + b2 + c + + ≥ a+b b+c c+a Cho a, b, c > Chúng minh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM a3 ( a + b) + Lê Duy Lâm b3 ( b + c) + c3 ( c + a) ≥ a +b+c 4 Cho a, b, c > Chứng minh a4 b4 c4 a+b+c + + ≥ 3 3 a + 2b b + 2c c + 2a Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ P= x2 + y2 + z y2 + 2z2 z + x2 + x y Kết Qua qúa trình giảng dạy tự chọn ôn luyện cho lớp có trình độ tương đương vào buổi chiều để so sánh thấy kết thực nghiệm tốt nhiều so với lớp đối chứng cụ thể tỉ lệ học sinh khá, giỏi nâng lên yếu, trung bình giảm xuống Kếtquả Lớp Đối chứng Thực nghiệm Giỏi (%) Khá(%) 10 20 Trung bình(%) 30 26 Yếu(%) 10 C KẾT LUẬN Việc giảng dạy cho học sinh theo hướng chủ đề phát triển chủ đề cách cho học sinh hiểu rõ, hiểu sâu sắc phương pháp giải dạng toán tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh chủ động tư duy, tìm tịi ứng dụng sáng tạo q trình giải tốn Đồng thời giúp học sinh có mối liên hệ qua lại dạng tốn có liên quan Qua kinh nghiệm nhỏ muốn vận dụng phương pháp vào trình giảng dạy đặc biệt ơn luyện cho học sinh có kiến thức tổng hợp 10 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Duy Lâm Mặc dù cố gắng biên soạn chuyên đề tránh khỏi thiếu sót hạn chế mong góp ý quý bạn đọc thầy, giáo để chun đề hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 14 tháng năm 2013 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Duy Lâm MỤC LỤC Trang A MỞ ĐẦU B NỘI DUNG Lí chọ đề tài Cơ sở lí luận Cơ sở thực tiễn Giải pháp Đối với học sinh Đối với giáo viên C KẾT LUẬN 10 12 ... đề Trong đề tài chủ yếu cho học sinh làm quen với kỹ chứng minh bất đẳng thức hiệu giải số toán bất đẳng thức (BĐT) mà SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Duy Lâm biến có vai trị hay hốn vị vịng quanh đẳng. .. Tơi cho học sinh trả lời câu hỏi giá trị lớn đạt nào? Học sinh trả lời a = b =c =1 Hỏi? Tìm giá trị lớn đó? Học sinh trả lời 12 Tôi hướng dẫn học sinh chứng minh Hay chứng minh P ≤ 12 P ≤ 4( a +... NGHIỆM Đẳng thức xảy x = y = z = Lê Duy Lâm Tơi đưa ví dụ BĐT bậc cao mà sinh phương trình bậc ba Kết luận: Qua ví dụ học sinh rút học chứng minh BĐT cách thay đổi biểu thức cần chứng minh biểu thức

Ngày đăng: 22/04/2015, 15:43

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan