Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 1 07/2013 Chương 09 TÍNH CHUYỂN VỊ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Các khái niệm  Thanh chòu kéo-nén đúng tâm có biến dạng dài dọc trục: ; ; z z n z L N L L dz EF L            Thanh tròn chòu xoắn có biến dạng góc: ; z z L M dz GJ G         Thanh chòu uốn phẳng:  y  chuyển vò thẳng của trọng tâm mặt cắt ngang theo phương vuông góc với trục thanh.   góc xoay của mặt cắt ngang quanh một trục nằm trong mặt cắt ngang. 1 2 3 4 2 P 3 P 4 P 1  2  4  34  1 P 1 M y z  y  y   z L L    A B ' B O Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 2 07/2013  Kí hiệu cho đại lượng lực (bao gồm lực tập trung và ngẫu lực): k P là lực tại vò trí và theo phương k .  Kí hiệu cho đại lượng chuyển vò:   k  : chuyển vò tại vò trí và theo phương k .  km  : chuyển vò tại vò trí và theo phương k do lực m P sinh ra.  km  : chuyển vò đơn vò tại vò trí và theo phương k do tải trọng 1 m P  gây ra.  Vật liệu đàn hồi tuyến tính nên ta có: . km m km P    và 1 . n k i ki i P      2. Thế năng biến dạng đàn hồi 2 2 2 22 2 1 1 1 1 1 1 . . 2 2 2 2 2 2 n n n n n n y y x xz z x y i i i i i i x y Li Li Li Li Li Li M Q M QN M U dz dz dz dz k dz k dz EF EJ EJ GJ GF GF                          Với   F C C y y y F C C x x x dF h S J F kdF b S J F k 2 2 22 2 2 ;  Đối với dầm chòu uốn phẳng, bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt:     n 1i Li x 2 x dz EJ2 M U  Đối với bài toán thanh chòu kéo nén đúng tâm:     n 1i Li 2 z dz EF2 N U  Đối với thanh chòu xoắn thuần túy:     n 1i Li 2 z dz EJ2 M U  3. Đònh lý Castigliano k k P U      Trong hệ đàn hồi tuyến tính, chuyển vò tại moat vò trí và theo một phương nào đó bằng đạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong hệ lấy đối với biến số là lực tại vò trí và theo phương cần tính chuyển vò.  Xét hệ thanh chòu kéo-nén đúng tâm: Ta co:ù     n 1i Li 2 z dz EF2 N U nên , , 1 1 i z i z i n n i k k i i k i i L N N U P dz P E F             Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 3 07/2013  Nếu xét hệ thanh-khớp: z N , EF là hằng số trên suốt chiều dài thanh i n 1i ii k i,z i,z k L FE P N N        Nếu tại vò trí và theo phương cần tính chuyển vò không có lực k P , ta đặt một lực g P tại vò trí và theo phương cần tính chuyển vò. Sau khi lấy đạo hàm z g N P   ta cho 0 g P  . 4. Công thức Mohr  Trạng thái “m” là trạng thái chòu tải  Trạng thái “k” là trạng thái bỏ tải và đặt một lực 1 k P  tại vò trí và theo phương cần tính chuyển vò.  Công thức Mohr:         n 1i L ii m,yik,yi x n 1i L xii m,xik,xi n 1i L ii m,zik,zi km iii dz FG QQ kdz JE MM dz FE NN   Xét hệ thanh-khớp chòu kéo-nén đúng tâm có z N , EF là hằng số trên suốt chiều dài thanh: 1 n zi zi km i i i i N N L E F     Trọng đó: + z N : nội lực ở trạng thái “k” + z N : nội lực ở trạng thái “m” 5. Phép nhân “biểu đồ” Vêrêxaghin Trong đó: +  : diện tích biểu đồ nội lực ở trạng thái “m” NL z z C c f  1 1 i i n n i c i c km i i i i i i f f E F E J          NL " " m " " k N N N N Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 4 07/2013 + c f : cao độ biểu đồ nội lực ở trạng thái “k” lấy tại trọng tâm biểu đồ mômen uốn ở trạng thái “m”  Trạng thái “m” là trạng thái chòu tải  Trạng thái “k” là trạng thái bỏ tải và  Đặt một lực 1 k P  tại vò trí và theo phương cần tính chuyển vò thẳng  Đặt một ngẫu lực 1 k M  tại vò trí cần tính góc xoay.  Những lưu ý khi thực hiện phép nhân biểu đồ:  Tung độ C f nhất thiết phải lấy ở đồ thò của đường bậc nhất (hoặc hằng số). Đường bậc nhất không bò gãy. Nếu cả hai hàm đều là bậc nhất thì có thể lấy diện tích  ở một đồ thò, còn tung độ C f lấy ở đồ thò còn lại.  Trước mỗi số hạng của phép nhân lấy dấu dương khi diện tích và tung độ cùng nằm về một phía của đường chuẩn và ngược lại.  Nếu đồ thò bậc nhất đònh lấy tung độ C f bò gãy thì phải chia chiều dài ra nhiều đoạn sao cho trên mỗi đoạn đường bậc nhất trở thành trơn, thực hiện phép nhân cho từng đoạn rồi cộng kết quả với nhau. Biểu đồ lấy diện tích  không bò điều kiện này hạn chế.  Đối với diện tích của các hình phức tạp, có thể chia thành những hình đơn giản, áp dụng nhân biểu đồ cho từng hình rồi thực hiện phép tổng.  Kết quả của phép nhân biểu đồ đối xứng với biểu đồ phản xứng bằng không. Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 5 07/2013  Biểu đồ nội lực một số dạng cơ bản 1 M 2 M l 2 M 1 2 M M    2 / 8 ql 1 M l   2 / 8 ql 1 M x M 1 M 2 M x M 1 M 2 M 2 M 1 2 M M  1 M 2 M     x M 1 M 2 M  1 M  2 M 1 M 2 M 1 M  2 M  2 / 8 ql l Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 6 07/2013 A B P l Pl x M A B P l Pl x M A B M l M x M A B l M M x M A B q l 2 2 ql x M A B q l 2 2 ql x M A B l M M x M A B l M M x M A B l M M x M A B l M M x M A B l 2 / 8 ql x M q A B 1 l   1 2 1 2 / Pl l l l  x M P 2 l Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 7 07/2013 II. VÍ DỤ VD.9.1. Ví dụ 1: Hai thanh AB và AC làm cùng một loại vật liệu có ứng suất cho phép    , môđun đàn hồi E , diện tích mặt cắt ngang của hai thanh lần lượt là F và F 2 . Hai thanh chòu liên kết khớp tại B và C, được nối với nhau bởi khớp A. Kích thước và tải trọng tác dụng lên kết cấu như hình 9.1a. Biết:   2 21 / kN cm   ; KN 150 P  ; 2 a m  ; 2 2100 / E kN cm  a) Xác đònh ứng lực trong hai thanh AB và AC . b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang (F) để hai thanh AB và AC cùng bền. c) Tính chuyển vò thẳng đứng tại A . d) Tính chuyển vò ngang tại A . a) Tách nút tại A , đặt các ứng lực của hai thanh như hình 9.2b. Xét cân bằng tại khớp A. 0 0 cos30 cos60 0 AB AC X N N      3 AC AB N N   (1). 0 0 sin 30 sin 60 0 AB AC Y N N P      3 2 AB AC N N P    (2). Hình 9 . 1 b. 0 30 0 60 P AB N AC N A Hình 9 . 1c . 0 30 0 60 g P AB N AC N A P Hình 9.1a. EF 2 E F A B C a a P 0 30 0 60 B 1 l 1 Pl x M P 2 l B 1 l 2 Pl x M P 2 l A C A C A B 1 l   1 1 2 / Ml l l  x M 2 l M   2 1 2 / Ml l l  B 1 l x M 2 l B 1 l M x M 2 l A C A C M M M Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 8 07/2013 Thay (1) vào (2): 3 2 AB AB N N P   1 2 AB N P   , 3 2 AC N P  b) ng suất phát sinh trong hai thanh AB và AC 1 2 AB AB N P F F    (thanh AB chòu kéo) 3 2 4 AC AC N P F F      (thanh AC chòu nén) ng suất lớn nhất phát sinh trong kết cấu: max 2 z AB P F     Theo điều kiện bền:   2 AB P F       2 2 150 3,57 2 2.21 P F cm cm      . Chọn 2 3,6 F cm  . c) Chuyển vò thẳng đứng tại A Áp dụng đònh lý Castigliano: , , 1 z i ACAB z i n AB AC k k i AB AC i i i AB AB AC AC N N N N N N P P P L L L E F E F E F             Ta có: 1 3 ; 2 2 ACAB NN P P      Nên chuyển vò thẳng đứng tại A : 1 3 3 4 4 3 3 4 3 3 150.200 2 2 2 2 2 5,267 2 2100.3,6 3 4 3 4 3 y A P P a Pa a cm EF E F EF         d) Chuyển vò theo phương ngang tại A Đặt thêm lực g P vào hệ như hình 9.1c, xét cân bằng nút A : 1 3 2 2 3 1 2 2 AB g AC g N P P N P P             Áp dụng đònh lý Castigliano: , , 1 z i ACAB z i AB AC n g g g k i AB AC i i i AB AB AC AC N N N N N N P P P L L L E F E F E F             Ta có: 3 1 ; 2 2 AC AB g g NN P P       Nên chuyển vò ngang tại A : 3 3 1 2 2 4 3 4 3 4 150.200 2 2 2 2, 25 2 4 4 2100.3,6 3 x A P P a Pa a cm EF E F EF                 VD.9.2. Ví dụ 2: Thanh ABCD tuyệt đối cứng chòu liên kết khớp xoay tại A và được giữ bởi thanh EB như hình 9.2a. Thanh EB làm bằng vật liệu có mô đun đàn hồi E và ứng suất cho phép    và diện tích mặt cắt ngang F . Cho:   2 2 19 / ; 21000 / ; 15 / ; 2,5 kN cm E kN cm q kN m a m      a) Xác đònh ứng lực trong thanh EB theo , q a . Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 9 07/2013 b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang, F , để thanh EB bền. c) Với F tìm được, tính biến dạng dài dọc trục của thanh EB . d) Tính chuyển vò thẳng đứng tại D.  Xét cân bằng thanh ABCD như hình 9.2b 0 3 5 0 .2 . sin 45 .2 .3 0 2 2 2 A BE BE m q a a N a P a N qa P qa            Theo điều kiện bền:   5 2 BE qa F       2 5 5.15.2,5 6,978 2 2.19 qa F cm      . Chọn 2 6,98 F cm  .  Biến dạng dài dọc trục của thanh EB : 2 2 5 .2 2 10 10.15.2,5 .100 2 0,639 21000.6,98 BE BE BE qa a N L qa L cm EF EF EF        Chuyển vò thẳng đứng tại D: Áp dụng đònh lý Castigliano: 2 2 5 3 15 2 15 2.15.2,5 .100 2 2 2 2 1,357 21000.6,98 BE BE D BE BE BE qa N N qa P L a cm E F EF EF         VD.9.3. Ví dụ 3: Thanh gãy khúc ABC tuyệt đối cứng chòu liên kết gối di động tại B và được giằng bởi các thanh CDBH , như hình 9.3. Các thanh CDBH, có cùng diện tích mặt cắt ngang F , môđun đàn hồi 24 /10.2 cmKNE  và ứng suất cho phép   2 18 / kN cm   . Cho: 3 10.6,3;200           L L KNP . a) Xác đònh diện tích F theo điều kiện bền và điều kiện cứng. b) Tính chuyển vò thẳng đứng tại A .  Xét cân bằng thanh ABC như hình 9.3b a 2 a 2 a q P qa  A B C D E , E F Hình 9.2 a 2 a 2 a q P qa  A B C D E A X A Y B E N 0 45 ) a ) b Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 10 07/2013 0 0 3 0 sin 60 .2 .2 0 2 3 1 0 cos 60 0 2 B CE CE x BD CE BD m P N N P F P N N N P                            Theo điều kiện bền:   3 2 CE P F       2 3 3.200 9,62 2 2.18 P F cm      .  Theo điều kiện cứng: 3 3 2 3,6.10 CE CE CE P L N L L EF EF L              2 4 3 3 3.200 2, 4 2.2.10 .3,6.10 2 . P F cm L E L             Chọn 2 9,63 F cm  .  Chuyển vò thẳng đứng tại A : Ta có: 3 3 1 ; 2 2 CE BD N P N P     Tạo trạng thái “k” như hình 9.3c: 1 0 1.2 .2 0 2 1 0 0 2 B CE CE x BD CE BD m N N F N N N                        p dụng công thức Mohr: 4 4 1 1 3 1 1 3 200 . 200 2 2 2 2 3000 2000 1, 73 2.10 .9,63 2.10 .9,63 n zi zi CE CE BD BD km i CE BD i i i CE CE BD BD N N N N N N L L L mm E F E F E F                   VD.9.4. Ví dụ 4: Xác đònh chuyển vò thẳng đứng tại A của hệ dàn như hình 9.4a. Biết rằng các thanh trong dàn làm cùng vật liệu có mô đun đàn hồi E và có diện tích mặt cắt ngang như hình vẽ. m2 m2 m1 m2 P 0 60 A B C D E Hình 9.3 m2 m2 P 0 60 A B C CE N BD N B Y ) a ) b m2 m2 1 k P  A B C CE N BD N B Y ) c [...]...  Chuyển vò xoay của mặt cắt tại A : 1 3 1  9 3 5 3 3 1 1 3 2 175 qa3 C   i fci  EJ   4 qa 8  2 qa 2  2 qa 3    96 EJ EJ i 1   VD .9. 9 Ví dụ 9: Dầm AD liên kết, chòu lực và có kích thước như hình 9. 9 Dầm có độ cứng chống uốn EJ  const Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại D, B , tính chuyển vò xoay của mặt cắt tại D C  P  qa M  qa 2 M  2qa 2 q A 2a Bài tập sức bền vật. .. thước mặt cắt ngang, b , của dầm theo điều kiện bền Xác đònh kích thước mặt cắt ngang, d , của thanh BD theo điều kiện bền Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại B, C Tính chuyển vò xoay của mặt cắt tại C Bài tập sức bền vật liệu trang 24 07/2013 Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng D d Hình 9. 17 2m P  150kN b q  25kN / m 0,1b A 2,5m Bài tập sức bền vật liệu C B 3b 1m trang 25 07/2013 ... kích thước mặt cắt ngang của dầm, b , theo điều kiện bền ứng suất pháp Tính chuyển vò thẳng đứng và chuyển vò xoay của mặt cắt tại C Bài tập sức bền vật liệu trang 22 07/2013 Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng P  3qa q 6b C B A 9b a 3a b 4b Hình 9. 12 9. 13 Dầm AD có mặt cắt ngang không đổi, liên kết, chòu lực và kích thước như hình 9. 13 Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép của thép    17,5kN... kiện bền d) Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại A, D e) Tính chuyển vò xoay của mặt cắt tại A, D M  3qa 2 q P  qa 3b A B a 2a 2b b D C a b 3b b Hình 9. 14 9. 15 Cho dầm AD có mặt cắt ngang không đổi, chòu lực và có kích thước như hình 9. 15 Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép   , mô đun đàn hồi E Cho:    19, 5kN / cm 2 ; E  2,1.104 kN / cm2 ; a  1,5m; q  450kN / m Bài tập sức bền. .. ngang, F , để các thanh trong dàn cùng bền c) Tính chuyển vò thẳng đứng tại A Bài tập sức bền vật liệu trang 19 07/2013 Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng F E, 2 F P  qa q C 0 60 30 A B D C E, F 600 300 D 60 0 B 0 A E, F a E P Hình 9. 4 1m 1m 1m Hình 9. 5 9. 5 Thanh AB tuyệt đối cứng được giằng bởi các thanh AE , CE , BF như hình 9. 5 Các thanh AE , CE , BF làm cùng vật liệu có môđun đàn hồi E  21000 KN...  Chuyển vò xoay của mặt cắt tại A : 1 4 1  7 2 8 14 2 2 8 2 11 15 2 1  1 49 Pa 2 A   i fci   EJ  6 Pa 9  3 Pa 3  3 Pa 18  2 Pa 3   18 EJ EJ i 1   Bài tập sức bền vật liệu trang 12 07/2013 Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng VD .9. 6 Ví dụ 6: Dầm AD liên kết, chòu lực và có kích thước như hình 9. 6 Dầm có độ cứng chống uốn EJ  const Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại A , tính chuyển. .. điều kiện bền b) Với P tìm được, tính chuyển vò thẳng của điểm đặt lực B Bài tập sức bền vật liệu trang 18 07/2013 Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng F E P G a B 30  30cm 0 4040cm 300 45 300 C P B A 2m 2m 1m D P  55kN A B 1m a 1, 4m Hình 9. 1 Hình 9. 2 E D a 2m C A C a Hình 9. 3 9. 2 Thanh gãy khúc ABC tuyệt đối cứng chòu liên kết gối di động tại B và được giằng bởi các thanh BD, CE như hình 9. 2 Các thanh... ), g )  Chuyển vò xoay của mặt cắt tại C : Bài tập sức bền vật liệu trang 14 07/2013 Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng 1 4 1  3 31 9 3 1 3 3 2 1 qa 3  i fci   qa  qa  qa  0,5qa 3.1     EJ i 1 EJ  2 3 4 2 2 3 8 EJ  VD .9. 8 Ví dụ 8: Dầm AC liên kết, chòu lực và có kích thước như hình 9. 8 Dầm có độ cứng chống uốn EJ  const Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại C , tính chuyển vò... BE như hình 9. 8 Thanh BE làm bằng vật liệu có môđun đàn hồi E  21000 KN / cm 2 , ứng suất cho phép    19, 5kN / cm 2 và có diện tích mặt cắt ngang là F a) Xác đònh ứng lực trong thanh BE b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang F để thanh BE bền c) Tính chuyển vò thẳng đứng tại D E 60 0 260 2m EF P 3P 9 q  25kN / m A B A C B 1, 5a a (mm) 450 14 P  150kN Hình 9. 9 C D 1m 2,5m Hình 9. 8 9. 9 Dầm thép...  Pa 6 2  13 Pa Pa   Ay   2  1  1  1  2     7,16 3  EF 3 EF EF  VD .9. 5 Ví dụ 5: Dầm AD liên kết, chòu lực và có kích thước như hình 9. 5 Dầm có độ cứng chống uốn EJ  const Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại C , tính chuyển vò xoay của mặt cắt tại A P 3P B C D A a 2a 3a Hình 9. 5 Bài tập sức bền vật liệu trang 11 07/2013 Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng  Xác đònh phản lực liên . Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 1 07/2013 Chương 09 TÍNH CHUYỂN VỊ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Các khái niệm. Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 2 07/2013  Kí hiệu cho đại lượng lực (bao gồm lực tập trung và ngẫu lực): k P là lực tại vò trí và theo phương k .  Kí hiệu cho đại lượng chuyển. Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 9 07/2013 b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang, F , để thanh EB bền. c) Với F tìm được, tính biến dạng dài dọc trục của thanh EB . d) Tính chuyển