BÀI TẬP ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ 1: Cho hàm số 3 sin 0 ( ) 0 x x f x x a x ì ï ï ¹ ï ï = í ï ï = ï ï î 1) Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0. 2) Với a tìm được, hãy xét sự khả vi của hàm số tại x = 0 Giải: 1) … ……… để hàm liên tục tại x = 0 thì phải có a = 0. 2) Với a=0 ta có 3 sin 0 ( ) 0 0 x x f x x x ì ï ï ¹ ï ï = í ï ï = ï ï î Ta thấy giới hạn tồn tại hữu hạn: 3 0 0 ( ) (0) sin lim lim 0 0 x x f x f x x x ® ® - = = - Vậy f ′(0) = 0 và hàm khả vi tại x=0. Ví dụ 2: Chú ý: để hàm số khả vi (có đạo hàm)  liên tục + đạo hàm (kiểm tra 2 điều kiện) Cho 2 0 ( ) 1 0 x e x f x x ax x ì ³ ï ï ï = í ï + + < ï ï î . Tìm a để f(x) có đạo hàm tại x=0 - kiểm tra liên tục: 0 0 0 2 0 0 (0) 1 lim ( ) lim 1 lim ( ) lim( 1) 1 x x x x x f e f x e f x x ax + + − − → → → → = = = = = + + = Do đó 0 0 lim ( ) lim ( ) (0) x x f x f x f + − → → = = . Vậy hàm số liên tục tại 0x = ( bước này có thể bỏ qua với bài này, nhưng cần thiết cho bài 7) - kiểm tra đạo hàm 0 0 2 2 0 0 0 0 ( ) (0) 1 '(0 ) lim lim 1 0 ( ) (0) ( 1) 1 '(0 ) lim lim lim lim ( ) 0 x x x x x x x f x f e f x x f x f x ax x ax f x a a x x x + + − − − − + → → − → → → → − − = = = − − + + − + = = = = + = − Để hàm số số đạo hàm tại 0 thì '(0 ) '(0 ) 1f f a + − = ⇔ = Vậy 1a = . Bài tập: 1/ Tính đạo hàm các hàm số sau: a. siny x= b. ln 2 x x y = c. 2 x x y x x= + 2/ Cho 1 0 ( ) 1 0 0 x x x f x e x ì ï ¹ ï ï ï = í + ï ï = ï ï î . Tính f’(0) 3/ Cho 1 . 0 ( ) , 0 0 nx xe x f x n x - ì ï ï > ï = " Î í ï £ ï ï î ¥ . Tính f’(0) 4/ Cho 2 , 0 ( ) 1 2 0 x x f x x x x ì ï ï ï > ï = í + ï ï = ï ï î . Tính f’(0) 5/ Cho 2 1 sin 0 ( ) 0 0 x x x f x x ì ï ï ¹ ï = í ï ï = ï î a) Tính f’(x) khi x≠0 b) f'(x) có liên tục tại 0 không? 6/. Cho 2 0 ( ) 1 0 x e x f x x ax x ì ³ ï ï ï = í ï + + < ï ï î . Tìm a để f(x) có đạo hàm tại x=0 7/ Cho 2 2 0 ( ) 0 x x x f x ax b x ì + £ ï ï ï = í ï + > ï ï î . Tìm a, b sao cho f(x) liên tục và khả vi với mọi x ∈ R 8/ Xét tính khả vi của ( ) f x tại 0x = ( ) ( ) 2 2 2 ln 1 3 sin , 0, 0, 0. x x x f x x x  + −  ≠ =   =  9/ Xét tính khả vi của ( ) f x tại 0x = ( ) 2 2 , 1 1 , 1 x x e x f x x e −  ≤  =  >   10/ Tìm a để f(x) khả vi ∀ ∈ x R của + ≥  =  + <  2 ln(1 ) , 0 ( ) , 0 x x f x x ax x 11/ Tìm a để f(x) khả vi ∀ ∈ x R của ≥  =  + <  2 tan , 0 ( ) , 0 x x f x x ax x 12/ Cho 1 sin 0 ( ) 0 0 n x x x f x x ì ï ï ¹ ï = í ï ï = ï î . Tìm n để : a) f(x) liên tục tại x=0 b) f(x) có đạo hàm tại x=0 c) f(x) có đạo hàm liên tục tại x=0 . BÀI TẬP ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ 1: Cho hàm số 3 sin 0 ( ) 0 x x f x x a x ì ï ï ¹ ï ï = í ï ï = ï ï î 1) Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0. 2) Với a tìm được, hãy xét sự khả vi của hàm. lim 0 0 x x f x f x x x ® ® - = = - Vậy f ′(0) = 0 và hàm khả vi tại x=0. Ví dụ 2: Chú ý: để hàm số khả vi (có đạo hàm)  liên tục + đạo hàm (kiểm tra 2 điều kiện) Cho 2 0 ( ) 1 0 x e x f x x. → − − = = = − − + + − + = = = = + = − Để hàm số số đạo hàm tại 0 thì '(0 ) '(0 ) 1f f a + − = ⇔ = Vậy 1a = . Bài tập: 1/ Tính đạo hàm các hàm số sau: a. siny x= b. ln 2 x x y = c.