LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1) Góc giữa hai véc tơ Giả sử ta có ( )  ( )   ; ;  =  → = =  =           AB u u v AB AC BAC AC v , v ớ i  0 180 . ≤ ≤ o o BAC 2) Tích vô hướng của hai véc tơ Gi ả s ử ta có ( )  . . . .cos .  =  → = =  =               AB u u v AB AC AB AC AB AC AC v Nh ậ n xét: + Khi 0 . 0 0  = → =  =         u u v v + Khi ( )  0 ; 0 ↑↑ → =     u v u v + Khi ( )  0 ; 180 ↑↓ → =     u v u v + Khi . 0 ⊥ ←→ =     u v u v Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. a) Tính góc giữa hai véc tơ ( )  ; .   AB BC b) Gọ i I là trung đ i ể m c ủ a AB. Tính góc gi ữ a hai véc t ơ ( )  ; .   CI AC H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) S ử d ụ ng công th ứ c tính góc gi ữ a hai véc t ơ ta đượ c ( )  ( ) 2 . . . cos ; , 1 . . . = = =           AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC a AB BC Xét ( ) . . . . = + = +          AB BC AB BA AC AB BA AB AC Mà ( )  ( )  0 2 2 0 . . .cos . . .cos180 . . .cos . . .cos60 2 = = = − = = =         AB BA AB BA AB BA a a a a AB AC AB AC AB AC a a 2 2 2 . . 2 2 → = − + = −   a a AB BC a ( ) ( )  ( ) 2 0 2 1 2 1 cos ; ; 120 . 2 − ⇔ = = − → =     a AB BC AB BC a V ậ y ( ) ; 120 . =   o AB BC b) Ta có ( )  . . cos ; . . = =         CI AC CI AC CI AC CI AC CI AC T ứ di ệ n ABCD đề u c ạ nh a, CI là trung tuy ế n c ủ a tam giác đề u ABC nên ( )  ( ) 2 3 . cos ; , 2 . 2 3 2 = → =     a CI AC CI CI AC a Ta có ( ) . . . .= + = +          CI AC CI AI IC CI AI CI IC Do ∆ ABC đề u nên . 0. ⊥ ⇔ =     CI AI CI AI Tài liệu tham khảo: 01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn Đồng thời, ( )  2 2 2 0 3 3 3 3 3 . . .cos ; . .cos180 . 0 . 2 2 4 4 4 = = = − → = − = −       a a a a a CI IC CI IC CI IC CI AC Thay vào (2) ta đượ c ( ) ( )  ( )  2 0 2 3 3 4 2 cos ; ; 150 . 2 3 2 − ⇔ = = − → =     a CI AC CI AC a V ậ y ( ) 0 ; 150 . =   CI AC Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của AB. a) Biểu diễn các véc tơ  SM và  BC theo các véc tơ ; ; .    SA SB SC b) Tính góc ( )  ; .   SM BC Hướng dẫn giải: a) Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta được ( ) 1 2 2   = + + =   ←→   = +    = −              SM SA SB SA SB SM BC BS SC BC SC SB b) ( )  ( ) . . cos ; , 1 . . . = =         SM BC SM BC SM BC SM BC SM BC Mà SA, SB, SC đ ôi m ộ t vuông góc nên . 0 . 0 . 0  =   =   =         SA SB SA SC SB SC Tam giác SAB và SBC vuông t ạ i S nên theo đị nh lý Pitago ta đượ c 2 2 1 2 2 2  =  = = →  = =   BC a AB BC a a SM AB Theo câu a, ( ) ( )  2 2 0 0 0 1 1 1 . . . . . . 2 2 2 2   = + − = − + − = − = −                      a SM BC SA SB SC SB SASC SA SB SB SC SB SB SB Thay vào (1) ta đượ c ( )  ( )  2 0 . 1 2 cos ; ; 120 . . 2 2 . 2 2 − = = = − → =       a SM BC SM BC SM BC SM BC a a II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1) Khái ni ệ m véc t ơ ch ỉ ph ươ ng c ủ a đườ ng th ẳ ng M ộ t véc t ơ u 0 ≠   mà có ph ươ ng song song ho ặ c trùng v ớ i d đượ c g ọ i là véc t ơ ch ỉ ph ươ ng c ủ a đườ ng th ẳ ng d. 2) Góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng  Khái ni ệ m: Góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng a và b là góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng a ′ ; b ′ l ầ n l ượ t song song v ớ i a; b. Kí hi ệ u ( )  a;b . T ừ đị nh ngh ĩ a ta có s ơ đồ ( )  ( )  a//a a;b a ;b b//b ′  ′ ′ → =  ′   Nh ậ n xét: + Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là u; v   và ( )  u; v φ. =   Khi đó, ( )  ( )  o o o o o a; b φ ; 0 φ 90 a; b 180 φ ; 90 φ 180 = ≤ ≤ = − < ≤ + Nếu a // b hoặc a ≡ b thì ( )  o a; b 0 . = LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn  Các xác định góc giữa hai đường thẳng: Phương án 1 (sử dụng định nghĩa) Phương án 2 Tạo ra các đường ( )  ( )  a // a a,b a ,b b // b ′  ′ ′ → =  ′  - Lấy một điểm O bất kì thuộc a - Qua O, dựng đường ∆ // b ( )  ( )  a,b a, → = ∆   Chú ý: Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:  N ế u góc thu ộ c tam giác vuông thì dùng các công th ứ c tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot.  N ế u góc thu ộ c tam giác th ườ ng thì s ử d ụ ng đị nh lý hàm s ố cosin trong tam giác ABC : 2 2 2 2 2 2 2 cos cos . 2 + − = + − → = b c a a b c bc A A bc Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A. Biết = = = 3; ; 3 . SA a AB a AD a Tính góc gi ữ a các đườ ng th ẳ ng sau: a) SD và BC. b) SB và CD. c) SC và BD. H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) Tính góc gi ữ a SD và BC Để xác đị nh góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng SD và BC ta s ử d ụ ng ph ươ ng án 2, tìm đườ ng th ẳ ng song song v ớ i m ộ t trong hai đườ ng th ẳ ng SD, BC và song song v ớ i m ộ t đườ ng còn l ạ i. Ta d ễ nh ậ n th ấ y AD // BC. Khi đ ó ( )  ( )    o SDA SD;BC SD;AD 180 SDA  = =   −  Xét ∆ SAD:   o SA 3 tanSDA SDA 30 . AD 3 = = → = V ậ y ( )  o SD;BC 30 . = b) Tính góc gi ữ a SB và CD T ươ ng t ự , ( )  ( )    o SBA CD//AB SB;CD SB;AB 180 SBA  → = =   −  Xét ∆ SAB:   o SA tanSBA 3 SDA 60 . AB = = → = Vậy ( )  o SB;CD 60 . = c) Tính góc gi ữ a SC và BD Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA. Trong ∆SAC có ( )  ( )    o IOB OI//SC SC;BD OI;BD 180 IOB  → = =   −   Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI: 2 2 2 2 a 3 a 7 IB IA AB a 2 2   = + = + =        ABCD là hình chữ nhật nên 2 2 2 2 a 10 BD AB AD a 9a a 10 OB OA 2 = + = + = → = =  Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO: 2 2 2 2 a 3 a 10 a 13 IO IA AO 2 2 2     = + = + =             LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được:  2 2 2 2 2 2 13a 10a 7a OI OB IB 8 4 4 4 cosIOB 2.OI.OB a 13 a 10 130 2. . 2 2 + − + − = = =  ( )  8 IOB arccos SC;BD . 130   → = =     V ậ y ( )  8 SC;BD arccos . 130   =     Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết = = = 2 , 3. AB CD a MN a Tính góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng AB và CD. Hướng dẫn giải: Do AB và CD là các c ạ nh c ủ a t ứ di ệ n nên chúng chéo nhau, để xác đị nh góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng AB và CD ta t ạ o các đườ ng th ẳ ng t ươ ng ứ ng song song v ớ i AB, CD và chúng c ắ t nhau. G ọ i P là trung đ i ể m c ủ a AC, khi đ ó MP // AB, NP // CD ( )  ( )    o MPN AB,CD MP,NP 180 MPN  → = =   −  Do MP, NP là các đườ ng trung bình nên ta có MP = NP = a. Áp d ụ ng đị nh lý hàm s ố cosin trong ∆MPN ta đượ c   ( )  2 2 2 2 2 o o MP NP MN 2a 3a 1 cosMPN 2MP.NP 2.a.a 2 MPN 120 MP,NP 60 + − − = = = − → = ⇔ = V ậ y ( )  o AB,CD 60 . = Nhận xét: Ngoài vi ệ c kh ở i t ạ o P nh ư trên ta c ũ ng có th ể l ấ y đ i ể m P là trung đ i ể m c ủ a BD, cách gi ả i khi đ ó c ũ ng t ươ ng t ự . Ví d ụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đ áy là hình thang vuông t ạ i A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc v ớ i AB và AD, = 2 3 3 a SA . Tính góc c ủ a 2 đườ ng th ẳ ng a) DC và SB. b) SD và BC. Hướng dẫn giải: LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn a) ( )  ( )  Do DC// AB DC,SB AB,SB α → = = Tam giác SAB vuông t ạ i A nên α là góc nh ọ n, khi đ ó o 2a 3 SA 3 3 tan α α 30 AB 2a 3 = = = → = Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30 o . b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là hình thoi. Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a DI a 2. → = mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI. Khi đó, ( )  ( )  SD,BC SD,DI β = = . Tam giác SAI vuông tại A nên 2 2 2 2 2 2 2a 3 7a SI SA AI a 3 3   = + = + =       Tam giác SAD vuông t ạ i A nên 2 2 2 2 2 2 2a 3 7a SD SA AD a 3 3   = + = + =       Áp d ụ ng đị nh lý hàm s ố cosin trong tam giác SDI ta đượ c  2 2 2 2 SD DI SI 2a 3 cosSDI 2SD.DI a 21 42 2. .a 2 3 + − = = = Do  cosSDI 0 > nên góc SDI là góc nh ọ n  3 β SDI arccos . 42   → = =     BÀI TẬP LUYỆN TẬP:  Cho t ứ di ệ n đề u ABCD c ạ nh a , g ọ i I là trung đ i ể m c ạ nh AD . Tính góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng AB và CI . Đ/s: ( )  3 ; arccos . 6   =       AB CI  Cho t ứ di ệ n ABCD. G ọ i M, N, P l ầ n l ượ t là trung đ i ể m c ủ a BC, AD và AC. Bi ế t 2 , 2 2, 5. = = =AB a CD a MN a Tính góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng AB và CD.  Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và 2. =BC a Tính góc giữa ( )  ,   SC AB , từ đó suy ra góc giữa SC và AB. III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu ( )  ; 90 . o a b a b = ←→ ⊥   Chú ý: Các ph ươ ng pháp ch ứ ng minh a ⊥ b:  Chứng minh ( )  o a; b 90 =  Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau, u.v 0. =    Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD trong đó    = = = = = = o o o AB AC AD a, BAC 60 , BAD 60 , CAD 90 . G ọ i I và J l ầ n l ượ t là trung đ i ể m c ủ a AB và CD. a) Ch ứ ng minh r ằ ng IJ vuông góc v ớ i c ả hai đườ ng AB và CD. b) Tính độ dài IJ. H ướ ng d ẫ n gi ả i: LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều, ∆ACD vuông cân tại A. Từ đó BC BD a,CD a 2 = = = →∆BCD vuông cân t ạ i B.  Chứng minh IJ vuông góc với AB Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân t ạ i A, B nên 1 AJ CD 2 AJ BJ IJ AB. 1 BJ CD 2  =   → = ⇔ ⊥   =    Chứng minh IJ vuông góc với CD Do các ∆ACD, ∆BCD đề u nên CI = DI → IJ ⊥CD. b) Áp d ụ ng đị nh lý Pitago cho ∆AIJ vuông t ạ i I ta đượ c 2 2 2 2 a 2 a a IJ AJ AI 2 4 2   = − = − =       V ậ y IJ = a/2. Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và    = = ASB BSC CSA. Ch ứ ng minh r ằ ng SA ⊥ ⊥⊥ ⊥ BC, SB ⊥ ⊥⊥ ⊥ AC, SC ⊥ ⊥⊥ ⊥ AB. Hướng dẫn giải:  Ch ứ ng minh: SA ⊥ BC. Xét ( ) SA.BC SA. SC SB SA.SC SA.SB = − = −          Mà ( )  ( )     SA.SC SA.SC.cos SA;SC SA.SB SA.SB.cos SA;SB SA.SC SA.SB SA.SC SA.SB 0 SA.BC 0 SA BC SA SB SC ASB BSC CSA = = → = ⇔ − = ←→ = ⇔ ⊥ = = = =                   Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB Ví d ụ 3. Cho t ứ di ệ n đề u ABCD , c ạ nh b ằ ng a . G ọ i O là tâm đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p ∆ ∆∆ ∆BCD . a) Ch ứ ng minh AO vuông góc v ớ i CD . b) G ọ i M là trung đ i ể m c ủ a CD . Tính góc gi ữ a    BC và AM .    AC và BM . Hướng dẫn giải: a) Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng Gọi M là trung điểm của CD. Ta có ( ) AO.CD AM MO .CD AM.CD MO.CD = + = +          Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay O là giao điểm của ba đường cao). Khi đó AM CD AM.CD 0 AO.CD 0 AO CD. MO CD MO.CD 0  ⊥ =   ⇔ → = ⇔ ⊥   ⊥ =          b) Xác định góc giữa BC và AM; AC và BM  Xác định góc giữa BC và AM: Gọi I là trung điểm của BD → MI // BC. Từ đó ( )  ( )    AMI BC;AM MI;AM 180 AMI  = =   −  Áp d ụ ng đị nh lý hàm s ố cosin trong ∆AMI ta đượ c  ( ) 2 2 2 AM MI AI cosAMI , 1 . 2.AM.MI + − = Các ∆ABD, ∆ACD đề u, có c ạ nh a nên a 3 AI AM . 2 = = LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn MI là đường trung bình nên MI = a/2. Từ đó ( )   ( )  2 2 2 a 3a 3a 1 1 1 4 4 4 1 cosAMI AMI arccos BC;AM arccos . a a 3 2 3 2 3 2 3 2. . 2 2 + −     ⇔ = = → = ⇔ =          Xác định góc giữa BC và AM: G ọ i J là trung đ i ể m c ủ a AD → MJ // AC. Khi đ ó ( )  ( )    BMJ AC;BM MJ;BM 180 BMJ  = =   −  Các tam giác ABD, BCD là các tam giác đề u c ạ nh a, nên các trung tuy ế n t ươ ng ứ ng a 3 BJ BM 2 = = Do đ ó,   1 AIM BJM AMI BMJ arccos . 2 3   ∆ = ∆ → = =     V ậ y ( )  1 AC;BM arccos . 2 3   =     Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A ′ ′′ ′ B ′ ′′ ′ C ′ ′′ ′ D ′ ′′ ′ cạnh a. Đặt ′ = = = AB a,AD b,AA c.       a) Tính góc gi ữ a các đườ ng th ẳ ng: ( )  ( )  ( )  ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C . b) G ọ i O là tâm c ủ a hình vuông ABCD và I là m ộ t đ i ể m sao cho ′ ′ = + + + + OI OA OA OB OB      ′ ′ + + + + OC OC OD OD .     Tính khoảng cách từ O đến I theo a. c) Phân tích hai véc tơ ′ AC , BD   theo ba véc tơ a, b, c.    Từ đó, chứng tỏ rằng AC′ ′′ ′ và BD vuông góc với nhau. d) Trên cạnh DC và BB′ ′′ ′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a). Chứng minh rằng AC′ ′′ ′ vuông góc với MN. Hướng dẫn giải: Nhận xét: Để làm t ố t các bài toán liên quan đế n hình l ậ p ph ươ ng ta c ầ n nh ớ m ộ t s ố tính ch ấ t c ơ b ả n c ủ a hình l ậ p ph ươ ng:  T ấ t c ả các đườ ng chéo ở các m ặ t c ủ a hình l ậ p ph ươ ng đề u b ằ ng nhau và b ằ ng a 2 (n ế u hình l ậ p ph ươ ng c ạ nh a).  Các đ o ạ n th ẳ ng t ạ o b ở i các kích th ướ c c ủ a hình l ậ p ph ươ ng luôn vuông góc v ớ i nhau (dài, r ộ ng, cao). a) Tính góc giữa: ( )  ( )  ( )  ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .  Tính ( )  AB,B C ′ ′ : ( )  ( )  o Do B C //BC AB,B C AB,BC 90 . ′ ′ ′ ′ → = =  Tính ( )  AC,B C ′ ′ : ( )  ( )    o ACB Do B C //BC AC,B C AC,BC 180 ACB  ′ ′ ′ ′ → = =   −  ABCD là hình vuông nên ∆ ABC là tam giác vuông cân t ạ i B  ( )  o o ACB 45 AC,B C 45 . ′ ′ → = ⇔ =  Tính ( )  A C ,B C ′ ′ ′ : ( )  ( )    o ACB Do A C //AC A C ,B C AC,B C 180 ACB  ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ → = =  ′  −  Xét trong tam giác ACB ′ có AC = B ′ C = AB ′ (do đề u là các đườ ng chéo ở các m ặ t hình vuông c ủ a hình l ậ p ph ươ ng). Do đ ó ∆ ACB ′ đề u  ( )  o o ACB 60 A C ,B C 60 . ′ ′ ′ ′ → = ⇔ = b) Tính độ dài OI theo a. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn Với O là tâm của hình vuông ABCD thì OA OC 0 OA OC OB OD 0 OB OD 0  + =  → + + + =  + =              Khi đ ó OI OA OB OC OD ′ ′ ′ ′ = + + +      G ọ i O ′ là tâm c ủ a đ áy A ′ B ′ C ′ D ′ , theo quy t ắ c trung tuy ế n ta có OA OC 2OO OI 4OO OB OD 2OO  ′ ′ ′ + =  ′ → =  ′ ′ ′ + =           Kho ả ng cách t ừ O đế n I chính là độ dài véc t ơ OI, t ừ đ ó ta đượ c OI = 4OO ′ = 4a. c) Phân tích hai véc tơ ′ AC , BD   theo ba véc t ơ a, b, c.    Theo tính ch ấ t c ủ a hình l ậ p ph ươ ng ta d ễ dàng có a.b 0 a.c 0 b.c 0  =   =   =          Phân tích: AC AB BC CC a b c BD BA AD b a ′ ′ = + + = + + = + = −              Ch ứ ng minh AC ′ vuông góc v ớ i BD. Xét ( ) ( )     2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 AC .BD a b c . b a a.b b c.b a a.b c.a b a AD AB 0 AC .BD AC B D. ′ ′ ′ = + + − = + + − − − = − = − = ⇔ ⇔ ⊥                      d) Ch ứ ng minh r ằ ng AC ′ ′′ ′ vuông góc v ớ i MN. Ta có phân tích: MN MC CB BN AC AB BC CC = + + ′ ′ = + +         ( ) ( ) 0 0 0 0 MN.AC MC CB BN . AB BC CC MC.AB MC.BC MC.CC CB.AB CB.BC CB.CC BN.AB     ′ ′ ′ ′ → = + + + + = + + + + + +         +                           0 0 BN.BC BN.CC MC.AB CB.BC BN.CC   ′ ′ + + = + +                  Mà ( ) ( ) o o 2 2 o MC.AB MC.AB.cos0 a x a CB.BC CB.BC.cos180 a MN.AC a x a a ax 0 MN AC . BN.CC BN.CC .cos0 ax = = − ′ ′ = = − → = − − + = ⇔ ⊥ ′ ′ = =         BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình ch ữ nh ậ t v ớ i ; 3 AB a AD a = = , SA = 2a và vuông góc v ớ i đ áy. Tính góc gi ữ a các đườ ng th ẳ ng sau: a) SB và CD b) SD và BC c) SB và AC d) SC và BD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình vuông c ạ nh 2a, hình chi ế u vuông góc c ủ a S xu ố ng m ặ t đ áy là trung đ i ể m H c ủ a AB, bi ế t 3. SH a= G ọ i I là trung đ i ể m c ủ a SD. Tính góc gi ữ a các đườ ng th ẳ ng: a) SC và AB b) SD và BC c) CI và AB d) BD và CI Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình thang vuông t ạ i A, B v ớ i AB = 3a, AD = 2a, DC = a. Hình chi ế u vuông góc c ủ a S xu ố ng m ặ t ph ẳ ng (ABCD) là H thu ộ c AB v ớ i AH = 2HB, bi ế t SH = 2a. Tính góc gi ữ a a) SB và CD b) SB và AC LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1) Góc giữa hai véc tơ Giả sử ta có ( )  ( )   ; ;  =  → = =  =           AB u u v AB AC BAC AC v , v ớ i  0 180 . ≤ ≤ o o BAC 2) Tích vô hướng của hai véc tơ Gi ả s ử ta có ( )  . . . .cos .  =  → = =  =               AB u u v AB AC AB AC AB AC AC v Nh ậ n xét: + Khi 0 . 0 0  = → =  =         u u v v + Khi ( )  0 ; 0 ↑↑ → =     u v u v + Khi ( )  0 ; 180 ↑↓ → =     u v u v + Khi . 0 ⊥ ←→ =     u v u v Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. a) Tính góc giữa hai véc tơ ( )  ; .   AB BC b) Gọ i I là trung đ i ể m c ủ a AB. Tính góc gi ữ a hai véc t ơ ( )  ; .   CI AC H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) S ử d ụ ng công th ứ c tính góc gi ữ a hai véc t ơ ta đượ c ( )  ( ) 2 . . . cos ; , 1 . . . = = =           AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC a AB BC Xét ( ) . . . . = + = +          AB BC AB BA AC AB BA AB AC Mà ( )  ( )  0 2 2 0 . . .cos . . .cos180 . . .cos . . .cos60 2 = = = − = = =         AB BA AB BA AB BA a a a a AB AC AB AC AB AC a a 2 2 2 . . 2 2 → = − + = −   a a AB BC a ( ) ( )  ( ) 2 0 2 1 2 1 cos ; ; 120 . 2 − ⇔ = = − → =     a AB BC AB BC a V ậ y ( ) ; 120 . =   o AB BC b) Ta có ( )  . . cos ; . . = =         CI AC CI AC CI AC CI AC CI AC T ứ di ệ n ABCD đề u c ạ nh a, CI là trung tuy ế n c ủ a tam giác đề u ABC nên ( )  ( ) 2 3 . cos ; , 2 . 2 3 2 = → =     a CI AC CI CI AC a Ta có ( ) . . . .= + = +          CI AC CI AI IC CI AI CI IC Do ∆ ABC đề u nên . 0. ⊥ ⇔ =     CI AI CI AI Tài liệu tham khảo: 01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn Đồng thời, ( )  2 2 2 0 3 3 3 3 3 . . .cos ; . .cos180 . 0 . 2 2 4 4 4 = = = − → = − = −       a a a a a CI IC CI IC CI IC CI AC Thay vào (2) ta đượ c ( ) ( )  ( )  2 0 2 3 3 4 2 cos ; ; 150 . 2 3 2 − ⇔ = = − → =     a CI AC CI AC a V ậ y ( ) 0 ; 150 . =   CI AC Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của AB. a) Biểu diễn các véc tơ  SM và  BC theo các véc tơ ; ; .    SA SB SC b) Tính góc ( )  ; .   SM BC Hướng dẫn giải: a) Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta được ( ) 1 2 2   = + + =   ←→   = +    = −              SM SA SB SA SB SM BC BS SC BC SC SB b) ( )  ( ) . . cos ; , 1 . . . = =         SM BC SM BC SM BC SM BC SM BC Mà SA, SB, SC đ ôi m ộ t vuông góc nên . 0 . 0 . 0  =   =   =         SA SB SA SC SB SC Tam giác SAB và SBC vuông t ạ i S nên theo đị nh lý Pitago ta đượ c 2 2 1 2 2 2  =  = = →  = =   BC a AB BC a a SM AB Theo câu a, ( ) ( )  2 2 0 0 0 1 1 1 . . . . . . 2 2 2 2   = + − = − + − = − = −                      a SM BC SA SB SC SB SASC SA SB SB SC SB SB SB Thay vào (1) ta đượ c ( )  ( )  2 0 . 1 2 cos ; ; 120 . . 2 2 . 2 2 − = = = − → =       a SM BC SM BC SM BC SM BC a a II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1) Khái ni ệ m véc t ơ ch ỉ ph ươ ng c ủ a đườ ng th ẳ ng M ộ t véc t ơ u 0 ≠   mà có ph ươ ng song song ho ặ c trùng v ớ i d đượ c g ọ i là véc t ơ ch ỉ ph ươ ng c ủ a đườ ng th ẳ ng d. 2) Góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng  Khái ni ệ m: Góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng a và b là góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng a ′ ; b ′ l ầ n l ượ t song song v ớ i a; b. Kí hi ệ u ( )  a;b . T ừ đị nh ngh ĩ a ta có s ơ đồ ( )  ( )  a//a a;b a ;b b//b ′  ′ ′ → =  ′   Nh ậ n xét: + Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là u; v   và ( )  u; v φ. =   Khi đó, ( )  ( )  o o o o o a; b φ ; 0 φ 90 a; b 180 φ ; 90 φ 180 = ≤ ≤ = − < ≤ + Nếu a // b hoặc a ≡ b thì ( )  o a; b 0 . = [...]... fanpage: Hungdv95 Chuyờn Hỡnh hc khụng gian LUYN THI I HC MễN TON Thy Hựng BI TP T LUYN Bài 1: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, thi t diện qua trục của hình trụ là hình vuông a) Tính diện tích thi t diện qua trục b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của trụ c) Tính diện tích và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a,... cạnh bên bằng 5a ; chiều cao hình lăng trụ bằng h 2 a) Chứng minh có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho b) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ đó Bài 3: Một hình trụ có thi t diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4 a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích khối trụ c) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ Bài 4: Cho hình trụ có trục O1O2 Một mặt... fanpage: Hungdv95 Chuyờn Hỡnh hc khụng gian LUYN THI I HC MễN TON Thy Hựng BI TP T LUYN Bài 1: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, thi t diện qua trục của hình trụ là hình vuông a) Tính diện tích thi t diện qua trục b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của trụ c) Tính diện tích và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a,... cạnh bên bằng 5a ; chiều cao hình lăng trụ bằng h 2 a) Chứng minh có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho b) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ đó Bài 3: Một hình trụ có thi t diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4 a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích khối trụ c) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ Bài 4: Cho hình trụ có trục O1O2 Một mặt... trục O1O2 Một mặt phẳng ( ) song song với trục O1O2 cắt hình trụ theo thi t diện là hình chữ nhật ABCD Gọi O là tâm của thi t diện đó Tính góc O1OO2 biết bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABCD bằng bán kính đờng tròn đáy của hình trụ Tham gia khúa TON 2014 t 9 im Toỏn www.moon.vn facebook: LyHung95 fanpage: Hungdv95 Chuyờn Hỡnh hc khụng gian LUYN THI I HC MễN TON Thy Hựng Ti liu bi ging: MT TR - KHI... Một mặt phẳng ( ) song song với trục O1O2 cắt hình trụ theo thi t diện là hình chữ nhật ABCD Gọi O là tâm của thi t diện đó Tính góc O1OO2 biết bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABCD bằng bán kính đờng tròn đáy của hình trụ Tham gia khúa TON 2014 t 9 im Toỏn www.moon.vn facebook: LyHung95 fanpage: Hungdv95 LUYN THI I HC MễN TON Thy Hựng Chuyờn Hỡnh hc khụng gian Ti liu bi ging: 03 NG THNG VUễNG GểC VI... LyHung95 LUYN THI I HC MễN TON Chuyờn Hỡnh hc khụng gian A ta ly 2 im I, J 2 bờn im A sao cho IBC l tam giỏc u v JBC l tam giỏc vuụng cõn a) Tớnh cỏc cnh ca ABC b) Tớnh AI, AJ v CM cỏc tam giỏc BIJ, CIJ l cỏc tam giỏc vuụng cõn c) Tỡm tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip cỏc t din IJBC, IABC Tham gia khúa TON 2014 t 9 im Toỏn www.moon.vn ( R = 2a 3) Facebook: LyHung95 Chuyờn Hỡnh hc khụng gian LUYN THI I HC... LyHung95 fanpage: Hungdv95 Chuyờn Hỡnh hc khụng gian LUYN THI I HC MễN TON Thy Hựng HD: a) * Thit din qua trc l tam giỏc vuụng cõn ti S nờn A = B S = 450 * Sxq = Rl = .OA.SA = a2 2 A Tớnh: SA = a 2 ; OA = a ( SOA ti O) 45 B ( ) * Stp = Sxq + Sỏy = a2 2 + a2 = 1 + 2 a2 b) V = 1 2 1 1 a3 R h = .OA 2 SO = .a2 a = 3 3 3 3 Vớ d 4: Mt hỡnh nún cú ng sinh bng l v thit din qua trc l tam giỏc vuụng a) Tớnh din... din tớch tam giỏc SAB bng Tớnh gúc gia 3 2 a) (SA; BC) b) (SB; AC) Tham gia khúa TON 2014 t 9 im Toỏn! www.moon.vn Chuyờn Hỡnh hc khụng gian LUYN THI I HC MễN TON Thy Hựng Ti liu bi ging: MT TR - KHI TR Thy ng Vit Hựng Vớ d 1: Mt hỡnh tr cú bỏn kớnh ỏy bng R v thit din qua trc l mt hỡnh vuụng a) Tớnh din tớch xung quanh v din tớch ton phn ca hỡnh tr b) Tớnh th tớch ca khi tr Hng dn gii: a) * Sxq... ca S xung mt phng (ABCD) l H thuc AB vi AH = 2HB, bit SH = 2a Tớnh gúc gia a) SB v CD b) SB v AC Tham gia khúa TON 2014 t 9 im Toỏn! www.moon.vn Chuyờn Hỡnh hc khụng gian LUYN THI I HC MễN TON Thy Hựng Ti liu bi ging: MT CU KHễNG GIAN P1 Thy ng Vit Hựng Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD, cú ng cao SA = 2a 3 ỏy ABCD l hỡnh vuụng tõm O cnh 2a a) Chng minh rng: (SCD)(SAD) b) Tớnh khong cỏch t O v t A ti . bán kính mặt cầu nói trên. Tài liệu bài giảng: MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014. Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn Facebook: LyHung95 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, hình chiếu. MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1) Góc giữa hai véc tơ