Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321 * * 1. Công thức cộng 2. Công thức nhân đôi. 3. Công thức hạ bậc: 4. Công thức nhân ba – . 5. Công thức tính theo t=tan 6 .Công thức tích thành tổng 7 .Công thức tổng thành tích . “học là (c+c=2cc)” . “học là (c-c=-2ss)” . “học là (s+s=2sc)” . “học là (s-s=2cs)” . “học là (t t=s trên cc)”  Cơ bản nhất: * * * * .  Đặc biệt: * * * * * , * 1. Phƣơng trình đặc biệt: 2. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản: 3. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx. (3), Cách giải: Chia 2 vế cho ta có: (3) Gọi là góc thỏa:  PT có nghiệm x 4. Phƣơng trình đẳng cấp theo sinx và cosx : * Đẳng cấp bậc 2: Cách giải: i. Xét trƣờng hợp . ii. Xét trƣờng hợp , chia 2 vế cho ta đƣợc pt bậc 2 theo tanx: , ta đƣợc pt bậc 2 theo .Kết luận nghiệm: gộp 2 trƣờng hợp. * Đẳng cấp bậc 3: . Cách giải: i. Xét trƣờng hợp cosx=0. ii. Xét trƣờng hợp cosx≠0, chia 2 vế cho ta đƣợc p/trình bậc 3 theo tanx: ,.ta đƣợc pt bậc 3 theo Kết luận nghiệm: gộp 2 trƣờng hợp. 5. Phƣơng trình đối xứng theo sinx và cosx Cách giải: Đặt , điều kiện , lúc đó . Thay vào ta đƣợc pt bậc hai theo t : , nhớ kiểm tra điều kiện t. 6. Phƣơng trình dạng: nếu pt thay x bởi 2x ta đặt . * * . * CÔNG THỨC VÀ CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321  ĐƠN ĐIỆU  Hàm số đồng biến trên tập . Dấu “=” không đƣợc đồng nhất . Hàm số nghịch biến trên tập . Dấu “=” không đƣợc đồng nhất . Nếu thì hàm số đồng biến trên R hàm số nghịch biến trên Nếu thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định , hàm số đồng biến trên tập hàm số nghịch biến trên tập . Ex: Tìm m để các hàm số: a) luôn nghịch biến trên , b) nghịch biến trên khoảng ĐS:a) b) Ex: Tìm m để hàm số: nghịch biến trên ĐS: .  CỰC TRỊ   Hàm số đạt cực tiểu tại  Hàm số đạt cực đại tại 1) Cực trị hàm số bậc ba: Đạo hàm: (1) 2) Hàm số có cực trị có nghiệm và đổi dấu (nếu thì 3) Hàm số có 2 cực trị Hàm số có cđ, ct Hàm số có cực (nếu trị ) có 2 phân biệt 4) Để tính giá trị cực trị của hàm số ta có 2 cách: Giả sử , lúc đó Suy ra các giá trị cực trị của hàm số: Nếu nghiệm của không đƣợc đẹp ( ) thì ta tính theo các bƣớc sau: + Bƣớc 1: Thực hiện phép chia cho ta có : (hay chia cho ta có: ) Thực ra, có công thức khó nhớ : + Bƣớc 2: Do nên . Từ đây đƣờng thẳng đi qua CĐ, CT có phƣơng trình : . 5) Tìm m để hàm số có 2 cực trị đối xứng nhau qua đƣờng thẳng (D): bƣớc 1: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua 2 cực trị . bƣớc 2: cho đƣờng thẳng vuông góc với (D), suy ra m. bƣớc 3: với m vừa tìm đƣợc ta kiểm tra xem trung điểm của 2 cực trị có thuộc vào đƣờng thẳng (D) không là xong. Ex 13: Tìm m để hs có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đƣờng thẳng (D): ĐS: 6) Hàm số có 2 cực trị trái dấu (2 hoành độ cực trị trái dấu ) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về 2 phía trục tung có 2 nghiệm trái dấu . (xem (1)). Ex 15: 2 +4. Tìm m để hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về 2 phía trục tung (1< <2) . 7) Hàm số có 2 cực trị cùng dấu (2 hoành độ cực trị cùng dấu ) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về 1 phía trục tung phƣơng trình có 2 nghiệm cùng dấu . 8) Hàm số có 2 cực trị dƣơng (đạt cực trị tại 2 điểm có hoành độ dƣơng) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về bên phải trục tung phƣơng trình có 2 nghiệm dƣơng . 9) Hàm số có 2 cực trị âm (đạt cực trị tại 2 điểm có hoành độ âm) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về bên trái trục tung phƣơng trình có 2 nghiệm âm . 10) Hàm số có 2 giá cực trị trái dấu Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về 2 phía trục hoành Hàm số có 2 cực trị và có 3 nghiệm phân biệt. Ex 16: Cho hàm số Tìm m để có cực đại, cực tiểu và giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số trái dấu. ĐS: Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321 11) Hs có 2 giá trị cực trị cùng dấu Hs có 2 điểm cđ, ct A và B nằm về 1 phía trục Ox Hs có 2 c/trị và 12) Hsố có 2 giá trị cực trị dƣơng Hsố có 2 điểm cđ, ct nằm phía trên Ox pt có 2 và . 13) Hsố có 2 giá trị cực trị âm Hsố có 2 điểm cđ, ct nằm phía dƣới Ox pt có 2 và 14) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B cách đều trục tung có 2 nghiệm phân biệt và 15) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B cách đều trục hoành có 2 nghiệm phân biệt và (sử dụng định lý Viet) 16) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B cách đều đƣờng thẳng (D): có 2 nghiệm phân biệt và Lƣu ý nếu 17) Tam giác ABC vuông tại A . 18) đối xứng qua đƣờng phân giác góc  Cực trị hàm số bậc bốn: Đạo hàm: . 19) , suy ra hàm số luôn có cực trị . 20) Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu 3 lần có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ( nếu thì hàm số có 2 cực tiểu 1 cực đại, nếu thì hàm số có 1 cực tiểu, 2 cực đại) 21) Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại (a>0) . 22) Hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu (a<0) . 23) Nếu hàm số có 3 cực trị thì 3 hoành độ cực trị là : . Từ đó tính đƣợc tung độ cực trị . Lúc đó có 3 điểm cực trị là A, B, C tạo thành tam giác cân tại đỉnh 24) Hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông (vuông cân ) có 3 nghiệm phân biệt và ABC là tam giác vuông tại có 2 nghiệm phân biệt khác 0 và . 25) Hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác đều có 3 nghiệm phân biệt và ABC là tam giác đều có 2 nghiệm phân biệt khác 0 và (vì luôn cân tại ) . 26) Lƣu ý nếu hàm số có 3 cực trị thì : (với I là giao điểm của AC với y’Oy). Cực trị hàm số : (nâng cao) Đạo hàm: . 27) Hàm số có cực trị có 2 phân biệt có 2 phân biệt khác – 28) Tung độ cực trị : Đƣờng thẳng đi qua CĐ, CT có pt : . Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321  TIẾP TUYẾN  Cho hàm số . 1) Tiếp tuyến tại có phƣơng trình: (với ). 2) Để viết phƣơng trình tiếp tuyến đi qua ta xét đƣờng thẳng (d) đi qua M có hệ số góc k có phƣơng trình: . Điều kiện để (d) tiếp xúc với (C) là hệ : có nghiệm . Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm. Thay (2) vào (1) ta giải đƣợc rồi thay x vào (2) ta đƣợc k , từ đó viết đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến . 3) Để viết tiếp tuyến biết hệ số góc , ta giải pt: rồi viết phƣơng trình các tiếp tuyến tại mỗi . Đối với hàm bậc 3 và hàm bậc nhất trên bậc nhất thì số nghiệm của hệ chính là số tiếp tuyến của (C). Ex 1: Cho a) Viết phƣơng trình tiếp tuyến qua Tìm trên đƣờng thẳng các điểm kẻ đƣợc đến (C) 3 tiếp tuyến. c) Tìm trên đƣờng thẳng các điểm kẻ đƣợc đến (C) 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. HD:Xét đƣờng thẳng đi qua A có hệ số góc k có phƣơng trình: (d) tiếp xúc với (C) có nghiệm x. Thay (2) vào (1) ta có: Vậy có 3 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán c) 4) Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng hoặc 5) Tiếp tuyến tạo với 2 tiệm cận: đứng và ngang một tam giác vuông cân tiếp tuyến có hệ số góc 6) Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc (tạo với trục tung một góc tiếp tuyến có hệ số góc 7) Tiếp tuyến tạo với đƣờng thẳng một góc tiếp tuyến có dạng với hệ số góc thỏa mãn công thức cosin giữa 2 đƣờng thẳng: 8) Tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng tiếp tuyến có hệ số góc 9) Tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng tiếp tuyến có hệ số góc 10) Tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho: tiếp tuyến có hệ số góc . 11) Đối với (H), tiếp tuyến của (H) tại có dạng: . Lúc đó cắt tiệm cận đứng tại cắt tiệm cận ngang tại Lúc đó ta có: * M là trung điểm của AB. * Diện tích tam giác IAB không đổi hay IA.IB không đổi (với I là giao điểm 2 tiệm cận). * Tích khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận không đổi. suy ra Điều kiện để chu vi nhỏ nhất, bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp IAB nhỏ nhất, khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất, Ex : Cho hàm số : . Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M tạo với 2 tiệm cận của đồ thị (C) một tam giác có bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp bằng . HD: Gọi . Ptrình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là: . Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận, A và B lần lƣợt là giao điểm của tiếp tuyến với các đƣờng tiệm cận của (C), khi đó: . Vì tam giác IAB là tam giác vuông tại I nên . ĐS: . Ex: Cho (C): gọi I là giao điểm 2 tiệm cận viết phƣơng trình tiếp tuyến tạo với 2 tiệm cận 1 tam giác có chu vi nhỏ nhất hoặc viết phƣơng trình tiếp tuyến sao cho khoảng cách từ I đến ∆ là lớn nhất: Giải: Gọi tiếp điểm là điểm M, lập luận nhƣ trên ta có: Chu vi: Phƣơng trình 2 tiếp tuyến. Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321 TƢƠNG GIAO Cho 2 hàm số và . Lúc đó số nghiệm của phƣơng trình chính là số giao điểm của và 1) Cho hàm số và đƣờng thẳng đi qua lúc đó phƣơng trình , ( đang tìm) và phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) nếu bậc 3 thì 99% có nghiệm . Từ đó nhờ Hoocner ta đƣa phƣơng trình hoành độ giao điểm về dạng: 2) Lúc đó cắt (C) tại 3 điểm phân biệt pthđ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt khác 3) Lúc đó tọa độ giao điểm của (C) và là: 4) Đối với hàm phân thức có tập xác định hay nhận làm tiệm cận đứng. Giả sử đƣờng thẳng (d): . Lúc đó phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: hoặc (Nếu không là nghiệm pt này thì chỉ cần viết ) + Từ đó số giao điểm của (C) và (d) là số nghiệm của phƣơng trình (*) thỏa + Từ đó (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt khác + (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc hai nhánh của (C) có 2 nghiệm phân biệt thỏa: + (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C) có 2 nghiệm phân biệt thỏa: + (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh bên phải của (C) có 2 phân biệt thỏa: + (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh bên trái của (C) có 2 phân biệt thỏa: + (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thỏa có 2 nghiệm phân biệt thỏa: 5) Đặc biệt đối với hàm số bậc ba: ngoài việc đoán nghiệm ra, chúng ta có thể dùng tính chất cực trị để tìm số giao điểm của (C) với trục hoành hoặc với đƣờng thẳng (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có cực đại, cực tiểu và 2 giá trị cực trị trái dấu có 2 nghiệm phân biệt và 6) Tìm điều kiện để (C): cắt Ox tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB=BC có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng: + Điều kiện cần: Giả sử khi đó: 2 − 3, ∀ ⇔ 3+ 2+ + = 3 − 1+ 2+ 3 2+ 1 2+ 2 3+ 3 1 − 1 2 3 , ∀ . Đồng nhất hệ số bậc 2 ở 2 vế suy ra: (có thể lập luận nhanh hơn nhƣ sau theo định lý Viet phƣơng trình bậc 3 ta có: ). Thay vào pt: + Điều kiện đủ: Thử giá trị của tham số kiểm tra phƣơng trình có 3 nghiệm phân biệt là đƣợc. 7) Đối với cấp số nhân thì làm tƣơng tự: đồng nhất ở hệ số tự do ta có: , Ex:Tìm m để cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng.ĐS:m=1. Ex:Tìm m để cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số nhân.ĐS:m=2. Ex 15: Tìm điều kiện để (C): cắt Ox tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng. Giải: Xét phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành: . Đặt . Phƣơng trình (1) trở thành: . (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có 4 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm dƣơng phân biệt Lúc đó gọi 2 nghiệm là: , suy ra 4 nghiệm của phƣơng trình (1) theo thứ tự là: . Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321 Tóm lại, yêu cầu bài toán: Ex 1: Cho (C). CMR mọi đƣờng thẳng qua với hệ số góc đều cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, I sao cho I là trung điểm của AB. Giải: Đƣờng thẳng d qua với hệ số góc có dạng: Ptrình hoành độ giao điểm của (C) và (d): Ta có nên phƣơng trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác 1, tức là phƣơng trình (1) luôn có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm Nghĩa là khi thì d và (C) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt A, B, I, trong đó hoành độ của A, B là 2 nghiệm phân biệt của phƣơng trình (2). Theo định lý Viet ta có . Mặt khác A, B, I thẳng hàng (đều thuộc d) nên I là trung điểm của AB. Cho Tìm m để đƣờng thẳng cắt (C) tại 2 phân biệt A, B sao cho AB nhỏ nhất. Giải: Pthđgđ của (C) và (d): (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B có 2 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt khác 1 Do đó (d) luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B Gọi 2 nghiệm của pt (2) là , Theo Viet ta có Suy ra tọa độ 2 giao điểm là  ĐỐI XỨNG  Cho hàm số và điểm , hoặc đƣờng thẳng 1) Trên tồn tại 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm I hệ sau có nghiệm x : phƣơng trình có nghiệm . Lúc đó nghiệm của hệ là tọa độ cặp điểm đối xứng nhau qua I. 2) Tìm trên 2 điểm A, B đối xứng nhau qua đƣờng thẳng Suy ra phƣơng trình AB . Lập phƣơng trình hoành độ giao điểm của AB với (C). Buộc điều kiện phƣơng trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt. Gọi 2 nghiệm phân biệt đó là trung điểm I của AB có toạ độ . dùng Viet . Lúc đó A, B đối xứng nhau qua . Thay vào pthđgđ suy ra x, suy ra A, B. Ex: Cho hàm số . Tìm các cặp điểm trên đồ thị (C) đối xứng qua gốc tọa độ O. ĐS . Ex: Cho . Tìm cặp điểm trên đồ thị (C) đối xứng nhau qua đt (D) ĐS : . Ex: Cho . Tìm m để trên đồ thị (C) có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc O. ĐS:  KHOẢNG CÁCH khi Khoảng cách từ M đến : Nếu thì gọi 2 điểm thuộc 2 nhánh: , với 3) Ex: Cho hàm số , gọi I là giao điểm 2 tiệm cận, a) tìm sao cho có diện tích nhỏ nhất. 4) Ex: Cho hàm số . a) Tìm trên đồ thị hàm số tất cả các điểm có tổng khoảng cách đến hai đƣờng tiệm cận nhỏ nhất. b) Tìm 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB nhỏ nhất. ĐS: a) Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321 ĐỒ THỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài toán : Cho (C) Dạng 1: Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị . Ta có Cách vẽ :  Giữ nguyên phần (C) nằm trên Ox  Bỏ phần (C) nằm dƣới Ox  Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dƣới Ox ta sẽ có Lƣu ý : là hàm số không âm nên luôn nằm phía trên Ox Dạng 2: Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị . Ta có là đồ thị hàm chẵn nên nhận trục tung làm trục đối xứng. Khi thì ) Cách vẽ : + Giữ nguyên phần (C) nằm bên phải Oy .+ Bỏ phần (C) bên trái Oy (nếu có). +Lấy đối xứng qua Oy phần (C) nằm phía bện phải trục Oy ( tính chất hàm chẵn) ta sẽ có Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321 Dạng 3: Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị . Ta có : . Cách vẽ :  Giữ nguyên phần (C) nằm phía trên Ox (do (1))  Bỏ phần (C) nằm dƣới Ox  Lấy đối xứng qua Ox phần (C) nằm phía trên ta sẽ có . Dạng 4: Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị .Ta có . Cách vẽ : Giữ nguyên phần (C) khi . Lấy đối xứng qua Ox phần (C) khi Tƣơng tự ta cũng sẽ làm đƣợc dạng 1 1 x y x 1 1 x y x 1 1 x y x Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321  ÔN TẬP ĐẠI SỐ CẤP TỐC  Để giải pt, hệ p/trình vô tỷ ta thƣờng sử dụng các phƣơng pháp phổ biến sau: bình phƣơng 2 vế, đặt ẩn phụ ( 1 ẩn t hoặc 2 ẩn u, v, ), liên hiệp, đoán nghiệm (FX 570 ES), khảo sát hàm số, bất đẳng thức, sử dụng tính chất tích vectơ SAU ĐÂY LÀ 10 CÔNG THỨC CƠ BẢN NHẤT: 3) 4) hoặc . 7) . 8) . 9) 10) . Ex: D2002: ĐS: . TIẾP THEO LÀ ĐẦY ĐỦ CÁC DẠNG: 1) (pt đẳng cấp). Thƣờng gặp dạng: Ex: ĐS: . Ex *: . HD:ĐS: (*) ↔ Ex : . ĐS: 2) Ví dụ nhƣ: Ex: ĐS: Ex: ĐS: Ex: . ĐS: Ex: Tìm m để pt có nghiệm: . ĐS: 3) Đẳng cấp bậc 3: Ex: . Đs: . 4) * Chia 2 vế cho đặt ĐS: . 5) * . Chia 2 vế cho đặt bình phƣơng ĐS: 6) * Đặt . Chuyển về hệ đối xứng. Ex: ĐS: ĐS: Ex: ĐS: Đs: S Ex: . ĐS: HD: (1) Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321 7) Dạng chia 2 vế cho x rồi đặt ẩn phụ: Xét nếu pt . Ex: ĐS: Ex: 8) Đặt 1 ẩn, Ex: đặt , đs: . Ex: . ĐS: Ex: .ĐS: Ex:Tìm m để ptrình sau có nghiệm: Đs: Ex:Tìm m để ptrình sau có nghiệm: Đs: 9) Đặt 2 ẩn, Ex: ĐS: Đặt , ta có hệ: Ex: . ĐS: . Ex: đặt , ta có hệ đs: Ex: HD: đặt . 10) Liên hiệp, tựa liên hiệp: Ex: đsố: Ex: ĐS: Ex: . Đs: ; Ex: . 11) Khảo sát hàm số: Ex: ĐS: Ex: Ex: ĐS . Ex: HD: đặt Ex: = .HD: = + + . Ex: − − + − − = ( ) + + + + + = + + ( ) . ĐS: 12) Dạng: đặt . Ex: ĐS: (có thể liên hiệp). Tìm m để pt sau có nghiệm . ĐS Ex: ĐS: Ex: ĐS: 13) Lƣợng giác: Ex: đặt đs: Ex: đặt đs: Ex: đặt đsố: 14) Đoán nghiệm: Ex: . ĐS: x=5. Ex: ĐS: Ex: ĐS: . Ex: ĐS: 15) Đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Ex: ĐS: đặt pt trở thành: [...]... sau: Thay đoạn Sử dụng bất đẳng thức, tìm miền giá trị ,Lập bảng biến thi n rồi kết luận Tìm các điểm tới hạn rồi so sánh (thƣờng sử dụng đối với bài toán tìm GTLN, GTNN trên đoạn [a;b]) TXĐ: Ex:: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Cách 1: Sử dụng bảng biến thi n: || 0 || 2 Dựa vào BBT ta có Cách 2: Nếu không dùng bảng biến thi n thì các điểm tới hạn của hàm số là: x=2,x=3,x=4 (Điểm xo thuộc... Hải, ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC (Oxy) 1) Cho A (d) LC Nếu G C H (loại do // AB) A (d) M (d') C B qua 2) Nếu giả thi t cho phƣơng trình đƣờng cao AH thì ta chỉ sử dụng đƣợc 1 điều kiện (1 phƣơng trình) đó là , nếu biết thêm BC đi qua 1 điểm có tọa độ thì ta có thể viết phƣơng trình đƣờng thẳng BC ( ) 3) Nếu giả thi t cho phƣơng trình trung tuyến BM thì ta chỉ sử dụng... cạnh SD Mặt phẳng (P) đi qua BD’ song song với AC cắt SA, SC tại A’, C’ chia hình chóp thành 2 phần Tính tỷ số thể tích của 2 phần đó Gợi ý: Vì (P) // AC nên giao tuyến A’C’ của (P) với (SAC) phải song song AC Gọi O’ là giao điểm của BD’ và SO, lúc đó O’ phải thuộc A’C’( tại vì ) Ta có thể giải thích 3 đường thẳng A’C’, SO, BD’ đồng quy tại O’ theo định lý 3 giao tuyến của 3 mặt phẳng Ta có Xét chóp... trình) đó là trung điểm M của AC thuộc BM 4) Nếu giả thi t cho phƣơng trình phân giác thì thông thƣờng ta gọi điểm đối xứng với điểm cho trƣớc thuộc cạnh AC hoặc thuộc cạnh BC Điểm thuộc AC lấy đối xứng qua sẽ nằm trên BC và ngƣợc lại Nếu đề cho phƣơng trình AC, phƣơng trình thì ta suy ra tọa độ điểm C và viết đƣợc phƣơng trình BC nhờ công thức 5) Nếu giả thi t cho phƣơng trình trung trực (d) của AC thì... trực (d) của AC thì ta chỉ sử dụng đƣợc 2 điều kiện (2 phƣơng trình) đó là trung điểm M của AC thuộc (d) và 6) Nếu giả thi t cho tọa độ trọng tâm G, trực tâm, trung điểm hoặc trọng tâm G thuộc đƣờng M B qua thẳng nào đó có phƣơng trình thì ta thu đƣợc 2 điều kiện (2 ptrình): * Bài toán: Viết phƣơng trình cạnh AB của tam giác ABC nếu biết tọa độ 3 chân đƣờng vuông góc của 3 đƣờng cao kẻ từ A, B, C là... (C) có tâm – Gọi A' tâm bán kính vuông tại T và có thuộc đƣờng tròn biết tiếp tuyến qua điểm – – tâm bán kính Giải:tâm I(2 ; 1), R=3 PT tiếp tiếp xúc với (C) và Ex: Viết pt tiếp , biết rằng tiếp tuyến hợp với đƣờng thẳng (D): một góc Giải: Ta có: TH 1 : tiếp xúc (C) AH=2.IM; IH=3.IG đƣờng tròn 3) Ta đƣợc 2 tiếp tuyến tuyến của : (C) : C M  BẢN CHẤT CỦA BÀI TOÁN GÓC GIỮA 2 TIẾP TUYẾN: Giả sử tiếp... nguyên là đúng, nhƣng Tập xác định thì sai, tại vì không có định nghĩa lũy thừa số hữu tỉ (không nguyên) cho số âm Hãy xem các ví dụ chỉ đúng cho Giả sử mặt khác điều kiện cơ số dƣơng cho lũy thừa với số mũ không nguyên nếu không thì loạn hết !  Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305 054.3811471 0935961321 là sai tại vì Vì vậy cần phải có Châu Thanh Hải,... nhau nếu 1 Một số phép toán trên : Cho 2 số phức * Phép cộng: Lúc đó: , * Phép nhân: * Phép chia: (với ): 2 Số phức liên hợp và môđun của số phức: a) Số phức liên hợp của số phức b) Môđun của số phức là Rõ ràng * * số phức * ; * Lưu ý: (sử dụng nhiều trong bài tập) là số thực khi và chỉ khi ; * * Lưu ý: ; * Nếu là là số ảo * số phức ; * ; là 2 số phức và thì 3 Biểu diễn hình học của số phức: Mỗi... f’(xo) không tồn tại. ) Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức Ta có Suy ra Từ BBT hoặc từ GTNN, GTLN ta suy ra phƣơng trình dụ phƣơng trình có nghiệm khi Ex:**: B 2010 Cho các số thực không âm Giải: Cách 1: Đặt có nghiệm trên tập A Ví , phƣơng trình này có 2 nghiệm x Tìm GTNN của , ta có: Mà với Ta có là hàm giảm trên là hàm tăng trên thì 2→ 2+ 2+ Khi Cách 2: Ta có 2≥13 + + 2=13, Mặt khác từ giả thi t suy ra... 0935961321 có nhƣng vẫn Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc Ex:: CĐ khối A,B,D 2010 Cho hai số thực dƣơng thay đổi x, y thỏa: Tìm GTNN của biểu thức Giải: Cách 1: Theo bđt Côsi ta có Từ giả thi t, theo Côsi 4 số suy ra Cách 2: Theo bđ thức Côsi ta có Áp dụng bđt Côsi ta có Cách 3: Khảo sát, gt Cách 4: Gt suy ra , Ex: Tìm các giá trị m để p trình sau có nghiệm Giải: ĐK: Đặt Pt(*) ; Ta . thành tổng 7 .Công thức tổng thành tích . học là (c+c=2cc)” . học là (c-c=-2ss)” . học là (s+s=2sc)” . học là (s-s=2cs)” . học là (t t=s trên cc)”  Cơ bản nhất: * * * *. hoành và trục tung tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho: tiếp tuyến có hệ số góc . 11) Đối với (H), tiếp tuyến của (H) tại có dạng: . Lúc đó cắt tiệm cận đứng tại cắt tiệm cận ngang tại Lúc đó ta có:. + Từ đó (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt khác + (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc hai nhánh của (C) có 2 nghiệm phân biệt thỏa: + (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt