SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Phần A: Lý do chọn chuyên đề Hệ phương trình đối xứng là dạng toán hay trong chương trình Toán của bậc học Phổ thông. Để giải quyết tốt được bài toán dạng này, học sinh cần vận dụng nhiều kiến thức Toán. Điều đó giúp cho học sinh biết huy động các kĩ năng Toán vào việc giải một bài toán cụ thể và còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng về tư duy. Tính cần cù trong học tập, biết vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải quyết một bài toán cụ thể. Chính vì lí do đó, nên tôi đã sưu tầm và dạy cho học sinh chuyên đề: “Hệ phương trình đối xứng” Phần b: những nội dung cụ thể I. Hệ phương trình đối xứng loại I: Phần 1- Định nghĩa: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng - Phương trình n ẩn x 1 , x 2 , , x n gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay x i bởi x j ; x j bởi x i thì phương trình không thay đổi. - Khi đó phương trình luôn biểu diễn được dưới dạng: x 1 + x 2 + + x n x 1 x 2 + x 1 x 3 + + x 1 x n + x 2 x 1 + x 2 x 3 + + x n-1 x n x 1 x 2 x n - Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng. - Với học sinh phổ thông ta đưa vào hệ đối xứng loại I với 2 ẩn số, với học sinh chuyên ta nên đưa vào hệ đối xứng loại I với 3 ẩn số. - Để giải được hệ phương trình đối xứng loại I ta phải có định lý Viet. *) Nếu đa thức F(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a n , a 0 ≠ 0, a i Î P có nghiệm trên P là c 1 , , c n thì ì ï ï ï í ï ï ï î 1 1 2 n 0 2 1 2 1 3 1 n 2 1 2 3 n-1 n 0 n n 1 1 n 0 -a c + c + + c = a a c c + c c + + c c + c c + c c + + c c = a a c c c =(-1) . a phần 2 - Hệ phương trình đối xứng loại I, 2 ẩn: A. Lý thuyết: 1.Định lý Vi-et cho phương trình bậc 2 (lớp 10). Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x 1 , x 2 thì 1 2 1 2 -b S = x + x = a c P = x .x = a ì ï ï í ï ï î Ngược lại nếu 2 số x 1 , x 2 có 1 2 1 2 x + x = S x .x = P ì í î thì x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình X 2 - SX + P = 0. 2.Định nghĩa: Hệ gồm 2 phương trình đối xứng gọi là hệ đối xứng loại I, 2 ẩn. Một phương trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu đổi vị trí hai ẩn thì phương trình không đổi VD: 2 2 x + y + xy = 2 x + xy + y = 4 ì í î 3.Cách giải: + Biểu diễn từng phương trình của hệ qua x+y và xy + Đặt S = x+y, P = xy, ta có hệ mới chứa ẩn S, P. Giải nó tìm S, P. + Với mỗi cặp S, P ta có x, y là nghiệm của phương trình X 2 - SX + P = 0. + Tuỳ theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận hệ ẩn S, P và phương trình X 2 - SX + P = 0. để có kết luận cho bài toán. 4.Bài tập: Loại 1: Giải hệ đơn thuần VD1: Giải hệ 2 2 x + y + xy = 2 x + xy + y = 4 ì í î (I) Giải: (I) Û 2 (x + y) + xy = 2 (x + y) - xy = 4 ì í î Đặt S = x+y, P = xy ta có 2 S + P = 2 S - P = 4 ì í î Û 2 S + P = 2 S + S - 6 = 0 ì í î Û S + P = 2 S=2 S=-3 ì ï é í ê ï ë î Û S = 2 P = 0 S = - 3 P = 5 é ì í ê î ê ê ì ê í ê î ë Với S = 2, P = 0 có x, y là nghiệm của phương trình X 2 - 2X = 0 Û X = 0 X = 2 é ê ë Þ {(x;y)} = {(0;2); (2;0)} Với S = -3, P = 5 có x, y là nghiệm của phương trình X 2 + 3X +5 = 0 vô nghiệm Vậy hệ có tập nghiệm {(x;y)} = {(0;2); (2;0)}. Loại 2: Đối xứng giữa các biểu thức của ẩn VD2: Giải hệ 2 x (x + 2)(2x + y) = 9 x + 4x + y = 6 ì í î (II) Giải: (II) Û 2 x (x + 2)(2x + y) = 9 (x + 2x) + (2x + y) = 6 ì í î Û 2 2x + y = 3 x + 2x = 3 ì í î Giải ra được nghiệm của hệ {(x;y)} = {(1;1); (-3;9)}. VD3: Giải hệ 5 5 x + y = 4 xy = - 2 ì í î Giải: 5 5 5 5 x + y = 4 x y = - 32 ì ï í ï î Vậy x 5 , y 5 là nghiệm của phương trình X 2 - 4X -32 = 0 Û X = 8 X = - 4 ì í î Vậy 5 5 5 5 x = 8 y = - 4 x = - 4 y = 8 é ì ï ê í ï ê î ê ì ï ê í ê ï î ë Û 5 5 5 5 x = 8 y = - 4 x = - 4 y = 8 é ì ï ê í ê ï î ê ì ê ï í ê ï ê î ë Chú ý: Với hệ có dạng n n x + y = a (1) xy = b (2 ) ì í î + Nâng hai vế của (2) lên luỹ thừa n và coi x n , y n như nghiệm của phương trình X 2 - aX + b n = 0. + Giải và biện luận phương trình bậc hai, sau đó lấy căn bậc n của nghiệm thu được. VD4: Giải hệ 2 2 2 2 2 x + xy + y = 19(x - y) x - xy + y = 7(x - y) ì ï í ï î (1) Giải : Đặt -y= t ta được hệ 2 2 2 2 2 x + t - xt = 19(x + t) x + t + xt = 7(x + t) ì ï í ï î (2) Đăt S= x+t ,P= xt ta có 2 2 2 S - 3P = 19S S - P = 7S ì ï í ï î (3) Giải (3) ta được S = 0, P = 0 và S = 1 và P = -6 Từ đó suy ra nghiệm của (2) . (1) có nghiệm (x; y) là (0; 0), (3; 2) ,(-2; -3). VD 5: Giải hệ: 2 2 3 3 3 3 2(x + y) = 3( x y + xy ) x + y = 6 ì ï í ï î (1) Giải: Đặt 3 3 x = u ; y = v ta có hệ 2 3 3 2 2(u + v ) =3(u v + uv ) u + v = 6 ì ï í ï î (2) Hệ (2) là hệ đối xứng đối với u,v. Giải (2) tìm u, v từ đó suy ra nghiệm của (1). Loại 3: Giải và biện luận hệ theo tham số . VD6: Giải và biện luận hệ: x y + = m y x x + y = 8 ì ï í ï î Giải: ĐK: x, y ≠ 0. Khi đó hệ trên tương đương với: 2 2 x + y = m xy x + y = 8 ì ï í ï î Û 2 (x + y) - 2xy = m xy x + y = 8 ì ï í ï î Û 64 = (m + 2)xy x + y = 8 ì í î Với m = -2: Hệ vô nghiệm Với m ¹ -2: Hệ tương đương với 64 xy = m+2 x + y = 8 ì ï í ï î (*) Ta có (*) có nghiệm khác 0 khi 64 - 4. 64 m-2 0 0 m+2 m+2 ³ Û ³ Vậy với m =2 thì hệ là x + y = 8 x = y = 4. xy = 16 ì Û í î với m >2 hoặc m < -2 thì hệ có hai nghiệm . với -2 < m < 2 thì hệ vô nghiệm. VD7: Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm 2 2 2 (x + y) = 4 x + y = 2(m + 1) ì ï í ï î Giải: Đặt xy= P ,x+y = S hệ trở thành 2 2 S = 2 P = - m + 1 S - 2P = 2(m + 1) S = - 2 S = 4 P = 1 - m é ì í ê ì ï î ê Û í ê ì ï î ê í ê î ë Vậy (x;y) là nghiệm của: 2 2 X - 2X + 1 - m = 0 X - 2X + 1 - m = 0 é ê ê ë 2 2 (X - 1) = m (X + 1) = m é Û ê ê ë Để hệ có đúng hai nghiệm thì m=0 khi đó 2 nghiệm là {(x;y)} = {(1;1); (-1;-1)}. Loại 4: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ. VD1: Giải hệ phương trình: 3 3 3 x + 1 - x = 2 (ĐHSP-91) Giải: Đặt 3 3 x = u 1-x = v ì ï í ï î . Vậy ta có hệ : 3 3 3 u + v = 2 u + v = 1 ì ï í ï î Û 2 3 u + v = 2 (u + v) (u + v) - 3uv = 1 ì ï í ï é ù ë û î Û 3 u + v = 2 19 u.v = 36 ì ï ï í ï ï î u, v là nghiệm của phương trình 2 3 19 X - X + = 0 2 36 Þ 6 + 5 u = 8 6 - 5 u = 8 é ê ê ê ê ë Þ 3 3 6 + 5 u = ( ) 8 6 - 5 u = ( ) 8 é ê ê ê ê ë Vậy phương trình có 2 nghiệm {x} = { 3 3 6 + 5 6 - 5 ( ) ; ( ) 8 8 }. VD2: Cho x, y, z thoả mãn: x + y + z = 5 xy + yz + xz = 8 ì í î (I) CMR: 7 1 x 3 £ £ . Giải: (I) Û y + z = 5 - x x(y + z) + yz = 8 ì í î Đặt y + z = S; yz = P Þ y, z là ngiệm của phương trình X 2 - SX + P = 0 Þ S 2 - 4P ³ 0 Từ hệ có 2 S = 5 - x S = 5 - x Sx + P = 8 P = x - 5x + 8 ì ì Û í í î î Vậy (5-x) 2 -4(x 2 -5x+8) 7 0 1 3 x ³ Û £ £ Do vai trò của x,y,z là như nhau nên ta có 7 7 1 y ,1 z 3 3 £ £ £ £ . B. Bài tập: I) Giải hệ phương trình: 1) 3 3 5 5 2 2 1x y x y x y ì + = ï í + = + ï î (ĐHAN -97) 2) 2 2 4 2 2 4 5 13 x y x x y y ì + = ï í - + = ï î (ĐHNT-98) 3) 30 35 x y y x x x y y ì + = ï í + = ï î 4) 2 2 4 2 8 2 x y x y xy ì + = ï í + + = ï î 5) 2 2 18 ( 1)( 1) 72 x x y y xy x y ì + + + = í + + = î 6) 2 2 2 2 1 ( )(1 ) 5 1 ( )(1 ) 49 x y xy x y x y ì + + = ï ï í ï + + = ï î (ĐHNT_99) 7) 2 2 2 2 1 1 4 1 1 4 x y x y x y x y ì + + + = ï ï í ï + + + = ï î (ĐHAN-99) 8) 7 1 78 x y y x x y x xy y xy ì + = + ï í ï + = î (ĐH HH-99) 9) ( )( ) 2 2 3 3 4 280 x y x y x y + = ì ï í + + = ï î 10) 6 6 3 3 x + y = 1 x - 3x = y - 3y ì ï í ï î 11) 4 4 6 6 1 1 x y x y ì + = ï í + = ï î II. giải Hệ phương trình có tham số: 1. Giải và biện luận: a) 2 2 2 4x y x y m + = ì í + = î (QHQT-99) b) 4 4 4 x y m x y m ì + = ï í + = ï î (129-III) c) 1 2 5 2 2 2 x y x y x y m x y ì + + = ï - ï í + ï = ï - î (ĐHT-96) 2. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình a) ( ) 5 4 4 1 x y xy x y xy m ì + - = ï í + - = - ï î có nghiệm (ĐHQG-99) b) 2 2 2 1 x y xy m x y xy m + + = + ì í + = + î có nghiệm duy nhất (HVQS-00) c) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 1 x y x y m ì + = ï í + = + ï î có đúng hai nghiệm (19-I) d) 2 2 2 2 1 2 3 x y m x y m m + = - ì í + = + - î có nghiệm (x; y) và x.y đạt nhỏ nhất (4I) 3. 2 2 x xy y m x y m + + = ì í + = î (1II) a. Giải hệ khi m = 5 b. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm 4. 2 2 3 8 x xy y m x y xy m + + = ì í + = - î (7I) a. Giải hệ khi m = 7/2 b. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm 5. 2 2 1 x xy y m x y xy m + + = + ì í + = î (40II) a. Giải hệ khi m=2 b. Tìm giá trị m đẻ hệ có nghiệm (x,y) với x > 0, y > 0. 6. Cho x,y,z thoả mãn; 2 2 2 2 1 x y z xy yx xz ì + + = í + + = î CMR: 4 4 , , 3 3 x y z - £ £ III. PHƯƠNG TRìNH GIảI BằNG CáCH ĐƯA Về Hệ 1. Giải phương trình: 4 4 1 18 3 x x - + - = (ĐHKT-95) 2. Tìm m để mỗi ptrình sau có nghiệm a. 1 1 x x m - + + = (ĐHQG-98) b. m x m x m - + + = (ĐHNT-95) c. 3 3 1 - x + 1 + x = m (ĐHNT-98) phần 3 - Hệ phương trình đối xứng loại I, 3 ẩn: a. Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phương trình trong hệ là đối xứng. b. Định lý Vi-et cho phương trình bậc 3: Cho 3 số x, y, z có: x + y + z = α xy + yz + zx = β xyz = γ ì ï í ï î Thì x, y, z ;à nghiệm của phương trình X 3 - ỏX 2 + õX - ó = 0. (*) Thậy vậy: (X - x)(X - y)(X - z) = 0 Û [ X 2 - (x + y)X + xy ](X - z) = 0 Û X 3 - X 2 z - X 2 (x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0 Û X 3 - ỏX 2 + õX - ó = 0. (*) có nghiệm là x, y, z Þ phương trình X 3 - ỏX 2 + õX - ó = 0 có 3 nghiệm là x, y, z. c.Cách giải: + Do các phương trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết được dưới dạng ỏ, õ, ó Khi đó ta đặt x + y + z = α xy + yz + zx = β xyz = γ ì ï í ï î Ta được hệ của ỏ, õ, ó. + Giải phương trình X 3 - ỏX 2 + õX - ó = 0 (1) tìm được nghiệm (x, y, z) của hệ. Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất Þ hệ vô nghiệm. (1) có 1 nghiệm kép duy nhất Þ hệ có nghiệm. (1) có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn Þ hệ có 3 nghiệm. (1) có 3 ngiệm Þ hệ có 6 nghiệm. d. Bài tập: VD1: Giải hệ: 2 2 2 3 3 3 x + y + z = 2 x + y + z = 6 x + y + z = 8 ì ï í ï î Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có: x 2 + y 2 + z 2 = (x + y + z) 2 - 2(xy + yz + zx). x 3 + y 3 + z 3 = (x + y + z) 3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz. Vậy 6 = 2 2 - 2(xy + yz + zx) Þ xy + yz + zx = -1. 8 = 2 3 - 3.2.(-1) + 3xyz Þ xyz = -2. . của phương trình X 2 - SX + P = 0. 2.Định nghĩa: Hệ gồm 2 phương trình đối xứng gọi là hệ đối xứng loại I, 2 ẩn. Một phương trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu đổi vị trí hai ẩn thì phương trình. Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng. - Với học sinh phổ thông ta đưa vào hệ đối xứng loại I với 2 ẩn số, với học sinh chuyên ta nên đưa vào hệ đối. Vậy hệ có nghiệm là x = y = z = 3. Ii. Hệ phương trình đối xứng loại iI: 1 .Hệ đối xứng loại 2, 2 ẩn: A. Định nghĩa: - Hệ phương trình 2 ẩn mà khi đổi vị trí hai ẩn trong hệ ta có phương trình