Tài liệu rèn kỷ biến đổi lượng giác THPT Nguyễn Du RÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC A- CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT I- TĨM TẮC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HỆ THỐNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: α π π π π 2π 3π 5π π 3π 2π sin 2 3 2 2 –1 cos 2 2 − tan 3 P cot P 3 − 2 − –1 − –1 − 3 P 3 –1 − P P − I- GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC: Cơng thức quy đổi độ – Rađian: α a = π 180 ( a tính độ, α tính rad) Số đo góc cung lượng giác theo độ radian sđ(Ox, Ot) = a0 + k3600 sđ(Ox, Ot) = α + k2 π , k ∈ Z (với 00 ≤ a0 < 3600 , 00 ≤ α < 2π) Dùng cho HS giỏi 10NC Tài liệu rèn kỷ biến đổi lượng giác sđAB = a + k360 sđAB = α + k2 π , k ∈ Z ( với 00 ≤ a0 < 3600 , 00 ≤ α < 2π) Công thức tính độ dài cung: l = α R ( α tính rad) THPT Nguyễn Du 0 II.NHĨM CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1: Hằng đẳng thức lượng giác: sin2 x = − cos2 x  sin2x + cos2x = 1⇔  cos2 x = − sin2 x  sin x = ± − cos2 x ⇔   cos x = ± − sin x 1 ±  1+ tan2x = ⇔ cos2x = ⇔ cosx = cos x + tan x + tan2 x 1 ±  1+ cot2x = ⇔ sin2x = ⇔ sinx = sin x + cot x + cot2 x sin x cos x = =  tanx.cotx = ⇔ tanx = ⇔ cotx = cos x cot x sin x tan x  Chú ý: Trong cơng thức có chứa dấu (±) , việc chọn dấu (+) dấu (–) cần nhận xét giá trị cung x đường tròn lượng giác Cung liên kết: –x –sinx cosx –tanx –cotx sin cos tan cot π –x cosx sinx cotx tanx π –x sinx –cosx –tanx –cotx π +x cosx –sinx –cotx –tanx π+ x –sinx –cosx tanx cotx Chú ý: a + b = π ≡ 1800 a+b= π cosb = –cosa cosb = sina ≡ 900 sinb = sina sinb = cosa cos(B + C) = –cosA tan(B + C) = – tanA ∆ABC sin(B + C) = sinA B+C A B+C A B+C A sin = cos cos = sin tan = cot 2 2 2 sin(x + k2π) = sinx tan(x + kπ) = tanx cos(x + k2π) = cosx cot(x + kπ) = cotx III NHĨM CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2: 1.Công thức cộng: cos(a ± b) = cosa.cosb m sina.sinb tan(a ± b) = tan a ± tanb m tan a tanb sin(a ± b) = sina.cosb ± sinb.cosa 2.Công thức nhân: cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a = sin2a = 2sina.cosa = 3.Công thức hạ bậc: sin2 a = − cos 2a ; 4.Cơng thức tính theo t : Dùng cho HS giỏi 10NC tan a + tan2 a ; + cos 2a a t = tan cos2 a = tan2a = ; tan2 a = − tan2 a + tan2 a tan a − tan2 a − cos 2a + cos 2a Tài liệu rèn kỷ biến đổi lượng giác THPT Nguyễn Du sin a = 2t 1+ t cos a = Cơng thức biến đổi tích thành tổng: 2cosa.cosb = cos(a + b) + cos(a – b) 2sina.cosb = sin(a + b) + sin(a – b) Công thức biến đổi tổng thành tích: cos a + cos b = cos sin a + sinb = sin a +b a −b cos 2 1+ t 2t tan a = − t2 2sina.sinb = –[ cos(a + b) – cos(a – b) ] cos a − cos b = −2 sin a +b a −b cos 2 Hệ quả: cosx + sinx = 1− t sin(a + b) cos a.cos b sin(a − b) tana – tanb = cos a.cos b a +b a −b sin 2 tana + tanb = a +b a −b sin 2 sin a − sinb = cos π π sin( + x) = cos( − x) 4 π π sin( − x) = cos( + x) 4 cosx – sinx = III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ∆ ABC: Định lý hàm số sin cos: a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A b2 = a2 + c2 − 2ac.cosB c2 = a2 + b2 − 2ab.cos C a b c = = = 2R sin A sinB sinC Chuyển cạnh sang góc: a = 2RsinA b = 2RsinB a b2 + c2 − a2 cos A = 2R 2bc 1 1 1 S = a.ha = b.hb = c.hc = bc sin A = ac sinB = ab sinC 2 2 2 abc a +b+c S = pr = = p(p − a)(p − b)(p − c) , với p = 4R sin A = Chuyển góc sang cạnh: Cơng thức diện tích: c = 2RsinC R: Bán kính đường trịn ngoại tiếp, r: Bán kính đường trịn nội tiếp ∆ABC Cơng thức đường trung tuyến phân giác góc ∆ ABC: m2 = a la = b2 + c2 a2 − 2bc A cos b+c 2 mb = lb = a2 + c2 b2 − 2ac B cos a+c m2 = c lc = a2 + b2 c2 − 2ab C cos a+b (ma, mb, mc − độ dài trung tuyến) (la, lb, lc − độ dài phân giác) B BÀI TẬP VẤN ĐỀ CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Tính giá trị lượng giác cung sau π 1) sina = với < a < 2) tana = - với < a < π 3) cosa = π với - < a < 4) sina = Chứng minh đẳng thức sau: 1) sin2x + tan2x = - cos2x cos x cos x − sin x 4) = sin2xcos2x 2 cot x − tan x Dùng cho HS giỏi 10NC π với a ∈ ( , π ) 5) tana = với a∈ (π, 2) tan2x - sin2x = tan2xsin2x 5) − 1) =1 cos x + tan x 3) 3π ) tan x − tan x = tan x − 3tan x (1 + cot x)( Tài liệu rèn kỷ biến đổi lượng giác THPT Nguyễn Du 6) cosx + cos(2π/3 - x) + cos(2π/3 - x) = tan a − tan b 8) = tan(a +b)tan(a - b) − tan a tan b cos x − sin x 10) cos x + sin x = cos 2x - tan2x 12) sin3xcos3x + sin3xcos3x = sin4x 14) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos2x 7) sin(a + b)sin(a - b) = sin2a -sin2b = cos2b - cos2a 9) cos3xsinx - sin3xcosx = sin4x x sin x − 2sin x 11) sin x + 2sin x = -tan2 3x x cosxsin 2 4 sin x − cos x + cos x x = cos 15) 2(1 − cos x) 13) sinx - sin2x +sin3x = 4cos Rút gọn biểu thức sau: 5π 7π  π  11π  + x÷ ) - 3cos(x ) + 2sin(x + π ) 2) B= sin  x − ÷ + cos ( x − π ) − 5sin  2 2    3π π  3) C = cos  + α ÷ + cos ( 2π − α ) + sin ( π − α ) + cos ( π + α ) 4) D= 2cosa-3cos(π+a)-5sin(π/2-a)+cot( - a) 2  3π 5) cos(π - a) - 2sin(3π/2 + a) + tan( - a ) + cot(2π - a) 1) A = sin(x + Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a 1) A = cos4a + cos2asin2a +sin2a 2) B = cos4a - sin4a + 2sin2a + cot a 3) C = 2(sin6a + cos6a) - 3(sin4a + cos4a) 4) D = − cot a tan a − 5) E = sin 4a + 4cos a + cos a + 4sin a 6) F = cos2a + sin(300 + a)sin(300- a) sin a + cos a − 7) G = sin a + cos a + 3sin acos a 8) H = sin a + cos6 a − 9) m mọt số cho trước, chứng minh nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b) Trong a - b ≠ kπ m ≠ ± biểu thức: 1 A= + (m số không phụ thuộc vào a, b ) − m sin 2a − m sin 2b 6 2 Tính biểu thức đại số 1) Tính sin3a -cos3a biết sina -cosa = m 2) Biết sina + cosa = m tính theo m giá trị biểu thức: 3) Biết cos( a + b) p = Tính tana.tanb cos( a − b) q 4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b) ≠ k2π tính tan 5) Tính sin2x nếu: 5tan2x - 12tanx - = ( Dùng cho HS giỏi 10NC π π Bất đẳng thức có khơng tam giác ABC vng, sao? VI BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Hàm lồi lõm ( Khơng có chương trình HS dùng tham khảo) + Tính chất hàm lồi: f ( x1 ) + f ( x2 ) x+ y ≤ f( ) , ∀x, y ∈ R 2 + tính chất hàm lõm: f ( x1 ) + f ( x2 ) x+ y ≥ f( ) , ∀x, y ∈ R 2 B BÀI TẬP ÁP DỤNG Chứng minh bất đẳng thức sau: sinA + sinB +sinC ≤ 3 < cosA + cosB + cosC ≤ Dùng cho HS giỏi 10NC < sin A B C + sin + sin ≤ 2 2 Sin2A + Sin2B + Sin2C ≥ 11 Tài liệu rèn kỷ biến đổi lượng giác THPT Nguyễn Du A B C 2 2 2 < cos + cos + cos ≤ sin A B C sin sin ≤ 2 cosA.cosB.cosC ≤ 13 sinA.sinB.sinC ≤ 10 cos 11 + cosA.cosB.cosC ≥ 1 14 12 1 + + ≥6 cos A cos B cosC 2.sin A.sin B.sin C ≤ 3 sin A + sin B + sin C 1 26 ) + (1 + ) + (1 + )≥5+ sin A sin B sin C A B C 16 tan + tan + tan ≥ 19 tanA + tanB + tanC ≥ 3 (Với ∆ABC nhọn) 21 tan 3 A B C 3 cos cos ≤ 2 3 sinA.sinB.sinC A + B + C ≥6 sin sin sin 2 15 (1 + A B C ≤ sin2 + sin2 + sin2 < 1 A B C tan tan ≥ 3 2 20 tan2A + tan2A + tan2A ≥ (Với ∆ABC nhọn.) 22 cos3A + cos3A + cos3A ≤ 23 36r2 ≤ ab + bc + ca ≤ 9R2 25 + hb + hc ≥ 9r ( A B C 17 tan2 + tan2 + tan2 ≥ 1 1 = + + ) hb hc r + (cos3A + cos3B + cos3C) 4 24 (a + b + c)(ha + hb + hc) ≥ 18S 26 (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) ≤ abc 27 a2(b+c-a)+ b2(a+c-b)+c2(a+b- c) ≤ 3abc 28 a(b2+c2-a2)+b(a2+c2-b2)+c2(a2+b2-c2) ≤ 3abc Dùng cho HS giỏi 10NC 12 Tài liệu rèn kỷ biến đổi lượng giác THPT Nguyễn Du 29 a(b-c)2 + b(c-a)2 +c(a -b)2 +4abc≥ a3 +b3+c3 31 30 1 4R2 + + ≥33 rb rc r (a + b + c)abc ab bc ac + + ≤ 6R lc la lb 2 32 ma + mb + mc2 ≥ s A B C A B C + tg + tg + cotg + cotg + cotg ≥ 2 2 2 33 a4 + b4 + c4 ≥ 16S2 34 tg 35 a2 + b2 + c2 ≥ 4S 36 a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ 16S2 CHỨNG MINH ∆ABC ĐỀU KHI THÕA MÃN CÁC ĐIỀU KIỆN SAU R = 2r S = b + c − a = a2   b + c − a a = 2b cos C  3 2 a cos A + b cos B + c.cos C 2p R (sin A + sin3B + sin3C) = a sin B + b sin C + c sin A 9R  a − b3 − c a =  a −b−c  sin B.sin C =   A, B, C nghiệm phương trình: tanx - tan 2(acosA + bcosB + c.cosC) = a + b + c  cos B.cos C =    3 a = a − b − c  a −b−c  x = sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C 10 cosA + cosB + cos2C + cos2A + cos2b + cos2C = 11 cot2A + cot2B + cot2C = sin A + sin B ≥ 2sin C cos A + cos B ≥ 2cos C 12 a cos A + b cos B + c.cos C = a+b+c 14 cos A + cos B + cos C = 3.cotA.cotB.cotC, với ∆ABC nhọn sin A + sin B + sin C Dùng cho HS giỏi 10NC 13  13 Tài liệu rèn kỷ biến đổi lượng giác THPT Nguyễn Du 2 2 2 15 3tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C 17 cot 1 1 A B C 16 + + = sin A sin B sin C 2sin sin sin 2 A B C + cot + cot = tanA + tanB + tanC 2 18 Cho tam giác ABC có góc thỏa mãn: cot A B C + cot cot = Chứng minh ∆ ABC 2 tam giác 19 Cho tam giác ABC thỏa mãn: a.cos A + b.cos B + c.cos C = a+b+c (A, B, C góc tam giác a = BC, b = CA, c = AB) Chứng minh tamgiác ABC tam giác 20 Chứng minh để tam giác đều, điều kiện cần đủ là: 21 Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2cosA.sinB.sinC + p + R = (2 + 3 ).r (sinA + cosB + cosC) = 17 Hỏi tam giác ABC tam giác gì? Chứng minh 22 Các góc tam giác ABC thỏa mãn: cotA + cotB + cotC = tan A B C + tan + tan 2 Chứng minh tam giác ABC 23 CMR,tam giác ABC có góc thỏa mãn điều kiện: sinA+ inB+sinC =sin2A+sin2B+sin2C tam giác ABC tam giác 25 Tam giác nhọn ABC có góc thỏa mãn: Dùng cho HS giỏi 10NC 14 Tài liệu rèn kỷ biến đổi lượng giác THPT Nguyễn Du 1 1 1 + + = + + cos A cos B cos C sin A sin B sin C Chứng minh tam giác ABC tam giác 2 26 CMR, ∆ ABC thỏa mãn điều kiện: sin2A + sin2B + sin2C tam giác ABC 27 Cho tam giác ABC có góc A, B, C thỏa mãn: + + sin A sin B sin 2C = 2.cos A.cos B.cos C Chứng minh tam giác ABC tam giác 28 Tính góc tam giác ABC góc A, B, C tam giác thỏa mãn hệ thức: cos2A + (cos2B + cos2C) + =0 29 Cho tam giác ABC thỏa : sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB CMR, ∆ ABC vuông 30 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn bán kính Gọi ma, mb, mc độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC tam giác khi: sin A sin B sin C + + = ma mb mc 31 CMR, không tồn tam giác mà góc nghiệm phương trình: (4cos x − 1)(7sin x − sin x − 6) = Dùng cho HS giỏi 10NC 15 THPT Nguyễn Du Dùng cho HS giỏi 10NC Tài liệu rèn kỷ biến đổi lượng giác 16 ... liệu rèn kỷ biến đổi lượng giác THPT Nguyễn Du sin a = 2t 1+ t cos a = Cơng thức biến đổi tích thành tổng: 2cosa.cosb = cos(a + b) + cos(a – b) 2sina.cosb = sin(a + b) + sin(a – b) Cơng thức biến. .. Tam giác nhọn ABC có góc thỏa mãn: Dùng cho HS giỏi 10NC 14 Tài liệu rèn kỷ biến đổi lượng giác THPT Nguyễn Du 1 1 1 + + = + + cos A cos B cos C sin A sin B sin C Chứng minh tam giác ABC tam giác. .. tanB.tanC = b) cos(B- C) = 2cosA IV – ĐỊNH DẠNG TAM GIÁC CÂN A Chứng minh tam giác cân khi: Dùng cho HS giỏi 10NC Tài liệu rèn kỷ biến đổi lượng giác THPT Nguyễn Du A+ B sin A + sin B = (tan A +