Tính toán trư󰗞ng đi󰗈n t󰗬 󰗪ng d󰗦ng Phương pháp đa c󰗲c nhanh 1 Lời nói đầu Sự phát triển nhanh chóng của công nghệ thông tin, đặc biệt là sự xuất hiện của các hệ thống siêu máy tính có tốc độ tính toán nhanh đã mở ra một phƣơng pháp mới trong nghiên cứu khoa học. Các kỹ thuật sử dụng máy vi tính nhằm giải quyết các vấn đề vật lý thay cho các phƣơng pháp cũ đã rất phát triển. Trong lĩnh vực nghiên cứu điện từ trƣờng, sử dụng phƣơng pháp đa cực nhanh (FMM) trên máy tính nhằm giải quyết nhanh các bài toán dữ liệu đầu vào khổng lồ đã đóng một vai trò vƣợt trội hơn so với các phƣơng pháp khác. Phƣơng pháp đa cực nhanh là một kỹ thuật toán học đƣợc phát triển để tăng tốc độ tính toán trong vấn đề N-body. Thuật toán thực hiện bằng cách mở rộng hàm Green sử dụng sự mở rộng đa cực, trong đó cho phép một nhóm các nguồn nằm gần nhau và đối xử với họ nhƣ thể họ là một nguồn duy nhất. FMM cũng đã đƣợc áp dụng trong việc tăng tốc độ tính toán của phƣơng pháp Moment (MOM) cũng nhƣ áp dụng cho vấn đề tính toán trƣờng điện từ. Năm 1985, FMM lần đầu tiên đƣợc giới thiệu bởi Greengard và Rokhlin, dựa trên việc mở rộng đa cực của các phƣơng trình Helmholtz dạng vector. Nếu FMM đƣợc áp dụng một cách có thứ bậc, nó có thể cải thiện sự phức tạp của tích vector ma trận từ O(N 2 ) xuống O(N). FMM cũng đã đƣợc áp dụng một cách hiệu quả trong các bài toán tƣơng tác Coulomb hay động lực học phân tử. FMM đƣợc coi là một trong những thuật toán hàng đầu của thế kỷ 20 Mục đích chính của đồ án này là nghiên cứu các bƣớc thực hiện phƣơng pháp đa cực nhanh, từ đó sử dụng phần mềm Matlab tính toán các thông số về thời gian, tốc độ tính toán trong bài toán tƣơng tác trƣờng điện từ. Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Điện tử - Viễn thông, cũng nhƣ các thầy cô giáo tại trƣờng Đại học Bách Khoa Hà Nội đã truyền đạt những kiến thức quý báu, cần thiết của một kỹ sƣ tƣơng lai, giúp em chuẩn bị bƣớc vào môi trƣờng nghiên cứu hay làm việc sau này. Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Phạm Thành Công, thầy Tính toán trư󰗞ng đi󰗈n t󰗬 󰗪ng d󰗦ng Phương pháp đa c󰗲c nhanh Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 2 giáo trực tiếp hƣớng dẫn em làm đồ án tốt nghiệp, đã góp ý và cho em những lời khuyên quí báu. Bên cạnh đó, em cũng chân thành cảm ơn PGS. Đào Ngọc Chiến đã định hƣớng nghiên cứu cho em về đề tài này và nhiệt tình giúp đỡ em về mọi mặt, tạo điều kiện cho em đƣợc học tập, nghiên cứu và làm đồ án tại phòng Nghiên cứu và Phát triển Truyền thông CRD – phòng 607, 608 thƣ viện Tạ Quang Bửu. Cuối cùng, em xin cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã tạo nguồn khích lệ lớn giúp em hoàn thành đồ án. Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 3 Tóm tắt đồ án Mục đích của đồ án là nghiên cứu về phƣơng pháp đa cực nhanh trong tính toán trƣờng điện từ. Từ đó đƣa ra chƣơng trình tính toán các thông số về thời gian thực thi, tốc độ tính toán…bằng chƣơng trình Matlab đối với phƣơng pháp đa cực nhanh và đối với cách tính cổ điển. Cụ thể, đồ án sẽ đƣa ra lý thuyết cơ bản về trƣờng điện từ (Hệ phƣơng trình Maxwell, định lý Green,…), các bƣớc thực hiện tính toán trƣờng điện từ bằng phƣơng pháp đa cực nhanh. Cuối cùng, đồ án sẽ đƣa ra các chƣơng trình tính toán: điện thế, vi phân điện thế, thời gian thực thi, tốc độ tính toán, dung lƣợng bộ nhớ sử dụng… bằng Matlab, và so sánh các kết quả theo cách tính bằng FMM và cách tính cổ điển. Đồ án đƣợc trình bày trong 3 chƣơng: Chƣơng 1: Lý thuyết cơ bản về trƣờng điện từ Chƣơng 2: Lý thuyết về phƣơng pháp đa cực nhanh Chƣơng 3: Tính toán và mô phỏng bằng Matlab Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 4 Abstract The purpose of my thesis is research about Fast Multipole Method (FMM) in calculating electromagnetics field. It present programmes to compute parameters about the execution time, calculating speed…with Matlab. Namely, this thesis introduces a brief review of electromagnetics (Maxwell equations, Green’s function…), the steps for calculating electromagnetics by FMM. At the end, it presents programmes to compute and model: the potential, the gradient of the potential, the execution time, calculating speed …with Matlab and analyses the results by using different methods: FMM and classic method. My thesis includes 3 chapters, in which: Chapter 1: Basical theory about Electromagnetics Chapter 2: Theory about Fast Multipole Method Chapter 3: Computing and modeling with Matlab Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 5 Mục lục Danh mục các hình vẽ 6 Danh mục các bảng 7 Danh sách các từ viết tắt 8 Chƣơng 1: LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TRƢỜNG ĐIỆN TỪ 9 1.1 Hệ phƣơng trình Maxwell 9 1.2 Phƣơng trình thế 11 1.3 Điều kiện biên của bề mặt 15 1.4 Định lý Green, hàm Green, và nghiệm cơ bản 17 1.4.1 Định lý Green 17 1.4.2 Sự tƣơng đƣơng vector định lý Green 20 1.4.3 Hàm Green 21 1.4.4 Nghiệm cơ bản 24 1.4.5 Biểu diễn phƣơng trình tích phân với điểm quan sát nằm trên biên 26 Chƣơng 2. THUẬT TOÁN KHAI TRIỂN ĐA CỰC NHANH 31 2.1 Thuật toán khai triển đa cực nhanh (FMM) 31 2.1.1 Giới thiệu phƣơng pháp FMM 31 2.1.2 Phƣơng pháp FMM trong bài toán tính cƣờng độ điện 32 2.1.3 Các bƣớc thực hiện phƣơng pháp FMM 39 CHƢƠNG 3 51 TÍNH TOÁN VÀ MÔ PHỎNG BẰNG MATLAB 51 3.1 Kí hiệu các thông số. 51 3.1.1 Các thông số đầu vào. 51 3.1.2: Các thông số đầu ra 51 3.2 Xây dựng và tính toán cho mô hình điểm nguồn và đích nằm trong hình tròn 51 3.2.1 Giá trị các tham số đầu vào. 51 3.2.1Giá trị các tham số đầu ra 53 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 6 3.3 Xây dựng và tính toán cho mô hình điểm nguồn và đích nằm trong hình vuông. 60 3.3.1Giá trị các tham số đầu vào. 60 3.3.2Giá trị các tham số đầu ra. 60 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo: 68 Danh mục các hình vẽ Chƣơng 1 Hình 1.1 Điều kiện biên. 16 Hình 1.2 Miền khối bao quanh bởi mặt kín. 19 Hình 1.3 Hai loại hàm giới hạn. 26 Hình 1.4 Trục toạ độ của hàm giới hạn cho không gian 2 chiều. 29 Chƣơng 2 Hình 2. 1 Hai tập hợp hạt đủ xa trên mặt phẳng 35 Hình 2. 2 Dịch chuyển tâm của khai triển đa cực. 38 Hình 2. 3 Ý tƣởng tính lực xấp xỉ trong FMM 40 Hình 2. 4 Phân mảnh không gian và chỉ số thứ tự Morton, L=2 41 Hình 2. 5 Ví dụ về phân mảnh không gian và đánh số hộp, L=3 41 Hình 2. 6 Một vài mức phân chia trong FMM 42 Hình 2. 7 Các miền xếp theo thứ bậc không gian 44 Hình 2. 8 Pha M2M trong thuật toán FMM. 45 Hình 2. 9 Danh sách hàng xóm và danh sách tƣơng tác. 45 Hình 2. 10 Pha M2L trong thuật toán FMM. 46 Hình 2. 11 Pha L2L trong thuật toán FMM. 47 Chƣơng 3 Hình 3. 1 Vị trí điểm nguồn, điểm đích trong mô hình 1 53 Hình 3. 2 Cƣờng độ điện thế tại 1 số điểm nguồn trong mô hình 1 55 Hình 3. 3 Giá trị điện thế tại 1 số điểm đích trong mô hình 1 57 Hình 3. 4 Thời gian tính toán theo 2 cách 58 Hình 3. 5 Số phép tính/s theo 2 cách tính. 59 Hình 3. 6 Vị trí các điểm nguồn, điểm đích trong mô hình 2 60 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 7 Hình 3. 7 Điện thế tại 1 số điểm nguồn trong mô hình 2 62 Hình 3. 8 Điện thế tại 1 số điểm đích trong mô hình 2 64 Hình 3. 9 Thời gian tính toán khi thay đổi số điểm nguồn trong mô hình 2 65 Hình 3. 10 Tốc độ tính toán khi thay đổi số điểm nguồn trong mô hình 2 66 Danh mục các bảng Bảng 1. 1 Nghiệm cơ bản của các phƣơng trình vi phân trong trƣờng điện từ. 25 Bảng 3. 1: Các thông số đầu vào 51 Bảng 3. 2: Các thông số đầu ra 51 Bảng 3. 3: Giá trị các tham số đầu vào trong mô hình 1. 53 Bảng 3. 4: Giá trị 1 điện thế 1 số điểm nguồn trong mô hình 1 54 Bảng 3. 5: Giá trị điện thế tại 1 số điểm đích trong mô hình 1. 56 Bảng 3. 6: Thời gian tính toán khi thay đổi số điểm nguồn trong mô hình 1 58 Bảng 3. 7: Tốc độ tính toán khi thay đổi số điểm nguồn trong mô hình 1 59 Bảng 3. 8: Giá trị các tham số đầu vào trong mô hình 2. 60 Bảng 3. 9: Giá trị điện thế tại 1 số điểm nguồn trong mô hình 2 61 Bảng 3. 10: Giá trị điện thế tại 1 số điểm đích trong mô hình 2 63 Bảng 3. 11: Thời gian tính toán khi thay đổi số điểm nguồn trong mô hình 2 64 Bảng 3. 12: Tốc độ tính toán khi thay đồi số điểm nguồn trong mô hình 2 65 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 8 Danh sách các từ viết tắt FMM Fast multipole method Phƣơng pháp đa cực nhanh SP Space partition Phân mảnh không gian UP Upward pass Pha lên DP Downward pass Pha xuống M2L Multipole to local Chuyển đồi đa cực- địa phƣơng M2M Multipole to multipole Chuyển đồi đa cực- đa cực L2L Local to local Chuyển đồi địa phƣơng- địa phƣơng MoM Method of Moment Phƣơng pháp moment Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 9 Chƣơng 1: LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TRƢỜNG ĐIỆN TỪ 1.1 Hệ phương trình Maxwell Trong không gian tự do hệ phƣơng trình Maxwell và các phƣơng trình liên quan đƣợc biểu diễn nhƣ sau: J D Η     t (1.1) t   B E (1.2) 0 B (1.3) ρ D (1.4) HB 0   (1.5) ED 0   (1.6) Đối với các vật liệu dẫn điện, định luật bảo toàn điện tích đƣợc biểu diễn bởi quan hệ: (1.7) Mật độ dòng J và cƣờng độ điện trƣờng E liên hệ với nhau bởi định luật Ôm : EJ   (1.8) 0    t  J Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 10 Nếu vật dẫn chuyển động trong từ trƣờng thì điện trƣờng tổng cộng phải bao gồm thêm thành phần v E đƣợc sinh ra do hiệu ứng chuyển động: BE  v v (1.9) Trong các phƣơng trình này E , H tƣơng ứng là các véc tơ từ trƣờng và điện trƣờng. B , D là các véc tơ mật độ thông lƣợng từ và mật độ thông lƣợng điện. J là mật độ dòng điện dẫn, ρ là mật độ điện tích. Cuối cùng, ε 0 , μ 0 là hệ số điện môi và hệ số từ thẩm trong không gian tự do,γ là hệ số phụ thuộc tính dẫn điện của môi trƣờng. Đối với vật liệu điện môi và vật liệu từ thì véc tơ phân cực P và véc tơ từ hoá M đƣợc định nghĩa: HBM EDP 0   0 1   (1.10) Các phƣơng trình Maxwell đƣợc biểu diễn lại nhƣ sau: t   B E (1.11) (1.12) 0 B (1.13)   PE    0 1 (1.14)   12 0 8,854.10 F/m    7 0 4 .10 [H/m]                   M P J E B tt 000  [...]... trƣờng điện từ cơ bản và có liên quan tới mục tiêu đề tài đƣợc trình bày Các lý thuyết này là tiền đề cho việc nghiên cứu lý thuyết thuật toán FMM đƣợc trình bày ở chƣơng 2 Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 30 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Chƣơng 2 THUẬT TOÁN KHAI TRIỂN ĐA CỰC NHANH 2.1 Thuật toán khai triển đa cực nhanh (FMM) 2.1.1 Giới thiệu phương pháp. . .Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ 1.2 Phương trình thế Trường phụ thuộc thời gian biến đổi nhanh Khi trƣờng phụ thuộc vào thời gian biến đổi nhanh thì điện trƣờng và từ trƣờng ảnh hƣởng tƣơng hỗ lẫn nhau Trƣờng phân bố phụ thuộc cả vảo thời gian và vị trí, H (r,t), B (r,t) Từ trƣờng thay đổi theo thời gian sinh ra điện trƣờng xoáy và điện trƣờng thay đổi theo... tiếp, chúng ta có thể tính 𝑚 𝜙 𝑥 (𝑦 𝑗 ) với𝑗 = 1, … 𝑛 𝑖 (2.18) 𝑖=1 Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 35 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Rõ ràng việc tính toán trên yêu cầu độ phức tạp bậc n.m (tính m thế năng tại n điểm) Bây giờ giả sử rằng đầu tiên chúng ta tính các hệ số của khai triển đa cực đến cấp p ( p -term) của thế năng gây ra bởi các điện tích q1, q2,….qm... Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 (2.2) 31 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ với 𝜙 𝑛𝑒𝑎𝑟 là thế năng gây ra bởi các hạt “gần” và 𝜙 𝑓𝑎𝑟 là thế năng gây ra bởi các hạt ở xa Thế năng gây ra bởi các hạt ở xa có ảnh hƣởng nhỏ hơn rất nhiều so với thế năng gây ra bởi các hạt ở gần Do đó trong tính toán trƣờng điện từ, để giảm khối lƣợng tính toán trên máy tính, chúng ta có thể xấp xỉ thế năng... Phƣơng pháp thƣờng sử dụng trong trƣờng hợp này là phƣơng pháp khai triển đa cực Ý tƣởng cơ bản của phƣơng pháp khai triển đa cực là các hạt ở “xa” đƣợc phân cụm lại Việc tính toán thế năng gây ra bởi các hạt ở xa này đƣợc xem nhƣ là tính tƣơng tác với một hạt nhằm tăng tốc độ tính toán Để minh họa phƣơng pháp khai triển đa cực, chúng ta xem xét một mô hình vật lý bao gồm một tập hợp gồm N hạt tích điện. .. 16 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Phƣơng trình (1.43) và (1.44) chỉ ra rằng các điều kiện biên cho từ trƣờng 3 chiều là phức tạp hơn so với trƣờng vô hƣớng Do đó sự lựa chọn mô hình toán học xấp xỉ đối với biến chƣa biết và tiêu chuẩn biên là phƣơng pháp chính để giải bài toán trƣờng điện từ trong không gian 3 chiều 1.4 Định lý Green, hàm Green, và nghiệm cơ bản Phƣơng pháp. .. K52 32 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ 𝜙 𝑥 0 𝑥 = Re⁡ ⁡ (−log⁡ 𝑧 − 𝑧0 ) ( (2.5) Trong các phần tiếp theo chúng ta sẽ tiếp tục sử dụng kí hiệu hàm phức để biểu diễn thế năng gây ra bởi các hạt trong hệ Về cơ sở vật lý và toán học của phƣơng pháp khai triển đa cực, chúng ta xem xét các bổ đề sau đây: Bổ đề 2.1: Nếu u(x,y)= Re(w(x,y)) mô tả trƣờng thế năng tại thì lực tƣơng ứng đƣợc... 1 𝑐−1 𝑐 𝑝 (2.16) Đặc biệt với thì c≥2 Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 34 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ 𝑝 𝜙 𝑧 − 𝑄 log 𝑧 − 𝑘=1 𝑎𝑘 1 ≤ 𝐴 𝑧𝑘 2 𝑘 (2.17) Ví dụ sau sẽ minh họa cách một khai triển đa cực đƣợc dùng để tăng tốc độ tính toán thế năng Giả sử rằng các điện tích với cƣờng độ q1, q2, …qm đƣợc đặt tại các điểm x1, x2, xm ϵ C và { y1, y2,…yn} là 1 tập... KSTN – ĐTVT – K52 15 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Hình 1.1 Điều kiện biên Nếu véc tơ thế điện vô hƣớng đƣợc coi nhƣ là một biến thì điều kiện biên giữa 2 mặt là : 1   2   1  2 1 n   2 n    (1.40) Do sự dịch chuyển đối xứng đối với từ trƣờng, điều kiện biên bề mặt là : A1  A 2   1  A1 1 A2   n   n  1 2 (1.41) Nếu các bài toán từ trƣờng đƣợc xét... đúng với mọi w thỏa mãn |w| r, thế năng Ф(z) đƣợc cho bởi: Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 33 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ (2.9) ∞ 𝜙 𝑧 = 𝑄 log 𝑧 + 𝑘=1 𝑎𝑘 𝑧𝑘 ở đây: . cơ bản về trƣờng điện từ Chƣơng 2: Lý thuyết về phƣơng pháp đa cực nhanh Chƣơng 3: Tính toán và mô phỏng bằng Matlab Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Sinh viên: Nguyễn. Chuyển đồi đa cực- đa cực L2L Local to local Chuyển đồi địa phƣơng- địa phƣơng MoM Method of Moment Phƣơng pháp moment Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Sinh viên:. phƣơng pháp đa cực nhanh, từ đó sử dụng phần mềm Matlab tính toán các thông số về thời gian, tốc độ tính toán trong bài toán tƣơng tác trƣờng điện từ. Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Điện