Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường MỞ ĐẦU - - - - - -  - - - - - - I - Lý do chọn đề tài: Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có một phương pháp nào chung để giải các bài toán. Mỗi phương pháp đều có những ưu, nhược điểm riêng. Với mỗi loại bài toán luôn đòi hỏi một phương pháp cụ thể để giải quyết một cách đơn giản nhất. Sự ra đời của phương pháp toạ độ đã đơn giản hoá được phần lớn các bài toán trong hình học không gian. Thông qua phương pháp toạ độ và phương pháp vectơ có thể xây dựng thêm một công cụ giải toán, cho phép đại số hoá hình học, hình học hoá đại số. Với học sinh lớp 12 hiện nay nói chung và học sinh ban cơ bản nói riêng, thì việc giải các bài boán hình học không gian sơ cấp đang là vấn đề nan giải. Các em rất vất vả trong việc xác định khoảng cách và góc. Đa số các em đều bỏ qua bài toán hình học không gian trong đề thi. Vì vậy tôi quyết định đưa ra giải pháp sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian. Ở học kỳ II của lớp 12 các em đã được làm quen với phương pháp tọa độ trong không gian, vì thế có thể sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học không gian một cách thuận tiện. II- Phạm vi , đối tượng, thời gian thực hiện: - Khách thể: Học sinh lớp 12. - Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán hình học không gian. - Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp về hình học không gian trong chương trình PTTH. - Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập của học sinh lớp 12 chuyên Pháp, năm học 2011 – 2012 2 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường III. Quá trình thực hiện đề tài: 1- Tình trạng thực tế trước khi thực hiện đề tài: Trước khi thực hiện đề tài, tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh thông qua kiểm tra viết sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học không gian. Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phương pháp toạ độ: • Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a . Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD). 30% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán được thuận tiện. 10% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối ưu. Chất lượng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này yếu. 2- Các biện pháp thực hiện đề tài: Bước 1: Hệ thống hoá các kiến thức Bước 2: Đưa ra một số ví dụ điển hình Bước 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập ứng cho học sinh thông qua một số bài tập bổ sung nâng cao. Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng . 3 - Kết quả thực hiện đề tài: Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phương pháp toạ độ: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông góc với mp(ABCD) sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) có số đo bằng 60 0 . a. Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD). b. Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh CK ⊥ SD và tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD). c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK). Kết quả : 100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán được thuận tiện. 3 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường 80% Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ 75% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối ưu. IV– Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau khi thực hiện đề tài Qua kết quả điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng khi giải các bài toán hình học không gian, học sinh thường không chú ý đến phương pháp toạ độ và tính ưu việt của nó hoặc rất lúng túng khi giải bằng phương pháp toạ độ. Do đó học sinh rất ngại khi giải các bài toán không gian. Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học môn hình học không gian và thấy được tính ưu việt của phương pháp toạ độ khi giải bài tập hình học không gian, thầy, cô giáo cần đề ra giải pháp khi giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ. - Lựa chọn những bài toán có thể quy về toạ độ trong hệ toạ độ thích hợp. - Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán được thuận tiện. - Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ và ngược lại. 4 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường NỘI DUNG - - - - - -  - - - - - - Chương I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1/ Hệ trục toạ độ. Cho ba trục toạ độ x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại điểm O. Gọi , ,i j k r r r là các véctơ đơn vị tương ứng trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. Hệ ba trục toạ độ như vậy gọi là hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ toạ độ Oxyz. + Trục Ox gọi là trục hoành. + Trục Oy gọi là trục tung. + Trục Oz gọi là trục cao. + Điểm O gọi là gốc của hệ toạ độ. 2/ Vectơ đối với hệ toạ độ. + Cho hệ toạ độ Oxyz và một vectơ tuỳ ý v r . Vì ba vectơ , ,i j k r r r không đồng phẳng nên có duy nhất bộ ba số x, y, z sao cho: v xi y j zk= + + r r r r Bộ ba số (x; y; z) gọi là toạ độ của vectơ v r , kí hiệu là ( ; ; )v x y z r hoặc ( ; ; )v x y z= r . Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ và số z gọi là cao độ của vectơ v r . 5 x O y z j r k r i r Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường + Với hai điểm ( ) 1 1 1 1 , ,M x y z và ( ) 2 2 2 2 , ,M x y z thì: ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 , ,M M x x y y z z= − − − uuuuuur + Nếu có hai vectơ 1 1 1 1 ( , , )v x y z= ur và 2 2 2 2 ( , , )v x y z= uur thì: (i). ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 , ,v v x x y y z z+ = + + + ur uur (ii). ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 , ,v v x x y y z z− = − − − ur uur (iii). 1 1 1 1 ( , , )kv kx ky kz= ur (iv). 1 2 1 2 1 2 1 2 . . . .v v x x y y z z= + + ur uur (v). 1 2 1 2 1 2 1 2 0v v x x y y z z⊥ ⇔ + + = ur uur (vi). Tích có hướng của hai vectơ 1 1 1 1 ( , , )v x y z= ur và 2 2 2 2 ( , , )v x y z= uur là một vectơ v r được xác định bởi: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 , , , y z z x x y v v v y z z x x y     = =  ÷     r ur uur 3/ Khoảng cách giữa hai điểm. Cho hai điểm ( ) 1 1 1 1 , ,M x y z và ( ) 2 2 2 2 , ,M x y z , thì khoảng cách d giữa 1 M và 2 M là độ dài của vectơ 1 2 M M uuuuuur : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 d M M x x y y z z= = − + − + − uuuuuur . 4/ Chia một đoạn thẳng cho trước theo một tỷ số cho trước. Điểm ( ) , ,M x y x chia đoạn thẳng 1 2 M M theo tỉ số k: 1 2 MM k MM= uuuuur uuuuur được xác định bởi công thức: 6 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường 1 2 1 2 1 2 1 1 1 x kx x k y ky y k z kz z k −  =  −  −  =  −  −  =  −  Đặc biệt nếu k= - 1, thì M là trung điểm của 1 2 M M , khi đó toạ độ của M là: 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x x x y y y z z z +  =   +  =   +  =   5/ Góc giữa hai vectơ Góc α giữa hai vectơ 1 1 1 1 ( , , )v x y z= ur và 2 2 2 2 ( , , )v x y z= uur xác định bởi: 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . . . cos . x x y y z z x y z x y z α + + = + + + + . 6/ Hai vectơ cùng phương Hai vectơ 1 1 1 1 ( , , ) 0v x y z= ≠ ur r và 2 2 2 2 ( , , ) 0v x y z= ≠ uur r cùng phương với nhau khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho: 2 1 v kv= uur ur ⇔ cả ba định thức sau đều bằng 0: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , , y z z x x y y z z x x y . 7/ Phương trình mặt phẳng. a. Khái niệm. 7 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường Một vectơ 0n ≠ r r được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α nếu nằm trên đường thẳng vuông góc với ( ) α . Mặt phẳng ( ) α hoàn toàn xác định nếu cho biết một điểm 0 ( )M α ∈ và một vectơ pháp tuyến của nó. b. Định lý. Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả những điểm có toạ độ thoả mãn phương trình dạng: 2 2 2 0 ( 0)Ax By Cz D A B C+ + + = + + ≠ và ngược lại mỗi phương trình dạng đó là phương trình của một mặt phẳng. 8/ Phương trình đường thẳng a. Định nghĩa: Vectơ a r là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) 0 / /( ) a a d  ≠  ⇔    r r r b. Phương trình tổng quát của đường thẳng: Vì đường thẳng (d) trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nào đó, nên phương trình tổng quát của (d) có dạng: ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 0 1 ( ): 0 2 A x B y C z D d A x B y C z D + + + =   + + + =   với điều kiện 1 1 1 2 2 2 : : : :A B C A B C≠ trong đó (1), (2) theo thứ tự là phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q). 9/ Phương trình mặt cầu Trong hệ toạ độ Oxyz tập hợp các điểm cách điểm ( , , )I a b c cho trước một khoảng R>0 không đổi là một mặt cầu có phương trình: 8 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − = . 9 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường Chương II GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ. I/ Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ. Để giải các bài toán hình học nói chung và hình học không gian nói riêng chúng ta phải dựa vào các yếu tố, các quan hệ về hình học, đồng phẳng, song song, vuông góc, bằng nhau. . . Nếu ta chọn một hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể chuyển thể bài toán hình học sang bài toán đại số với những số, những chữ, vectơ với phép toán trên nó. Với bài toán đại số này chúng ta có sự định hướng rõ ràng hơn và khả năng tìm được lời giải nhanh hơn. Để thực hiện được điều đó, đòi hỏi học sinh phải có sự luyện tập, vận dụng các kiến thức và cần nắm được quy trình giải toán bằng phương pháp toạ độ thích hợp. Bước 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp. Bước 2: Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ. Bước 3: Dùng các kiến thức về toạ độ để giải toán. Bước 4: Phiên dịch kết quả bài toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học. Trong các bước trên, bước 2 và bước 4 học sinh có thể hoàn toàn làm được nhờ các kiến thức liên hệ giữa hình học không gian và hệ toạ độ đã biết, ở bước 3 học sinh có thể sử dụng các kiến thức trên hệ toạ độ một cách sáng tạo để giải các bài toán. Bước 1 học sinh gặp khó khăn hơn cả do không có phương pháp cụ thể. Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện và phải biết dựa vào một số đặc điểm của bài toán này. Chọn hệ toạ độ sao cho gốc trùng với điểm cố định đã biết, dựa vào các đường thẳng vuông góc để 10 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường gắn với các trục toạ độ, các điểm đã biết gắn với các toạ độ đơn giản, thuận lợi. II/Giải bài toán định lượng trong hình học không gian. Đối với loại bài toán tính toán, nếu không chuyển về phương pháp toạ độ thì rất khó khăn vì hầu hết sử dụng đến khoảng cách mà chỉ có phương pháp toạ độ ta mới biểu diễn được khoảng cách một cách đơn giản. PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết. Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thường bao gồm: - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hoặc mặt phẳng. - Góc, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. - Tính độ dài đoạn thẳng. 1. Các hình chóp và lăng trụ có sẵn ba cạnh cùng xuất phát từ một điểm lần lượt vuông góc với nhau từng đôi một, ta chọn ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ba cạnh đó. Bài 1: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh bằng a. a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và AC’. b. Gọi K là trung điểm DD’. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng CK và A’D’. 11 [...]... bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường 3 Giải bài toán định tính trong hình học không gian 12 4 Bài toán về điểm và quỹ tích trong không gian 14 Kết luận ……………………………………………………………… 18 26 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Đặng Khắc Nhân, Lê Đỗ Tập Giải các bài toán hình học trong không. .. bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường Tác giả Lê Thi Tường MỤC LỤC Mở đầu…………………………………………………………………….2 Nội dung………………………………………………………………… 4 Chương I Một số kiến thức cơ bản…………………………………… .4 Chương II Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ 7 1 Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ 7 2 Giải bài toán định lượng trong hình học không gian. .. 23 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường KẾT LUẬN -   - - - - - - Trên đây là một số dạng toán, cũng như một số bài boán điển hình mà tôi đã giới thiệu Ngoài ra còn rất nhiều dạng toán hình học không gian có thể áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian như: Chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc; Chứng minh các hệ thức hình học; Chứng... nhau các góc bằng nhau, ngoài ra nó không vuông góc với mặt phẳng ( α ) chứa các đường thẳng này CMR hình chiếu vuông góc (d’) của đường thẳng (d) lên mặt 20 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường phẳng ( α ) cũng tạo thành những góc bằng nhau với 2 đường thẳng (d1) và (d2) IV/ Giải bài toán về điểm và quỹ tích trong hình học không gian PHƯƠNG PHÁP CHUNG... Khắc Nhân, Lê Đỗ Tập Giải các bài toán hình học trong không gian bằng phương pháp toạ độ NXB Giáo dục - 1997 2 Phan Huy Khải, Phương pháp toạ độ để giải các bài toán sơ cấp NXB Thành phố Hồ Chí Minh 3 Văn Như Cương, Trần Đức Huyên Hình học 11 NXB Giáo dục 1993 4 Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí Phương pháp giải toán hình học giải tích trong không gian Nhà xuất bản Hà Nội - 2002 27 ... thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ đó suy ra kết quả cần chứng minh 17 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 ; O là tâm hình vuông BCC1B1, M là một điểm thuộc đoạn C1O Mặt phẳng... (SBC) có phương trình là : 2x 2 y z + + = 1 ⇔ 2 3x + 2 y + 3z − a 3 = 0 a a 3 a ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = a 57 19 uuu u ur b Theo câu trên thì n( SBC ) = 2 3;2; 3 , còn ( ) 2 uu u u  u u r r   SC , SD  =  0; a 2 ; a 3 ÷   2   16 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường uuu u ur ⇒ n( SCD ) = 0;2; 3 ⇒ cos ( ( SBC ) , ( SCD ) ) = ( ) 7 19 Bài 1: Cho hình. .. minh các hệ thức hình học; Chứng minh bất đẳng thức cũng như tìm cực trị hình học; Tìm các điểm cố định v v…Mỗi dạng lại có vô số bài tập có thể tổng vét toàn bộ các dạng toán hình học không gian sơ cấp Nhưng do thời gian cũng như giới hạn chương trình không cho phép nên tôi chỉ sơ lược một số dạng cũng như một số bài toán điển hình Trong quá trình biên soạn có điều gì sai sót mong các thầy, cô và các...Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường c Mặt phẳng (P) qua BB’ và hợp với hai đường thẳng BC’, B’D hai góc bằng nhau Tính các góc này Giải z Chọn hệ trục toạ độ Axyz với B ∈ Ax, D ∈ Ay và A′ ∈ Az , khi đó: A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; a;0... J   2( 1 − m) 2( 1 − m)  z = 0  18 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường u u  1 − 2 m 2 m − 1 − 2m 2 ur ur  u u  1 − 2m 2m − 1 − 2 m 2  MI =  ; ;1 − m ÷; MJ =  ; ; −m ÷ 2m 2(m − 1)  2m   2(m − 1)  uu m −1uu ur ur MJ hay ba điểm M, I, J thẳng hàng (đpcm) Suy ra : MI = m Bài 2: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Trên BD và AD’ lần lượt . Tường Chương II GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ. I/ Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ. Để giải các bài toán hình học nói chung và hình học không gian nói riêng chúng. bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − = . 9 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người. cho toạ độ các điểm trong bài toán được thuận tiện. - Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ và ngược lại. 4 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ