PHÒNG GIÁO DỤC THÀNH PHỐ VINH  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: DẠY HỌC SINH LỚP 9 GIẢI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ  Năm học 2009-2010 PHẦN I: MỞ ĐẦU Trong chương trình THCS, toán học chiếm một vai trò rất quan trọng. Với đặc thù là môn khoa học tự nhiên, toán học không chỉ giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi và khám phá tri thức, vận dụng những hiểu biết của mình vào trong thực tế, cuộc sống mà toán học còn là công cụ giúp các em học tốt các môn học khác và góp phần giúp các em phát triển một cách toàn diện. Từ vai trò quan trọng đó mà việc giúp các em học sinh yêu thích, say mê toán học giúp các em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức cũng như kèm cặp, phụ đạo cho học sinh yếu kém môn toán là một yêu cầu tất yếu đối với giáo viên dạy toán nói chung. Nhất là đất nước ta đang trong thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa, rất cần những con người năng động, sáng tạo có hiểu biết sâu và rộng… Chính vì vậy mà việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh trong giờ học và những giờ ngoại khóa là rất cần thiết và càng cần thiết hơn đối với học sinh lớp 9. Là giáo viên dạy toán trong các trường THCS tôi nhận thấy phần đông các em yếu môn toán vì các lý do sau đây: 1. Không thuộc kiến thức và không nắm vững kiến thức. 2. Lý do quan trọng hơn là các em chưa biết cách làm toán mà ta gọi đó là phương pháp, nhất là các phương pháp đặc trưng cho từng dạng, cho từng loại toán. Muốn chứng minh một đẳng thức, một bất đẳng thức thì phải làm sao? Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức hàm sồ thì ta phải làm như thế nào? các em không nắm chắc. Trong chương trình toán THCS các bài toán tìm GTLN, GTNN chiếm một vị trí cực kỳ quan trọng. Ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải bằng cách giải thông minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức toán học ở bậc học để giải quyết loại toán này. Các bài toán này rất phong phú nó đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức, vận dụng một cách hợp lý, khá độc đáo và nhiều cách giải. Vì vậy các bài toán tìm GTLN, GTNN gọi chung là các bài toán cực trị thường xuyên xuất hiện trong SGK, sách nâng cao của các khối lớp. Nó là các bài toán hay giúp học sinh phát triển trí thông minh, sáng tạo, khả năng tư duy toán cao. Mặt khác, trong những năm gần đây, các kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT đặc biệt là thi vào các trường THPT chuyên thường gặp những bài toán yêu cầu tìm GTNN, GTLN của một đại lượng nào đó. Các bài toán cực trị rất phong phú và đa 2 dạng mang nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng, để dần dần hình thành cho học sinh thói quen đi tìm giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong cuộc sống sau này. Xuất phát từ đó mà tôi luôn cố gắng tìm tòi, tham khảo tài liệu với mục đích nâng cao chất lượng dạy toán cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi rất chú trọng đến dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức đại số. Mặc dù trong chương trình toán THCS không có bài dạy lý thuyết về phương pháp tìm GTLN, GTNN nhưng trong hệ thống bài tập lại có đề cập đến. Đặc biệt loại bài tập này có nhiều trong các sách bồi dưỡng nâng cao hay trong các đề thi học sinh giỏi; thi vào trường chuyên, lớp chọn… Do đó cần thiết phải dạy cho học sinh lớp 9 biết cách giải những bài toán cực trị trong những giờ ngoại khoá, bồi dưỡng… Trên tinh thần đó tôi nghiên cứu đề tài “Dạy học sinh lớp 9 giải toán cực tri đại số”. 3 PHẦN II: NỘI DUNG A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1. Định nghĩa GTLN, GTNN của một biểu thức: Định nghĩa 1: Cho biểu thức f(x,y ) xác định trên miền D. Ta nói M là GTLN của f(x,y ) trên D nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn: + Với mọi x,y thuộc D thì f(x,y ) ≤ M (M là hằng số) + Tồn tại x 0 , y 0 thuộc D mà f(x 0 , y 0 ) = M Khi đó ta kí hiệu: M = Max f(x,y ) với x,y thuộc D. Định nghĩa 2: Cho biểu thức f(x,y ) xác định trên miền D. Ta nói m là GTNN của f(x,y ) trên D nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn: + Với mọi x,y thuộc D thì f(x,y ) ≥ m (m là hằng số) + Tồn tại x 0 , y 0 thuộc D mà f(x 0 , y 0 ) = m Khi đó ta kí hiệu: m = Min f(x,y ) với x,y thuộc D. 2. Chú ý: + Nếu chỉ chứng minh được f(x, y ) ≤ M (hoặc f(x, y ) ≥ M), (M là hằng số) với mọi x, y thuộc D thì chưa đủ để kết luận về GTLN hoặc GTNN của f(x, y ) Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( ) ( ) .31 22 −+− xx Giải: Ta có: (1) (2) Suy ra không thể kết luận được Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời hai bất đẳng thức (1) và (2). Ta phải giải như sau : A = x 2 - 2x + 1 + x 2 – 6x +9 = 2.( x 2 - 4x +5 ) = 2. (x-2) 2 +2 ≥ 2 ∀x Vậy Min A = 2 đạt được ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x=2 + Một biểu thức có thể có GTLN, GTNN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên. Ví dụ: Xét biểu thức A = x 2 ta thấy x 2 ≥0 ∀ x và x 2 = 0 khi x = 0, vậy biểu thức có GTNN bằng 0 khi x = 0 .Biẻu thức này không có GTLN. B. PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ I- Đối với các đa thức nguyên 1. Phương pháp dựa vào lũy thừa bậc chẵn 4 ( ) ( ) xx xOx ∀≥− ∀≥− 2 2 3 1 - Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức đã cho y=f(x) về dạng y = m +[g(x)] 2n (n∈N * , m ∈ R). Khi đó y ≥ m ⇒ Min y = m ⇔ g(x) = 0. - Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức đã cho y=f(x) về dạng y= M - [h(x)] 2n (n∈N * , M ∈ R). Khi đó y ≤ M ⇔ h(x) = 0 1.1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa một biến. Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: A 1 = 2x 2 - 8x + 1 Ta có A 1 = 2x 2 - 8x + 1 = 2(x - 2) 2 - 7 Vì (x - 2) 2 ≥ 0 ∀x ⇒ A 1 ≥ -7 ⇒ Min A 1 = -7 ⇔ x = 2 Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: A 2 = -3x 2 + 4x + 2 = -3[(x 2 - 2x 3 2 + 9 4 )- 9 10 ] = -3(x- 3 2 ) 2 + 3 10 = 3 10 - 3(x- 3 2 ) 2 ⇒ A 2 ≤ 3 10 (Vì (x- 3 2 ) 2 ≥ 0 ∀x) ⇒ Max A 2 = 3 10 khi x = 3 2 Ví dụ 3 : Tìm GTNN của biểu thức B = (x-1 ) 2 +(x - 5) 2 Giải: Ta có : B = (x 2 – 2x + 1) 2 + (x 2 – 10x + 25) = 2x 2 – 12x + 26 = 2(x -3) 2 + 8 ≥ 8 ∀x (Vì 2(x -3) 2 ≥0 ∀x ⇒ 2(x -3) 2 + 8 ≥ 8 ∀x) ⇒ Min B = 8 ⇔ x – 3 = 0 ⇒ x= 3 Chú ý: Khi giải bài toán này học sinh có thể mắc sai lầm sau: Ta có (x-1 ) 2 ≥0 ∀x ; (x - 5) 2 ≥0 ∀x Từ đó suy ra Min B = 0 là sai vì không sảy ra đồng thời hai bất đẳng thức trên. Ví dụ 4 :Tìm GTNN của Đ = x - 2007−x Giải : ĐKXĐ : x≥2007 Đ=(x- 2007 )- 2007−x + 2007= ( 2007−x ) 2 - 2007−x + 4 1 + 4 8027 =( 2007−x - 2 1 ) 2 + 4 8027 x∀≥ 4 8027 (Vì ( 2007−x - 2 1 ) 2 ≥0 ∀x∈ĐKXĐ) => Min Đ = 4 8027 khi 2007−x - 2 1 = 0 hay x = 4 8029 ∈ ĐKXĐ * Chú ý khi tìm giá trị nhỏ nhất ,giá trị lớn nhất của biểu thức có chứa căn thức ta phải chú ý tới miền xác định của biểu thức . Ví dụ 5 : Tìm GTNN của biểu thức E = ( x+1 )( x+2 )( x+ 3 )(x+4 ) Giải: E = (x 2 + 5x + 4) (x 2 +5x + 6) = (x 2 + 5x + 4) 2 + 2(x 2 + 5x + 4)+ 1 -1 5 = (x 2 + 5x + 4 + 1) 2 – 1 = (x 2 + 5x + 5) 2 - 1≥ -1 ∀x (Vì (x 2 + 5x + 5 ) 2 ≥ 0 ∀x) ⇒ Min E = - 1 ⇔ x 2 + 5x + 5 = 0 ⇒ . 2 55 1 +− =x 2 55 2 −− =x Vậy Min E = -1 khi . 2 55 1 +− =x hoặc 2 55 2 −− =x 1.2. Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức: a) A = 2x 2 + 3x + 1 b) B = (x - 1 )(x -2 )(x-3)(x - 4 ) c) C = x 4 + 2x 3 +3x 2 + 1 d) D = 19934 −− xx Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức a) E =- 5x 2 - 4x + 1 b) F = - (2x- 1) 2 - 1 c) G = - x 4 + 6x 3 -10x 2 +6x + 9 1.3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến số: Ví dụ 6: Tìm giá trị của m và p sao cho: A=m 2 - 4mp + 5p 2 + 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. Giải: A = (m 2 -4mp + 4p 2 ) + (p 2 -2p + 1) + 27 + 10m - 20p = (m-2p) 2 + (p-1) 2 + 27 + 10(m-2p) Đặt X = m-2p. Ta có A=X 2 + 10X + 27 + (p-1) 2 = (X 2 + 10X + 25) + (p-1) 2 + 2 = (X+5) 2 + (p-1) 2 + 2 Ta thấy: (X + 5) 2 ≥ 0 với ∀ m, p; (p-1) 2 ≥ 0 ∀ p Do đó: A đạt giá trị nhỏ nhất khi: X 5 0 X 5 m 2p 5 m 3 hay p 1 0 p 1 p 1 p 1 + = = − − = − = −     ⇔ ⇔     − = = = =     Vậy Min A=2 khi m=-3; p=1. Ví dụ 7: Tìm các giá trị của x, y, z sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất: P( ),, zyx = 19x 2 + 54y 2 + 16z 2 - 16xz - 24yz + 36xy + 5 Giải: Khi gặp một biểu thức chứa nhiều biến số, ta cấn biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm. Ta có: P( ),, zyx = (9x 2 + 36xy + 36y 2 )+(18y 2 - 24yz+8z 2 )+(8x 2 -16xz+8z 2) + 2x 2 + 5 = 9(x+2y) 2 + 2(3y - 2z) 2 + 8(x-z) 2 + 2x 2 + 5. Do: (x+2y) 2 ≥ 0 ∀ x, y.; (3y-2z) 2 ≥ 0 ∀ y,z; (x-z) 2 ≥ 0 ∀ x, z;x 2 ≥ 0 ∀ x, y. 6 Biểu thức P( ),, zyx đạt giá trị nhỏ nhất khi các hạng tử (x+2y) 2 , (3y-2z) 2 ; (x-z) 2 , x 2 đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc hay nói cách khác chúng phải có giá trị đồng thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình sau đây có nghiệm. x 2y 0 x 0 3y 2z 0 y 0 x z 0 z 0 x 0 + =  =   − =   ⇔ =   − =   =   =  Vậy Min P( ),, zyx = 5 khi x = 0, y=0, z = 0. - Tổng quát: Khi gặp P = A + B + C + + Với A ≥ k 1 2 , B ≥ k 2 2 , C ≥ k 3 2 , thì ta có thể kết luận P đạt giá trị nhỏ nhất khi A, B, C đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc và khi đó P (min) = k 1 2 +k 2 2 +k 3 2 + Để tìm ra các biến số tương ứng với P (min) ta giải hệ phương trình: 2 1 2 2 2 3 A k B k C k  =  =   =    Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 2 7x 5y 2z 3x xy yz xz 2000 t t 2005− + − + + + − + − + . Trong đó x;y;z;t là các số hữu tỉ Giải: Ta có : A= 2 1 3 7x 5y 2z 3x xy yz xz 2000 t 2004 2 4   − + − + + + − + − +  ÷   Vì 0 Qα ≥ ∀α ∈ và 2 1 t 0 2   − ≥  ÷   nên A 3 2004 4 ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 7x 5y 0 (1) 2z 3x 0 (2) xy yz zx 2000 0 (3) 1 t 0 (4) 2 − =   − =   + + − =      − =  ÷     Từ (1) ta có: y= 7 x 5 . Từ (2) ta có: 3 z x 2 = Thay vào (3) ta được: 2 2 2 2 7 21 3 x x x 2000 5x 2000 5 10 2 + + = <=> = <=> x 2 =400 <=> x= ± 20 - Với x = 20 ta có y = 28; z = 30 7 - Với x = -20 ta có y = -28; z = -30 Ngoài ra, từ (4) ta có: t= 1 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 2004 3 4 , đạt được khi : (x;y;z;t) = (20;28;30; 1 2 ) hoặc (x;y;z;t) = (-20;-28;-30; 1 2 ) Ví dụ 9 : Tìm GTNN của biểu thức : F(x,y) = x 2 +2y 2 -2xy – 4y + 5 Giải: F(x,y) = x 2 +y 2 -2xy +y 2 - 4y + 4 + 1 = (x- y) 2 + (y - 2) 2 + 1 ≥ 1 ∀x,y (Vì (x- y) 2 ≥0 ∀x ,y; (y - 2) 2 ≥ 0 ∀y ) ⇒ (x- y) 2 + (y - 2) 2 + 1 ≥ 1 ∀x,y ⇒ Min F(x,y) = 1 ⇔    =− =− 02 0 y yx hay x= y = 2 Ví dụ 10 : Tìm GTNN của biểu thức : G = x 2 + 2y 2 - 3z 2 - 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8 z + 2010 Giải: Ta có G = (x- y+ z - 1) 2 + (y + z - 2) 2 + (z - 1 ) 2 + 2004 Vì (x- y+ z - 1) 2 ≥ 0 ∀x,y,z ; (y + z - 2) 2 ≥ 0 ∀ y,z ; (z -1 ) 2 ≥ 0 ∀z ⇒ (x- y+ z - 1) 2 + (x- y+ z - 1) 2 + (z -1 ) 2 + 2004 ≥ 0 ∀x,y,z ⇒ Min G = 2004 ⇔      = =+ =+ 0 1- z 01 - z y -x 0 1 - z y -x hay x=y=z =1 Vậy G = 2004 khi x= y = z = 1 1.4. Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức : a) H = x 2 + 2y 2 -2xy + 2x – 10 b) I = x 2 +6y 2 14z 2 - 8yz + 6zx - 4xy 2. Phương pháp dùng kiến thức tam thức bậc hai 2.1. Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới. Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn nhất của A = x+ 2 x− Giải: Điều kiện x ≤ 2 Đặt 2 x− = y ≥ 0. Ta có y 2 = 2-x A = 2-y 2 + y = 2 1 9 9 y 2 4 4   − − + ≤  ÷   ⇒ Max A = 9 1 1 7 y 2 x x 4 2 4 4 ⇔ = <=> − = <=> = 2.2. Đổi biến để đưa về bất phương trình bậc hai đối với biến mới. 8 Ví dụ 12: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A=x 2 + y 2 . Biết rằng x 2 (x 2 + 2y 2 -3) + (y 2 -2) 2 =1 Giải: Từ x 2 (x 2 + 2y 2 -3) + (y 2 -2) 2 =1 => (x 2 + y 2 ) 2 - 4(x 2 + y 2 ) +3=-x 2 ≤ 0 Do đó: A 2 - 4A + 3 ≤ 0 <=> (A-1)(A-3) ≤ 0 <=> 1 ≤ A ≤ 3 Min A=1 <=> x=0 khi đó y= ± 1 Max A=3 <=> x=0 khi đó y= 3± 2.3. Đưa về phương trình bậc hai vận dụng hệ thức Vi-ét. Ví dụ 13: Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình: x 2 -(2m -1)x+m –2=0 Tìm m để 2 2 2 1 xx + có giá trị nhỏ nhất Giải: Xét: ∆ = 4m 2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m 2 - 8m + 9 = 4(m - 1) 2 + 5 > 0 Nên phương trình đã cho có hai nghiệm với mọi m Theo định lý Viét ta có: x 1 + x 2 = 2m - 1; x 1 .x 2 = m - 2 ⇒ 2 2 2 1 xx + = (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = (2m - 1) 2 - 2(m - 2) = 4m 2 - 6m + 5 = (2m - 2 3 ) 2 + 4 11 ≥ 4 11 ∀m (Vì (2m - 2 3 ) 2 ≥0 ∀m) Vậy Min(x 1 2 + x 2 2 ) = 4 11 khi m = 4 3 Ví dụ14: Gọi x 1 ; x 2 là nghiệm của phương trình: 2x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x 1 x 2 - 2x 1 - 2x 2  Giải: Để phương trình đã cho có nghiệm thì: ∆' = (m + 1) 2 - 2(m 2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) ≥ 0 ⇒ - 5 ≤ m ≤ - 1 (*) Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x 1 + x 2 = - m - 1 x 1 .x 2 = 2 34 2 ++ mm Do đó: A =  2 78 2 ++ mm  Ta có: m 2 + 8m + 7 = (m+1)(m+7) với điều kiện (*) thì: (m+1)(m + 7) ≤ 0. Suy ra: A = 2 78 2 −+− mm = 2 )4(9 2 +− m ≤ 2 9 Dấu bằng xảy ra khi (m + 4) 2 = 0 hay m = - 4 Vậy A đạt giá trị lớn nhất là: 2 9 khi m = - 4, (TMĐK (*)) Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 9 A=(x 4 + 1) (y 4 + 1), biết x, y ≥ 0; x + y = Giải: A = (x 4 + 1)(y 4 + 1) = x 4 + y 4 + y 4 x 4 + 1; mà x + y = ⇒ x 2 + y 2 = 10 - 2xy ⇒ x 4 + y 4 + 2y 2 x 2 = 100 - 40xy + 4x 2 y 2 ⇒ x 4 + y 4 = 100 - 40xy + 2x 2 y 2 Đặt : xy = t thì x 4 + y 4 = 100 - 40t + 2t 2 Do đó A = 100 - 40t + 2t 2 + t 4 + 1 = t 4 + 2t 2 – 40t + 101 a) Tìm giá trị nhỏ nhất: A = t 4 - 8t 2 + 16 + 10t 2 - 40t + 40 + 45 = (t 2 - 4) 2 + 10(t - 2) 2 + 45 ≥ 45 Min(A) = 45 ⇔ t = 2, khi đó xy = 2; x + y = nên x và y là nghiệm của phương trình X 2 - X + 2 = 0. Tức là x = 2 210 + ; y = 2 210 − hoặc x = 2 210 − ; y = 2 210 + b) Tìm giá trị lớn nhất: Ta có: 0 ≤ xy ≤ 2 2       + yx = 2 2 10         =       2 5 ⇒ 0 ≤ t ≤       2 5 (1) Viết A dưới dạng: A = t(t 3 + 2t - 40) + 101. Do (1) nên t 3 ≤ 8 125 ; 2t ≤ 5 ⇒ t 3 + 2t - 40 ≤ 8 125 + 5 - 40 < 0 còn t ≥ 0 nên A ≤ 101 Max(A)= 101 khi và chỉ khi t= 0 tức là x= 0; y = hoặc x = ; y = 0 *Bài tập: Bài 1: Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình: x 2 + 2(m - 2)x -2m +7= 0 Tìm m để 2 2 2 1 xx + có giá trị nhỏ nhất. Bài 2: Cho phương trình: x 2 - m + (m - 2) 2 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x 1 x 2 + 2x 1 + 2x 2 Bài 3: Cho phương trình: x 2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số). Tìm m sao cho 2 nghiệm x 1 ; x 2 của phương trình thoả mãn 21 10 xx 2 2 2 1 xx ++ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. 3. Phương pháp tìm cực trị dựa theo tính chất của giá trị tuyệt đối 3.1. Cơ sơ lí thuyết: BABA BABA −≥− +≤+ Đẳng thức xảy ra khi A.B ≥ 0 Ví dụ 16 : Tìm GTNN của biểu thức A = 31 −+− xx 10 [...]... 2 − 2 x + 198 9 (x ≠ 0) x2 2 198 9 + 2 ( x ≠ 0) x x Khi đó A1 = 1 - 2t + 198 9 t2 = 198 9 (t2 - 2t ( Đặt 1 1 198 8 + )+ 2 198 9 198 9 198 9 1 = t (t ≠ 0) ) x 12 1 2 198 8 198 8 ) + ≥ 198 9 198 9 198 9 198 8 1 ⇒ Min A1 = ⇔t= ⇔ x = 198 9 198 9 198 9 Hay A1 = 198 9 (t - Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: A2 = x + 2 − x Giải: Điều kiện x ≤ 2 Đặt y = 2 − x (y ≥ 0) ⇒ y 2 = 2 − x ⇒ x = y − y 2 1 2 9 9 ) + ≤ 2 4 4 9 1 1 7 ⇒ Max... quát, từ đó học sinh vận dụng để giải các bài tập Qua quá trình hướng dẫn một cách cụ thể như vậy, học sinh đã biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải bài toán vào giải các bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp Đối với học sinh giỏi các em đã biết sử dụng kết hợp các phương pháp để giải được các bài toán cực trị đại số ở dạng khó hơn Qua đó giúp học sinh hứng thú khi gặp loại bài toán này... nói riêng và học môn toán nói chung Việc tìm hiểu nghiên cứu các bài toán cực trị giúp tôi nắm vững hơn cơ sở lý luận của việc giải toán, năm vững các dạng bài tập thông dụng với phương pháp giải phù hợp biết những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải điều này rất cần thiết cho bản thân tôi trong quá trình giảng dạy Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức đại số kết quả... của các em đối với môn toán ngày một nâng cao Đa số các em có nhu cầu mở rộng, đào sâu, nâng cao kiến thức - Số học sinh khá, giỏi ngày càng tăng lên thể hiện qua các năm học - Từ bài toán tìm GTLN, GTNN, học sinh đã biết tìm tòi, tham khảo tài liệu để giải các dạng toán khác Đồng thời kỹ năng trình bày lời giải của các em ngày càng tốt hơn 21 - Học sinh đã ý thức được việc học của mình và có nhu cầu... dù dạng toán tìm GTLN, GTNN là một trong những dạng toán tương đối khó, tuy nhiên đa số học sinh đã nắm được các phương pháp tìm GTLN, GTNN - Khi làm bài tập về tìm GTLN, GTNN học sinh đã có ý thức quan sát các biểu thức đại số để vận dụng các trường hợp đặc biệt Đồng thời học sinh cũng đã biết vận dụng cách tìm GTLN, GTNN một cách linh hoạt để giải phương trình - Ý thức tự giác và hứng thú học tập... là các biến số thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 1 69 Bài 3: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức W = x + 1 + y + 1 biết x,y ≥ 1 và x + y = 2 Bài 4: Cho a, b là hai số thỏa mãn a≥ 3 , a + b ≥ 5.Tìm GTNN của biểu thức Q = a2 + b2 20 PHẦN III: KẾT LUẬN Trên đây là một số phương pháp cơ bản mà trong quá trình giảng dạy thực tế hay được sử dụng để giải các bài toán cực trị đại số Với phương pháp hướng dẫn học sinh từ các... kiện ∆ ≥ 0 (Phương pháp miền giá trị hàm số) Sử dụng phương pháp này có thể tìm một lúc được cả GTLN, GTNN của một biểu thức nếu biểu thức có cả hai giá trị này 2.1 Lý thuyết áp dụng: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức thông qua miền giá trị của nó 2.2 Các ví dụ: x2 − x + 1 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A= 2 x + x +1 Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình... dụ 19 : Tìm GTLN của biểu thức D = a + 3 − 4 a − 1 − a + 15 − 8 a − 1 Giải: ĐKXĐ: a ≥ 1 D = a − 1 − 4 a − 1 + 4 − a − 1 − 8 a − 1 + 16 = ( a − 1 − 2) 2 − = a −1 − 2 − ( a −1 − 4 a −1 − 4 ≤ ) 2 a −1 − 2 − a −1 + 4 = 2 a ≥ 0 Vậy Max D = 2 ⇔  (  a −1 − 2 )( ) a −1 − 4 ≥ 0 hay a ≥ 16 3.2 Các bài tập áp dụng Tìm GTNN của các biểu thức : E = x 2 + 64 − 16 x + x 2 F = x 2 − 399 2 x + 199 6 2 + x 2 − 399 4... nhu cầu nâng cao, mở rộng kiến thức Học sinh khá, giỏi có điều kiện phát huy năng lực vốn có của mình - Tạo cho các em học sinh có nền tảng vững chắc để tiếp tục học các lớp trên - Ý thức, đạo đức, tinh thần trách nhiệm, tính cẩn thận, chính xác của các em được củng cố và phát huy - Rất mong được sự quan tâm đóng góp ý kiến của đồng nghiệp để việc hướng dẫn học sinh các phương pháp tìm GTLN, GTNN có... Ví dụ 4: Cho a,b là hai số thỏa mãn 3a +5b =12 Tìm GTNN của biểu thức: D =ab Giải: Vì a, b là hai số dương ⇒3a, 5b là các số dương Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: Ta có 12 = 3a + 5b ≥ 2 3a.5b ⇔ 6 ≥ 15ab ⇔ 36 ≥ 15D ⇔ D ≤ Vậy Max D = 12 5 12 6 ⇔ 3a = 5b = 6 ⇔ a=2, b = 5 5 Ví dụ 5: Cho a ,b là hai số dương thỏa mãn ab = 216 Tìm GTNN của biểu thức : F = 6a +4b Giải: vì a ,b là hai số dương ⇒ 6a ≥0 , 4b ≥ . tài: DẠY HỌC SINH LỚP 9 GIẢI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ  Năm học 20 09- 2010 PHẦN I: MỞ ĐẦU Trong chương trình THCS, toán học chiếm một vai trò rất quan trọng. Với đặc thù là môn khoa học tự nhiên, toán. 2 2 198 92 x xx +− (x ≠ 0) Ta có: A 1 = 1 - )0( 198 92 2 ≠+ x xx Khi đó A 1 = 1 - 2t + 198 9 t 2 = 198 9 (t 2 - 2t . 198 9 198 8 ) 198 9 1 198 9 1 2 ++ ( Đặt )0( 1 ≠= tt x ) 12 Hay A 1 = 198 9 (t. tt x ) 12 Hay A 1 = 198 9 (t - 198 9 198 8 198 9 198 8 ) 198 9 1 2 ≥+ ⇒ Min A 1 = ⇔=⇔ 198 9 1 198 9 198 8 t x = 198 9 Ví dụ 2 : Tìm GTLN của biểu thức: A 2 = x + x−2 Giải: Điều kiện x ≤ 2 Đặt y =