Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình và bất phương trình lượng giác
Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðẠI SỐ A. Tóm tắt lí thuyết I. Phương trình lượng giác 1. Các hằng ñẳng thức: * 2 2sin cos 1α α+ = với mọi α * tan .cot 1α α= với mọi 2kπα≠ * 2211 tancosαα+ = với mọi 2kα π≠ * 2211 cotsinαα+ = với mọi kα π≠ 2. Hệ thức các cung ñặc biệt a.Hai cung ñối nhau: α và α− 1) cos( ) cos−α = α 2) sin( ) sin−α = − α 3) tan( ) tan−α = − α 4) cot( ) cot−α = − α b. Hai cung phụ nhau: α và 2πα− 1) cos( ) sin2π− α = α 2) sin( ) cos2π− α = α 3)tan( ) cot2π− α = α 4)cot( ) tan2π− α = α c. Hai cung bù nhau: α và π α− 1) sin( ) sinπ − α = α 2) cos( ) cosπ − α = − α 3) tan( ) tanπ − α = − α 4)cot( ) cotπ − α = − α d) Hai cung hơn kém nhau π:α và π α+ 1) sin( ) sinπ + α = − α 2) cos( ) cosπ + α = − α 3)tan( ) tanπ + α = α 4)cot( ) cotπ + α = α 3. Các công thức lượng giác a. Công thức cộng 1) cos(a b) cos a.cos b sin a.sin b± = ∓2) sin(a b) sin a.cos b cosa.sin b± = ± Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 2 tan a tan b3) tan(a b)1 tan a.tan b±± =∓ b) Công thức nhân 1) sin2a 2 sina cosa= 2 2 2 22)cos2a cos a sin a 1 2 sin a 2 cos a 1= − = − = − 33) sin 3a 3 sin a 4 sin a= − 34) cos3a 4 cos a 3 cos a= − c. Công thức hạ bậc 21 cos2a1) sin a2−= 21 cos 2a2) cos a2+= 3) 21 cos 2atan a1 cos 2a−=+ d. Công thức biến ñổi tích thành tổng 11) cos a.cos b [cos(a b) cos(a b)]2= − + + 12) sin a.sin b [cos(a b) cos(a b)]2= − − + 13) sin a.cos b [sin(a b) sin(a b)]2= − + + . e. Công thức biến ñổi tổng thành tích a b a b1) cos a cos b 2 cos .cos 2 2+ −+ =a b a b2) cos a cos b 2 sin .sin2 2+ −− = − a b a b3)sin a sin b 2 sin .cos2 2+ −+ = a b a b4)sin a - sin b 2 cos .sin2 2+ −= sin(a b)5) tan a tan bcos a cos b++ = sin(a b)6) tan a tan bcos a cos b−− = . 4. Phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình: sin (1)x m= * Nếu: m 1 > ⇒ Pt vô nghiệm * Nếu: m 1 [ ; ] : sin m2 2π π≤ ⇒ ∃α ∈ − α = Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 3 (1) sin x sin⇒ ⇔ = α ⇔x k2x k2= α + π= π − α + π (k Z∈). Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 2 2sin mπ π− ≤ α ≤α = thì ta viết arcsin mα =. *Các trường hợp ñặc biệt: 1) sin x 1 x k22π= ⇔ = + π 2) sin x 1 x k22π= − ⇔ = − + π 3) sin x 0 x k= ⇔ = π 2. Phương trình: cos x m (2)= * Nếu: m 1> ⇒ phương trình vô nghiệm * Nếu: m 1 [0; ] : cos m≤ ⇒ ∃α ∈ π α = (2) cos x cos⇒ ⇔ = α ⇔ x k2x k2= α + π= −α + π (k Z∈). Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 0cos m≤ −α ≤ πα = thì ta viết arccos mα =. * Các trường hợp ñặc biệt: 1) cos x 1 x k2= ⇔ = π 2) cos x 1 x k2= − ⇔ = π + π 3) cos x 0 x k2π= ⇔ = + π 3. Phương trình : tan x m (3)= Với m ( ; ) :2 2π π∀ ⇒ ∃α ∈ −tan mα = (3) tan x tan x k⇒ ⇔ = α ⇔ = α + π . Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 2 2tan mπ π− < α <α = thì ta viết arctan mα = . * Các trường hợp ñặc biệt: Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 4 1) tan x 1 x k4π= ⇔ = + π 2) tan x 1 x k4π= − ⇔ = − + π 3) tan x 0 x k= ⇔ = π 4. Phương trình: cot x m (4)= Với m ( ; ) :2 2π π∀ ⇒ ∃α ∈ −cot mα = (4) cot x cot x k⇒ ⇔ = α ⇔ = α + π. Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 2 2cot mπ π− < α <α = thì ta viết arc co t mα = . * Các trường hợp ñặc biệt: 1) cot x 1 x k4π= ⇔ = + π 2) co t x 1 x k4π= − ⇔ = − + π 3) cot x 0 x k2π= ⇔ = + π Ghi chú: * u v k2sin u sin v u v k2= + π= ⇔= π − + π (k Z)∈ *cos u cos v u v k2= ⇔ = ± + π (k Z)∈ * tan u tan v u v k= ⇔ = + π (k Z)∈ *cot u cot v u v k= ⇔ = + π (k Z)∈ 5. Phương trình lượng giác thường gặp 1. Phương trình bậc hai một hàm số lượng giác: Là phương trình có dạng 2sin x sin xcos x cos xa. b. c 0tan x tan xcot x cot x + + = (1) Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 5 Cách giải: ðặt sin xcos xttan xcot x = (*) khi ñó (1) trở thành: 2at bt c 0 + + = giải phương trình này ta tìm ñược t thay vào (*) ta tìm ñược x Chú ý: * Nếu sin xtcos x = thì 1 t 1− ≤ ≤. * Khi gặp phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác ta cũng ñặt hàm số ñó bằng một ẩn phụ và chuyển phương trình ñã cho về phương trình ñại số. 2. Phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx : a sin x b cos x c (1)+ = . Cách giải: Chia hai vế cho:2 2a b+ và ñặt 2 2 2 2a bcos ; sina b a bα = α =+ + 2 2c(1) sin x. cos cos x.sin sin(x ) sina b⇒ ⇔ α + α = ⇔ + α = β+ . Chú ý: * (1) có nghiệm 2 2 2a b c⇔ + ≥ . * 1 3sinx 3 cos x 2 sin x cos x 2 sin(x )2 2 3 π± = − = − * 3 13sinx cos x 2 sin x cos x 2 sin(x )2 2 6 π± = ± = ± * 1 1sin x cos x 2 sin x cos x 2 sin(x )42 2 π± = ± = ± . 3. Phương trình ñẳng cấp: Là phương trình có dạng (sin , cos ) 0=f x x trong ñó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 6 Cách giải: Chia hai vế pt cho cos 0kx ≠ (k là số mũ cao nhất) ta ñược phương trình ẩn là tan x. 4. Phương trình lượng giác không mẫu mực ðể giải phương trình lượng giác không mẫu mực, ta sử dụng các phép biến ñổi lượng giác, ñưa phương trình ñã cho về những dạng phương trình ñã biết. * ðưa phương trình ban ñầu về phương ña thức ñối với một hàm số lượng giác * ðưa phương trình ban ñầu về phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx * ðưa phương trình ban ñầu về phương trình dạng tích II. Phương trình – bất phương trình 1. Phương trình bậc cao: Cách 1: ðưa về dạng tích: ( ) 0( ). ( ) 0( ) 0f xf x g xg x== ⇔=. ðể ñưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau: * Sử dụng các hằng ñẳng thức ñưa về dạng 2 2 3 30, 0, .a b a b− = − = * Nhẩm nghiệm rồi chia ña thức: Nếu x a= là một nghiệm của phương trình ( ) 0f x = thì ta luôn có sự phân thích: ( ) ( ) ( )f x x a g x= − . ðể dự ñoán nghiệm ta dựa vào ñịnh lí sau: ðịnh lí: Nếu ña thức 11 1 0( ) .n nn nf x a x a x a x a−−= + + + + có nghiệm nguyên thì nghiệm ñó phải là ước của 0a * Sử dụng phương pháp hệ số bất ñịnh Cách 2: ðặt ẩn phụ Dạng 1: Phương trình ñối xứng: Là phương trình có dạng: 4 3 20ax bx cx bx a± + ± + = . Cách giải: Chia hai vế phương trình cho2 ( 0)x x≠ ta có : 221 1( ) ( ) 0a x b x cxx+ ± + + = ðặt 1t xx= + với 2t ≥ ta có 2 2 221 1( ) 2 2x x txx+ = + − = − thay vào phương trình ta có: 2( 2) 0a t bt c− ± + = Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 7 Dạng 2: ( )( )( )( )x a x b x c x d e+ + + + = trong ñó a b c d+ = + Cách giải: ðặt 2( ) t x a b x= + + ta có : ( )( )t ab t cd e+ + = Dạng 3: 4 4( ) ( )x a x b c+ + + = . ðặt 2a bx t+= − ta ñưa về phương trình trùng phương. 2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt ñối Cách 1: Dùng ñịnh nghĩa: khi 0| | khi 0a aaa a≥=− < Cách 2: Bình phương hai vế kết hợp với tính chất 2 2| |a a= 1) 2 2( ) 0| ( ) | ( )( ) ( ) 0g xf x g xf x g x≥= ⇔− =. 2) ( ) ( )| ( ) | | ( ) |( ) ( )f x g xf x g xf x g x== ⇔= −. Cách 3: ðặt ẩn phụ 3. Phương trình – bất phương trình vô tỉ Cách 1: Biến ñổi tương ñương *2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0n nf x g x f x g x= ≥= ⇔ * 22( ) 0( )( ) ( )( )nng xf xf x g xg x≥== ⇔ * 2 12 1( ) ( ) ( ) ( )nnf x g x f x g x++= ⇔ = * 2 12 1( ) ( ) ( ) ( )nnf x g x f x g x++> ⇔ > * 2( ) ( )nf x g x< ⇔2( ) 0( ) 0( ) ( )nf xg xf x g x≥≥< * 2( ) ( )nf x g x> ⇔ 2( ) 0( ) 0( ) 0( ) ( )ng xf xg xf x g x<≥≥> Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 8 Cách 2: ðặt ẩn phụ Dạng 1: ( ( )) 0nF f x = , với dạng này ta ñặt ( )nt f x= (nếu n chẵn thì phải có ñiều kiện0t≥ ) và chuyển về phương trình ( ) 0F t = giải phương trình này ta tìm ñược t x⇒. Trong dạng này ta thường gặp dạng bậc hai: ( ) ( ) 0af x b f x c+ + = . Dạng 2: ( ( ) ( )) 2 ( ). ( ) ( ( ) ( )) 0m f x g x n f x g x n f x g x p± ± + + + =. Vì ta có: 2( ( ) ( )) 2 ( ). ( ) ( ( ) ( ))n f x g x n f x g x n f x g x+ ± = ± Nên với dạng này ta ñặt ( ) ( )t f x g x= ±. Bình phương hai vế ta sẽ biểu diễn ñược những ñại lượng còn lại qua t và chuyển phương trình (bpt) ban ñầu về phương trình (bpt) bậc hai ñối với t. Dạng 3:n( ( ), ( )) 0nF f x g x =, trong ñó ( , )F a b là một biểu thức ñẳng cấp bậc k. Với dạng này ta xét hai trường hợp: TH1: ( )0g x= thay vào phương trình ta kiểm tra, TH2: ( ) 0g x ≠ chia hai vế phương trình cho ( )kng x và ñặt ( )( )nf xtg x= ta ñược phương trình ( ) 0G t = là phương trình ña thức bậc k. Ta thường gặp dạng:. ( ) . ( ) . ( ) ( ) 0a f x b g x c f x g x+ + =. ðặt( )( )f xtg x=, ta có phương trình : 20at ct b+ + =. Dạng 4: . ( ) ( ) ( ) ( ) 0a f x g x f x h x+ + =. Với phương trình dạng này ta có thể ñặt ( )t f x=, khi ñó ta ñược phương trình theo ẩn t: 2( ) ( ) 0at g x t h x+ + = , ta giải phương trình này theo t, xem x là tham số (Tức là trong phương trình vừa có t vừa có x) nên ta thường gọi dạng này là dạng ñặt ẩn phụ không triệt ñể. Dạng 5: ( ), ( ), ( )n mF f x a f x b f x c + − = (I). Ta có thể ñặt: ( ), ( )n mu a f x v b f x= + = −, lúc ñó ta có hệ phương trình: Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 38 3 221 19 1 192 (1 ) 2(1 )t t tt tt t− + +⇒ = ⇔ =−− 22 121 17 2 0 ,3 7t t t t⇔ − + = ⇔ = = * 2 23 3t y x= ⇔ = thay vào hệ : 31919 3 227x x y= ⇔ = ⇒ = * 1 17 7t y x= ⇔ = thay vào hệ :3 37 118 18x y= ⇒ = Vậy nghiệm của hệ là:3 31 7( ; ) (3;2), ( ; )18 18x y = . 4) Ta có: 2 2 2 2 27( ) 2 5 2 0x xy y x y x xy y+ + = − ⇔ − + = 2(2 )( 2 ) 02x yx y x yy x=⇔ − − = ⇔=. * 2x y= thay vào hệ ta ñược: 20 03 31 2y xy yy x= ⇒ == ⇔= ⇒ = * 2y x= thay vào hệ ta có ñược: 20 03 31 2x yx xx y= ⇒ == − ⇔= − ⇒ = − Vậy các nghiệm của hệ là ( ) ( ) ( )0;0 , 2;1 , 1; 2− −. Chú ý: Ta có thể giải hệ theo cách khác như sau Ta có:( )( )( ) ( )( ) 22 2222 233 372x xy y x yx y xy x yx xy y x yxy x y− + = −− − = −⇔ + + = −= − ðặt ,u x y v xy= − =. Hệ trở thành 223 02u u vv u− + == 0 10 2u uv v v = = ⇔ = = . Từ ñó giải ñược các nghiệm của hệ là ( ) ( ) ( )0;0 , 2;1 , 1; 2− −. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 10 * Nếu D 0≠ thì hệ có nghiệm duy nhất:; yxDDx yD D= = . * Nếu 0x yD D D= = = thì hệ vô số nghiệm:( 0)xc axy bb∈−= ≠ℝ. * Nếu 000xyDDD=≠≠ thì hệ ñã cho vô nghiệm. 2. Hệ ñối xứng loại I a. ðịnh nghĩa: Là hệ có dạng ( ; )( ; )f x y ag x y b== (I) trong ñó f(x;y),g(x;y) là các biểu thức ñối xứng, tức là ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; )f x y f y x g x y g y x= = . b. Cách giải: ðặt , S x y P xy= + = . Biểu diễn ( ; ), ( ; )f x y g x y qua S và P ta có hệ ( ; ) 0( ; ) 0F S PG S P== giải hệ này ta tìm ñược S, P. Khi ñó x,y là nghiệm của phương trình :20 (1)X SX P− + = . c. Một số biểu diễn biểu thức ñối xứng qua S và P. 2 2 2 23 3 2 2 32 24 4 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 2( )( ) 3( )( ) 2 ( 2 ) 2x y x y xy S Px y x y x y xy S SPx y y x xy x y SPx y x y x y S P P+ = + − = −+ = + + − = −+ = + =+ = + − = − − d. Chú ý: * Nếu (x;y) là nghiệm của hệ (I) thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ * Hệ (I) có nghiệm khi (1) có nghiệm hay 24 0S P− ≥ . 3. Hệ ñối xứng loại 2 a. ðịnh nghĩa: Là hệ có dạng ( ; )( ; )f x y af y x a== (II) b. Cách giải: Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta ñược : [...]... 6) ðiều kiện : 1x ≥ − * Với 0x = ta thấy bất phương trình ln đúng * Với 0 1 1 0x x≠ ⇒ − + ≠ . Ta có bất phương trình tương ñương với: 2 2 2 2 2 (1 1) 4 (1 1) 4 (1 1) (1 1) x x x x x x x − + > − ⇔ − + > − + + − + 1 3 8x x⇔ + < ⇔ < . Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: [ 1;8)T = − . Ví dụ 7. Giải các phương trình – bất phương trình sau 1) 2 2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − =... ý: * Nếu sin x t cos x = thì 1 t 1− ≤ ≤ . * Khi gặp phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác ta cũng đặt hàm số đó bằng một ẩn phụ và chuyển phương trình đã cho về phương trình ñại số. 2. Phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx : a sin x b cos x c (1)+ = . Cách giải: Chia hai vế cho: 2 2 a b+ và ñặt 2 2 2 2 a b cos ; sin a b a b α = α = + + 2 2 c (1) sin x. cos cos... các phương trình – bất phương trình sau 1) 4 1 1 2x x x+ − − = − 2) 2 2 6 1 2 0x x x− + − + < 3) 2 ( 1) ( 2) 2x x x x x− + + = Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 12 phương trình thì ta có thể đặt ( )t u x= để làm đơn giản hình thức bài tốn. 5) Nếu mỗi vế của hai phương trình là những biểu thức ñồng bậc, ta có thể ñặt ( 0)x ty y= ≠ và từ hai phương. .. các giá trị tham số m để 1) Phương trình 2 2 2 1x mx x+ + = + có hai nghiệm thực phân biệt (B – 2006 ) 2) Phương trình 4 2 3 1 1 2 1x m x x− + + = − có nghiệm (A – 2007 ). 3) Bất phương trình ( ) 2 2 2 1 2 0m x x x x − + + + − ≤ có nghiệm 0; 1 3x ∈ + ( A1 – 2007 ). 4) Phương trình 4 2 1x x m+ − = có nghiệm (B1 – 2007 ). 5) Phương trình 4 4 13 1 0x x m x− + +... π = ⇔ = π − + π (k Z)∈ * cos u cos v u v k2= ⇔ = ± + π (k Z)∈ * tan u tan v u v k= ⇔ = + π (k Z)∈ * cot u cot v u v k= ⇔ = + π (k Z)∈ 5. Phương trình lượng giác thường gặp 1. Phương trình bậc hai một hàm số lượng giác: Là phương trình có dạng 2 sin x sin x cos x cos x a. b. c 0 tan x tan x cot x cot x + + = (1) ... x x − + − − = + . Lời giải. 1) Phương trình 3 2 3 2 3( 3 3) 2 3 3 5 0x x x x ⇔ − + + − + − = ðặt 3 2 3 3, 0t x x t = − + ≥ , ta có phương trình : 2 3 2 5 0 1t t t+ − = ⇔ = 3 2 3 2 3 3 1 3 2 0x x x x⇔ − + = ⇔ − + = 2 ( 1)( 2 2) 0x x x ⇔ − − − = 1 1 3 x x = ⇔ = ± Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm 1, 1 3x x = = ± . 2) ðiều kiện : 0 9x≤ ≤ Bất phương trình 2 2 9 2 9 9 6x x x x⇔ +... tương đương! Vì ở đây chúng ta đã thừa nhận phương trình ban đầu có nghiệm !. Do đó để có được phép biến đổi tương đương thì ta phải ñưa về hệ như trên. Chẳng hạn ta xét phương trình sau: 3 3 3 3 3 2 1 1 1 2 3 1 ( 1 1 ) 1x x x x x − + + = − ⇔ + − − + + = − 3 2 1 1 0x x⇔ − = ⇔ = . Nhưng thay vào phương trình ban đầu ta thấy x=0 khơng thỏa mãn phương trình ! b) Ta có thể giải bài tốn trên theo... của phương trình. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 32 b) Dạng tổng quát bài toán trên : ( ) ( ) ( ) n n f x b a af x b+ = − ðể giải phương trình này ta đặt ( ); ( ) n t f x y af x b= = − ta có hệ: n n t b ay y b at + = + = . ðây là hệ ñối xứng loại II với hai ẩn t và y. 3) Ta thấy 0x = không là nghiệm của phương trình . Chia hai vế phương trình. .. ) Bài 5. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m thì phương trình thì phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2 2 8 ( 2)x x m x+ − = − (B – 2007 ). Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 13 2) Ta chuyển phương trình về phương trình chỉ chứa cos 2x Phương trình 2 3 3(2 cos 2x 1) (1 cos2x) 1 cos2x 3⇔ − − + + + + 2 cos2x(cos 2x 3 cos2x 2)... + + − + = phương trình vơ nghiệm. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 1 1; 8 x x = = − . Ví dụ 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể phương trình 1) 2 2 2 4 0x mx x− − − = có nghiệm 2) 2 2 3 1x mx x+ − = + có hai nghiệm phân biệt. 3) 2 2 2 2 2 5 2x x m x x m+ + − − = có nghiệm. 4) 2 2 2 2 2 1 2 4x x m x x− + = + − + có hai nghiệm phân biệt. Lời giải. 1) Phương trình 2 2 2 . Hồng Phong 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðẠI SỐ A. Tóm tắt lí thuyết I. Phương trình lượng giác 1. Các hằng. về phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx * ðưa phương trình ban ñầu về phương trình dạng tích II. Phương trình – bất phương trình 1. Phương trình
