SỞ GD&ĐT HÀ NỘI- PHÒNG GD&ĐT QUẬN TÂY HỒ- TRƯỜNG THCS ĐÔNG THÁI MỤC LỤC MỤC LỤC Trang A. ĐẶT VẤN ĐỀ 2 1. Cơ sở của sáng kiến 2 1.1 Cơ sở lý luận 2 1.2. Cơ sở thực tiễn 2 2. Mục đích và yêu cầu 3 2.1. Mục đích 3 2.2. Yêu cầu 3 B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 4 I. Nguyên lí đirichlet 4 II. Phương pháp chung: 4 III. Ví dụ: 5 IV. Bài tập vận dụng 13 1) Đề bài 13 2) Hướng dẫn cách giải 15 V. Kết quả đạt được 20 C. KẾT LUẬN 20 D. LỜI CAM ĐOAN 21 E. TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 A. ĐẶT VẤN ĐỀ: 1. Cơ sở của sáng kiến ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRICHLET TRONG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC Người viết : Mai Thị Thu Hương 1 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI- PHÒNG GD&ĐT QUẬN TÂY HỒ- TRƯỜNG THCS ĐÔNG THÁI 1.1 Cơ sở lý luận: Trong quá trình giảng dạy, bên cạnh việc cung cấp hệ thống kiến thức các kỹ năng cơ bản cho học sinh, người thầy cần tìm tòi khai thác hệ thống kiến thức nâng cao nhằm bồi dưỡng phát triển tư duy, suy luận Toán học cho học sinh năng khiếu với hy vọng các em sẽ trở thành những chủ nhân tương lai có khả năng tư duy nhạy bén, linh hoạt, sáng tạo, có độ tin cậy cao nhằm đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao của nền kinh tế trong thời đại công nghiệp hiện đại. Trong bài này, tôi trình bày một số nhận xét như là những kinh nghiệm thực tiễn trong việc hướng dẫn học sinh sử dụng nguyên lý Dirichlet giải một số bài tập hình học hay “ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐỈRICHLET TRONG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC ” bậc THCS. 1.2. Cơ sở thực tiễn: Nhận xét rằng, việc giải các bài toán thường dựa vào các định nghĩa và tính chất đó được trình bày trong phần lý thuyết. Nội dung các bài toán là xoay quanh việc vận dụng và khai thác các các khía cạnh khác nhau của các khái niệm và đặc trưng cơ bản của vấn đề đang xét. Các bước giải của mỗi bài toán tuy vẫn thông qua 4 bước cơ bản (đọc hiểu, xây dựng lược đồ giải, thực hiện giải theo lược đồ đó, chọn và xem lại) nhưng thường ngắn gọn hơn. Các suy luận trong quá trình giải mỗi bài toán theo lược đồ trên thường rất tự nhiên và đi từ dễ đến khó. Những bài toán có lược đồ giải dễ dàng, dễ nhận biết là những bài toán dạng cơ bản, chuẩn mực. Bên cạnh những bài toán cơ bản và chuẩn mực còn có một số bài toán dạng phức tạp hơn mà sau khi đọc xong nội dung, học sinh chưa nhận ra được lược đồ giải vì chưa xác định được nó thuộc dạng toán cơ bản (quen thuộc) nào trong chương trình. Thậm chí có ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC Người viết : Mai Thị Thu Hương 2 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI- PHÒNG GD&ĐT QUẬN TÂY HỒ- TRƯỜNG THCS ĐÔNG THÁI những bài toán khi xem lời giải học sinh vẫn có thể không hiểu tại sao lại có những suy luận như vậy mà trong sách giáo khoa chưa đề cập đến. Trong một số trường hợp, lời giải đó sử dụng một vài khẳng định tuy rất hiển nhiên nhưng học sinh lại chưa hề được biết đến. Những bài toán có cách giải như vậy thường được coi là dạng toán không mẫu mực. Đó là những dạng toán khó thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp và kỳ thi tuyển sinh vào các lớp chuyên Toán trên toàn quốc. Trong bài này, tôi chỉ ghi lại những điều đã gặp và cách giải quyết chuyên đề “Ứng dụng nguyên lý Dirichlet” để giải một số bài tập hình học bậc THCS (từ lớp 7 đến lớp 9). 2. Mục đích và yêu cầu 2.1. Mục đích: - Giới thiệu đầy đủ về phương pháp giải, cách phân tích tìm hướng giải và các bài toán sử dụng nguyên lý Dirichlet trong hình học - Làm cho học sinh yêu thích môn toán hơn, mong muốn được tìm hiểu nghiên cứu sự thú vị và phong phú của môn Toán. - Phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về toán. - Rèn luyện khả năng tư suy luận lôgic, phát triển trí tuệ. - Làm tài liệu tham khảo giáo viên và học sinh nghiên cứu thêm. - Ứng dụng kết quả của bài toán vào giải quyết một số bài toán thực tế khác. - Phát triển bài toán nhằm nâng cao năng lực tư duy tự học của học sinh. 2.2. Yêu cầu: - Nắm vững được nguyên lý Dirichlet và nguyên lý mở rộng của nó ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC Người viết : Mai Thị Thu Hương 3 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI- PHÒNG GD&ĐT QUẬN TÂY HỒ- TRƯỜNG THCS ĐÔNG THÁI một cách cơ bản. - Hệ thống hoá các kiến thức và phương pháp giải bài toán về nguyên lý Dirichlet - Có những kỹ năng cần thiết khi nhận dạng và tìm hướng giải. - Có sự đam mê tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo trong việc dạy và học Toán. B. PHẦN NỘI DUNG I. Nguyên lý Dirichlet: Nguyên lý Dirichlet là một trong những nguyên lý đơn giản nhất, được dùng khá phổ biến trong số học, đại số và hình học và được phát biểu bằng nhiều cách khác nhau. Sau đây là cách phát biểu theo ngôn ngữ “thỏ” và “lồng”: + Nếu nhốt m con thỏ vào n cái lồng, m > n (m, n là các số tự nhiên) thì tồn tại một cái lồng chứa ít nhất 2 con thỏ. Nguyên lý có thể mở rộng như sau: + Nếu nhốt m con thỏ vào n cái lồng, m > n.k (m, n, k là các số tự nhiên) thì tồn tại một cái lồng chứa ít nhất k + 1 con thỏ. II. Phương pháp chung: Để giải một bài toán bằng cách sử dụng nguyên lý Dirichlet ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm hiểu đề bài, xác định hai đối tượng của bài toán. Số lượng mỗi đối tượng trong giả thiết của bài toán dạng này là các số nguyên dương. 2. Xây dựng thuật giải : ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC Người viết : Mai Thị Thu Hương 4 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI- PHÒNG GD&ĐT QUẬN TÂY HỒ- TRƯỜNG THCS ĐÔNG THÁI a. Tiến hành phân chia các đối tượng trong giả thiết của bài toán thành hai tập hợp các đối tượng {A}, {B}. Đây là bước quan trọng nhất của tiến trình giải toán. Việc phân chia như vậy thường dựa trên tính chất của từng loại yếu tố. b. Xác định và so sánh số phần tử của mỗi tập hợp {A}, {B}, tập hợp nào có số phần tử lớn hơn được chọn làm “thỏ”, tập hợp kia chọn làm “lồng”. Nếu trong bài toán đang xét đó ta chỉ ra được hai tập hợp các đối tượng tương ứng với “thỏ” và “lồng”, thì bài toán được giải xong. III. Ví dụ: Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Dùng ba màu xanh, đỏ, vàng để tô màu các đỉnh của tứ giác. Chứng tỏ rằng có hai đỉnh được tô cùng màu. Phân tích: - Xác định đối tượng của bài toán: đỉnh, màu tô - Xác định số lượng của từng loại đối tượng: 4 đỉnh, 3 màu - Các đối tượng trong giả thiết của bài toán được phân chia thành hai tập hợp: Tập hợp {A} gồm 4 đỉnh và tập hợp {B} gồm ba màu xanh, đỏ, vàng. - So sánh số phần tử của hai tập hợp để gán mỗi tập hợp với “thỏ” hoặc “lồng”. Ta coi tập {A} là “thỏ”, tập {B} là “lồng” (vì 4>3). - Sử dụng nguyên lý Dirichlet để đưa ra kết luận. Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một lồng chứa không ít hơn hai con thỏ. Điều đó có nghĩa có hai điểm được tô cùng màu. Giải: Số đỉnh được tô màu là 4 Số màu dùng để tô là 3 Vì 4>3 nên theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 2 đỉnh cùng màu. ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC Người viết : Mai Thị Thu Hương 5 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI- PHÒNG GD&ĐT QUẬN TÂY HỒ- TRƯỜNG THCS ĐÔNG THÁI Câu hỏi khai thác: Từ bài tập đơn giản, kết quả dễ nhìn thấy ta tiếp tục đặt ra nhiều tình huống khác nhau để đưa đến bài toán tổng quát nhằm hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa hai đối tượng. - Nếu chỉ dùng hai màu để tô thì số điểm được tô màu ít nhất là bao nhiêu để chắc chắn có hai điểm được tô cùng màu? - Tổng quát: Nếu số điểm được tô màu là a, số màu dùng để tô là b (a, b là các số tự nhiên) thì a, b quan hệ như thế nào với nhau để luôn có ít nhất hai điểm được tô cùng màu ? (a lớn hơn b ít nhất 1 đơn vị) - Nếu chỉ dùng hai màu để tô thì số điểm được tô màu ít nhất là bao nhiêu để chắc chắn có ba điểm được tô cùng màu? Tìm mỗi quan hệ giữa a, b trong trường hợp này ? (a ≥ b.2 + 1) Ví dụ 2: Trên một tờ giấy kẻ ô vuông có 7 đường kẻ ngang và 9 đường kẻ dọc. Giao điểm của một đường kẻ ngang với một đường kẻ dọc được gọi là nút. Người ta tô các nút trên tờ giấy bằng hai màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng có ít nhất hai nút cùng màu. Phân tích: - Xác định đối tượng của bài toán: nút, màu tô - Xác định số lượng của từng loại đối tượng: 4 Số lượng các nút trong tờ giấy là 7.9 = 63 Số màu dùng để tô là 2 - Các đối tượng trong giả thiết của bài toán được phân chia thành hai tập hợp: Tập hợp {A} gồm 63 nút và tập hợp {B} gồm hai màu xanh và đỏ. - So sánh số phần tử của hai tập hợp để gán mỗi tập hợp với “thỏ” hoặc “lồng”. Ta coi tập {A} là “thỏ”, tập {B} là “lồng” (vì 63 > 2). - Sử dụng nguyên lý Dirichlet để đưa ra kết luận. Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một lồng chứa không ít hơn hai con thỏ. Điều đó có nghĩa là có không ít hơn hai nút cùng màu. ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC Người viết : Mai Thị Thu Hương 6 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI- PHÒNG GD&ĐT QUẬN TÂY HỒ- TRƯỜNG THCS ĐÔNG THÁI Giải: Số lượng các nút trên tờ giấy là 7.9 = 63 (nút) Số màu dùng để tô là 2 màu Vì 63 > 2 nên theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 2 nút cùng màu. Câu hỏi khai thác: 1) Kết quả bài toán thay đổi như thế nào nếu ta tô các nút trên tờ giấy bằng: a) 31 màu khác nhau? b) Dùng trong khoảng từ 2 đến 31 màu? Trả lời: Kết quả bài toán không thay đổi do số “thỏ” luôn lớn hơn số “lồng” 2) Nếu dùng 31 màu khác nhau để tô ta có thể khẳng định: Có ít nhất 3 nút được tô cùng màu hay không? Vì sao? Trả lời: Theo nguyên lý Dirichlet mở rộng ta khẳng định chắc chắn có ba nút được tô cùng màu vì 63 > 2.31 3) Hãy đặt một đề bài tương tự Ví dụ 2 Trên đây là dạng bài tập đơn giản nhất, giúp hình thành rõ các bước suy luận. Ta tiếp tục đặt ra các tình huống khó hơn nhưng biết trước số phần tử của tập hợp “thỏ” phải xác định tập hợp “lồng” và số “lồng” phù hợp. Ví dụ sau đây trình bày một cách tạo ra tập hợp “lồng”. Ví dụ 3: Trong tam giác đều có 4 cạnh bằng 4 (đơn vị độ dài, được hiểu đến cuối bài viết này) lấy 17 điểm. Chứng minh rằng trong 17 điểm đó có ít nhất hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1. Phân tích: Từ điền kiện “khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1” và cạnh của tam giác đều bằng 4 gợi cho ta tìm đến một đối tượng hình học khác tập hợp 17 điểm đã cho. Để có được “ít nhất hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1” thì ta coi tập hợp 17 điểm là tập hợp “thỏ” suy ra tập hợp các đối ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC Người viết : Mai Thị Thu Hương 7 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI- PHÒNG GD&ĐT QUẬN TÂY HỒ- TRƯỜNG THCS ĐÔNG THÁI tượng mới là tập hợp “lồng”. Suy ra số phần tử của tập hợp các đối tượng mới này phải nhỏ hơn 17. Bằng các suy luận trên hãy tìm cách tạo ra các “lồng” để nhốt “thỏ”. Giải: Chia tam giác đều có cạnh bằng 4 thành 16 tam giác đều có cạnh bằng 1(luôn chia được) . Vì 17 > 16 , theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất một tam giác đều cạnh bằng 1 có chứa ít nhất hai điểm trong số 17 điểm đã cho. Khoảng cách giữa hai điểm đó luôn không vượt quá 1. Ta chứng minh rằng khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ nằm trong tam giác đều không lớn hơn cạnh tam giác. Ta ký hiệu hai điểm K, L nằm trong tam giác ABC đều, khi đó ta có ∠ KAL < 60 0 . Một trong hai góc còn lại của tam giác AKL không nhỏ hơn 60 0 , chẳng hạn ∠ ALK ≥ 60 0 => AK > KL. Gọi E là giao điểm của AK với cạnh BC, ta có AE > AK. Trong tam giác ABE, góc AEB ≥ 60 0 (Nó là góc ngoài của tam giác AEC), nên AB > AE. Kết hợp các kết quả trên ta suy ra điều cần chứng minh. Để rèn cho học sinh có khả năng linh hoạt và tư duy sáng tạo, ta tiếp tục giới thiệu các bài tập tương tự, học sinh phải tạo tập hợp các “lồng” bằng các cách khác nhau như trong các ví dụ sau đây. Ví dụ 4: Trong mặt phằng cho 2009 điếm sao cho cứ 3 điểm bất kỳ có ít nhất 2 điểm cách nhau một khoảng không vượt quá 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròng bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1005 điểm. Giải: Lấy điểm A bất kỳ trong 2009 điểm đã cho, ví dụ đường tròn C 1 tâm A bán kính bằng 1. ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC Người viết : Mai Thị Thu Hương 8 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI- PHÒNG GD&ĐT QUẬN TÂY HỒ- TRƯỜNG THCS ĐÔNG THÁI + Nếu tất cả các điểm nằm trong hình tròn C 1 thì bài toán hiển nhiên đúng. + Nếu tất cả các điểm B mà khoảng cách giữa A và B lớn hơn 1 thì ta vẽ đường tròn C 2 tâm B bán kính bằng 1. Khi đó, xét điểm C tùy ý trong số 2007 điểm còn lại. Xét ba điểm A,B, C vì AB >1 nên theo giả thiết thì có AC ≤ 1 và BC ≤ 1. Nói cách khác, điểm C phải thuộc C 1 hoặc C 2 . Theo nguyên lý Dirichlet, có một hình tròn chứa ít nhất 1004 điểm. Tính thêm tâm hình tròn này thì hình tròn này chính là hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1005 điểm trong 2009 điểm đã cho. Ví dụ 5: Trong hình tròn có diện tích bằng 1 ta lấy 17 điểm bất kỳ, không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có ít nhất 3 điểm lập thành 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 8 . Phân tích: - Trước hết cần phân tích nguyên lý Dirichlet mở rộng - Dựa vào đề bài hãy xác định xem đối tượng nào trong bài toán được coi là tập hợp “thỏ” - Từ các điều kiện “hình tròn có diện tích bằng 1” và “tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 8 ” gợi cho ta nghĩ đến đối tượng hình học nào? - Vậy đối tượng nào được coi là “lồng” trong bài toán này? - Mỗi “lồng” chứa bao nhiêu con “thỏ”? - Xác định số “lồng”? (17 – 1 ) : (3 - 1) = 8 hoặc 1: 1 8 = 8 ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC Người viết : Mai Thị Thu Hương 9 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI- PHÒNG GD&ĐT QUẬN TÂY HỒ- TRƯỜNG THCS ĐÔNG THÁI - Hãy chia hình tròn có diện tích bằng 1 thành các hình có diện tích bằng nhau và bằng 1 8 ? Giải: Chia hình tròn thành 8 phần bằng nhau. Mỗi phần có diện tích là 1 8 Do 17:8 = 2 (dư 1) nên theo nguyên lý Dirichlet có 1 phần chứa ít nhất 3 điểm. ba điểm này là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn diện tích mỗi hình quạt. Vậy có ít nhất 3 điểm trong 17 điểm đã cho lập thành 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 8 Câu hỏi tổng quát hóa: Kết quả bài toán thay đổi thế nào nếu ta lấy trong hình tròn n điểm (n ∈ N, n ≥ 3)? Phân tích: Trong trường hợp lấy n điểm trong hình tròn (n ∈ N, n ≥ 3) ta xét hai trường hợp sau đây Trường hợp 1: Nếu n = 2k+1 (k ∈ N, k ≥ 1) ta chia hình tròn thành k phần bằng nhau, mối phần là một hình quạt có diện tích bằng 1 k Trường hợp 2: Nếu n = 2k (k ∈ N, k ≥ 2) ta chia hình tròn thành k – 1 phần bằng nhau, mối phần là một hình quạt có diện tích bằng 1 1k − Lập luận tương tự ta cũng suy ra kết quả như trên. Trong một số bài tập hình học ngoài sử dụng nguyên lý Dirichlet ta còn phải kết hợp với các phương phác khác giải bài toán cực trị, xấp xỉ,… Ví dụ 6: Trong hình vuông có cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn hơn 1 32 Giải: ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC Người viết : Mai Thị Thu Hương 10 [...]... yêu Toán học hơn và ngày càng say mê với bộ môn C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ: ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC Người viết : Mai Thị Thu Hương 24 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI- PHÒNG GD&ĐT QUẬN TÂY HỒ- TRƯỜNG THCS ĐÔNG THÁI Nguyên lí Dỉrichlet là một công cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học Nó đặc biệt có nhiều áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán. .. tôi mới chỉ nghiên cứu ghi lại ứng dụng của nguyên lí này cho hình học cấp THCS Tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu ứng dụng của nó cho đại số, số học vào các năm sau Bài viết còn nhiều thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các độc giả để tôi có thể hoàn thiện tốt hơn Tôi xin chân thành cảm ơn./ D LỜI CAM ĐOAN ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC Người viết : Mai Thị Thu... Mau hình học) - NXB Giáo Dục - Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp và toán GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC Người viết : Mai Thị Thu Hương 27 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI- PHÒNG GD&ĐT QUẬN TÂY HỒ- TRƯỜNG THCS ĐÔNG THÁI rời rạc - NXB Giáo Dục - Báo toán học tuổi thơ 2 Đề thi: - Thi HSG các cấp - Thi vào 10 các trường chuyên INTERNET ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG. .. điểm (3 = 2+1) trong số 51 điểm đã cho Hình vuông cạnh bằng 7 có bán kính đường tròn 5 ngoại tiếp là: 2 2 7 7  ÷ + ÷ 98 5 5 = . sử dụng nguyên lý Dirichlet giải một số bài tập hình học hay ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐỈRICHLET TRONG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC ” bậc THCS. 1.2. Cơ sở thực tiễn: Nhận xét rằng, việc giải các bài toán. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC Người viết : Mai Thị Thu Hương 2 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI- PHÒNG GD&ĐT QUẬN TÂY HỒ- TRƯỜNG THCS ĐÔNG THÁI những bài toán khi xem lời giải. lớp chuyên Toán trên toàn quốc. Trong bài này, tôi chỉ ghi lại những điều đã gặp và cách giải quyết chuyên đề Ứng dụng nguyên lý Dirichlet” để giải một số bài tập hình học bậc THCS (từ lớp