Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác A.PHẦN MỞ ĐẦU I.Tên đề tài: Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác. II. Lý do chọn đề tài: Môn Đại số và giải tích 11 gồm nhiều nội dung. Trong đó, lượng giác là một nội dung quan trọng đối với học sinh. Lượng giác là môn học mà đa số học sinh cho rằng khó . Bởi vì kiến thức tương đối nhiều cả công thức lẫn bài tập. Một bài toán có thể vận dụng rất nhiều công thức khác nhau và có thể giải theo nhiều cách khác nhau. Việc kết hợp nghiệm cũng là một vấn đề không đơn giản đối với các em. Do đó việc mắc sai lầm là điều đương nhiên sẽ xảy ra đối với các em. Là giáo viên giảng dạy , ai cũng mong muốn học sinh của mình học thật tốt , có nhiều lời giải hay, phong phú, chính xác.Tuy nhiên,điều đó chỉ đạt được đối với một số ít học sinh, còn phần đông các em còn mắc phải một số sai lầm khi giải toán. Giúp các em nhận thấy sai lầm và kòp thời sửa chữa là một việc làm hết sức cần thiết,từ đó các em nhớ lâu hơn cách giải cũng như công thức để lần sau né tránh những sai lầm trên. III. Nhiệm vụ của đề tài: Trong chương trình môn toán lớp 11, lượng giác có một vò trí rất quan trọng. Lượng giác có rất nhiều công thức, một bài toán lại có nhiều cách giải khác nhau, mỗi một cách giải lại vận dụng nhiều công thức , việc lẫn lộn các công thức là điều không thể tránh khỏi. Giúp các em nhận ra sai lầm, nguyên nhân sai lầm là một việc làm hết sức cần thiết.Thấy được sai lầm các em sẽ có hướng khắc phục từ đó nhớ lâu hơn cách giải cũng như công thức để lần sau né tránh những sai lầm trên. Giải được tốt các bài toán giúp các em hứng thú trong học tập, tự mình tìm tòi ra những cách giải không những đúng mà còn rất hay. Khi giải toán nói chung và giải toán lượng giác nói riêng, học sinh phải biết tập trung vào cái bản chất của bài toán, gạt bỏ những cái thứ yếu, biết xâu chuỗi những cái đã cho và cái câøn tìm từ đó phân tích để tìm ra mối liên hệ giữa các công thức, chọn ra công thức thích hợp,nhờ đó phát huy tính sáng tạo và tạo thói quen làm việc một cách khoa học cho học sinh. Rèn luyện tính kiên trì, tự lực vượt khó, cẩn thận, chu đáo.Tập cho học sinh thói quen lập luận chặc chẽ, chính xác khi giải toán. IV. Giới hạn của đề tài: Lượng giác không những được học ở lớp 11 mà cả ở lớp 10 và lớp 12 các em cũng gặp rất nhiều bài toán lượng giác như tính giá trò lượng giác của một Võ Thò Thuỳ Trang 1 Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác góc,tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của một hàm số lượng giác, tính đạo hàm của một hàm số lượng giác Trong đề tài này tôi chỉ giới hạn trong việc chỉ ra sai lầm thường gặp của học sinh và sửa sai lầm khi giải toán lượng giác lớp 11. V. Phương pháp nghiên cứu: -Phương pháp quan sát. - Phương pháp khảo sát thực tế. B. PHẦN NỘI DUNG I.Cơ sở lý luận: Trong quá trình giải toán nói chung và giải toán lượng giác nói riêng, giáo viên không bắt buộc học sinh giải theo một cách nhất đònh mà phải phát huy tính chủ động , sáng tạo của học sinh.Các em giải theo phương pháp tuỳ ý nhưng Võ Thò Thuỳ Trang 2 Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác phải đảm bảo tính hệ thống, lập luận chặc chẽ, chính xác , khoa học. Điều này chỉ đạt đối với một số học sinh nhất đònh nào đó còn lại hầu hết các em còn mắc một số sai lầm. Muốn khắc phục được những sai lầm thì cần tìm hiểu rõ nguyên nhân để có biện pháp phù hợp. *Những nguyên nhân và biện pháp khắc phục sai lầm: Nguyên nhân sai lầm Biện pháp khắc phục Sai sót về kiến thức toán học tức là hiểu sai đònh nghóa, khái niệm,không phân biệt được giả thiết, kết luận của đònh lý. - Nhắc lại cho học sinh các kiến thức liên quan.Làm cho học sinh hiểu rõ đònh nghóa,khái niệm , đònh lý. -Yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức liên quan. Sai sót về phương pháp suy luận, sử dụng sai kí hiệu, ngôn ngữ diễn đạt. - Chỉ cho học sinh các bước lập luận thiếu cơ sở, không chính xác , nguyên nhân dẫn đến các sai lầm đó. -Tập cho học sinh thói quen giải toán phải có cơ sở lí luận và phải thật đầy đủ. Hiểu được vấn đề nhưng khi diễn đạt sai, kết luận vội vàng thiếu cơ sở lí luận - Chỉ cho học sinh sai lầm, hướng khắc phục. - Giáo viên tập cho học sinh thói quen kiểm tra lại lời giải. -Rèn luyện cho các em tính cẩn thận, chính xác không được vội vàng trong quá trình giải toán. Không xét hết các khả năng xảy ra của bài toán Giáo viên cần nêu cho học sinh thấy được tất cả các khả năng có thể xảy ra của bài toán. II. Thực trạng giảng dạy: 1. Đặc điểm tình hình lớp dạy: a. Về phía giáo viên: -Thường nóng vội sợ mất thời gian nên kiểm tra không kỹ do đó không phát hiện ra nhầm lẫn của học sinh. - Thường tập trung làm việc nhiều với học sinh khá, giỏi mà không chú ý quan tâm giúp đỡ những học sinh trung bình, yếu nhằm phát hiện sửa chữa kòp thời những sai lầm. b. Về phía học sinh: Võ Thò Thuỳ Trang 3 Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác -Thường đọc qua loa đề bài rồi vội giải ngay, khi giải thì vội vàng, lập luận không chặc chẽ thậm chí vận dụng kiến thức không đúng. -Việc học lý thuyết chưa được quan tâm đúng mức nên không nắm vững những công thức, thường lẫn lộn những công thức với nhau. - Không nắm được phép biến đổi nào dẫn đến phương trình tương đương, phép biến đổi nào dẫn đến phương trình hệ quả. 2. Một số bài toán mà học sinh giải dẫn đến kết luận sai: 2.1. Sai sót về kiến thức toán học: Ví dụ 1: Giải phương trình: tg5x.tgx=1(1) (Bài tập 4- trang 65- SGK) * Sai lầm thường gặp: (1)  ⇔                    +−= +−=        += += ⇔           −= −=    = = π π π π π π π π ' 4 4 5 ' 4 4 5 1 15 1 15 lx lx kx kx tgx xtg tgx xtg ⇔                    +−= +−=        += += π π ππ π π ππ ' 4 520 ' 4 520 lx l x kx k x       +−= += π π π π ' 4 ' 4 lx kx π π mx +=⇔ 4 ( k,k',l,l',m ∈ Z) Vậy phương trình có một họ nghiệm: π π mx += 4 * Nguyên nhân sai lầm: Ta có: ,R∈∀ α sin ∈ α [-1;1] và cos ∈ α [-1;1] Nên sinu. cosv=1     −= −= ∨    = = 1cos 1sin 1cos 1sin v u v u Còn ,R∈∀ α tg ∈ α R và cotg ∈ α R nên kết quả trên không đúng. * Biện pháp khắc phục: Giáo viên nhắc lại tập giá trò của các hàm số lượng giác Không thể giải phương trình tg α . cotg α =1 như phương trình sin α . cos α =1 * Lời giải đúng: + π π kx += 2 không phải là nghiệm (1) + π π kx +≠ 2 , chia hai vế phương trình (1) cho tgx ta được: tg5x= tgx 1  tg5x= cotgx  tg5x= tg( 2 π -x) Võ Thò Thuỳ Trang 4 Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác  5x= 2 π -x+k π  x= 612 ππ k + (k ∈ Z) Vậy phương trình có một họ nghiệm:x= 612 ππ k + (k ∈ Z) Ví dụ 2: Tính giới hạn: I= x x x 4cos1 lim 0 − → * Sai lầm thường gặp: I= x x x 4cos1 lim 0 − → = x x x 2sin2 2 0 lim → = x x x 2sin 2 lim 0→ = x x x 2 2sin 22 lim 0→ =2 2 * Nguyên nhân sai lầm: Ta có: x2sin2 2 = 2 x2sin =      − x x 2sin2 2sin2 * Biện pháp khắc phục: Giáo viên nhắc lại đònh nghóa    − = A A A * Lời giải đúng: x x x 4cos1 lim 0 − − → = x x x 2sin2 2 0 lim − → = x x x 2 2sin 22 lim 0 − − → =-2 2 x x x 4cos1 lim 0 − + → = x x x 2sin2 2 0 lim +→ = x x x 2 2sin 22 lim 0+→ =2 2 Vì x x x 4cos1 lim 0 − − → ≠ x x x 4cos1 lim 0 − + → Vậy không tồn tại giới hạn tại điểm x=0. 2.2. Sai sót về phương pháp suy luận,sử dụng sai kí hiệu, ngôn ngữ diễn đạt. Ví dụ 3: Giải phương trình: cosx. cos2x = 4 1 (2) * Sai lầm thường gặp: (2) 4 sinxcosx.cos2x=sinx sin4x =sinx     +−= += ππ π 24 24 lxx kxx        += = 5 2 5 3 2 ππ π l x k x (k,l ∈ Z) * Nguyên nhân sai lầm: Nhân hai vế của phương trình với sinx ta được phương trình hệ quả chứ không phải phương trình tương đương, do đó xuất hiện nghiệm ngoại lai x=k π . Võ Thò Thuỳ Trang 5 Nếu sin2x 0 ≥ Nếu sin2x<0 nếu A 0≥ nếu A<0 Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác * Biện pháp khắc phục: Khi giải xong phải loại nghiệm x=k π ra khỏi họ nghiệm của phương trình , * Lời giải đúng: Ta thấy x=k π không phải là nghiệm phương trình (2) (2)    ≠ = 0sin sin2cos.cos.sin4 x xxxx     ≠ = 0sin sin4sin x xx         ≠       += = π ππ π kx k x k x 5 2' 5 3 2           +±= +±= +±= π π π π π π 2 5 3 2 5 2 3 2 nx mx kx (k,m,n ∈ Z) Ví dụ 4: Giải phương trình: log sin2x ( cos2x-cos4x) =1 (3) * Sai lầm thường gặp: (3)  cos2x-cos4x= sin2x 2 sinx. sin3x= 2 sinx.cosx          += += = ⇔     −= = ⇔    = = π π ππ π π nx m x kx xx x xx x 4 28 ) 2 sin(3sin 0sin cos3sin 0sin (k,m,n ∈ Z) * Nguyên nhân sai lầm: Với x= k π thì sin2x =0 nên biểu thức log sin2x ( cos2x-cos4x) vô nghóa. Vậy x=k π là nghiệm ngoại lai. *Biện pháp khắc phục: Trước khi giải phương trình logarit phải đặt điều kiện để biểu thức logarit có nghóa. Khi giải xong phải đối chiếu điều kiện. * Lời giải đúng: (3)    > = ⇔    > =− 02sin cos.sin23sin.sin2 02sin 2sin4cos2cos x xxxx x xxx       > −= 02sin ) 2 sin(3sin x xx π           >       += += 02sin 4 28 x nx m x π π ππ        += += π π π π nx kx 4 8 (k,n ∈ Z) Võ Thò Thuỳ Trang 6 Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác Vậy phương trình có hai họ nghiệm:       += += π π π π nx kx 4 8 (k,n ∈ Z) Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: T= sinA +sin B +sinC + CBA sin 1 sin 1 sin 1 ++ * Sai lầm thường gặp: sinA +sin B +sinC + CBA sin 1 sin 1 sin 1 ++ 6 sin.sin.sin sin.sin.sin 6 CBA CBA ≥  T 6 ≥ Vậy MinT=6 * Nguyên nhân sai lầm: MinT=6  sinA=sinB=sinC= CBA sin 1 sin 1 sin 1 == =1 => A=B=C= 2 π ( điều này mâu thuẩn với giả thiết A+B+C= π ) *Biện pháp khắc phục: Hướng dẫn khi áp dụng bất đẳng thức côsi phải kiểm tra xem đẳng thức có xảy ra hay không. Đẳng thức xảy ra khi nào? * Lời giải đúng: T=( 3 4 sinA + 3 4 sin B + 3 4 sinC + CBA sin 1 sin 1 sin 1 ++ )- 3 1 (sinA +sin B +sinC ) 6 sin.sin.sin sin 3 4 .sin 3 4 .sin 3 4 6 CBA CBA ≥ - 3 1 (sinA +sin B +sinC ) = 3 12 - 3 1 (sinA +sin B +sinC ) Mà sinA.sinB.sinC 2 33 ≤ Nên T 2 37 2 33 . 3 1 3 12 =−≥ Vậy Min T= 2 37 khi sinA=sinB=sinC= 2 3 hay A=B=C= 3 π 2.3. Hiểu được vấn đề nhưng khi diễn đạt sai, kết luận vội vàng thiếu cơ sở lí luận: Ví dụ 6: Giải phương trình : sin3x=cos2x (4) ( Bài tập 3-trang 65-SGK) * Sai lầm thường gặp: (4) sin3x = sin( 2 π -2x) Võ Thò Thuỳ Trang 7 Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác        += += ⇔       ++= +−= π π ππ π π π π 2' 2 5 2 10 2'2 2 3 22 2 3 kx kx kxx kxx Vậy phương trình (4) có hai họ nghiệm :       += += π π ππ 2' 2 5 2 10 kx kx ( k,k' ∈ Z) * Nguyên nhân sai lầm: Thật ra , họ nghiệm x= π π 2' 2 k+ chứa trong họ nghiệm x= 5 2 10 ππ k + Vậy phương trình (4) có một họ nghiệm :x= 5 2 10 ππ k + . *Biện pháp khắc phục: Khi giải xong cần kiểm tra lại các họ nghiệm của phương trình . * Lời giải đúng: (4) sin3x = sin( 2 π -2x)        += += ⇔       ++= +−= π π ππ π π π π 2' 2 5 2 10 2'2 2 3 22 2 3 kx kx kxx kxx x= 5 2 10 ππ k + . Vậy phương trình (4) có một họ nghiệm :x= 5 2 10 ππ k + (k ∈ Z). Ví dụ 7:Tìm a để hệ )( 11 0))(1(cot I x axgx    <<− =−− chỉ có một nghiệm * Sai lầm thường gặp 1: (I)           <<− = = ⇔            <<− =      <<− += ⇔      <<−    = = 11 4 11 11 4 11 1cot x ax x x ax x kx x ax gx π π π Vì (I) luôn có nghiệm x= 4 π nên để (I) chỉ có một nghiệm thì    <<− = 11 x ax vô nghiệm ,tức là    −≤ ≥ 1 1 a a . * Sai lầm thường gặp 2: (I)           <<− = = ⇔            <<− =      <<− += ⇔      <<−    = = 11 4 11 11 4 11 1cot x ax x x ax x kx x ax gx π π π Võ Thò Thuỳ Trang 8 Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác Vì (I) luôn có nghiệm x= 4 π nên để (I) chỉ có một nghiệm thì    <<− = 11 x ax vô nghiệm hoặc có nghiệm x= 4 π         = −≤ ≥ 4 1 1 π a a a * Nguyên nhân sai lầm: x=k π thì cotgx không xác đònh nên a=k π không thoả điều kiện bài toán. *Biện pháp khắc phục: Trước khi giải phương trình phải đặt điều kiện để biểu thức có nghóa. Khi giải xong phải đối chiếu điều kiện. * Lời giải đúng: (I)               <<− ≠ = = ⇔                <<− ≠ =      <<− += ⇔          <<− ≠    = = 11 4 11 0sin 11 4 11 0sin 1cot x kx ax x x x ax x kx x x ax gx π π π π Vì (I) luôn có nghiệm x= 4 π nên để (I) chỉ có một nghiệm thì    <<− = 11 x ax vô nghiệm hoặc có nghiệm x= 4 π          = = −≤ ≥ 4 1 1 π π a ka a a 2.4. Không xét hết các khả năng xảy ra của bài toán: Ví dụ 8: Giải phương trình: xxxx cossin22sin12cos +=++ (5) * Sai lầm thường gặp : Điềukiện:    ≥+ ≥− ⇔    ≥+ ≥+− ⇔    ≥+ ≥ 0cossin 0sincos 0cossin 0)sin)(cossin(cos 0cossin 02cos xx xx xx xxxx xx x (*) Với điều kiện (*) thì (5)  xxxxxxxx cossin2)sin(cos)sin)(cossin(cos 2 +=+++−  0]2sincossincos[sincos =−++−+ xxxxxx      = +−= ⇔    = −= ⇔         = = −= ⇔    =+ =+ π π π '2 4 1cos 1 12cos 1cos 1 22coscos 0sincos kx kx x tgx x x tgx xx xx * Nguyên nhân sai lầm: Võ Thò Thuỳ Trang 9 Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác Phép biến đổi    ≥+ ≥− ⇔    ≥+ ≥+− 0cossin 0sincos 0cossin 0)sin)(cossin(cos xx xx xx xxxx không phải là phép biến đổi tương đương. cosx+sinx=0 thì (cosx+sinx)( cosx-sinx) Rx ∈∀≥ ,0 *Biện pháp khắc phục: Giáo viên chỉ cho học sinh các khả năng có thể xảy ra của bài toán. * Lời giải đúng: Điều kiện:    ≥+ ≥+− ⇔    ≥+ ≥ 0cossin 0)sin)(cossin(cos 0cossin 02cos xx xxxx xx x + Trường hợp 1: Xét cosx+sinx=0 tgx=-1 x=- 4 π +k π thoả(5) + Trường hợp 2: Xét cosx+sinx>0 ,    >+ ≥− ⇔    >+ ≥+− ⇔    >+ ≥ 0cossin 0sincos 0cossin 0)sin)(cossin(cos 0cossin 02cos xx xx xx xxxx xx x Khi đó (5)  0]2sincossincos[sincos =−++−+ xxxxxx  02sincossincos =−++− xxxx  cosx + x2cos =2     =− = 11cos2 1cos 2 x x  cosx=1  x=k'2 π Vậy phương trình có hai họ nghiệm :     = +−= π π π 2' 4 kx kx ( k,k' ∈ Z). C.PHẦN KẾT LUẬN: Dạy học sinh giải các bài toán lượng giác,trước hết yêu cầu các em học thuộc các công thức lượng giác, nắm vững các công thức này và nắm vững một số phép biến đổi đại số dẫn đến phương trình tương đương.Cần phân biệt được phép biến đổi nào dẫn đến phương trình tương đương, phép biến đổi nào dẫn đến phương trình hệ quả. Việc học sinh mắc sai lầm khi giải toán là điều không thể tránh khỏi. Khi giảng dạy giáo viên cần tập cho các em thói quen kiểm tra lại lời giải,cẩn thận,chu đáo, lập luận chặc chẽ khi giải toán. Chỉ ra sai lầm cho học sinh và giúp các em có hướng khắc phục là tạo điều kiện cho các em tiếp thu kiến thức một cách dễ dàng hơn, tạo cho các em hứng thú học tập, tìm tòi , sáng tạo. Trong bài viết này tôi đưa ra một số ví dụ mà trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường mắc sai lầm.Rất mong sự đóng góp ý kiến xây dựng làm thế nào để học sinh khắc phục những sai lầm và đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra. Võ Thò Thuỳ Trang 10 [...].. .Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác Quá trình thực hiện đề tài chắc rằng bản thân tôi không thể tránh khỏi thiếu sót,rất mong sự quan tâm góp ý của đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn Tư Nghóa, ngày 25 tháng 11 năm 2006 Người thực hiện Vo õThò Thuỳ Võ Thò Thuỳ Trang . Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác A.PHẦN MỞ ĐẦU I.Tên đề tài: Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác. II. Lý do chọn đề tài: Môn Đại số và giải tích. giác không những được học ở lớp 11 mà cả ở lớp 10 và lớp 12 các em cũng gặp rất nhiều bài toán lượng giác như tính giá trò lượng giác của một Võ Thò Thuỳ Trang 1 Một số sai lầm của học sinh khi. Thò Thuỳ Trang 2 Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác phải đảm bảo tính hệ thống, lập luận chặc chẽ, chính xác , khoa học. Điều này chỉ đạt đối với một số học sinh nhất đònh nào