A-ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.Cơ sở lý luận: Trong chương trình toán THCS, đặc biệt là Đại số 8- Đại số 9. Các dạng toán tìm GTLN- GTNN luôn được đề cập đến, nhưng do quỹ thời gian không cho phép nên các nhà viết sách không đưa ra được các phương pháp giải hoặc các ví dụ minh họa. Chính vì thế học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong làm bài, thậm chí nhiều em còn không hiểu rõ thế nào là GTLN- GTNN chứ chưa nói đến việc tìm ra giá trị đó. Toán học nâng cao sẽ giúp các em có hiểu biết sâu hơn, rộng hơn về toán. Các phương pháp giải toán cực trị là một trong các chuyên đề đó. Sử dụng các phương pháp “Tìm cực trị toán học” có tác dụng góp phần phát triển năng lực, trí tuệ: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa. Rèn luyện đức tính : cẩn thận, chính xác, khoa học, tính kỉ luật, tự giác cao trong học tập. Bồi dưỡng tính sáng tạo cho các em 2.Cơ sở thực tiễn Trong quá trình dạy Toán 8- Toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy sách giáo khoa hầu như chưa đề cập đến dạng toán “ Tìm cực trị”. Song khi thi tuyển vào THPT hay thi chọn đội tuyển HSG cấp huyện- tỉnh các thầy cô ra đề thường chọn đây là mảng kiến thức hay và khó nhằm chọn được học sinh có trí tuệ, có tư duy, có kỹ năng. Sử dụng “ Một số phương pháp tìm cực trị ở bậc THCS” sẽ giúp cho nhiều học sinh hiểu và nắm vững cực trị toán học. Giúp các em có kiến thức vững vàng khi tham gia các kỳ thi lớn. Chính vì thế tôi xin được hệ thống các dạng toán và các phương pháp giải thích hợp nhằm cùng thầy cô có cái tổng quan hơn về dạng toán “ tìm cực trị”. Đồng thời tạo điều kiện cho các em học sinh có bộ tài liệu tham khảo về mảng kiến thức khó này. II. MỤC TIÊU – PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Mục tiêu - Giúp học sinh làm quen và có hướng giải quyết các bài toán liên quân đến “ Tìm giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất” gọi chung “ tìm cực trị” trong toán học phổ thông cơ sở. Củng cố được kiến thức toán học còn hổng cho học sinh -Rèn tính sáng tạo, tư duy linh hoạt, khả năng giải quyết các vấn đề mới, các vấn đề khó trong cuộc sống. 2. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu SGK, tài liệu tham khảo sau đó vận dụng và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề. - Trao đổi nhóm chuyên môn, xây dựng và đúng kết kinh nghiệm từ đồng nghiệp. - Sử dụng các tài liệu: Toán nâng cao và phát triển Toán 8-9 Toán học và tuổi trẻ Các diễn đàn toán học trên Internet B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHẦN I : CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.Các định nghĩa. 1. Định nghĩa giá trị lớn nhất( GTLN) .Cho biểu thức f(x,y ) xác định trên D. Ta nói M là GTLN của f(x,y ) trên D, kí hiệu M= maxf(x,y ), nếu hai điều kiện sau xảy ra - Với mọi x, y thuộc D thì f(x,y ) ≤ M , với M là hằng số. - Tồn tại x 0 , y 0 thuộc D sao cho f(x 0 ,y 0 ) =M 2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) .Cho biểu thức f(x,y )xác định trên D.Ta nói m là GTNN của f(x,y ) trên D, kí hiệu m= minf(x,y ), nếu hai điều kiện sau xảy ra - Với mọi x, y thuộc D thì f(x,y ) ≥ m , với m là hằng số. - Tồn tại x 0 , y 0 thuộc D sao cho f(x 0 ,y 0 ) =m II. Các kiến thức thường dùng. 1. Lũy thừa: Ta có (x k ) 2 =x 2k ≥ 0 với mọi x ∈ R và k ∈ Z => - x 2k ≤ 0 với mọi x ∈ R và k ∈ Z Tổng quát : [ ] 2 ( ) 0 k f x ≥ với mọi x ∈ R và k ∈ Z - [ ] 2 ( ) 0 k f x ≤ với mọi x ∈ R và k ∈ Z Áp dụng : [ ] 2 ( ) k f x m m± ≥ ± với mọi x ∈ R và k ∈ Z - [ ] 2 ( ) k f x m m± ≤ ± với mọi x ∈ R và k ∈ Z 2. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: ( ) 0f x ≥ với mọi x ∈ R x y x y+ ≤ + dấu “=” xảy ra khi x.y ≥ 0 x y x y− ≥ − dấu “=” xảy ra khi x.y ≥ 0 và x y≥ 3. Bất đẳng thức Cosi: Với hai số a, b không âm thì a+b ≥ 2 .a b Dấu “=” xảy ra khi a=b Tổng quát: Với mọi a i ≥ 0 và n ∈ N * ta có 1 2 1 2 . n n n a a a a a a n + + + ≥ Dấu “=” xảy ra khi a 1 =a 2 =….=a n 4. Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Với hai cặp số (a,b) và (c,d) ta có ( a.b+c.d) 2 ≤ (a 2 +c 2 )(b 2 +d 2 ) Dấu “=” xảy ra khi a c b d = Tổng quát: Với n cặp số a 1 ;a 2 ;….;a n và b 1 ; b 2 ;…b n Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 1 1 n n n n a b a b a b a a b b+ + + ≤ + + + + Dấu “=” xảy ra khi 1 2 1 2 n n a a a b b b = = = 5. Bất đẳng thức Bernoully: Với mọi số a ≥ 0 thì (1+a) n ≥ 1+n.a với n ∈ N Dấu ‘=’ xảy ra khi a=0 6. Một số bất đẳng thức khác. a, x 2 +y 2 ≥ 2xy b, (x+y) 2 ≥ 4xy c, 2(x 2 +y 2 ) ≥ (x+y) 2 d, 2 x y y x + ≥ với x.y>0 e, 1 1 4 x y x y + ≥ + *) Chú ý: Sau khi tìm được GTLN- GTNN của biểu thức đại số f(x,y…) cần thử lại xem f(x,y…) có đạt GTLN- GTNN tại đúng giá trị đó không và giá trị của biến cso thỏa mãn các điều kiện của bài toán không ? PHẦN II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI TOÁN CỰC TRỊ I. PHƯƠNG PHÁP 1: Sử dụng phép biến đổi đồng nhất. Bằng cách nhóm , thêm, bớt, tách các hạng tử một cách thích hợp, ta có biểu thức về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và một hằng số. Từ đó tìm GTLN- GTNN của biểu thức ban đầu. 1. Ví dụ minh họa: 1.1 Tam thức bậc hai: Ví dụ 1: a, Tìm GTNN của biểu thức A =2x 2 -8x+1 b, Tìm GTLN của biểu thức B= -5x 2 -4x+1 Giải a, A =2x 2 -8x+1 =2 (x 2 -4x) +1 = 2(x 2 -4x+4-4)+1 = 2(x-2) 2 -7 ≥ -7 với mọi x Vậy minA=-7 khi và chỉ khi x=2 b,B=-5x 2 -4x+1 =-5(x 2 + 4 5 x)+1 = -5(x 2 -2x. 2 4 4 5 25 25 + − ) +1 =-5 2 2 9 5 5 x   − +  ÷   ≤ 9 5 Vậy maxB= 9 5 khi và chỉ khi 2 5 x = Tổng quát: Học sinh có thể giải bài toán tổng quát Cho biểu thức : P=ax 2 +bx+c - Tìm GTNN của P khi a>0 - Tìm GTLN của P khi a<0 Chú ý: Một tam thức bậc hai P=ax 2 +bx+c có GTNN khi a>0 và GTLN khi a<0 1.2: Đa thức bậc cao hơn hai: Ví dụ 2.1: Tìm GTNN của biểu thức A =x(x-3)(x-4)(x-7) Giải Ta có A= x(x-7)(x-3)(x-4) = (x 2 -7x)(x 2 -7x+12) Đặt y=x 2 -7x thì A= y(y+12) =y 2 +12y = y 2 +12y+36-36 =(y+6) 2 -36 ≥ -36 Vậy minA=-36 khi và chỉ khi y=-6 thì x { } 1;6∈ Ví dụ 2.2: Tìm GT LNcủa biểu thức B=- (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+1976 Giải Ta có B= -(x 2 -9x+8)(x 2 -9x+20)+1976 Đặt y= x 2 -9x+14 thì B = -(y-6)(y+6)+1976 B= -(y 2 -36) +1976 B= -y 2 +2012 ≤ 2012 Vậy maxB =2012 khi và chỉ khi y= 0 thì x { } 2;7∈ 1.3: Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức. Ví dụ 3.1: Tìm GTLN của biểu thức A= 2 2 2 10 1 2 1 x x x x − − − + Giải Ta có A = 2 2 2 10 1 2 1 x x x x − − − + = 2 2 2( 2 1) 6( 1) 9 ( 1) x x x x − + − − − − A= ( ) 2 6 9 2 1 1 x x − − − − = 2 3 1 3 3 1x   − + + ≤  ÷ −   Vậy maxA=3 khi và chỉ khi x=-2 Ví dụ 3.2: Tìm GTNN của biểu thức B = 2 2 3 8 6 2 1 x x x x − + − + Giải Ta có B= 2 2 2 2( 2 1) ( 4 4) ( 1) x x x x x − + + − + − B= 2+ 2 2 1 x x −    ÷ −   ≥ 2 Vậy minB=2 khi và chỉ khi x=2 Chú ý: Lời giải tuy ngắn gọn, song cách viết biểu thức A dưới dạng trên có phần thiếu tự nhiên, tính chặt chẽ chưa cao. Trong trường hợp này ta có một phương pháp nghiên cứu khác là dùng “Miền giá trị để giải” . Ta có thể xét sau 1.4: Biểu thức có chứa từ hai biến trở lên. Ví dụ 4:(chuyên Hà Nội Amsterdam 2001-2002) Tìm GTLN của biểu thức A=-x 2 -y 2 +xy+2x+2y Giải Ta có A=-x 2 -y 2 +xy+2x+2y  -2A= 2x 2 +2y 2 -2xy-4x-4y = (x 2 -2xy+y 2 )+(x 2 -4x+4)+(y 2 -4y+4) -8 = (x-y) 2 +(x-2) 2 +(y-2) 2 -8 8≥ −  A ≤ -4 Vậy GTLN của A =-4 khi và chỉ khi (x; y)=(2; 2) 2. Các bài toán áp dụng. Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức A= x 2 -4x -6 2 1x − − Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức B= 2 2 2 4x x+ − Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức C= x 2 +5y 2 +2x-20y+2002 Bài 4: Tìm GTLN cảu biểu thức D= 2-5x 2 -y 2 -4xy+2x Bài 5: Tìm GTLN của biểu thức M= 2 2 7 74 196 10 25 x x x x − + − − + II. PHƯƠNG PHÁP 2:Vận dụng các bất đẳng thức đã biết. Trong quá trình giải các bài toán cực trị ta có thể dùng các bất đẳng thức đã biết hoặc đã được chứng minh trong các sách bài tập toán 8, toán 9. Như bất đẳng thức Cosi, bất đẳng thức Bunhiacopxki…hoặc các bất đẳng thức đề cập trong phần kiến thức thường dùng. Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ minh họa đơn giản. 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức A = 1 2x y− + − biết x+y =4 Giải Ta có hai vế của biểu thức A không âm nên A 2 = ( 1) ( 2) 2 ( 1)( 2)x y x y− + − + − − = 1+ 2 ( 1)( 2)x y− − Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số(x-1) và (y-2) không âm ta có 2 ( 1)( 2)x y− − ≤ x-1+y-2=1 (do x+y=4)  A 2 ≤ 2 mà A >0 theo nhận xét trên  A ≤ 2 Vậy maxA = 2 khi (x; y) =(1,5 ; 2,5) Ví dụ 2: Tìm GTLN của 2 1 y x B x y − − = + Giải: Bất đẳng thức Cosi cho phép ta có công thức tích trội . 2 a b a b + ≤ Ta xét biểu thức 1 1 1 1.( 1) 2 2 x x x x + − − = − ≤ = => 1 1 1 1 2 2 x x x x − + − ≤ = Tương tự 2 2 2 2 4 2 2 y y y y − + − ≤ = Vậy B 1 2 2 2 2 4 4 + ≤ + = Khi đó maxB= 2 2 4 + khi và chỉ khi (x ;y) =(2: 4) Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức f(x) =3-2x + 2 5 4x x− + Giải Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki được f(x) = -1 +(-2)(x-2) + 2 1(5 4 )x x− + ≤ -1 + ( ) ( ) 2 2 4 1. 4 4 5 4x x x x+ − + − + = -1+ 45 3 5 1= − Đẳng thức xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi ( ) 2 2 5 4 2x x x− − + = −  2 6 5 2 ( ) 5 6 5 2 ( ) 5 x x ktm x tm ≤      = +       = −      6 5 2 5 x = − Vậy maxf(x) = 3 5 1− khi và chỉ khi 6 5 2 5 x = − Ví dụ 4: Tìm GTNN của biểu thức A= 2 4 2 2 5 2 4 6 2 5x x x x− + − + + + − Giải Ta có A= ( ) ( ) 2 2 2 5 1 2 5 3x x− + + − − A= 2 5 1 3 2 5 2 5 1 3 2 5x x x x− + + − − ≥ − + + − − =4 Áp dụng BĐT trị tuyệt đối Vậy min A= 4 khi và chỉ khi ( ) ( ) 5 2 5 1 3 2 5 0 2 2 x x x− + − − ≥ ⇔ ≤ ≤ Nhận xét: Rõ ràng khi vận dụng các BĐT cơ bản vào việc giải toán cực trị có phần nhanh hơn. Song việc vận dụng BĐT nào thuận lợi thì còn tùy thuộc vào giả thiết của bài toán và sự vận dụng linh hoạt các BĐT đó. Hai phương pháp nêu trên chưa thể giải quyết vấn đề về toán cực trị ở THCS. Chính vì lẽ đó yêu cầu ta phải có các phương pháp tối ưu khác. Trước khi nghiên cứu phương pháp thứ 3 ta cần xét một số bài tập minh họa cho phương pháp 2. 2. Các bài toán áp dụng: Bài 1:Cho a,b,c >0 và a+b+c =1. Tìm GTNN của 1 1 1 1 1 1A a b c     = + + +  ÷ ÷ ÷     Bài 2: Cho , , 0a b c ≥ và a+b+c=1 .Tìm GTLN của B a b a c b c= + + + + + Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức A= 2 2 2 1 a a + + Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức B= 2 2 1 1x x x x− + + + + Bài 5: Cho x,y>0 và x+y ≤ 1 . Tìm GTNN của biểu thức 2 2 1 2 4A xy x y xy = + + + III. PHƯƠNG PHÁP 3: Giải toán cực trị dựa vào phương trình bậc hai. ( Phương pháp miền giá trị) Trong phương pháp này tôi xin được đề cập đến bài toán tìm cực trị dựa vào dấu hiệu có nghiệm của phương trình bậc hai. Phương pháp này được thầy Hoàng Hải Dương (THCS Chu Mạnh Trinh – Hưng Yên) đề cập trong tạp trí toán học và tuổi trẻ. 1. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức phân A= 2 2 2 4 5 1 x x x + + + Giải Biểu thức nhận giá tri a  phương trình ẩn a= 2 2 2 4 5 1 x x x + + + (1) có nghiệm Do x 2 +1>0 với mọi x nên phương trình(1)  x 2 (a-2)-4x+a-5=0 (2) có nghiệm Nếu a=2 thì (2) có nghiệm x= 3 4 − Nếu 2a ≠ Phương trình (2) có nghiệm khi ' 4 ( 2)( 5) 0a a∆ = − − − ≥  a 2 -7a+6 ≤ 0  1 6( 2)a a≤ ≤ ≠ Với a= 1 thì x=-2 Với a=6 thì x= 1 2 Vậy maxA= 6 khi và chỉ khi x= 1 2 minA =1 khi và chỉ khi x=-2 Ví dụ 2: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức B = 2x 2 +4xy+5y 2 biết rằng x 2 +y 2 =5 Giải Vì 5>1 nên ta có 2 2 2 2 2 2 2 4 5 2 4 5 5 5 b x xy y x xy y x y + + + + = = + *) Nếu y=0 => 2 10 5 b b= => = *) Nếu y 0≠ đặt x t y = thì 2 2 2 4 5 5 1 b t t t + + = + Theo Ví dụ 1 điều kiện để PT ẩn t có nghiệm khi 1 6 5 30 5 b b≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ Từ đó có : maxb=30 khi 1 2 x y = => y=2x hay (x:y) nhận các giá trị(1; 2)và(-1;-2) minb= 5 khi 2 x y = − => x=-2y hay (x:y) nhận các giá trị (2; -1)và(-2;1) Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN cuả biểu thức c= 3 7 2 1 2 2 x x+ − + Giải Điều kiện để c tồn tại 0 1x≤ ≤ . Đặt z x= , 1y x= − thì y 2 +z 2 =1 (1) Như vậy ta cần tìm GTLN- GTNN cuả biểu thức d= 4z+3y >0 với 2c =d+7 Điều kiện 0 1z ≤ ≤ 0 1y≤ ≤ 0 7d < < Thay 9y 2 =(d-4z) 2 vào (1) ta có 25z 2 -8dz+d 2 -9 =0 Để phương trình có nghiệm z thì 2 0 25 5d d∆ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ (do d>0) *)GTLN của d là 5  maxc=6 khi 2 4 4 16 ( ) 25 5 25 d z x z tm= = ⇒ = = *) Từ d=4z+3y 2 12yz≥ ( bất đẳng thức Cosi) . Dấu “=” xảy ra khi 4z=3y Thay vào (1) ta cso 3 1 9 , ; 20 5 400 z y x= = = Lúc đó GTNN của d là 9 6 2 25 5 = Vậy min c= 41 10 khi 9 400 x = Với cách sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai, các bạn làm tiếp một số bài toán dưới đây 2. Các bài toán áp dụng. Bài 1: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức 1 2 2 3 1 2 2 3 x x A x x − − − + = − + − + Bài 2: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức 2 2 1 B x x x = + + với x>0 Bài 3: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức f(x)= 2 2 4 6 2 3 x x x x + + + + Bài 4: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức g(x) = 2 2 2 8 6x xy x y + + IV.PHƯƠNG PHÁP 4: Đổi biến và tìm cực trị theo biến mới (đặt ẩn phụ) Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đổi tương đương. Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ta có thể chuyển biểu thức đã cho về các biểu thức đơn giản trong việc tìm cực trị. Dưới đây tôi xin đưa ra một số ví dụ minh họa 1. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức 2 2 1 1 a b A a b = + − − với a>1 ;b>1 Giải Đặt x=a-1 >0 , y=b-1> 0 khi đó ta có ( ) 2 2 1 ( 1) y x A x y + + = + => 2 2 2 1 2 1 1 1 4 x x y y A x y x y x y   + + + +   = + = + + + +  ÷  ÷     Áp dụng BĐT Cosi ta có 1 1 2 . 2 . 4 8A x y x y ≥ + + = Vậy min A =8 khi và chỉ khi x=y=1 hay a=b=2 Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức B= 2 2 2 2 2. 5 6 x y x y y x y x     + − + +  ÷  ÷     với x, y>0 Giải Đặt x y a y x = + theo Cosi thì 2a ≥ => 2 2 2 2 2 2 x y a y x + = − Khi đó B =2(a 2 -2) -5a+6 = 2a 2 -5a+2 Ta thấy 2a ≥ => B ≥ 0 Vậy minB=2 khi và chỉ khi a=2 hay x=y>0 Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức C= 3 3 2012 x y x y y x y x + − − + với x.y>0 Giải Đặt x y a y x = + theo Cosi thì 2a ≥ thì 2 2 x y a y x + = − Khi đó C=(a 2 -2) -3a+2012 =(a-1)(a-2)+2010 Do 2a ≥ => a-1>0 và 2 0a − ≥ => (a-1)(a-2) ≥ 0  C ≥ 2010 Vậy minC= 2010 khi và chỉ khi a=2 hay x=y và x. y>0 Ví dụ 4: Cho x,y,z >0 .Tìm GTNN của biểu thức D= y x z y z x z y x + + + + + Giải Đặt a= y z+ , b= x z+ ,c= y x+ => 2 a b c x y z + + + + = => 2 a b c x − + + = ; 2 a b c y − + = ; 2 a b c z + − = Khi đó ta có D= 2 2 2 a b c a b c a b c− + + − + + − + + D= 1 3 3 2 2 a b b c a c b a c b c a         + + + + + − ≥  ÷  ÷  ÷           Theo BĐT Cosi ta có 2; 2; 2 a b a c c b b a c a b c + ≥ + ≥ + ≥ Vậy minD= 3 2 khi a=b=c hay x=y=z 2. Các bài toán áp dụng Bài 1: Tìm GTNN của 2 2 1 4 1 A x x x x = + − + − + Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức B= 2 1 2 3 50 3a a a+ + − + − với 3 50 ; 2 3 a   ∈     Bài 3: Cho 1 1 1 ; ; ; 1 2 2 2 a b c a b c≥ − ≥ − ≥ − + + = . Tìm GTLN của biểu thức C= 2 1 2 1 2 1a b c+ + + + + Bài 4: Cho x, y>0. Tìm GTNN của biểu thức D= 2 2 2 2 3 4 x y x y y x y x     + − + +  ÷  ÷     Bài 5: Cho a,b,c>0 và a+b+c=12 . Tìm GTLN của E= 3 2 1 3 2 1 3 2 1a a b b c c+ + + + + + + + Bài 6: Tìm GTNN và GTLN của F= x x y y+ biết y x+ =1 V. PHƯƠNG PHÁP 5: Sử dụng biểu thức phụ. Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó, đôi khi người ta xét cực trị của một biểu thức khác có thể so sánh được với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn. Sau đây tôi đưa ra một số ví dụ minh họa. 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm GTLN cảu biểu thức A= 2 4 2 1 x x x+ + Giải [...]... dụng đề tài -Học sinh thường lúng túng trong việc tìm hướng giải cho một bài toán cực trị -Học sinh thường khó khăn trong việc chọn cách giải quyết một bài toán cực trị -Học sinh tìm được cực trị của bài toán nhưng không tự kiểm tra được kết quả đó có chính xác không - Khả năng tư duy của học sinh còn hạn chế, học sinh thường thụ động trong việc tiếp thu kiến thức khi giải các bài toán cực trị -Chất lượng... em đã giải thành thạo dạng toán Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức” Đã có HSG huyện - Qua nghiên cứu và dạy thực nghiệm trong 2 năm học tôi có thống kế kết quả cụ thể (tỷ lệ % học sinh đạt yêu cầu khi giải các bài toán cực trị) như sau Học sinh khá Học sinh giỏi 2007-2008 0 12% 20 08-2 0 09 8,7% 18,5% 20 09- 20010 15,5% 57,8% 2010-2011 32,3% 89, 3% PHẦN V: ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG – BÀI HỌC KINH NGHIỆM... thì vẫn còn một số ít học sinh Khá-Gỏi, ngại khó, chưa tự tìm tòi, khai thác các bài tập về cực trị toán học Một yếu tố khác cũng ảnh hưởng đến chất lượng học của các em có lẽ là phương pháp dạy và khả năng truyền đạt, khơi dậy tính sáng tạo của học sinh, của bản thân tôi còn hạn chế - Trong sáng kiến này số lượng ví dụ mẫu đưa ra còn hạn chế và nội dung chưa phong phú Các phương pháp giải đưa ra còn... lưu ý: - Dành nhiều thời gian để tìm hiểu kiến thức về “Các phương pháp giải toán cực trị trên sách nâng cao Toán 8- Toán 9 -10, trên các tạp trí như : Toán học và tuổi trẻ Từng bước phân dạng các bài toán theo chương trình học của học sinh - Chọn các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh, bài dễ với học sinh Khá, khó dần với học sinh Giỏi- học sinh đội tuyển - Phải thường xuyên cộng tác cùng đồng... nghiệp ở trường khác dạy thực nghiệm cho các đối tượng học sinh - Trước khi giải một dạng toán nào, giáo viên phải thiết lập phương pháp giải cho bài toán đó, giúp học sinh nhận dạng chính xác bài tập - Cần hướng dẫn học sinh đọc, tìm hiểu các tài liệu tham khảo: sách nâng cao và các chuyên đề, chuyên đề về bất đẳng thức- cực trị thcs, toán học và tuổi trẻ, các diễn đàn Toán học trên Internet… PHẦN VI:... học sinh Khá – Giỏi với hai khối lớp 8 và khối 9 Đặc biệt rất phù hợp cho việc phát triển tư duy, sáng tạo của học sinh, rèn khả năng sáng tạo, phát triển trí thông minh với học sinh Góp phần tích cực vào việc hoàn thiện kỹ năng giải bài toán cho học sinh THCS 2- Bài học kinh nghiệm: Việc áp dụng sáng kiến vào giảng dạy có hiệu quả thì người giáo viên cần lưu ý: - Dành nhiều thời gian để tìm hiểu kiến. .. hứng thú học tập hơn, nhiều em có lời giải hay, gọn, trình bày khoa học - Kỹ năng giải toán cực trị đã dần được hình thành và là một đề tài được học sinh bàn tán, trao đổi nhiều trong các buổi ngoại khóa, các tiết tự chọn hoặc trong giờ truy bài - Với học sinh khá, nhiều em đã bước đầu định hình lời giải, có khả năng tự chọn được phương pháp để giải quyết vấn đề - Đối với học sinh Giỏi 100 % ,học sinh... tượng học sinh - Giáo viên cần sưu tầm nhiều dạng bài, nhiều phương pháp để lấy ví dụ minh họa - Cần áp dụng tối đa phương pháp đổi mới dạy học toán theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh - Nhà trường cũng như các cấp, ngành có chức năng cần tạo điều kiện giúp đỡ về thời gian cũng như tài liệu, tạo điều kiện về phương pháp dạy học hiện đại để giáo viên khai thác được nhiều phương pháp dạy học. .. có ví dụ về cực trị hình học , chưa khai thác được tới phương pháp “ Hình học trong cực trị - Đề tài chủ yếu áp dụng đối với học sinh Giỏi, học sinh ôn đội tuyển thi HSG 2- Hướng đề xuất: Trong quá trình giảng dạy, chắc ai cũng mong muốn cho học sinh hiểu bài, chất lượng mũi nhọn được nâng cao Vì vậy nó đòi hỏi mỗi giáo viên chúng ta cần phải: - Có một kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ... t=-1 hoặc t =9 -Nếu t=-1 thì 1-t=2>0 nên g(x) ≥ 0=> f(x) ≥ 0 Suy ra minQ(x)=-1 khi và chỉ khi x=-2 - Nếu t =9 thì 1-t g(x) ≤ 0 => f(x) ≤ 0 Suy ra maxQ(x)= 9 khi và chỉ khi x = 1 2 Nhận xét: Như vậy phương pháp tham biến cho phép ta chuyển việc xét cực trị của một biểu thức Q(x), tức là xét một bất phương trình Q(x) ≤ t hoặc Q(x) ≥ t về việc xét một phương trình ∆ =0 Nên có thể nói phương pháp tham . PHƯƠNG PHÁP 3: Giải toán cực trị dựa vào phương trình bậc hai. ( Phương pháp miền giá trị) Trong phương pháp này tôi xin được đề cập đến bài toán tìm cực trị dựa vào dấu hiệu có nghiệm của phương. đề tài -Học sinh thường lúng túng trong việc tìm hướng giải cho một bài toán cực trị -Học sinh thường khó khăn trong việc chọn cách giải quyết một bài toán cực trị -Học sinh tìm được cực trị của. các em có hiểu biết sâu hơn, rộng hơn về toán. Các phương pháp giải toán cực trị là một trong các chuyên đề đó. Sử dụng các phương pháp Tìm cực trị toán học có tác dụng góp phần phát triển năng