UBND tỉnh Hải Dơng sở giáo dục và đào tạo Các dạng toán liên quan đến phơng trình trùng phơng Môn: Toán Khối lớp 9 Nhận xét chung: Điểm thống nhất Bằng số: Bằng chữ: Giám khảo số 1: . Giám khảo số 2: . Năm học 2010-2011 1 Sở giáo dục và đào tạo Hải Dơng Trờng thcs ngọc kỳ Các dạng toán liên quan đến phơng trình trùng phơng Môn: Toán Tên tác giả:vũ thành khởi Xác nhận của nhà trờng (Ký, đóng dấu) . 2 Phần ghi phách Sở giáo dục và đào tạo hải Dơng Phòng giáo dục và đào tạo Tứ Kỳ Các dạng toán liên quan đến phơng trình trùng phơng Môn: toán Khối lớp 9 Đánh giá của Hội đồng cấp huyện (Nhận xét, xếp loại, ký, đóng dấu) Tên tác giả : Trờng : 3 Phần ghi số phách ( A. Đặt vấn đề 1. Cơ sở lý luận Một trong những mục tiêu cơ bản của giáo dục phổ thông là đào tạo và xây dựng một thế hệ trẻ vừa hồng, vừa chuyên. Xây dựng một thế hệ phát triển toàn diện về tri thức, đạo đức, thẩm mỹ nhằm đáp ứng nhu cầu của thời kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nớc. Để giải quyết bài toán khó đó, không chỉ phụ thuộc ở các em học sinh mà phần nhiều phụ thuộc ở đội ngũ giáo viên, thầy, cô là ngời quyết định tính thành công của giáo dục. Hiện bộ giáo dục đang phát động phong trào mỗi thầy cô là tấm gơng sáng tự học và sáng tạo .Là giáo viên phổ thông tôi luôn ủng hộ và tích cực xây dựng phong trào bằng các sáng kiến đợc đúc kết từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, nhằm trang bị kiến thức sâu, rộng cho học sinh. Trong giảng dạy, toán học là một môn khoa học thể hiện rõ và cụ thể các sáng tạo của thầy và trò. Để giúp học sinh học tập có hiệu quả thì ngời thầy phải không ngừng tìm tòi, sáng tạo các phơng pháp dạy học mới, khai thác các bài toán một cách sâu, rộng hơn. Bên cạnh đó bằng kinh nghiệm, tri thức của mình cần đúc kết thành các bài toán tổng hợp, các dạng toán đặc trng cho từng thể loại để học sinh dễ học,dễ hiểu. Đối với học sinh lớp 9 hiện nay, dạng toán giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai mới dừng lại ở khía cạnh giản đơn, cha khai thác sâu các kiến thức ở từng dạng. Đặc biệt với phơng trình trùng phơng, ngời viết sách giáo khoa mới chỉ nghiên cứu các phơng trình thuần tuý, chỉ yêu cầu giải phơng trình trùng phơng khi hệ số là các số thực cụ thể. Với học sinh khi gặp các dạng toán phức tạp, phơng trình có chứa tham số các em gặp rất nhiều khó khăn nh tìm điều kiện để phơng trình trùng phơng vô nghiệm, có bốn nghiệm phân biệt , nhiều bài toán thậm chí không có hớng giải quyết. Bằng thực tế giảng dạy với phơng trình trùng phơng tôi mạnh dạn khai thác : Các dạng toán liên quan đến ph ơng trình trùng phơng để học sinh và giáo viên tham khảo. 2. Cơ sở thực tế. Trong quá trình dạy toán khối 9, đặc biệt khi khai thác các phơng trình quy về phơng trình bậc hai tôi thấy các nhà giáo dục cha đề cập nhiều tới phơng trình trùng phơng, sách giáo khoa, thậm trí các sách tham khảo trong chơng trình học THCS cha khai thác nhiều đến loại toán này. Mặt dù biết đây là phần kiến thức khó, đòi hỏi phải tổng hợp nhiều kiến thức đã học và phải có t duy tốt mới có khả năng giải thành công. Đối với các em khá, giỏi trong khối bản thân các em vốn có một tố chất thông minh nếu cộng với sự giúp đỡ của thầy thì hiệu quả học toán rất cao. Từ thực tế nh vậy tôi cùng đồng nghiệp có nhiều đề tài giảng dạy nhằm giúp các em khá- giỏi bổ sung thêm về vốn kiến thức toán học trên lớp, hiểu sâu hơn về các thể loại bài tập đợc đề cập trong ch- 4 ơng trình THCS. Một trong những đề tài đó là: Các dạng toán liên quan đến ph- ơng trình trùng phơng mà tôi đề cập sau đây B. Giải quyết vấn đề I . Nội dung sáng kiến Dạng I: Giải phơng trình trùng phơng Đối với học sinh khối 9, giải các phơng trình chủ yếu là đa chúng về các ph- ơng trình bậc hai, bậc nhất . Khi giải phơng trình trùng phơng chúng ta cần nắm đ- ợc dạng toán cơ bản sau: *) Bài tập tổng quát : Giải phơng trình : ( ) 4 2 ax + bx + c = 0 a 0 (1) Gợi ý: Ta chuyển phơng trình về phơng trình bậc hai Cách giải: Đặt x 2 =y ( đk 0y ) Ta có phơng trình: ( ) 2 ay + by + c = 0 a 0 (2) Giải phơng trình (2): Tìm y chọn các giá trị 0y Tìm x: Có x 2 =y x y= Kết luận nghiệm của phơng trình (1) *) Bài tập vận dụng: Giải các phơng trình sau a, 3 5 8 4 2 x x = 0 (*) Đặt x 2 =y ( đk 0y ) Ta có phơng trình: 2 3 5 8y y = 0 (**) Do a b+c =3-(-5) +(-8)=0 Phơng trình (**) có nghiệm : y 1 = -1 (không thoả mãn) y 2 = 8 3 (thoả mãn) Khi y = 8 3 có x 2 = 8 3 8 3 x = Vậy phơng trình (*) có hai nghiệm 8 8 ; 3 3 S = b, 13 36 13 36 + + 4 2 4 2 x x = 0 x x = 0 (*) Đặt x 2 =y ( đk 0y ) Ta có phơng trình: 2 13 36y +y = 0 (**) Do 25 0 y = > Phơng trình (2) có nghiệm : y 1 = 9 (thoả mãn) y 2 =4(thoả mãn) Khi y =9 có x 2 =9 3x = 5 Khi y= 4 có x 2 = 4 2x = Vậy phơng trình (**) có bốn nghiệm { } 3; 2; 2;3S = c, 3 2 + 4 2 x x = 0 (*) Đặt x 2 =y ( đk 0y ) Ta có phơng trình: 2 3 2y +y = 0 (**) Do 23 0 y = < Phơng trình (**) vô nghiệm : Vậy phơng trình (*) vô nghiệm d, 6 8+ + 4 2 x x = 0 (*) Đặt x 2 =y ( đk 0y ) Ta có phơng trình: 2 6 8y + +y = 0 (**) Do 1 0 y = > Phơng trình (**) có nghiệm : y 1 = -2 (không thoả mãn) y 2 =-4( không thoả mãn) Vậy phơng trình (*) vô nghiệm S = Nhận xét: Từ các ví dụ trên ta thấy rằng -Phơng trình (1) vô nghiệm khi phơng trình (2) có hai nghiệm cùng âm hoặc phơng trình (2) vô nghiệm - Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu - Phơng trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt dơng Ngoài nhận xét vừa đúc kết từ các ví dụ trên, số nghiệm của phơng trình trùng ph- ơng phụ thuộc vào nghiệm của phơng trình hệ quả nh thế nào ta nghiên cứu tiếp dạng toán sau. Dạng II: Giải và biện luận số nghiệm của phơng trình trùng phơng Kiến thức sử dùng: Định lý viet: Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 +bx+c =0 ( 0a ) thì S =x 1 +x 2 = b a và P =x 1 .x 2 = c a Bài toán: Điều kiện để phơng trình ax 2 +bx+c =0 ( 0a ) a, Có hai nghiệm trái dấu : a .c<0 b, Có hai nghiệm cùng âm : 0 0 0 S P < > 6 c, Có hai nghiệm cùng dơng: 0 0 0 S P > > Bài toán tổng quát: Cho phơng trình ( ) 4 2 ax + bx + c = 0 a 0 (1) Tìm điều kiện để phơng trình a, Vô nghiệm b, Có một nghiệm c, Có hai nghiệm phân biệt d, Có ba nghiệm e, Có bốn nghiệm phân biệt *) Gợi ý: Số nghiệm của phơng trình ( ) 4 2 ax + bx + c = 0 a 0 (1) phụ thuộc vào số nghiệm của phơng trình ẩn phụ: ( ) 2 ay + by + c = 0 a 0 (2) với x 2 =y *) Bài giải: a, Để phơng trình (1) vô nghiệm thì phơng trình (2) phải +) Vô nghiệm : (đk 0 y < ) Hoặc có hai nghiệm cùng âm: (đk 0 0 0 y S P < > ) b, Để phơng trình (1) có một nghiệm thì phơng trình (2) phải: +) Có nghiệm kép bằng 0: 0 0 2 y b a = = hoặc có một nghiệm bằng 0 một nghiệm âm: (đk 0 0 0 y S P > < = ) c, Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải: +) Có hai nghiệm trái dấu: (đk a.c <0) Hoặc có một nghiệm kép dơng : (đk 0 0 2 y b a = > ) d, Để phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải: +) Có một nghiệm bằng 0, một nghiệm dơng: (đk 0 0 0 y S P > > = ) e, Để phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải 7 +) Có hai nghiệm dơng phân biệt: (đk 0 0 0 y S P > > > ) Bài tập vận dụng : Bài 1 : Cho phơng trình: 4 2 (3 2) 1 0x m x + = (1) . Tìm m để phơng trình có đúng hai nghiệm Bài giải: 4 2 (3 2) 1 0x m x + = . Đặt x 2 =y Ta có phơng trình: 2 (3 2) 1y m +y = 0 (2) Để phơng trình (1) có đúng hai nghiệm thì : TH 1 : Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu : a.c <0 Hay 1< 0 (vô lý) => không có giá trị của m TH 2 : Phơng trình (2) có nghiệm kép dơng : 0 0 2 y b a = > Hay 2 0 9 12 0 4 4 33 2 3 0 2 2 3 m m m m m m m = = = = > > Kết luận: Vậy với 4 3 m = thì bài toán thoả mãn Bài 2: Cho phơng trình : 2 4 2 ( 1) 2( 1) 1 0m x m x+ + = Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Bài giải: 2 4 2 ( 1) 2( 1) 1 0m x m x+ + = (1) Đặt x 2 =y Ta có phơng trình: 2 4 2 ( 1) 2( 1) 1 0m y m y+ + = (2) Ta thấy a.c = (m 2 +1)(-1) <0 (với mọi giá trị của m) phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Bài 3 ; Cho phơng trình 4 2 ( 2) 2( 1) 2 1 0m x m x m + = Tìm m để phơng trình trên có a, Một nghiệm b, Hai nghiệm phân biệt 8 c, Bốn nghiệm phân biệt Bài giải; 4 2 ( 2) 2( 1) 2 1 0m x m x m + = (1) Đặt x 2 =y Ta có phơng trình: 2 ( 2) 2( 1) 2 1m y m m + + y = 0 (2) Gợi ý: Phơng trình một cha phải phơng trình trùng phơng vì thế khi giải có thể xét hai trờng hợp 0a = hoặc 0a TH 1 : Khi m =2 phơng trình (1) trở thành -6x 2 +3 =0 2 1 2 x = 1 2 1 2 x x = = Với m= 2 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt TH 2 : Khi 2m a, Để phơng trình (1) có đúng một nghiệm thì phơng trình (2) có nghiệm kép bằng 0 hoặc một nghiệm bằng 0 , nghiệm kia âm. Khi y= 0 ta có 2m-1 =0 1 2 m = Thay vào phơng trình (2) ta có : 3 3 0 2 0 2 y y y y = ữ = = Vậy với 1 2 m = thì bài toán thoả mãn. b, Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì +)phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a.c <0 Hay (m-2)(2m-1)<0 1 2 2 m < < Hoặc phơng trình (2) có nghiệm kép dơng : 0 0 2 y b a = > 9 Hay 2 7 3 5 7 1 0 2 1 1 0 2 2 m m m m m m m = + = + < > > 7 3 5 2 m = Kết luận: Vậy với 1 2 2 m< hoặc 7 3 5 2 m = thì bài toán thoả mãn c, Để phơng trình(1) có bốn nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt dơng: 0 0 0 y S P > > > hay 2 7 1 0 2( 1) 0 2 2 1 0 2 m m m m m m + > + > > 7 3 5 7 3 5 2 2 1 2 1 2 2 m m m m m < < < > < > 7 3 5 2 2 m + < < Kết luận: Vậy với 7 3 5 2 2 m + < < thì phơng trình (1) có bốn nghiệm phân biệt *) Khó khăn: Giải hệ bất phơng trình và kết hợp nghiệm *) Kinh nghiệm: Thiết lập trục số rồi tổng hợp nghiệm trên trục số Bài 4: Biện luận số nghiệm của phơng trình sau: 4 2 ( 3) (2 1) 3 0m x m x+ = theo m *)Gợi ý: Khi biện luận cần quan sát hệ số a củaphơng trình, phơng trình cho cha là phơng trình trùng phơng do đó ta không thể áp dụng bài toán tổng quát để giải: *) Bài giải: 4 2 ( 3) (2 1) 3 0m x m x+ = (1) Đặt x 2 =y Ta có phơng trình: 2 ( 3) (2 1) 3 0m y m y+ = (2) TH 1 : Khi 3m = phơng trình (1) có dạng: 7x 2 -3 =0 10 [...]... Trong phạm vi sáng kiến này, chúng tôi đã cố gắng hệ thống lại ba dạng toán cơ bản liên quan đến phơng trình trùng phơng mà học sinh thờng gặp Đề tài này đợc thực nghiệm riêng cho học sinh khối 9 Để giải đựơc các bài toán trong sáng kiến thì bản thân các em phải nắm chắc các kiến thức về phơng trình bậc hai, bất phơng trình Phải chủ động và sáng tạo trong mọi hoạt động, đề tài đòi hỏi các em phải có... Để x =2 là nghiệm của phơng trình (1) ta có: (m+1)24-2(m-1)22 +m-1 =0 9m =-23 m= Kết luận: Vậy với m = 23 thì bài toán thoả mãn 9 23 9 *) Gợi ý 2: Học sinh cần trả lời các câu hỏi sau trớc khi giải phần 2 11 ? Phơng trình (1) có phải phơng trình trùng phơng không ? Khi nào phơng trình (1) là phơng trình trùng phơng ? Phơng trình trùng phơng có nghiệm khi nào 2.TH1: Khi m =-1 ta có phơng trình: 4x2-2... tăng, số các em học trung bình cũng bớc đầu hiểu và tự giải các bài toán đơn giản khi có chứa tham số Sau khi đợc làm quen, đa số các em khá luôn chủ động tìm tòi, khai thác thêm các bài toán có liên quan đến phơng trình trùng phơng từ các sách tham khảo hoặc các bài tập trong chơng trình THPT Học sinh đã chủ động hơn trong việc học tập của mình, luôn chủ động lĩnh hội cái mới III Bài học kinh nghiệm. .. Nên mạnh dạn đa ý kiến của mình trong mọi vấn đề để thầy và bạn cùng giải quyết IV.Những vấn đề còn bỏ ngỏ và điều kiện áp dụng 1 Những vấn đề còn bỏ ngỏ Bàn về các dạng bài liên quan đến phơng trình trùng phơng thì còn nhiều vấn đề Trong phạm vi đề tài này tôi chỉ vận dụng kiến thức ở cấp THCS để giải quyết các bài toán Ngoài ra còn một số dạng toán so sánh nghiệm của phơng trình trùng phơng với một,... rút kinh nghiệm sau mỗi lần thực nghiệm sao cho đề tài có thể áp dụng đại trà Bên cạnh đó các nhà quản lý, ngời viết sách cũng cần quan tâm hơn cho mảng kiến thức mà tôi nghiên cứu 15 C Kết luận Trong quá trình giảng dạy ở trờng THCS, qua học hỏi kinh nghiệm ở các thầy cô và các bạn đồng nghiệp, chúng tôi đã viết sáng kiến này mong muốn đợc trao đổi với đồng nghiệp những kinh nghiệm trong dạy toán. .. cha áp dụng : Giỏi: 10 % Khá: 20% + Sau khi dạy thực nghiệm ; Giỏi: 18% Khá: 29% Nhận xét: Năm học 2007- 2008 khi cha mạnh dạn dạy thực nghiệm dạng toán trên, lúc đa một số bài toán liên quan đến tham số hầu nh không học sinh nào tự giải đợc Từ năm học 2008-20 09 đến nay, trong quá trình bồi dỡng, ôn luyện cho các em học sinh khối 9, đặc biệt với các em khá giỏi tôi đã dành một số buổi cụ thể dạy áp... m>-3 Thì phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt KN4: Nếu phơng trình (2) có nghiệm bằng 0 khi: -3 =0 (không có m) Kết luận: Với m 3 thì phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt Với m< -3 thì phơng trình (1) có bốn nghiệm phân biệt Bài 5: Cho phơng trình (m+1)x4-2(m-1)x2 +m-1 =0 1 Tìm mđể phơng trình có nghiệm x=2 2 Tìm m để phơng trình có nghiệm *) Gợi ý 1; Một số x= là nghiệm của phơng trình f(x)=... sinh khối 9 không thể giải quyết đợc Việc đó đợc giải quyết trong chơng trình toán THPT Ngoài ra khi dạy các bài toán về phơng trình trùng phơng, thì việc chúng ta phải củng cố kỹ năng giải bất phơng trình, kết hợp nghiệm trong bất phơng trình rất quan trọng Trớc khi dạy, ngời thầy phải song song dạy chuyên đề giải hệ bất phơng trình thì học sinh mới không gặp khó khăn trong kết luận của bài toán 2... = 0 +) KN 4: Phơng trình (2) có nghiệm kép dơng: b >0 2a (m 1)(m + 2) = 0 Hay m 1 m +1 > 0 m =-2 Kết luận: Vậy với m 2 hoặc m 1 thì bài toán thoả mãn Bài tập tham khảo: Bài 1: Cho phơng trình : (m2+1)x4 -2(m+1)x2+1 =0 Tìm m để phơng trình vô nghiệm Bài 2: Biện luận số nghiệm của phơng trình sau: (m+1)x4 -2(m-1)x2+1 =0 12 Dạng III: Dạng toán khác Bài toán: Cho phơng trình x 4 2(m + 1)... áp dụng sáng kiến và kiến nghị Tuỳ theo đối tợng học sinh mà ta chọn áp dụng, theo tôi dạngII, dạng III ta nên áp dụng cho học sinh khá giỏi, dạy bồi dỡng nâng cao, ôn luyện thi vào các trờng THPT khối chuyên Đối với học sinh trung bình thì việc giả thành thạo dạng I là thành công Để thực hiện tốt đề tài trớc hết giáo viên cần dạy cho học sinh một số chuyên đề có liên quan - Định lý Vi-ét và các ứng . ch- 4 ơng trình THCS. Một trong những đề tài đó là: Các dạng toán liên quan đến ph- ơng trình trùng phơng mà tôi đề cập sau đây B. Giải quyết vấn đề I . Nội dung sáng kiến Dạng I: Giải phơng trình trùng. dạng toán liên quan đến ph ơng trình trùng phơng để học sinh và giáo viên tham khảo. 2. Cơ sở thực tế. Trong quá trình dạy toán khối 9, đặc biệt khi khai thác các phơng trình quy về phơng trình. UBND tỉnh Hải Dơng sở giáo dục và đào tạo Các dạng toán liên quan đến phơng trình trùng phơng Môn: Toán Khối lớp 9 Nhận xét chung: Điểm thống nhất Bằng số: Bằng chữ: Giám