Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN PHẦN 1 : NGUYÊN HÀM A. LÝ THUYẾT CẦN NẮM 1.Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định trên K, khi đó : Nguyên hàm của hàm số f (x) là một hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. (K là khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng) VD1 :  Hàm F(x) = 2 1 x  là một nguyên hàm của f(x) = 2x Vì :   ' 2 1 x  =2x  Hàm f(x) = 1 2 x có 1 nguyên hàm là x vì   ' 1 2 x x  VD2 : Tìm một nguyên hàm của các hàm số sau a) f(x) = 2 x b) f(x) = sinx c) f(x) = cosx Giải: a) f(x) = 2 x Vì ' 3 2 1 3 x x        nên F(x) = 3 1 3 x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 x Chú ý : Ta để ý rằng 3 1 3 x + c ( với c là một hằng số) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 x . ( vì sao ???) b) Lập luận tương tự ta tìm được F(x) = cos x là một nguyên hàm của f(x) = sinx và ta cũng có cos x c  ( với c là một hằng số) cũng là một nguyên hàm của f(x) = sinx c) Tương tự a , b Nhận xét :  Ta thấy ngay rằng, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).C là một hằng số tùy ý .Bạn đọc lí giải điều này là tại sao để hiểu thêm về định nghĩa nguyên hàm nhé ^^. Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224  Ngược lại , nếu F(x)là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm khác của f(x) đều sai khác với F(x) một hằng số cộng. Điều này có nghĩa là, nếu F(x) và G(x) là 2 nguyên hàm của một hàm f(x) thì tồn tại số C sao cho F(x) = G(x) + C (hoặc G(x) = F(x) + C) Chứng minh :Thật vậy , ta giả sử F(x) và G(x) là 2 nguyên hàm của một hàm f(x) khi đó ta xét :   ' ' ' ( ) ( ) ( ) ( )F x G x F x G x    = ( ) ( ) 0 f x f x   Suy ra ( ) ( )F x G x =C, vậy F(x) = G(x) + C (đpcm) Lúc này ta kí hiệu : ( )f x dx  để chỉ tập hợp ( hay họ ) tấc cả các nguyên hàm của f(x) 2.Tính chất của nguyên hàm : 1.1 ' ( ) ( ) f x dx f x C   1.2 . ( ) ( )k f x dx k f x dx    với k là một hằng số ( tức là ta có thể đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân) 1.3   ( ) ( ) ( ) g( )f x g x dx f x dx x dx       (tức là nguyên hàm của một tổng(hay hiệu) bằng tổng (hay hiệu)các nguyên hàm tương ứng) Chú ý : Hàm dưới dấu tích phân theo biến gì thì vi phân d phải là biến đó . tức là : hàm f(t) thì vi phân phải là dt , hàm f(u) thì vi phân phải là du . Cụ thể là : ( ) ( ) f t dt F t C   hoặc (u) (u) f du F C   Nguyên hàm dạng (u)f dt  hay (x)f dt  là không tính được . VD : Tìm nguyên hàm   2015 1 x dx   . Nhận xét : nguyên hàm này có dạng u dx   với   1 2015 u x          Nói chung , nếu không biến đổi thì đây là nguyên hàm không cơ bản và do đó không áp dụng công thức cơ bản để tính được . Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224 3.Bảng các nguyên hàm cơ bản : Nguyên hàm các hàm số sơ cấp Hàm số hợp tương ứng (dưới đây u = u(x)) 0 dx C  dx x C   1 1 x x dx C         (  ≠ -1) 1 ln dx x C x    x x e dx e C   ln x x a a dx C a    cos sin xdx x C   sin cos xdx x C    2 1 tan cos dx x C x    2 1 cot sin dx x C x     0 du C  du u C   1 1 u u du C         (  ≠ -1) 1 ln du u C u    u u e du e C   ln u u a a du C a    cosudu sinu C   sinu cosu du C    2 1 tanu cos du C u    2 1 cotu sin du C u     B.MỘT SỐ CHÚ Ý KHI TÌM CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Chú ý 1 : Gặp nguyên hàm của một tổng các hàm thì ta thường tách thành từng tổng các nguyên hàm để tính cho đỡ phức tạp . VD1 : Tìm 3 2 (4 2 1)x x dx    Giải 3 2 (4 2 1)x x dx    = 3 2 4 2 1x dx x dx dx      Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224 = 4 3 1 2 3 4 2 4 3 x x C C x C     = 4 3 4 2 4 3 x x x C   ( với 1 2 3 C C C C   ) Chú ý 2 : một số công thức biến đổi hay hay dùng  m m m n a a   1 n n x x   Chú ý 3 : công thức hay quên  ln x x a a dx C a    ; ví dụ : 3 3 ln3 x x dx C   VD2 : Tìm họ các nguyên hàm của sau a) (2 4)x dx   b) 2 1 ( 4 )x x dx x    c) 2 2 (3 )x dx   d) ( )( 2)x x dx    e) 4 2 2x dx x  f ) 3 1 ( 2 ) x x dx x    Chú ý 4 : KĨ THUẬT DÙNG VI PHÂN HÀM HỢP ĐỂ TÍNH NGUYÊN HÀM Cơ sở của kĩ thuât này là việc vận dụng công thức :     ' d u x u x dx          Nếu để ý chúng ta sẽ nhận thấy rằng có những nguyên hàm mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng sau : ( ).g(x)dx f u  Trong đó , ( )du f u  là nguyên hàm cơ bản và ta có thể tính ngay bằng bảng nguyên hàm cơ bản. Tuy nhiên lúc này ta chỉ có vi phân trong dấu tích phân là dx , do đó ta không thể áp dụng ngay công thức ( )du f u  ngay được . Vậy làm sao để tính ??? Câu hỏi này được trả lời khi ta nhìn lại nguyên hàm ( ).g(x)dx f u  và nhận xét rằng Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224 g(x)dx có quan hệ với du ,và từ quan hệ này ta có thể chuyển g(x)dx về vi phân d(u) . Tới đây thì việc còn lại chỉ còn là áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản nữa mà thôi . Và để hiểu hơn về kĩ thuật này tôi xin trình bày một vài ví dụ điển hình sau : VD3 : Tìm họ các nguyên hàm sau , 1 I    2015 1 x dx   Nhận xét : Ta thấy rằng   2015 1 x dx   có dạng u dx   với u = x+1 gần với công thức u du   do đó ta dự đoán rằng dx và du có mối quan hệ với nhau ( đây là ý tưởng hình thành các bước tìm nguyên hàm nói trên ) Giải : Ta có , d(x+1)=   ' 1 x dx dx  Suy ra dx = d(x+1) . Vậy   2015 1 x dx   =   2015 1 ( 1) x d x    =   2016 1 2016 x C   Bạn đọc đã hình dung được kĩ thuật này chưa ?, hãy cố gắng hình dung ý tưởng và tự tìm ra phương pháp cho trường hợp tổng quát sau đây :   n ax b dx   2015 2 ln ( ) x I dx x   Nhận xét :cũng với tư tương như câu trước , ta thấy rằng 2015 2 ln ( ) x I dx x   có dạng 2 .f(x)I u dx    với u = lnx và f(x) = 1 x gần với công thức u du   do đó ta dự đoán rằng ( )f x dx = 1 dx x và du có mối quan hệ với nhau ( đây là ý tưởng hình thành các bước tìm nguyên hàm nói trên ) Giải : Ta có , d(lnx)= 1 dx x Suy ra dx x =d(lnx) Vậy 2015 2 ln ( ) x I dx x   = 2015 ln ( ) (ln )x d x  Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224 =   2016 ln 2016 x C Tới đây thì tôi nghĩ rằng bạn đọc đã hình dung được kĩ thuật này một cách rõ ràng lắm rồi , hãy chứng minh điều đó bằng cách tự tìm ra phương pháp cho trường hợp tổng quát sau đây ln ( ) n x c dx x   , hơn thế nữa bạn đọc có thể thấy rằng việc xuất hiện lnx và 1 x trong biểu thức dưới dấu tích phân có thể là dấu hiệu để ta sử dụng kĩ thuật vi phân ở trên ^^. 2015 3 2 (1 tanx) cos I dx x    Giải : Ta có , d(1+tanx) =   ' 2 1 tan cos dx x dx x   Suy ra 2 cos dx x = d(1+tanx) Vậy 2015 3 2 (1 tanx) cos I dx x    = 2015 (1 tanx) (tan 1) d x    = 2016 (1 tanx) 2016 C   Như vậy là tôi đã trình bày 3 ví dụ theo tôi là, mang tính điển hình để bạn đọc tiện hình dung về mặt phương pháp, sau đây tôi xin giới thiệu thêm 1 hệ thống bài tập nữa để bạn đọc tự rèn lyện thêm nhé BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Bài tập 1 : CHỨNG MINH CÁC CÔNG THỨC SAU ; Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224 Bài tập 3 : TÍNH CÁC TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH SAU ;     2015 2015 2015 cos sin )I cos sin ; )I ; ) I cos sin 1 x x x x e a x xdx b dx c dx x x e              2 4 3 4 2 2ln 1 2 3 ) ; ) ; ) 1 3 2 x x d I dx e I dx f I x x dx x x x                  5 2015 2 g) 1 ; ) 1 2 ; ) sin 2015 1I x dx h x x dx i I x dx         Chú ý 5 : NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Theo kinh nghiệm chủ quan của tôi , tôi cho rằng khi tìm nguyên hàm của một số hàm lượng giác chúng ta phải đặc biệt chú ý đến các công thức biến đổi sau ;  2 1 cos 2 sin 2 x x    2 1 cos 2 cos 2 x x    2 2 sin cos 1x x  hay ý nghĩa hơn ta viết 2 2 1 sin cosx x    2 2 cos2 cos sin 1 cos cos 2 2 x x x x x                     suy ra : 2 2 cos cos sin 2 2 x x x    sin 2 2sin cos 1 sin sin 2 2 x x x x x                    suy ra : sin 2sin cos 2 2 x x x     2 1 sin 2 sin cosx x x       ' 2 2 1 tan 1 tan cos x x x    suy ra :   2 2 1 tan (tan ) tan 1 (tan ) tan cos x dx d x x C dx d x x C x                  Gặp   tan ;cot F x x dx  thường thì ta biến đổi thành   sin ;cos F x x dx  , tức là biến đổi sin tan cos cos cot sin x x x x x x          VD4: Tìm họ các nguyên hàm sau 2 2 2 2 ) sin ; ) cos ; ) tan ; ) cot ; ) ; sin dx a xdx b xdx c xdx d xdx e x      2 2 2 2 cos 2 f) ; g) ; h) sin 2 x cos3 ; cos sin cos sin dx x dx xdx x x x x    Giải : Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224 a) Ta có 2 1 cos 2 1 1 sin cos 2 2 2 2 x xdx dx x dx              1 2 1 1 1 1 1 1 cos 2 sin 2 sin 2 2 2 2 4 2 2 dx xdx x C x C x x C                              Với 1 2 C C C  . b) Ta có 2 1 cos 2 1 1 cos cos 2 2 2 2 x xdx dx x dx              1 2 1 1 1 1 1 1 cos 2 sin 2 sin 2 2 2 2 4 2 2 dx xdx x C x C x x C                              Với 1 2 C C C  . c) Ta có :     2 2 2 tan 1 tan 1 1 tan 1 xdx x dx x dx                    2 1 2 1 tan tan tan x dx dx x C x C x x C            Với 1 2 C C C  . d) Ta có :     2 2 2 co t 1 cot 1 1 cot 1 xdx x dx x dx                    2 1 2 1 cot cot cot x dx dx x C x C x x C             Với 1 2 C C C  . e) Phân tích :  Ta để ý rằng : sin 2sin cos 2 2 x x x  , do đó sin 2sin cos 2 2 dx dx x x x     Lại tiếp tục : 2 2 1 sin cosx x   , do đó 2 2 sin cos 1 1 2 2 2 2 2sin cos sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 x x dx dx dx x x x x x x        Vì 2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x      nên ta có Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224 2 2 sin cos sin cos sin cos 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin cos sin 2 2 2 2 2 2 x x x x x x dx dx dx dx x x x x x x                                          sin cos sin cos 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 cos sin cos sin 2 2 2 2 x x x x x x x x d d d d x x x x                                                     1 2 1 ln cos ln sin 4 2 2 x x C C                        Vậy bài giải là : Ta có 2 2 sin cos 1 1 2 2 sin 2 2 2sin cos sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 x x dx dx dx dx x x x x x x x         sin cos sin cos 1 1 2 2 2 2 2 2 cos sin cos sin 2 2 2 2 x x x x dx dx dx x x x x                                        sin cos sin cos 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 cos sin cos sin 2 2 2 2 x x x x x x x x d d d d x x x x                                                     1 2 1 1 ln cos ln sin ln cos ln sin 4 2 2 4 2 2 x x x x C C C                            Với 1 2 C C C  f) Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin dx x x x x dx dx dx x x x x x x x x             1 2 2 2 1 1 tan cot tan cot cos sin dx dx x C x C x x C x x             Với 1 2 C C C  . g) Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos2 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x dx dx dx dx x x x x x x x x         Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224       1 2 2 2 1 1 cot tan cot tan sin cos dx dx x C x C x x C x x              Với 1 2 C C C  . h) Ta để ý rằng   1 sin 2 x cos3 sin 5 sin 2 x x x   do đó   1 1 1 sin 2x cos3 sin5 sin sin 5 sin 2 2 2 xdx x x dx xdx xdx         1 2 1 1 1 1 cos5 cos cos5 cos 10 2 10 2 x C x C x x C                       Với 1 2 C C C  . BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Tính các tích phân bất định sau: 3 4 3 2 2010 2 3 2 1 – ln ) ; ) ; ) ; ) 3 2 2 1 1 ; ) cos 1 sin x a b c e dx x x x x x x x x dx x dx dx d x x x dx x                           2 3 4 5 4 3 3 2 4 3 2 3 1 4 3 1 1 f) ; ) x ; ) x dx ; ) x 2 x dx x ; ) x x x dx g dx h dx j x x x i                             3 4 2 2 2 3 3 1 1 x 4 k) x 1 x- x 2 dx ; ) x dx ; ) x dx dx ; 0) ax b dx x x ; ) x l m x n                               2-5x 2 3 4 x e 1 p) ; ) x x a x b dx ; ) 2 1-cos2xdx ; ) e ; ) x x x x x dx q r e dx t dx s            C .MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM : 1.Phương pháp đổi biến số. Giả sử ta cần tính tích phân ( )dx I f x  Đổi biến số dạng 1: Nếu f(x) có thể biểu diễn dưới dạng   , 1 ( ) ( ) ( )f x f x x    , tức là   , 1 ( ) ( ) dx I f x x     . Lúc này ta tính tích phân I như sau : 2 2 3 3 1 1 2 ( 1) 1 ) ; v) ; ) ; ) x x x u dx dx x dx y dx x x x x x               [...]... tích phân chứa e thì đặt t e dx 6 Nếu tích phân chứa thì đặt t x x dx 1 7 Nếu tích phân chứa 2 thì đặt t x x 8 Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt t sin x 9 Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt t cos x dx 10 Nếu tích phân chứa thì đặt t tgx cos 2 x dx 11 Nếu tích phân chứa thì đặt t cot gx sin 2 x 4 Nếu tích phân chứa i bin s dng 2: Gi s ta mun tớnh tớch phõn I f ( x) dx m khụng dựng c... c I Cao Hc Toỏn Gii Tớch ST : 01672828224 f ( x) ( x) dx f (t ) dt , 1 MT S KIU I BIN THNG DNG : 1 Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất 2 Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số 3 Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức dx thì đặt t ln x x x x 5 Nếu tích phân chứa e thì đặt t e dx 6 Nếu tích phân. .. ( x ) dx f (t) , (t) dt MT S KIU I BIN THNG DNG : Du hiu 2 a x 2 x2 a2 Cỏch chn x a sin t 2 t 2 x a cost 0 t a t ; x sin t 2 2 a t 0; \ x cost 2 Trng Vn i Cao Hc Toỏn Gii Tớch a 2 x2 x a tan t t 2 ; 2 x a cot t t 0; ax ax ax ax x=a.cos2t x a b x x=a+ b a sin 2 t ST : 01672828224 . Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN PHẦN 1 : NGUYÊN HÀM A. LÝ THUYẾT CẦN NẮM 1.Định nghĩa. LUYỆN : Bài tập 1 : CHỨNG MINH CÁC CÔNG THỨC SAU ; Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224 Bài tập 3 : TÍNH CÁC TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH SAU ;     2015 2015 2015 cos sin )I. phức tạp . VD1 : Tìm 3 2 (4 2 1)x x dx    Giải 3 2 (4 2 1)x x dx    = 3 2 4 2 1x dx x dx dx      Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224 = 4 3 1 2 3 4 2 4 3 x