Chuyên luy n thi i h c PHƯƠNG PHÁP GI I CÁC BÀI T P HÌNH KHƠNG GIAN TRONG KỲ THI TS H Biên so n: GV Nguy n Trung Kiên 0988844088 Trong kỳ thi TS H tốn hình không gian d ng t p gây khó khăn cho h c sinh Nguyên nhân b n h c sinh chưa bi t phân bi t rõ ràng d ng t p l a ch n công c , phương pháp gi i cho phù h p Bài vi t s giúp h c sinh gi i quy t nh ng vư ng m c ó Ph n 1: Nh ng v n c n n m ch c tính tốn - Trong tam giác vuông ABC (vuông t i A) ng cao AH ta ln có: A B b=ctanB, c=btanC; - C H 1 = = 2 AH AB AC Trong tam giác thư ng ABC ta có: a = b + c − 2bc cos A; cos A = b2 + c2 − a2 Tương 2bc t ta có h th c cho c ng b, c góc B, C: 1 - S ∆ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 - V(kh i chóp)= B.h (B di n tích áy, h chi u cao) - V(kh i lăng tr )=B.h - V(chóp S(ABCD)= (S(ABCD).dt(ABCD)) - Tính ch t phân giác AD c a tam giác ABC: AB.DC = AC.DB - Tâm ng tròn ngo i ti p giao i m trung tr c Tâm vòng tròn n i ti p giao i m phân giác c a tam giác Phương pháp xác nh ng cao lo i kh i chóp: - Lo i 1: Kh i chóp có c nh góc vng v i áy ó chi u cao - Lo i 2: Kh i chóp có m t bên vng góc v i áy ng cao ng k t m t bên n giao n - Lo i 3: Kh i chóp có m t k vng góc v i áy ng cao giao n c a m t k ó - Lo i 4: Kh i chóp có c nh bên b ng ho c c nh bên t o v i áy góc b ng chân ng cao tâm vòng tròn ngo i ti p áy - Lo i 5: Kh i chóp có m t bên u t o v i áy góc b ng chân ng cao tâm vịng tròn n i ti p áy S d ng gi thi t m : - Hình chóp có m t bên k t o v i áy góc α chân ng cao h t nh s rơi vào ng phân giác góc t o b i c nh n m m t áy c a m t bên (Ví d : Hình chóp SABCD có m t ph ng (SAB) (SAC) t o v i áy góc α chân ng cao h t nh S thu c phân giác góc BAC) - Hình chóp có c nh bên b ng ho c hai c nh bên u t o v i áy m t góc α chân ng cao h t nh rơi vào ng trung tr c c a o n th ng n i nh c a c nh c nh n m m t áy c a m t bên mà hai nh ó không thu c giao n c a m t bên (Ví d : Hình chóp SABCD có SB=SC ho c SB SC t o v i áy m t góc α chân ng cao h t S rơi vào ng trung tr c c a BC) Vi c xác nh c chân ng cao y u t quan tr ng tìm góc t o b i ng th ng m t ph ng ho c góc t o b i m t ph ng Ví d : Cho kh i chóp SABCD có m t bên SAD vng góc (ABCD), góc t o b i SC (ABCD) 600, góc t o b i (SCD) (ABCD) 450, áy hình thang cân có c nh áy a, 2a; c nh bên b ng a G i P,Q l n lư t trung i m c a SD,BC.Tìm góc t o b i PQ m t ph ng (ABCD).Tính V kh i chóp? Rõ ràng ây kh i chóp thu c d ng T ó ta d dàng tìm c ng cao xác nh góc sau: - K SH vng góc v i AD SH ng ˆ ˆ cao(SC,(ABCD))= SCH ;( SM , ( ABCD )) = HMS ) , v i M chân ng cao k t H lên CD ˆ - T P h PK vuông góc v i AD ta có ( PQ, ( ABCD )) = PQK S P K A D H M B Q C Ph n 3: Các toán v tính th tích A Tính th tích tr c ti p b ng cách tìm ng cao: Câu 1) (TS H A 2009) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình thang vng t i A D., có AB=AD=2a; CD=a Góc gi a m t ph ng (SCB) (ABCD) b ng 600 G i I trung i m AD bi t m t ph ng (SBI) (SCI) vng góc v i (ABCD) Tính th tích kh i chóp SABCD? HD gi i: Vì m t ph ng (SBC) (SBI) vng góc v i (ABCD) mà (SBI) (SCI) có giao n SI nên SI ng cao K IH vng góc v i BC ta có góc t o b i m t ph ng ˆ (SBC) (ABCD) SHI = 600 T ó ta tính c: IC = a 2; IB = BC = a 5; S ( ABCD ) = AD ( AB + CD ) = 3a 2 a 3a IH BC = S ( IBC ) = S ( ABCD) − S ( ABI ) − S (CDI ) = 3a − a − = nên 2 15 S ( IBC ) 3 IH = = a T ó V(SABCD)= a BC S A D I C B H Câu 2) (TS H D 2009) Cho lăng tr ng ABCA’B’C’ có áy ABC tam giác vng t i B, ’ ’ AB=a; AA =2a; A C=3a G i M trung i m c a o n A’C’, I trung i m c a AM A’C’ Tính V chóp IABC theo a? HD gi i: - ABC A’B’C’ lăng tr ng nên m t bên u vng góc v i áy ’ Vì I ∈ (ACC ) ⊥ (ABC), t I ta k IH ⊥ AC IH ng cao I tr ng tâm tam giác IH CI 4a AA’C’ ⇒ = = ⇒ IH = AA′ CA′ 3 Có AC = A′C − AA′2 = 9a = 4a = a ⇒ BC = AC − AB = 2a 1 4a V(IABC)= IH dt ( ABC ) = 2a.a = a ( vtt) 3 B’ M C’ A’ I C B H A B Tính th tích b ng cách s d ng cơng th c t s th tích ho c phân chia kh i a di n thành kh i a di n ơn gi n Khi g p tốn mà vi c tính tốn g p khó khăn ta ph i tìm cách phân chia kh i a di n ó thành kh i chóp ơn gi n mà có th tính tr c ti p th tích c a ho c s d ng cơng th c tính t s th tích tìm th tích kh i a di n c n tính thơng qua kh i a di n trung gian ơn gi n Các em h c sinh c n n m v ng công th c sau: V ( SA′B′C ′) SA′.SB′.SC ′ = (1) Công th c ch c dung cho kh i chóp tam giác V ( SABC ) SA.SB.SC S C’ A’ C B’ A B ˆ Câu 1) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình thoi c nh a, BAD = 600 , SA vng góc v i áy(ABCD), SA=a G i C trung i m SC, m t ph ng (P) i qua AC song song v i BD c t c nh SB, SD c a hình chóp t i B’, D’ Tính th tích kh i chóp HD gi i: G i O giao ng chéo ta suy AC’ SO c t t i tr ng tâm I c a tam giác SAC T I thu c m t ph ng (P)(SDB) k ng th ng song song v i BD c t SB, SD t i B’, D’ giao i m c n tìm SC ′ SD′ SB′ SI = ; = = = Ta có: SC SD SB SO V ( SAB′C ′D′) V ( SAB′C ′) SA.SB′.SC ′ = = = D th y V( SAB′C ′D′) = 2V( SAB′C ′) ;V( SAB′C ′) = 2V( SABC ) ⇒ V ( ABCD) V ( SABC ) SA.SB.SC 1 3 ˆ Ta có V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD) = SA AD AB.sinDAB = a.a.a = a3 3 3 V( SAB′C ′D′) = a ( vtt) 18 S C’ D’ B’ A D O B C Câu 2) (D b A 2007) Cho hình chóp SABCD hình ch nh t AB=a, AD=2a, c ng SA vng góc v i áy, c nh SB a M t ph ng BCM c t DS t i h p v i áy m t góc 600 Trên c nh SA l y M cho AM= N Tính th tích kh i chóp SBCMN HD gi i: T M k ng th ng song song v i AD c t SD t i N giao i m c n tìm, góc t o b i SB ˆ (ABCD) SBA = 600 Ta có SA=SBtan600=a T 3 SM SN =a ⇒ = = 3 SA SD = 2V( SABC ) = 2V( SACD ) ó suy SM=SA-AM= a − a D th y V( SABCD ) = V( SABC ) + V( SACD ) V( SBCMN ) = V( SMBC ) + V( SMCN ) V ( SMBCN ) V ( SMBC ) + V ( SMCN ) V ( SMCN ) V ( SMCN ) 1.SM SB.SC 1.SM SC.SN = = + = + V ( SABCD) V ( SABCD) 2V ( SABC ) 2V ( SACD) 2.SA.SB.SC 2.SA.SC.SD = + = 9 1 3 10 3 Mà V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD ) = a 3a 2a = a ⇒ V( SMBCN ) = a 3 27 ⇒ S N M A B D C Ph n 4: Các toán v kho ng cách không gian A Kho ng cách t i m n m t ph ng V b n ch t tìm kho ng cách t i m n m t ph ng ta tìm hình chi u vng góc c a i m ó lên m t ph ng Tuy nhiên s trư ng h p tìm hình chi u tr nên vơ khó khăn, ó vi c s d ng cơng th c tính th tích tr nên r t hi u qu 3V Ta có V(kh i chóp)= B.h ⇒ h = B Câu 1) Cho hình chóp SABC có góc t o b i m t ph ng (SBC) (ABC) 600, ABC,SBC tam giác u c nh a Tính kho ng cách t nh B n mp(SAC).( d b kh i A 2007) HD: Cách 1: Coi B nh kh i chóp BSAC t gi thi t ta suy BS=BA=BC=a G i O chân ng cao h t B xu ng mp(SAC) O tâm vòng tròn ngo i ti p tam giác SAC G i M trung i m BC ta có SM ⊥ BC ; AM ⊥ BC Nên góc t o b i (SBC) (ABC) a ˆ SMA = 600 ⇒ SM = AM = AS= Bây gi ta tìm v trí tâm vòng ngo i ti p tam giác SAC Tam giác SAC cân t i C nên tâm vòng tròn ngo i ti p n m trung tr c c a SA CN (N trung di m c a SA) K trung tr c c a SC c t trung tr c c a SA t i O i m c n tìm  SA  3a SC −  a2 −    16 = 13 = SC a NC = SC SC 2a 4a 3a ; BO = BC − OC = a − ⇒ OC = = = ˆ 13 cos SCN 13 13 cos SNC = S N P O A C M B 2a Cách 2: V( SABCD ) = 2V( SABM ) = BM dt ( SAM ) = AM MS sin 600 = a dt ( SAC ) 3.2 16 1 13 39a 3V ( SABC ) 3a CN AS= a a= ⇒ d ( B, ( SAC ) = = = 2 16 dt ( SAC ) 13 ˆ ˆ Câu 2) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình thang ABC = BAD = 900 , BA=BC=2a, AD=2a C nh bên SA vuông góc v i áy SA= a , g i H hình chi u c a A lên SB Ch ng minh tam giác SCD vng tính theo a kho ng cách t H n mp(SCD) (TS H D 2007) HD gi i: Ta có AC = a 2; SD = SA2 + AD = a 6; SC = SA2 + AC = 2a Ta d dàng tính c CD = a Ta có SD = SC + CD nên tam giác SCD vuông t i C 1 AB.AS a.a 2 = + ⇒ AH = = =a 2 AH AB AS AB2 + AS2 a + 2a 2 a SH =2 2 ⇒ SH = SA − AH = a⇒ = SB a 3 dt ( BCD) = dt ( ABCD) − dt ( ABD) = SC.CD = a 2 V ( SHCD ) SH SC.SD = = V ( SBCD ) SB.SC.SD dt ( SCD ) = V ( SHCD ) = AB.( BC + AD) a2 − AB AD = ; 2 2 1.a 2.a 2 = ;V ( SBCD ) = SA.dt ( BCD ) = a 3 3.2 3V ( SHCD) a a Ta có d ( H /( SCD)) = = a = dt ( SCD) 9 a S H A D B C B Kho ng cách gi a ng th ng chéo khơng gian Khi tính kho ng cách gi a ng th ng chéo a b khơng gian ta tìm o n vng góc chung c a ng th ng ó, N u vi c tìm o n vng góc chung g p khó khăn ta ti n hành theo phương pháp sau: - D ng (tìm) m t ph ng trung gian (P) ch a a song song v i b sau ó tính kho ng cách t i m b t kỳ b n mp(P) ho c ngư c l i d ng mp(P) ch a b song song v i a sau ó tính kho ng cách t i m a n (P) - Khi tính kho ng cách t i m n m t ph ng ta có th v n d ng phương pháp ã trình bày m c A Câu 1) Cho lăng tr ng ABCA’B’C’ có áy ABC tam giác vng AB=BC=a, c nh bên AA′ = a G i M trung i m c a BC Tính theo a th tích kh i lăng tr ABCA′B′C ′ kho ng cách gi a ng th ng AM, B’C.(TS H D2008) HD gi i: V ( ABCA′B′C ′) = S h = a3 G i N trung i m c a BB’ ta có B’C song song v i mp(AMN) T ó ta có: d ( B′C , AM ) = d ( B′, ( AMN )) = d ( B, ( AMN )) N trung i m c a BB’ G i H hình chi u vng góc c a B lên (AMN), t di n BAMN t di n vuông t i B nên ta 1 1 a = + + ⇒ BH = có kho ng cách gi a AM B’C 2 2 BH BA BN BM B’ A’ C’ N B H M K A C (Chú ý:1) Trong toán ta ã d ng m t ph ng trung gian mp(AMN) t n d ng i u ki n B’C song song v i (AMN) T i khơng tìm m t ph ng ch a B’C em h c sinh t suy nghĩ i u Chú ý 2) N u m t ph ng (P) i qua trung i m M c a o n AB kho ng cách t A n (P) b ng kho ng cách t B n (P)) Câu 2) Cho hình chóp t giác u SABCD có áy hình vng c nh a G i E i m i x ng c a D qua trung i m c a SA, M trung i m c a AE, N trung i m c a BC Ch ng minh MN vng góc v i BD tính kho ng cách gi a ng th ng MN AC.(TS H B 2007) HD gi i: G i P trung i m c a SA, ta có t giác MPNC hình bình hành Nên MN// PC T ó suy MN//(SAC) M t khác BD ⊥ mp(SAC) nên BD ⊥ PC ⇒ BD ⊥ MN 1 Ta có: d(MN, AC)=d(N,(SAC))= d ( B, ( SAC )) = BD = a 2 S E M P D A B N C ( Vi c chuy n tính kho ng cách t N n (SAC) sang tính kho ng cách t B n (SAC) giúp ta ơn gi n hoá toán i r t nhi u Các em h c sinh c n nghiên c u k d ng toán v n d ng) Chú ý 2) N u m t ph ng (P) i qua trung i m M c a o n AB kho ng cách t A n (P) b ng kho ng cách t B n (P)) Ph n 5: Các tốn tính góc gi a ng th ng chéo không gian Khi c n tính góc gi a ng th ng chéo a b không gian ta ph i tìm ng th ng trung gian c song song v i a c c t b Khi ó góc t o b i a b góc t o b i b c Ho c ta d ng liên ti p ng th ng c d c t l n lư t song song v i a b Sau ó ta tính góc gi a c d theo nh lý hàm s côsin ho c theo h th c lư ng tam giác vng Câu 1) Cho lăng tr ng ABCA’B’C’ có dài c nh bên b ng 2a , áy ABC tam giác vuông t i A AB = a , AC = a hình chi u vng góc c a A’ lên mp (ABC) trung i m c a c nh BC , Tính theo a th tích kh i chóp A’ABC tính cơsin góc t o b i AA’ B’C’ (TS H A2008) HD gi i :G i H trung i m c a BC Suy A’H ⊥ (ABC) 1 AH = BC = a + 3a = a Do ó A’H = A ' A2 − AH = a 2 a3 V(A’ABC) = A’H.dt (ABC) = Trong tam giác vuông A’B’H ta có HB’= A ' B + A ' H = 2a nên tam giác B’BH cân t i B’ t α góc t o b i AA’ B’C’ a ˆ α = B ' BH ⇒ cos α = = 2.2a (Trong Bài tốn ta ã chuy n tính góc t o b i AA’ B’C’ sang tính góc t o b i hai ng th ng l n lư t song song v i AA’ B’C’ BB’và BC ) Tel 0988844088 10 A’ C’ B’ C A B H B Câu 2:Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình vng c nh 2a , SA = a, SB = a mp (SAB) vuông góc v i m t ph ng áy G i M,N l n lư t trung i m c a c nh AB,BC Tính theo a th tích kh i chóp SBMDN tính cosin góc t o b i SM DN Hd gi i: T S h SH vng góc AB SH vng góc v i mp (ABCD) SH ng cao kh i chóp SBMDN Ta có SA2 + SB2 = 4a2 = AB2 ⇒ ∆SAB vuông t i a AB S ⇒ SM = = a ⇒ ∆SAM tam giác u ⇒ SH = 2 3a3 D th y dt(BMDN)=1/2dt(ABCD)=2a2 Do ó V(SBMDN)= SH dt ( BMDN ) = 3 a K ME song song v i DN ( E thu c AD) suy AE = gi s (SM,DN)= α ⇒ α = ( SM , ME ) Ta có SA vng góc v i AD ( nh lý ng vng góc ) suy SA ⊥ AE ⇒ SE = SA2 + AE = a a , ME = AM + ME = Tam giác SME cân t i E 2 SM nên cos α = = ME 11 S A E H D M B N C M T S BÀI T P Câu 1) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc v i hình chóp Cho AB=a, SA= a G i H K l n lư t hình chi u c a A lên SB, SD Ch ng minh SC ⊥ (AHK) tính th tích hình chóp OAHK Câu 2) Cho lăng tr ng ABCA1B1C1 có t t c c nh u b ng a M trung i m c a o n AA1 Ch ng minh BM ⊥ B1C tính d(BM,B1C) ˆ Câu 3) Cho lăng tr ng ABCA1B1C1 có AB=a, AC=2a, AA1=2a BAC = 1200 G i M trung i m c a c nh CC1 Ch ng minh MB ⊥ MA1 tính kho ng cách t C t i mp(A1BM) Câu 4) Cho lăng tr ng ABCA1B1C1 có áy ABC tam giác vuông AB=AC=a, AA1=a G i M, N l n lư t trung i m c a o n AA1 BC1 Ch ng minh MN ng vng góc chung c a ng th ng AA1 BC1 Tính VMA1BC1 Câu 5) Cho t di n u ABCD có c nh b ng a G i O tâm ng tròn ngo i ti p tam giác BCD G i M trung i m c a CD Tính góc gi a AC BM Câu 6) Cho hình chóp SABC có áy ABC tam giác vng t i A, BC=a, a SA=SB=SC= Tính kho ng cách t S n (ABC) Tính góc t o b i ng th ng SA mp(ABC) Câu 7) Cho kh i lăng tr ng ABCA’B’C’ có áy ABC tam giác u c nh a, AA’=a Tính góc t o b i mp(ABC’) mp(BCA’) Câu 8) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD n a l c giác u n i ti p ng tròn ng kính AB=2a, SA=a vng góc v i mp(ABCD) Tính góc t o b i mp(SAD) mp(SBC) Tính góc t o b i mp(SBC) mp(SCD) 12 Câu 9) Cho hình lăng tr ABCA’B’C’có áy ABC tam giác u tâm O Hình chi u vng góc c a C’ (ABC) trùng v i O Bi t kho ng cách t O n CC’ a Góc t o b i m t ph ng (AA’C’C) (BB’C’C) 1200 Ch ng minh ABB’A’ hình ch nh t Tính th tích lăng tr góc t o b i m t bên (BCB’C’) áy (ABC) Câu 10) Cho t di n ABCD, có áy tam giác cân ABC DA vng góc v i (ABC) AB=AC=a, BC= a G i M trung i m c a BC V AH vuông góc v i MD (H thu c MD) a) Ch ng minh r ng AH vng góc v i m t ph ng (BCD) b) Cho AD= a Tính góc gi a hai ng th ng AC DM c) G i G1 G2 l n lư t tr ng tâm c a tam giác ABC tam giác DBC Ch ng minh r ng G1G2 vng góc v i m t ph ng (ABC) Câu 11) Cho hình chóp SABC có m t ph ng (SAB) (SBC) vng góc v i SA ˆ ˆ vng góc v i m t ph ng (ABC), SB = a ; BSC = 45 , ASB = α a) Ch ng minh r ng BC vng góc v i SB m t ph ng (SCA) (SCB) t o v i góc 60 b) Tìm giá tr c a α Câu 12) Cho hình vng ABCD G i S i m không gian cho SAB tam giác u (SAB) vng góc v i (ABCD) a) Ch ng minh r ng (SAB) vuông góc v i (SAD) (SAB) vng góc v i (SBC) b) Tính góc t o b i m t ph ng (SAD) (SBC) c) G i H,I l n lư t trung i m c a AB, BC Ch ng minh r ng m t ph ng (SHC) vng góc v i m t ph ng (SDI) Câu 13) Cho cho hình lăng tr u ABCA'B'C' có c nh áy b ng a, Chi u cao b ng h i m M MA = thu c AB’ cho MB' a) Tính góc t o b i AC BC’ b) M t ph ng (P) i qua M song song v i ng th ng A’C BC’ c t ng th ng DC CC’ t i D Tính t s DC ' Câu 14) Cho cho hình lăng tr tam giác u ABCA'B'C' có t t c c nh b ng a G i C trung i m c a CC’ Tính góc t o b i C1 B A’B’ góc t o b i m t ph ng ( C1 AB) )(ABC) Câu 15) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình vng c nh a, SA vng góc v i (ABCD) SA=a Tính a) Tính kho ng cách t S n (ECD) ó E trung i m c a SA b) Tính kho ng cách gi a AC SD ˆ Câu 16) Cho hình h p ng ABCDA’B’C’D’ có áy hình thoi c nh a, A = 60 , A’C t o v i (ABCD) góc 60 a) Tính ng cao hình h p b) Tìm ng vng góc chung c a A’C BB’.Tính dài o n vng góc chung Câu 18) Cho hình chóp SABCD có áy hình thoi ABCD có A=1200 , BD=a, c nh bên SA vng góc v i áy , Góc t o b i (SBC) (ABCD) 600.Tính 13 a) ng cao k t S b) Kho ng cách gi a hai ng th ng AC SD; BC SD Câu 19) Cho hình chóp u SABCD có c nh b ng a G i M,N trung i m c a SA, SC Bi t BM t o v i ND góc 600 Tính th tích kh i chóp Câu 20) Cho hình chóp u SABCD có c nh b ng a áy tâm O G i M, N trung i m c a SA, BC Bi t góc t o b i MN (ABCD) 600 a) Tính MN, SO b) Tính góc t o b i MN m t ph ng (SAO) c) Tính th tích kh i chóp SABCD Câu 21) Cho hình l p phương ABCDA’B’C’D’ c nh a Tính góc t o b i (BA’C) (DA’C) Câu 22) Cho lăng tr tam giác ABCA’B’C’ có hình chi u vng góc c a nh A’ lên m t ph ng (ABC) trùng v i tâm vòng tròn ngo i ti p tam giác ABC Bi t tam giác ABC tam giác cân t i ˆ A ABC = 1200,AB = a; Góc t o b i m t ph ng (A’BC) (ABC) b ng 600 Tính th tích kh i lăng tr ABCA’B’C’ kho ng cách t A lên m t ph ng (A’BC) Câu 23) Cho lăng tr tam giác ABCA’B’C’ có áy ABC tam giác vng t i A,AB = a ; AC = a c nh A’A,A’B,A’C u h p v i áy góc b ng Góc t o b i m t ph ng (A’AC) áy `1(ABC) b ng 600 a) Tính th tích kh i lăng tr ABCA’B’C’ b) Trên A’C’ l y i m M cho M trung i m c a A’C’ ng th ng A’C’ c t AM t i I Tính th tích kh i chóp IABC c) G i O trung i m AM tính kho ng cách t O n m t ph ng (A’BC) d) Tìm tâm bán kính m t c u ngo i ti p kh i chóp A’ABC Câu 24) Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vng c nh a C nh SA vng góc v i áy , góc t o b i m t ph ng (SBD) áy 600 G i M trung i m SA ,N trunh i m c a SD Tính th tích kh i chóp SABCD cosin góc t o b i BM AN Câu 25) Cho kh i chóp SABCD có SA = x c nh cịn l i u b ng Tính th tích VSABCD c a kh i chóp tìm x VSABCD l n nh t Câu 26) Cho t di n DABC Bi t tam giác ABC vuông t i A, AB = a, BC = 2a Các m t (DAB) (DAC) h p v i (ABC) góc α ,m t bên (DBC) vng góc v i (ABC) a) Tính th tích kh i t di n theo a α 2a 3 b) Xác nh góc α bi t VABCD= Câu 27) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình bình hành ,m t mp( α ) qua AB c t SC, SM SD t i M,N Tính ( α ) chia hình chóp thành hai ph n có th tích b ng SC Câu 28) Cho hình chóp t giác u SABCD có t t c c nh u b ng a G i M P l n lư t trung i m c a SA SC, m t ph ng (DMP) c t SB t i N Tính th tích kh i chóp SDMNP SM SN Câu 29) Trên c nh SA,SB c a t di n SABC l y i m M,N cho = , = MA NB M t m t ph ng ( α ) i qua MN song song v i SC chia t di n thành ph n Tính t s th tích hai ph n ó ˆ Câu 30) Cho hình chóp SABC có ABC tam giác vuông t i A ABC = 600 Bi t m t bên hình chóp h p v i m t áy góc 30 di n tích xung quanh c a hình chóp b ng a2 a) Tính th tích c a kh i chóp SABC theo a b) Tính kho ng cách t nh C n m t bên (SAB) theo a 14 Câu 31) Cho kh i lăng tr tam giác ABC.A’B’C’ có áy ABC tam giác u c nh a , c nh bên AA’h p v i m t áy góc 600 Hình chi u c a A’ lên mp(ABC) trùng v i tr ng tâm G c a tam giác ABC Tính th tích c a kh i lăng tr ã cho Câu 32) Cho kh i lăng tr ABC.A’B’C’ có áy ABC tam giác u Bi t A’A = AB = a Tính th tích kh i lăng tr bi t m t bên (A’AB) (A’AC) h p v i m t áy (ABC) m t góc 600 Câu 33) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình thang vng t i A, hai áy AD = 2a , BC = a Bi t AB = a , SA = a SA ⊥ (ABCD) a) Tính th tích c a kh ichóp SACD b) Tính th tích c a kh i chóp SBCD kho ng cách d(B; (SCD)) Câu 34) Cho kh i chóp SABC có áy ABC tam giác vng A,BC = a ,SA = SB = SC = 2a ˆ ABC = α G i H hình chi u c a S BC a) Tính th tích kh i chóp SABC theo a b) Tính kho ng cách t B n m t ph ng (SAH) c) Cho (P) m t ph ng qua A , tr ng tâm tam giác SBC song song v i BC chia kh i chóp SABC thành ph n Tính th tích m i ph n Câu 35) Cho kh i chóp DABC có m t (DBC) vng góc v i áy , m t bên (DAB) (DAC) h p v i áy góc α (α < 900 ) Tính th tích c a kh i chóp trư ng h p sau a) ABC tam giác vuông t i A có AB = a , AC = 2a ; b) ABC tam giác u có c nh b ng a M TS BÀI T P CH N L C V HÌNH KHƠNG GIAN THƯ NG DÙNG TRONG KỲ THI TS H BIÊN SO N GV NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088 Câu 1) Kh i chóp SABCD có áy hình bình hành, M trung i m c a SC M t ph ng (P) i qua AM, song song v i BD chia kh i chóp làm ph n Tính t s th tích hai ph n ó Câu 2) Cho hình chóp t giác u SABCD có c nh b ng a a) Tính th tích kh i chóp b) Tính kho ng cách t tâm m t áy n m t c a hình chóp Câu 3) Kh i chóp SABCD có áy hình vng c nh a SA ⊥ (ABCD); SA=2a G i E, F hình chi u c a A SB SD I giao i m c a SC (AEF) Tính th tích kh i chóp SAEIF Câu 4) Cho lăng tr ng ABCA1B1C1 áy tam giác u M t ph ng (A1BC) t o v i áy góc 30 tam giác A1BC có di n tích b ng Tính th tích kh i lăng tr Câu 5) Kh i lăng tr ABCA1B1C1 có áy tam giác vng cân, c nh huy n AB= M t ph ng (AA1 B) vng góc v i m t ph ng (ABC), AA1= ; góc A1AB nh n, góc t o b i (A1AC) m t ph ng (ABC) b ng 600 Tính th tích kh i lăng tr Câu 6) Kh i lăng tr t giác u ABCDA1 B1C1D1 có kho ng cách gi a ng th ng AB A1D b ng 2, dài ng chéo m t bên b ng a) H AH ⊥ A1D (K ∈ A1D) ch ng minh r ng AK=2 b) Tính th tích kh i lăng tr ABCDA1B1C1D1 Câu 7) Cho hình t di n ABCD có c nh AD vng góc v i m t ph ng (ABC), AC=AD=4cm; AB=3cm; BC=5cm Tính kho ng cách t i m A t i m t ph ng (BCD) 15 Câu 8) Cho hình chóp tam giác u SABC nh S, dài c nh áy b ng a G i M, N l n lư t trung i m c a c nh SB SC Tính theo a di n tích tam giác AMN, bi t r ng m t ph ng (AMN) vng góc v i m t ph ng (SBC) Câu 9) Cho hình chóp SABC có SA=3a SA vng góc v i m t ph ng (ABC) Tam giác ABC có AB=BC=2a, góc ABC=1200 Tính kho ng cách t nh A n m t ph ng (SBC) Câu 10) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình vng c nh a, tam giác SAB u n m m t ph ng vng góc v i áy Tính góc gi a m t ph ng (SAB) (SCD) Câu 11) Cho hình chóp tam giác u SABC có áy ABC tam giác u c nh a, SA=2a SA vng góc v i m t ph ng (ABC) G i M N l n lư t hình chi u vng góc c a A ng th ng SB SC a) Tính kho ng cách t A n m t ph ng (SBC) b) Tính th tích c a kh i chóp ABCMN Câu 12) Hình chóp tam giác SABC có c nh bên SA=SB=SC=a, góc ASB=1200, góc BSC=600, góc ASC=900 Ch ng minh r ng tam giác ABC vng tính th tích hình chóp SABC theo a Câu 13) Cho hình chóp t giác u SABCD Kho ng cách t A n m t ph ng (SBC) b ng 2a Góc gi a m t bên m t áy α a) Tính th tích kh i chóp theo a α b) Xác nh α th tích kh i chóp nh nh t Câu 14) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình ch nh t v i AB=a, AD= a , SA=a SA vng góc v i m t ph ng (ABCD) G i M N l n lư t trung i m c a AD SC, I giao i m c a BM AC a) Ch ng minh r ng m t ph ng (SAC) vng góc v i m t ph ng (SMB) b) Tính th tích c a kh i t di n ANIB Câu 15) Cho lăng tr ng ABCA’B’C’ có áy ABC tam giác vng t i B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a G i M trung i m c a o n th ng A’C’, I giao i m c a AM A’C a) Tính theo a th tích kh i t di n IABC b) Tính kho ng cách t i m A n m t ph ng (IBC) Câu 16) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình thang vng t i A D, AB=AD=2a, CD=a, góc gi a m t ph ng (SBC) (ABCD) b ng 600 G i I trung i m c a c nh AD Bi t m t ph ng (SBI) (SCI) vng góc v i m t ph ng (ABCD), tính th tích kh i chóp SABCD theo a Câu 17) Cho hình lăng tr tam giác ABCA’B’C’ có BB’=a, góc t o b i BB’ m t ph ng (ABC) 600, tam giác ABC vuông t i C góc BAC=600 Hình chi u vng góc c a i m B’ lên m t ph ng (ABC) trùng v i tr ng tâm c a tam giác ABC Tính th tích kh i t di n A’ABC theo a Câu 18) Trong khơng gian cho hình chóp tam giác u SABC có SC = a Góc t o b i (ABC) (SAB) =600 Tính th tích kh i chóp SABC theo a Câu 19) Trong khơng gian cho hình chóp SABCD v i ABCD hình thoi c nh a, góc ABC=600, a SO vng góc v i áy ( O tâm m t áy), SO = M trung i m c a AD (P) m t ph ng qua BM song song v i SA, c t SC t i K Tính th tích kh i chóp KABCD Câu 20) Cho hình chóp SABC có áy ABC tam giác u c nh a, c nh bên SA vng góc v i a áy (ABC) Tính kho ng cách t A n m t ph ng (SBC) theo a bi t SA = 16 Câu 21) Cho hình chóp SABCD có áy hình ch nh t, AD = a 2, CD = 2a C nh SA vng góc v i áy SA = 2a G i K trung i m AB a) Ch ng minh r ng (SAC) vuông góc v i (SDK) b) Tính th tích kh i chóp CSDK theo a; tính kho ng cách t K n (SDC) Câu 22) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình vng c nh a M t ph ng (SAC) vng góc v i áy, góc ASC=900, SA t o v i áy góc 600 Tính th tích kh i chóp Câu 23) Cho lăng tr ABCA’B’C’ có áy ABC tam giác u c nh a, hình chi u vng góc c a A’ lên m t ph ng (ABC) trùng v i tâm O c a tam giác ABC M t m t ph ng (P) ch a BC a2 vng góc v i AA’ c t lăng tr theo thi t di n có di n tích Tính th tích kh i lăng tr a Câu 24) Cho hình chóp SABC có AB=AC=a; BC = ; SA = a ; góc SAB b ng góc SAC b ng 300 Tính th tích c a kh i chóp theo a Câu 25) Cho hình chóp t giác u SABCD c nh áy b ng a G i G tr ng tâm tam giác SAC a kho ng cách t G n m t bên (SCD) b ng a) Tính kho ng cách t tâm c a m t áy n m t bên (SCD) b) Tính th tích c a kh i chopSABCD Câu 26) Cho hình chóp SABC có ng cao AB=BC=a; AD=2a áy tam giác vuông cân t i B G i B’ trung i m c a SB, C’ chân ng cao h t A xu ng SC.Tính th tích kh i chóp SAB’C’ Câu 27) Cho lăng tr ng ABCA’B’C’ có áy ABC tam giác vuông, AB=BC=a, c nh bên AA’= a G i M trung i m c a c nh BC a) Tính theo a th tích c a kh i lăng tr ABCA’B’C’ b) Tính kho ng cách gi a ng th ng AM B’C Câu 28) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình vng c nh 2a; SA=a; SB= a m t ph ng (SAB) vng góc v i m t ph ng áy M N l n lư t trung i m c a c nh AB BC Tính th tích kh i chóp SBMDN góc gi a (SM;ND) Câu 29) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình thang, góc BAD b ng góc ABC b ng 900; AB=BC=a; AD=2a SA vng góc v i áy SA=2a G i M, N l n lư t trung i m c a SA; SD Tính th tích kh i chóp SABCD kh i chóp SBCMN Câu 30) Cho lăng tr ABCA’B’C’ có dài c nh bên b ng 2a, áy ABC tam giác vuông t i A, AB=a; AC= a hình chi u vng góc c a A’ (ABC) trung i m c a c nh BC Tính theo a th tích kh i chóp A’ABC cosin c a góc gi a ng th ng AA’ B’C’ Câu 31) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình vng c nh a, m t bên SAD tam giác u n m m t ph ng vng góc v i áy G i M, N, P l n lư t trung i m c a c nh SB, BC, CD Ch ng minh AM vng góc v i BP tính th tích kh i t di n CMNP Câu 32) Cho lăng tr ng ABCA1B1C1 có AB=a; AC=2a; AA1= 2a góc BAC=1200 G i M trung i m c a c nh CC1 Ch ng minh r ng MB ⊥ MA1 tính kho ng cách d t i m A n m t ph ng (A1MB) Câu 33) Cho hình chóp SABC có góc gi a m t ph ng (SBC) (ABC) b ng 600 Các tam giác ABC SBC tam giác u c nh a Tính theo a kho ng cách t nh B n m t ph ng (SAC) 17 Câu 34) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc v i áy Cho AB=a; SA= a G i H K l n lư t hình chi u c a A lên SB; SC Ch ng minh SC ⊥ (AHK) tính th tích kh i chóp OAHK Câu 35) Trong m t ph ng (P) cho n a ng tròn ng kính AB=2R i m C thu c n a vòng (SAB;SBC)=600 G i H, K l n lư t hình chi u c a A SB, SC Ch ng minh tam giác AHK vuông tính VSABC Câu 36) Lăng tr ng ABCA1B1C1 có áy tam giác vuông AB=AC=a; AA1= a G i M, N l n lư t trung i m c a AA1 BC1 Ch ng minh r ng MN o n vng góc chung c a AA1 BC1 Tính th tích kh i chóp MA1BC1 Câu 37) Cho lăng tr ng ABCA1B1C1 có t t c c nh u b ng a M trung i m c a o n AA1 Ch ng minh BM ⊥ B1C tính d( BM ; B1C ) Câu 38) Cho hình chóp t giác u SABCD có áy hình vng c nh a E i m i x ng c a D qua trung i m SA, M trung i m c a AE, N trung i m c a BC Ch ng minh MN vng góc v i BD tính kho ng cách gi a MN AC theo a Câu 39) Cho hình chóp SABCD có áy hình thang, góc ABC= góc BAD= 900; AD=2a; BA=BC=a C nh bên SA vng góc v i áy SA= a G i H hình chi u vng góc c a A SB a) Ch ng minh r ng tam giác SCD vng b) Tính kho ng cách t H n m t ph ng (SCD) Câu 40) Cho hình chóp SABC mà m i m t bên tam giác vuông SA=SB=BS=a G i M, N, E l n lư t trung i m c a c nh AB, AC, BC D i m i x ng c a S qua E, I giao i m c a AD (SMN) a) Ch ng minh r ng AD vng góc v i SI b) Tính theo a th tích kh i t di n MBSI a góc Câu 41) Cho hình h p ng ABCDA’B’C’D’ có c nh AB=AD=a; AA’= BAD=600 G i M N l n lư t trung i m c a A’D’ A’B’ Ch ng minh AC’ vng góc v i m t ph ng (BDMN) tính th tích kh i chóp ABDMN Câu 42) Hình chóp SABCD có áy ABCD hình ch nh t v i AB=a, AD=2a, c nh SA vng a góc v i áy, c nh SB t o v i m t ph ng áy góc 600 Trên c nh SA l y M cho AM = , m t ph ng (BCM) c t SD t i N Tính th tích kh i chóp SBCNM Câu 43) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD hình thoi c nh a Góc BAD=600 SA vng góc v i m t ph ng (ABCD), SA=a G i C’ trung i m c a SC, m t ph ng (P) i qua AC’ song song v i BD, c t c nh SB, SD c a hình chóp l n lư t t i B’, D’ Tính th tích c a kh i chóp SAB’C’D’ Câu 44) Cho lăng tr ABCA’B’C’ có A’ABC hình chóp tam giác u, c nh áy AB=a, c nh bên AA’=b G i α góc gi a m t ph ng (ABC) (A’BC) Tính tan α th tích kh i chóp A’BB’CC’ Câu 45) Cho hình chóp t giác u SABCD có c nh áy =a G i SH ng cao c a hình chóp Kho ng cách t trung i m I c a SH n m t ph ng (SBC) b ng b Tính th tích kh i chóp SABCD 18 Câu 46) Cho hình l p phương ABCDA’B’C’D’ có c nh =a i m K thu c c nh CC’ 2a cho: CK = M t ph ng α i qua A, K song song v i BD chia kh i l p phương thành kh i a di n Tính th tích c a kh i a di n ó Câu 47) Cho hình tr trịn xoay hình vng ABCD c nh a có nh liên ti p A; B n m ng tròn áy th nh t, nh l i n m ng tròn áy th cùa hình tr M t ph ng (ABCD)t o v i áy hình tr góc 450 Tính di n tích xung quanh th tích c a hình tr Câu 48) Cho hình nón nh S, áy ng tròn tâm O, SA SB ng sinh Bi t SO=3a, kho ng cách t O n m t ph ng (SAB) b ng a, di n tích tam giác SAB=18a2 Tính th tích di n tích xung quanh Câu 49) Cho hình tr có áy hình trịn tâm O O’ Bán kính áy b ng chi u cao b ng a Trên ng tròn áy tâm O l y i m A, ng tròn áy tâm O’ l y i m B cho AB=2a a) Tính di n tích tồn ph n c a hình tr th tích c a kh i tr b) Tính th tích t di n OO’AB Câu 50) Cho hình chóp c t tam giác u ngo i ti p hình c u bán kính r cho trư c Tính th tích kh i chóp c t bi t r ng c nh áy l n g p c nh nh (Hình chóp ngo i ti p hình c u n u hình c u ti p xúc v i t t c m t c a hình chóp) Câu 51) Cho hình chóp tam giác u SABC có dài c nh bên b ng a Các m t bên h p v i m t ph ng áy m t góc α Tính th tích kh i c u n i ti p hình chóp Câu 52) Cho hình chóp SABCD Hai m t bên (SAB) (SAD) vng góc v i m t áy áy ABCD t giác n i ti p ng tròn tâm O, bán kính R Xác nh tâm tính th tích kh i c u ngo i ti p hình chóp SABCD bi t SA=h Câu 53) Hình c u ng kính AB=2R L y H AB cho AH=x ( 0