SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN’’ 1 PHẦN I: MỞ ĐẦU I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Giải tích toán học còn gọi đơn giản là Giải tích. Giải tích là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn"; Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường mang tính chất "động" hơn là tính chất "tĩnh" như trong Đại số. Chính vì vậy mà phần lớn học sinh THPT rất lúng túng và gặp khó khăn khi học Giải tích nói chung và Nguyên hàm, Tích phân nói riêng. Bên cạnh đó, trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN và đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa của các năm qua, bài toán liên quan đến tích phân hầu như không thể thiếu và là bài toán không thuộc loại khó. Tuy nhiên đối với học sinh thì vẫn coi tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân. Trong thực tế nhiều học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: Tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân bằng dùng công thức cơ bản hoặc phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp tích phân từng phần ngay mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai. Qua thực tế giảng dạy và ôn thi nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh. Vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: ‘‘Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân’’ 2. Phạm vi nghiên cứu Các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình tính toán trong chương III – Giải tích 12. 2 3. Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 12A1 và 12A6 ôn thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN và thi HSG tỉnh Thanh Hóa. 4. Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thi nói chung. II. THỰC TRẠNG Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm tích phân và ứng dụng” thường gặp phải những khó khăn sau: - Không nắm vững định nghĩa Nguyên hàm, Tích phân. - Không nắm vững phương pháp đổi biến số. - Không nắm vững phương pháp nguyên hàm (tích phân) từng phần III. CÁC GIẢI PHÁP CỦA SÁNG KIẾN Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp như sau: - Đưa ra hệ thống lí thuyết, hệ thống các phương pháp giải. - Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể. Phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh thường mắc phải, vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán. - Thực nghiệm sư phạm 3 PHẦN II: NỘI DUNG I. CƠ SỞ KHOA HỌC 1. Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Kí hiệu: ( ) x ( )f x d F x C= + ∫ Nhận xét: Khi bắt đầu học về nguyên hàm các em học sinh thường hay lúng túng và hay bị nhầm với đạo hàm. Để tránh bị nhầm các em nên chú ý: “Để tính ( )f x dx ∫ ta cần tìm một hàm số sao cho đạo hàm của nó bằng f(x)” Tính chất: Các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa a) ( ( ) )' ( )f x dx f x= ∫ b) ( ) ( )kf x dx k f x dx = ∫ ∫ c) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ 2. Tích phân Định nghĩa: Ta có công thức Niu tơn – Laipnitz b b a a f (x)dx F(x ) F(b) F(a) = = − ∫ Tính chất Tính chất 1: b a a b f (x)dx f (x)dx =− ∫ ∫ Tính chất 2: b b a a kf (x)dx k f (x)dx= ∫ ∫ với k ∈ R 4 Tính chất 3: [ ] b b b a a a f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx ± = ± ∫ ∫ ∫ Tính chất 4: c b c a a b f (x)dx f (x)dx f (x)dx = + ∫ ∫ ∫ Ngoài ra còn dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: ‘‘Cái sai đến cái gần đúng rồi mới đến cái đúng’’, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Việc tính nguyên hàm của một hàm số là là một quá trình ngược lại của đạo hàm. Do vậy mà ở đây tôi sẽ đưa ra 3 phương pháp có tính đường lối. Nó được dẫn dắt từ đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hai hàm. Đó là các phương pháp: - Sử dụng các nguyên hàm cơ bản - Phương pháp đổi biến số - Phương pháp tính Tích phân từng phần. III. NỘI DUNG CỤ THỂ Một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân 1. Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản Bằng việc sử dụng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. chúng ta có thể xác định được các nguyên hàm từ đó tính được các giá trị các tích phân. * Bảng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp 1 x x dx C 1 α+ α = + α + ∫ ( α ≠ -1) 1 1 (ax b) (ax b) dx C a 1 α+ α + + = + α + ∫ ( α ≠ -1) 1 dx ln x C x = + ∫ 1 1 dx ln ax b C ax b a = + + + ∫ 5 x x e dx e C = + ∫ ax b ax b 1 e dx e C a + + = + ∫ x x a a dx C lna = + ∫ mx n mx n 1 a a dx C m lna + + = + ∫ cosx.dx sin x C= + ∫ 1 cos(ax b)dx sin(ax b) C a + = + + ∫ sin x.dx cosx C= − + ∫ 1 sin(ax b)dx cos(ax b) C a + = − + + ∫ 2 1 .dx tan x C cos x = + ∫ 2 1 1 dx tan(ax b) C cos (ax b) a = + + + ∫ 2 1 .dx cot x C sin x = − + ∫ 2 1 1 dx cot x C sin (ax b) a = − + + ∫ * Bài tập minh họa Bài tập 1: Tính tích phân sau: I = ∫ − 5 0 4 )4(x dx Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau: I = ∫ − 5 0 4 )4(x dx = 5 2 0 ( 4) ( 4) d x x − − ∫ = - 3 1 3( 4)x − 5 0 = - 65 192 Nguyên nhân sai lầm: Hàm số y = 4 1 ( 4)x − không xác định tại x = 4 [ ] 0;5∈ suy ra hàm số không liên tục trên [ ] 0;5 nên không sử dụng được công thức Newtơn – Leibnitz như cách giải trên. Lời giải đúng: Hàm số y = 4 1 ( 4)x − không xác định tại x = 4 [ ] 0;5∈ suy ra hàm số không liên tục trên [ ] 0;5 do đó tích phân trên không tồn tại. Bài tập 2.(Đề thi HSG tỉnh Thanh hóa năm 2006-2007) 6 Cho tích phân 0 s 2 2cos2 n in nx I dx a x π = − ∫ , ∀ n∈ * N . Tìm a sao cho 2006 2007 2008 , , I I I theo thứ tự ấy lập thành cấp số cộng Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau: Ta có: 2008 2006 0 s 2.2008 s 2.2006 2cos2 in x in x I I dx a x π + + = − ∫ ( ) 0 0 s 4014 cos2 2s 4014 cos2 2cos2 2cos2 in x a x a in x x dx dx a x a x π π − − = = − − − ∫ ∫ 2007 0 0 0 2007 s 2.2007 cos4014 s 4014 2cos2 4014 in x x in xdx a dx aI a x aI π π π = − + = + − = ∫ ∫ Thoả mãn yêu cầu bài toán khi 2a = Nguyên nhân sai lầm: Vì hàm số f(x) = s 2 2cos2 in nx a x− không liên tục tại a = 2 trên [ ] 0;Π nên tích phân không tồn tại Lời giải đúng: Điều kiện tồn tại n I : Phương trình 2 2 0cosa x− = vô nghiệm trên [ ] 0; π 1 2 a ⇔ > 2a⇔ > . Khi đó đặt t x π = − . Ta có ( ) 2 2 2, sin sin sindx dt nx nt nt= − = − = − , 2 2cos cosx t= và đổi cận ta được 0 0 0 2 2 2 2 2 2 n n nt nt nx I dt dt dx I a t a t a x π π π = = − = − = − − − − ∫ ∫ ∫ sin sin sin cos cos cos 0 n I⇔ = , ∀ n∈ * N Suy ra: Thoả mãn yêu cầu bài toán khi 2a > . 7 Chú ý đối với học sinh: Khi tính ( ) b a f x dx ∫ cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên [ ] ba; không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại. * Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 1/ I 1 = ∫ − + 2 2 2 )1(x dx 2/ I 2 = dxxx 2 1 3 2 2 )1( − ∫ − . 3/ I 3 = dx x ∫ 2 0 4 cos 1 π 4/ I 4 = 2 3 1 3 1 x x x e dx x − − ∫ Chú ý: Trong dạng toán này có những bài toán khó. Các bạn thường phải áp dụng phương pháp hệ số bất đinh để làm. Xét dạng như sau Tính tích phân ( ) ( ) b a P x I dx Q x = ∫ với P(x) và Q(x) là đa thức của x. • Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức. • Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp: + Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn 1 2 , , , n α α α thì đặt 1 2 1 2 ( ) ( ) n n A A A P x Q x x x x α α α = + + + − − − . + Khi ( ) ( ) 2 2 ( ) , 4 0Q x x x px q p q α = − + + ∆ = − < thì đặt 2 ( ) . ( ) P x A Bx C Q x x x px q α + = + − + + 8 + Khi ( ) ( ) 2 ( )Q x x x α β = − − với α ≠ β thì đặt ( ) 2 ( ) ( ) P x A B C Q x x x x α β β = + + − − − Khi đó ta phải thiết lập các hệ phương trình để đi tìm A, B, C, A 1, A 2 ,…,A n rồi thay vào tích phân để tính một cách đơn giản hơn 2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số: Giả sử ta cần phải tìm ( )f u du ∫ . Trong nhiều trường hợp một cách thuận lợi ta coi u như một hàm liên tục và có đạo hàm theo một biến mới là x. Như vậy việc tìm ( )f u du ∫ đưa về việc tìm ( ( )) '( )f u x u x dx ∫ một cách đơn giản hơn. Bài tập 1. Tính tích phân 1 2 0 I 1 x dx = − ∫ Sai lầm thường gặp: Đặt x = sint ⇒ dx = costdt 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 1 os2 sin 2 1 1 1 sin .cos . os . . ( ) sin2 2 2 4 2 4 c t t t I t t dt c t dt dt + ⇒ = − = = = + = + ∫ ∫ ∫ Nguyên nhân sai lầm: học sinh đổi biến nhưng không đổi cận Lời giải đúng: Đặt x = sint suy ra dx = cost.dt Đổi cận: x 0 t 0;x 1 t 2 π = ⇒ = = ⇒ = 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 os2 sin 2 1 sin .cos . os . . ( ) 2 2 4 4 c t t t I t t dt c t dt dt π π π π π + ⇒ = − = = = + = ∫ ∫ ∫ Bài tập 2: Tính tích phân: I = ∫ + π 0 sin1 x dx 9 Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan 2 x thì dx = 2 1 2 t dt + ; xsin1 1 + = 2 2 )1( 1 t t + + ⇒ ∫ + x dx sin1 = ∫ + 2 )1( 2 t dt = ∫ − + 2 )1(2 t d(t+1) = 1 2 +t + c ⇒ I = ∫ + π 0 sin1 x dx = 2 tan 1 2 x − + π 0 = 2 tan 1 2 π − + - 2 tan 0 1+ do tan 2 π không xác định nên tích phân trên không tồn tại Nguyên nhân sai lầm: Đặt t = tan 2 x , với x [ ] π ;0∈ tại x = π thì tan 2 x không có nghĩa. Lời giải đúng: I = ∫ + π 0 sin1 x dx = ∫∫       −=       −       − =       −+ π π π π π π π 0 0 2 0 42 42 cos 42 2 cos1 x tg x x d x dx = tg 2 44 =       − − ππ tg * Chú ý đối với học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm trên [ ] ba; . * Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 1/ I 1 = 2 0 sin 2 dx x Π ∫ 2/ I 2 = ∫ + π 0 cos1 x dx Bài tập 3: Tính tích phân: I = 8 2 0 12 36x x− + ∫ dx Sai lầm thường gặp: 10 [...]... là loại toán đa phần có phương pháp tính khá cụ thể nên dễ hiểu, đơn giản, dễ trình bày, dễ dàng trong tính toán, thực hiện các phép toán đơn giản Giúp học sinh cảm thấy hứng thú khi giải các bài toán tích phân Vì vậy, nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được nhhững điểm yếu... tập 3: Tính tích phân I = ∫ xe dx 0 * Sai lầm thường mắc: 1 1 1 1 1 x2 1  −1  e − 1 I = ∫ xe dx = ∫ xdx.∫ e dx = ( −e − x ) =  + 1 ÷ = 0 2 0 2  e  2e 0 0 0 −x −x * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần * Lời giải đúng: 1 I = ( − xe − x ) + ∫ e − x dx = 1 0 0 −1 − x 1 e − 2 −e = 0 e 2 * Cách khắc phục: ... = acost 12 * Một số bài tập tương tự: 8 1/ I = ∫ 4 1 1 x 2 − 16 dx x 2/ I = Bài tập 4: Tính: I = 1 4 x3 ∫ 1 − x2 0 2x 3 + 2x + 3 ∫ x 2 + 1 dx 0 3 3/ I = ∫ 0 x 3 dx 1 − x8 dx Sai lầm thường gặp: Đặt x= sint, dx = costdt I= ∫ x3 sin 3 t dx = ∫ dt cos t 1 − x2 Đổi cận: với x = 0 thì t = 0 với x= 1 4 1 4 thì t = arcsin ? Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 − x2 thì thường đặt x... chung hằng số c cho mọi phép tính nguyên hàm Lời giải đúng: I = ∫ cot xdx = ∫ d ( sinx ) cos x dx = ∫ = ln sinx + c sin x sinx 2 x Bài tập 2: Tính tích phân I = ∫ xe dx 0 Sai lầm thường mắc: ⇒ I = ( xe x ) 2 0 2 u = x u ' = 1 ⇒ x x  v' = e v = e Đặt  − ∫ e x dx = 2e 2 − ( e x ) = 2e 2 − e 2 + 1 = e 2 + 1 2 0 0 Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh hiểu sai bản chất công thức lấy tích phân từng... phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và tích phân Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần Chú ý: Thực tế cho thấy nếu những bài toán tích phân mà chứa các hàm như ln, sin, cos, hàm mũ Thì chúng ta cần nên nghĩ ngay đến phương pháp tích phân từng phần nếu như gặp khó khăn Có những bài toán mà chúng ta cần phải sử dụng tích phân từng phần nhiều... = 192 − 3   13 * Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa a 2 − x 2 thì thường đặt x = asint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa a2 + x2 thì đặt x = atant nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp khác * Một số bài tập tương tự: 7 1/ I = ∫ 0 2 x3 1 +... là bài đạt khá và giỏi Một nguyên nhân không thể phủ định là lớp thực nghiệm HS thường xuyên được thực hiện phương pháp (như đã sử dụng ở trên) và cách thức tìm tòi lời giải của bài toán… Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những khó khăn và những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập về tích phân qua đề thi tốt nghiệp cũng như các đề thi đại học, cao đẳng của các năm... Với P(x) là một đa thức và khi đó ta đặt u=P(x) 16 Dạng 4: ax ax I = ∫ e cosα xdx (hoặc I = ∫ e sin α xdx ) Khi đó đặt u = cosax (hoặc u= sinax) Bài tập 1: Tính I = ∫ cot xdx Sai lầm thường mắc: I = ∫ cot xdx = ∫ cos x dx sin x 1 − cos x   dx u = du = ⇒ sin 2 x Đặt  sinx dv = cos xdx v = sinx   ⇒I = 1 sinx.cos x sinx + ∫ dx = 1 + I ⇒ 0 = 1??? sinx sin 2 x Phân tích sai lầm: Học sinh viết chung... a Chú ý: Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần tuân thủ theo các nguyên tắc sau : 1 Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng b 2 Tích phân ∫ vu ' dx được xác định một cách dễ dàng hơn so với I a 3 Chúng ta cần nhớ các dạng cơ bản sau : Dạng 1: α I = ∫ x lnx dx Khi đó cần đặt u = lnx Dạng 2: αx I = ∫ p( x)e dx với P là một đa thức Khi đó ta... vậy: Tích phân trên nếu các bạn không biến đổi theo hướng trên thì gặp nhiều khó khăn Cách làm như trên áp dụng đối với một tích phân mà nó gồm hai hàm khi đạo hàm có tính chất lặp đi lặp lại * Một số bài tập tương tự: 1 xe x dx a) I1 = ∫ (1 + x) 2 0 π 2 c) I3 = xcosx sin 2 xdx ∫ 0 3 b) I 2 = d) I 4 = 1 + ln( x + 1) ∫ x 2 dx 1 π /4 ∫ x(1 + sin 2 x)dx 0 19 PHẦN III: KẾT QUẢ 1 Kết quả nghiên cứu Tích phân . TÀI: “GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN’’ 1 PHẦN I: MỞ ĐẦU I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Giải tích toán học còn gọi đơn giản là Giải tích. Giải tích là. của học sinh. Vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: ‘ Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân ’ 2. Phạm vi nghiên cứu Các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học. các bài toán tích phân. Vì vậy, nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy