SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ RỘNG VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP” 1 A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Bắt đầu từ năm 2009-2010 trường THPT Nguyễn Hữu Huân chính thức tuyển sinh các lớp chuyên trong đó có lớp chuyên toán. Việc giảng dạy các lớp chuyên đòi hỏi người giáo viên phải tìm hiểu đi sâu các vấn đề của toán học, trên cơ sở chương trình chuyên đã được áp dụng cho các trường chuyên của thành phố Hồ Chí Minh. Mặc dù không được phân công trực tiếp dạy lớp chuyên nhưng trong tình hình thiếu giáo viên ở một hai năm đầu, tôi được phân công hỗ trợ một chuyên đề cho lớp 11 Chuyên Toán, chuyên đề ĐẠI SỐ TỔ HỢP. Hạn chế của trường là mặc dù được mở lớp chuyên nhưng tài liệu chuyên của trường rất ít, hầu hết giáo viên không được trang bị thêm kiến thức và kĩ năng giảng dạy chuyên, đa số tự tìm tòi đọc sách, tra cứu qua mạng. Các nguồn tài liệu chuyên tuy nhiều nhưng không có hệ thống, và mức độ không dành cho học sinh phổ thông nên việc tìm tài liệu đáp ứng cho một chuyên đề là không đơn giản. Nhằm mục đích tự trang bị thêm cho mình và giúp tổ bộ môn một số tiết chuyên đề về đại số tổ hợp cho lớp 11, tôi đã chọn lọc trong một số tài liệu, những khái niệm mở rộng, các ví dụ, bài tập cũng như ứng dụng sao cho các khái niệm cơ bản của sách giáo khoa là trường hợp đặc biệt của các khái niệm tổng quát hơn, xử lý được nhiều dạng bài hơn, đánh giá vấn đề bằng góc nhìn khác hơn, để viết nên chuyên đề này. Mặc dù hết sức cố gắng nhưng vì còn hạn chế về nhiều mặt nên chắc chắn bài viết này còn nhiều sơ sót và chủ quan, tôi rất mong sự đóng góp từ phía các đồng nghiệp nhằm bổ sung, chỉnh sửa để bài viết hoàn thiện hơn. 2 B. NỘI DUNG: I) Các khái niệm nhắc lại II) Mở rộng các phép toán trên tập hợp III) Số phần tử của một tập hợp hữu hạn IV) Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp V) Chỉnh hợp lặp VI) Hoán vị lặp VII) Tổ hợp lặp VIII) Áp dụng vào khai triển đa thức NỘI DUNG: CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP I) Các khái niệm nhắc lại 1) Các phép toán tập hợp : { } BxAxxBA ∈∨∈=∪ / { } BxAxxBA ∈∧∈=∩ / { } BxAxxBA ∉∧∈= /\ AXACAXA X \==⇒⊂ 3 2) Ánh xạ : đơn ánh toàn ánh song ánh ♦song ánh còn gọi là ánh xạ 1–1 (hay tương ứng 1–1) ♦nếu có một song ánh từ tập A đến tập B thì A, B có cùng số phần tử (còn gọi là có cùng lực lượng) 3) Phép chứng minh quy nạp : Cho mệnh đề P(n) với *Nn ∈ . Nếu    +> đúng cung 1)P(k mà đúng P(k)su gia 1,k vói đúng )1(P thì P(n) đúng, *Nn ∈∀ Lưu ý: đôi khi mệnh đề P(n) chỉ đúng từ n = p trở đi (với p hằng số) 4) Kí hiệu : ni ,1= để chỉ các số tự nhiên i chạy từ 1 đến n T(A) để chỉ tập hợp gồm tất cả các tập con của A II) Mở rộng phép toán trên tập hợp 1) Hợp của n tập hợp { }  n i ii AxnixA 1 :,1/ = ∈=∃= 4 2) Giao của n tập hợp : { }  n i ii AxnixA 1 :,1/ = ∈=∀= 3) Tính chất phép hợp và giao ( ) ( ) )()( )()( CABACBA CABACBA ∪∩∪=∩∪ ∩∪∩=∪∩ 4) Tích Đềcác (Descartes): ♦ Tích Đề các của hai tập hợp A và B là một tập hợp kí hiệu và gồm các phần tử ( ){ } BbAabaBA ∈∧∈=× /, ♦ Tích Đề các của n tập hợp n AAA , ,, 21 là ( ) { } niAaaaaAAA iinn ,1,/, ,, 2121 =∀∈=××× ♦Đặc biệt tích Đề các của n tập hợp A là ( ) { } niAaaaaAAAA in n n ,1,/, ,, 21 lan =∀∈=×××=    Ví dụ: cho { } { } baBA ;;3;2;1 == . ( ) ( ) ( ){ } bababaBA ,3();,3;,2();,2;,1();,1=× Hãy nêu các tập tích 32 ;; BAAB× và nhận xét về sự bằng nhau và khác nhau của 2 phần tử bất kỳ của tập hợp. Ví dụ: Có sự tương ứng 1–1 từ tập ( ){ } RyxyxR ∈= ,/; 2 đến tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy nên ta cũng gọi tập hợp này là 2 R . Nhận xét: Tích Đềcác là phép toán có thứ tự. Các phần tử (a;b) của BA× được gọi là các cặp sắp thứ tự, các phần tử ( ) n aaa , ,, 21 của n AAA ××× 21 được gọi là các bộ n–sắp thứ tự. III) Số phần tử của một tập hợp hũu hạn Xét tập hợp A có hữu hạn phần tử. Kí hiệu A là số phần tử của A. 5 1) Số phần tử của hợp n tập hợp hữu hạn : • Cho n tập niA i ,1, = không giao nhau. Số phần tử của hợp n tập đó bằng tổng số phần tử của mỗi tập niAA n i i n i i ,1, 1 1 == ∑ = =  trong đó { } njiAA ji ; ;2;1,, ∈∀=∩ φ (thử chứng minh công thức trên) • Với XA ⊂ : AXACA X −== • Cho 2 tập hợp bất kỳ A, B. Số phần tử của BA ∪ bằng tổng các số phần tử của A và B trừ số phần tử của BA ∩ BABABA ∩−+=∪ • Cho 3 tập hợp bất kỳ A, B, C. CBAACCBBACBACBA ∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪ (thử chứng minh công thức trên và tự mở rộng cho n tập bất kỳ) Vi dụ: trong tập các số tự nhiên từ 1 đến 280 có bao nhiêu số chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 7? Bao nhiêu số không chia hết cho cả ba? Giải: số các số chia hết cho 2 là 140 2 280 =       số các số chia hết cho 3 là 93 3 280 =       số các số chia hết cho 5 là 56 5 280 =       số các số chia hết cho 2 và 3 là 46 6 280 =       6 số các số chia hết cho 2 và 5 là 28 10 280 =       số các số chia hết cho 3 và 5 là 18 15 280 =       số các số chia hết cho cả ba số là là 9 30 280 =       Suy ra cố các số chia hết cho ít nhất một trong ba số là 20691828465693140 =+−−−++ số Suy ra số các số không chia hết cho cả ba số là 280 – 206 = 74 2) Số phần tử của tập tích Đềcác :  Tích BA× với nA = , kB = : Với mỗi ni ,1= , i a được ghép với k phần tử trong B Vậy với n phần tử trong A có kn × cách ghép thành các phần tử trong BA× . Ta có: BABA . =×  Tích n AAA ××× 21 với ii kA = , bằng phép quy nạp ta có thể chứng minh nn kkkAAA 2121 =××× (thử chứng minh công thức trên)  Đặc biệt n n AA = 3) Bài toán tìm số ánh xạ từ 1 tập hữu hạn đến 1 tập hữu hạn Cho A có k phần tử, B có m phần tử. Từ A đến B có thể thiết lập được bao nhiêu ánh xạ? Với mỗi ánh xạ f từ A tới B, ta cho ứng với bộ ảnh của k phần tử ( ) k aaa , ,, 21 là 7 ( ) )(), ,(),( 21 k afafaf là một bộ k–sắp thứ tự trong B hay là một phần tử của tích Đềcác k B . Tương ứng này là 1–1 nên số ánh xạ f từ A vào B bằng k k k mBB == 4) Bài toán về số tập con của một tập hợp hữu hạn : Chứng minh rằng số tất cả các tập con của một tập hợp gồm n phần tử là n 2 Giải: dùng quy nạp, gọi T(A) là tập chứa tất cả các tập con của A với n = 1, A chỉ có 2 tập con là rỗng và chính nó, 2T(A) = giả sử tập hợp A gốm k phần tử k aaa , ,, 21 có k 2 tập con. Nếu ghép vào A một phần tử 1+k a nữa ta được tập A’ có k + 1 phần tử. T(A’) được chia thành 2 phần, một phần gồm tất cả tập con có chứa 1+k a và phần kia gồm các tập con không chứa 1+k a . Kí hiệu A* là một tập con nào đó của A’ chứa 1+k a , )(\)'(* ATATA ∈ . Khi đó với mỗi tập con A* của A’, ta đặt tương ứng với tập phần bù của nó trong A’, tức là A’\A*, tập này không chứa 1+k a nên là con của A. Tương ứng này là 1–1 nên số tập con A* của A’ bằng với số tập con của A là k 2 . Ngoài ra { } *)()'( AATAT += nên 1 22.2)(2)'( + === kk ATAT Vậy nếu A có n phần tử thì n AT 2)( = Cách giải khác: cho A có n phần tử, xét tập { } 1,0=Y . Với mỗi tập con B của A ta lập một ánh xạ YAf →: sao cho nếu Bx ∈ thì f(x) = 1, nếu Bx ∉ thì f(x) = 0. Tương ứng từ T(A) đến tập các ánh xạ như trên là 1–1 nên )(AT bằng số các ánh xạ từ A tới Y và bằng k 2 5) Chứng minh quy tắc cộng và quy tắc nhân của phép đếm Quy tắc cộng : Một bài toán chọn sao cho ít nhất một trong các khả năng 8 k AAA , ,, 21 xảy ra có thể chia thành k trường hợp k AAA , ,, 21 , mỗi trường hợp kiA i ,1, = có i a cách chọn, giả sử không có cách chọn của i A nào có phần chung với cách chọn của j A . Kết quả là có ∑ = k i i a 1 cách chọn Để giải quyết bài toán chọn đó ta xét k tập hợp k AAA , ,, 21 trong đó kjiAA ji ,1,, =∀=∩ φ , mỗi cách chọn i a là một phần tử của i A , yêu cầu của bài toán là tìm số phần tử của  k i i A 1= , do đó số cách chọn là ∑ = = = k i i k i i AA 1 1  Hệ quả: Số cách chọn của bài toán A trong X, (tức nếu thỏa A thì không chọn) là AXA −= Có thể mở rộng quy tắc cộng cho k trường hợp tùy ý ( có giao) 9 Quy tắc nhân: Bài toán chọn đồng thời k AAA , ,, 21 , mỗi công đoạn kiA i ,1, = có i a cách chọn có kết quả là k aaa 21 cách chọn Ta xét mỗi bộ cách chọn ( ) k AAA , ,, 21 như là một phần tử của tích đề các k AAA ××× 21 , số cách chọn theo yêu cầu bài toán là số phần tử của tập tích Đềcác tức là k aaa 21 IV) Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp : 1)Hoán vị : VD1: Tìm số song ánh có thể lập được từ tập A có n phần tử lên chính nó. VD2: có bao nhiêu cách xếp thứ tự tập hợp { } n2; ;2;1 sao cho các số chẵn đều ở vị trí chẵn. 2)Chỉnh hợp : •Tìm số đơn ánh có thể lập từ tập A có k phần tử đến tập B có n phần tử, với nk ≤≤ 1 •Trong mặt phẳng cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường gấp khúc hở, bao nhiêu đường gấp khúc khép kín gồm k cạnh được tao thành 3)Tổ hợp : Trong tập hợp A gồm n phần tử { } n aaa , , 21 chứng minh rằng số tập con chứa phần tử i a bằng số tập con không chứa i a Ta gọi X là tập tất cả tập con chứa i a , Y là tập tất cả tập con không chứa i a và lập ánh xạ f đi từ X vào Y sao cho ứng với mỗi tập con B chứa i a , f(B) là tập phần bù của B trong A, f là đơn ánh. Ngược lại mỗi tập B’ trong Y đều là ảnh của A\B’ 10 [...]... chia một tập hợp gồm 3m phần tử thành ba nhóm, mỗi nhóm m phần tử? 9/ Có 9 chữ số 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5 Có bao nhiêu số khác nhau gồm 6 chữ số rút ra từ các số đó? VII) Tổ hợp lặp: 1) Định nghĩa: Cho n phần tử Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phần tử trong đó các phần tử có thể trùng lặp lại lấy từ n phần tử đã cho Lưu ý: gọi là nhóm, không gọi là tập hợp vì trong tập hợp mỗi... nguyên dương của PT(1) cũng là số cách chọn n–1 điểm vạch cm trên thước (có n+k–1 vạch như thế) nên sẽ có n −1 Cn + k −1 cách chọn Cách 2: Ta lập một tương ứng mỗi tổ hợp lặp chập k của n phần tử với một dãy nhị phân được sắp xếp như sau: k1 chữ số 1, số 0, k2 chữ số 1, số 0,…, kn chữ số 1 Tương ứng này là 1–1 Trong dãy nhị phân đó có k chữ số 1 và n –1 chữ số 0, tức là một hoán vị lặp cấp n+k–1, kiểu... trong tập hợp mỗi phần tử chỉ được viết đúng một lần 2) Ví dụ: a) Tổ hợp lặp chập 3 của 2 phần tử { a; b} là aaa, aab, abb, bbb b )Tổ hợp lặp chập 2 của 3 phần tử { a; b; c} là aa, ab, ac, bc, bb, cc 3) Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là k k n −1 Cn = Cn + k −1 = Cn + k −1 Chứng minh: Cách 1:Cho tập hợp X có n phần tử, mỗi tổ hợp lặp chập k của được xem như một đơn thức có dạng tự nhiên thỏa k k a1... phân hoạch của một tập hợp hữu hạn: Cho tập hợp X có n phần tử, có thể phân chia tập X thành m tập con rời rạc X i , i = 1, m có số phần tử theo thứ tự là hoạch của X theo kiểu ki ) là ki Số cách phân chia đó (gọi là số phân Cn (k1 , k 2 , , k m ) = n! k1!k 2! k m ! 3) Ví dụ: • có bao nhiêu cách gieo một xúc xắc 21 lần với 1 lần xuất hiện số 1, 2 lần xuất hiện số 2,…, 6 lần xuất hiện số 6? • có bao... mỗi hộp có thể đựng cả 10 món? 2/ Có bao nhiêu số điện thoại bàn được tạo biết các số đó phải bắt đầu bằng 38, 39, 24 hoặc 25 và mỗi số điện thoại bàn có 8 chữ số? 3/ Trong máy tính mỗi kí tự được xem bằng một byte mã hóa bằng một chuỗi nhị phân có 8 chữ số Với cách mã hóa như vậy có thể biểu diễn được bao nhiêu kí tự? 4/ Một người vào nhà sách mua một số sách Trong nhà sách có n tựa sách, mỗi 11 tựa... k b n −k 0 ≤k , i ≤n k +i = n k =0 hạng là số tổ hợp lặp chập n của 2 phần tử a và b, tức là 2− Cn + 1 −1 = n + 1 2 nên số các số số hạng 2) Đa thức: Bằng cách lý luận tương tự, ta chứng minh được công thức khai triển đa thức bậc n của đa thức gồm m hạng tử như sau: Số số suy ra có hạng hợp lặp 3! i j k ab c 0 ≤ i , j , k ≤ 3 i! j!k! m 1 Cn +−m −1 là số tổ ( a1 + a2 + + am ) n = , có ∑C ( k , k n 0... Mỗi số hạng là tích của các phần tử của chỉnh hợp chập n của 2 phần tử a và b Các số hạng đồng dạng dạng hạng tổng quát a k bi của là số các hoán vị cấp n , kiểu (k, i) với k + i = n Số khai triển là Cn ( k , i ) a k b i và ta có Nhận xét : trong khai triển mỗi số hạng là một đơn thức có dạng a k bi , công thức n ( a + b ) n = ∑Cn ( k , i ) a k bi = ∑Cnk a k b n −k 0 ≤k , i ≤n k +i = n k =0 hạng là số. .. nhóm sao cho số người trong mỗi nhóm theo thứ tự là 2, 3, 5 4/ Có bao nhiêu số được hoán vị từ số 19001289 5/ Có bao nhiêu cách chia một tập hợp gồm m+n phần tử thành hai nhóm lần lượt chứa m và n phần tử? Ví dụ: chia { a, b, c, d } thành hai nhóm mỗi nhóm 2 phần tử 6/ Có bao nhiêu cách chia một tập hợp gồm 2m phần tử thành hai nhóm, mỗi nhóm m phần tử? 13 7/ Có bao nhiêu cách chia một tập hợp gồm m+n+p... lại phần tử đã lấy ra trước đó) Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: k An = n k chứng minh: cách 1 ta chia làm k giai đoạn: mỗi giai đoạn có n cách chọn phần tử để lấy nên có nk cách lập chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử cách 2: mỗi chỉnh hợp lăp chập k của n phần tử có thể xem là một phần tử của tích Đề các bằng Xk, do đó số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử bằng số phần tử của tích nk 2) Bài tập:... hiện số 6? • có bao nhiêu cách gieo một đồng xu n lần trong đó có đúng k lần xuất hiện mặt sấp? 4) Nhận xét: Cn ( k , n − k ) = n! k = Cn k!( n − k )! 5) Bài tập 1/ Có bao nhiêu cách đặt 2 đèn xanh và 4 đèn đỏ thành 1 hàng 2/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số biết chữ số 2 có mặt ba lần, chữ số 1 có mặt hai lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần 3/ Có bao nhiêu cách chia . giúp tổ bộ môn một số tiết chuyên đề về đại số tổ hợp cho lớp 11, tôi đã chọn lọc trong một số tài liệu, những khái niệm mở rộng, các ví dụ, bài tập cũng như ứng dụng sao cho các khái niệm. DUNG: I) Các khái niệm nhắc lại II) Mở rộng các phép toán trên tập hợp III) Số phần tử của một tập hợp hữu hạn IV) Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp V) Chỉnh hợp lặp VI) Hoán vị lặp VII) Tổ hợp lặp VIII). SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ RỘNG VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP” 1 A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Bắt đầu từ năm 2009-2010 trường THPT Nguyễn Hữu Huân chính thức tuyển sinh các lớp