UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CƯƠNG ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN Năm học 2014 - 2015 Bắc Ninh, tháng 11 năm 2014 http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN Biên soạn sưu tầm: Ngơ Văn Khánh – GV trường THPT Nguyễn Văn Cừ Chủ đề 1: Bài toán tiếp tuyến 1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M( x0 , y0 )  (C ) : y  f ( x ) * Tính y '  f ' ( x) ; tính k  f ' ( x0 ) (hệ số góc tiếp tuyến) * Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) điểm M  x0 ; y0  có phương trình y  y0  f ' ( x0 )  x  x0  với y0  f ( x0 ) Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  x  (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): a) Tại điểm A (-1; 7) b) Tại điểm có hồnh độ x = c) Tại điểm có tung độ y =5 Giải: a) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng: y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) Ta có y '  3x   y '( 1)  Do phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(-1; 7) là: y   hay y = b) Từ x   y  y’(2) = Do phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x = là: y   9( x  2)  y   x  18  y  x  11 x   c) Ta có: y   x  x    x3  3x    x   x   +) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (0; 5) Ta có y’(0) = -3 Do phương trình tiếp tuyến là: y   3( x  0) hay y = -3x +5 +) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm ( 3;5) y '(  3)  3(  3)   Do phương trình tiếp tuyến là: y   6( x  3) hay y  x   +) Tương tự phương trình tiếp tuyến (C) ( 3;5) là: y  x   Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) hàm số y  x  x  x  a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hồnh b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục tung c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = Giải: Ta có y '  3x  x  Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm tiếp tuyến có phương trình: http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  y '( x0 )( x  x0 )  y0 (1) a) Khi M  (C )  Ox y0 = x0 nghiệm phương trình: x  x  x    x  ; y’(2) = 6, thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y  6( x  2) b) Khi M  (C )  Oy x0 =  y0  y (0)  4 y '( x0 )  y '(0)  , thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y  x  c) Khi x0 nghiệm phương trình y”= Ta có: y” = 6x – 88 2 2 ; y '( x0 )  y '     x0  y0  y     27 3 3 100 Thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y  x  27 Ví dụ 3: Cho hàm số y  x  3x  (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2 b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) điểm N, tìm tọa độ điểm N Giải a) Tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) có hồnh độ x0   y0  y” =  x    x  Ta có y '( x )  3x   y '( x0 )  y '(2)  Phương trình tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) y  y '( x0 )( x  x0 )  y0  y  9( x  2)   y  x  15 Vậy phương trình tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) y  x  15 b) Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) N x  Xét phương trình x  x   x  15  x  12 x  16    x    x  x       x  4 Vậy N  4; 51 điểm cần tìm Ví dụ 4: Cho hàm số y  x  x  (C ) điểm A( x0 , y0 )  (C), tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A cắt (C) điểm B khác điểm A tìm hồnh độ điểm B theo x0 Lời giải: Vì điểm A( x0 , y0 )  (C)  y0  x0  x0  , y '  3x   y ' ( x0 )  x0  Tiếp tuyến đồ thị hàm có dạng: y  y ' ( x0 )( x  x0 )  y0  y  (3 x0  3)( x  x0 )  x0  x0   y  (3 x0  3)( x  x0 )  x0  ( d ) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C): http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 3 x  x   (3 x0  3)( x  x0 )  x0   x3  x0 x  x0   ( x  x0 ) ( x  x0 )  ( x  x0 )   x  x0   ( x0  0) x  2 x0 x  x0    Vậy điểm B có hồnh độ xB  2 x0 x  x  x (C) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0 thỏa mãn y '' ( x0 )  chứng minh d tiếp tuyến (C) có hệ số góc Ví dụ 5: Cho hàm số y  nhỏ Giải Ta có y '  x  x   y ''  x  y ''( x0 )   x0    x0   M (2; ) Khi tiếp tuyến M có hệ số góc k0  y ' ( x0 )  y ' (2)  1  2 Vậy tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm M  2;  có phương trình y  y0  f ' ( x0 )  x  x0   3 suy y   1 x   hay y   x  3 Tiếp tuyến d có hệ số góc k0  -1 Mặt khác tiếp tuyến đồ thi (C) điểm kỳ (C) có hệ số góc k  y ' ( x)  x  x    x     1  k0  2 Dấu “=” xảy  x  nên tọa độ tiếp điểm trùng với M  2;   3  2 Vậy tiếp tuyến d (C) điểm M  2;  có hệ số góc nhỏ  3 Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y  x2 giao điểm (C) với x 1 đường thẳng (d): y  x  + Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C): x2  x   x   (3 x  2)( x  1) (x = khơng phải nghiệm phương trình) x 1  3x  x   x  ( y  2)  x  ( y  4) Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) M2(2; 4) 3 + Ta có: y '  ( x  1) http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 + Tại tiếp điểm M1(0; -2) y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y  3x  + Tại tiếp điểm M2(2; 4) y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y  3 x  10 Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y  3x  y  3 x  10 m x  x  (Cm).Gọi M điểm thuộc đồ thị (Cm) có hồnh độ 3 -1 Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) M song song với đường thẳng d: 5x-y=0 Giải Ta có y '  x  mx Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến M song song với đường thẳng d trước hết ta cần có y ' ( 1)   m    m  Ví dụ 7: Cho hàm số y  x  x  ta có x0  1 y0  2 3 Phương trình tiếp tuyến có dạng y  y ' ( x0 )( x  x0 )  y0  y  5( x  1)   y  x  Khi m  ta có hàm số y  Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d Vậy m  giá trị cần tìm Ví dụ 8: Cho hàm số y  x  3x  m (1) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hồnh độ cắt trục Ox, Oy điểm A B cho diện tích tam giác OAB Giải Với x0   y0  m   M(1 ; m – 2) - Tiếp tuyến M d: y  (3 x0  x0 )( x  x0 )  m   d: y = -3x + m + m2  - d cắt trục Oy B: yB  m   B (0 ; m  2) - d cắt trục Ox A:  3 x A  m   x A  - SOAB  m2  A ; 0   3 m2  | OA || OB | | OA || OB |  m    ( m  2)  2 m   m     m   3  m  5 Vậy m = m = - 1.2 Dạng 2: Viết tiếp tuyến đồ thi hàm số y  f ( x) (C) biết trước hệ số góc + Gọi M ( x0 , y0 ) tiếp điểm, giải phương trình f ' ( x0 )  k  x  x0 , y0  f ( x0 ) + Đến trở dạng 1,ta dễ dàng lập tiếp tuyến đồ thị: y  k ( x  x0 )  y0 http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015  Các dạng biểu diễn hệ số góc k:hoctoancapba.com *) Cho trực tiếp: k  5; k  1; k   3; k   2    *) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc  , với   150 ;300 ; 450 ; ;  Khi 3   hệ số góc k = tan  *) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi hệ số góc k = a 1 *) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): y = ax + b  ka  1  k  a k a *) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b góc  Khi đó,  tan   ka Ví dụ 9: Cho hàm số y  x  x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc tiếp tuyến k = -3 Giải: Ta có: y '  3x  x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm  Tiếp tuyến M có hệ số góc k  f ' ( x0 )  x0  x0 2 Theo giả thiết, hệ số góc tiếp tuyến k = - nên: x0  x0  3  x0  x0    x0  Vì x0   y0  2  M (1; 2) Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  3( x  1)   y  3x  Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  3x  (C) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + Giải: Ta có: y '  3x  x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm  Tiếp tuyến M có hệ số góc k  f ' ( x0 )  x0  x0 Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + +6  tiếp tuyến có hệ số góc k  x  1  M (1; 3) 2 =  x0  x0   x0  x0      x0   M (3;1) Phương trình tiếp tuyến (C) M(-1;-3) là: y  9( x  1)   y  x  (loại) Phương trình tiếp tuyến (C) M(3;1) là: y  9( x  3)   y  x  26 Ví dụ 11: Cho hàm số y  x  x  (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  1 x Giải: http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Ta có y '  x  Do tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 1 x nên hệ số góc tiếp tuyến k = 9 Do y '  k  x    x   x  2 +) Với x =  y  Pttt điểm có hồnh độ x = là: y  9( x  2)   y  x  14 +) Với x  2  y  Pttt điểm có hồnh độ x = - là: y  9( x  2)   y  x  18 y Vậy có hai tiếp tuyến củả (C) vng góc với đường thẳng y  1 x là: y =9x - 14 y = 9x + 18 Ví dụ 12: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: y  x  x , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x  y  2010  Giải: 1 (d) có phương trình: y   x  402 nên (d) có hệ số góc - 5 Gọi  tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k  k  1  k  (   ( d )) Ta có: y '  x  x nên hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình: x  x   x3  x    ( x  1)( x  x  5)   x    x   y   9 Vậy tiếp điểm M có tọa độ M 1;   4 11 Tiếp tuyến có phương trình: y   5( x  1)  y  x  4 11 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y  x  x2 Ví dụ 13: Cho hàm số y  (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến 2x  cắt trục hoành A, trục tung B cho tam giác OAB vuông cân O, O góc tọa độ Giải 1 Ta có: y '  (2 x  3) http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vng cân nên hệ số góc tiếp tuyến là: k  1 Khi gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có y ' ( x0 )  1   x  2 1  1   (2 x0  3)  x0  1 Với x0  1 y0  lúc tiếp tuyến có dạng y   x (trường hợp loại tiếp tuyến qua góc tọa độ, nên không tạo thành tam giác OAB) Với x0  2 y0  4 lúc tiếp tuyến có dạng y   x  Vậy tiếp tuyến cần tìm y   x  2x  có đồ thị (C) x 1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thỏa mãn OA = 4OB Giải Giả sử tiếp tuyến d (C) M ( x0 ; y0 )  (C ) cắt Ox A, Oy B cho OA  4OB Ví dụ 14: Cho hàm số y = OB 1   Hệ số góc d  OA 4   x0  1 ( y0  ) 1 Hệ số góc d y ( x0 )   0     2 ( x0  1) ( x0  1) x  (y  5)   Do OAB vuông O nên tan A     y   ( x  1)  y   x  Khi có tiếp tuyến thỏa mãn là:   13  y   ( x  3)  y   x    4   1.3 Dạng 3: Tiếp tuyến qua điểm Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A( ;  ) Cách giải + Tiếp tuyến có phương trình dạng: y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) , (với x0 hoành độ tiếp điểm) + Tiếp tuyến qua A( ;  ) nên   f ( x0 )  f '( x0 )(  x0 ) (*) + Giải phương trình (*) để tìm x0 suy phương trình tiếp tuyến Ví dụ 15: Cho đồ thị (C): y  x  3x  , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-2; -1) http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Giải: Ta có: y '  x  3 Gọi M  x0 ; x0  3x0  1 tiếp điểm Hệ số góc tiếp tuyến y '( x0 )  x0  Phương trình tiếp tuyến với (C) M  : y   x0  x0  1  (3 x0  3)( x  x0 ) 3  qua A(-2;-1) nên ta có: 1   x0  x0  1  (3x0  3)(2  x0 )  x0  x0    x   y0  1  ( x0  1)( x0  x0  4)     x0  2  y0  1 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:  : y  1 ;  : y  x  17 1.4 Dạng Một số tốn tiếp tuyến nâng cao Ví dụ 16: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: y  x  x  cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = Giải: Gọi A(a; a  3a  2) , B (b; b3  3b  2) , a  b hai điểm phân biệt (C) Ta có: y '  x  nên tiếp tuyến với (C) A B có hệ số góc là: y '(a )  3a  y '(b)  3b  Tiếp tuyến A B song song với khi: y '( a )  y '(b)  3a   3b   ( a  b)( a  b)   a  b (vì a  b  a  b  0) AB   AB  32  (a  b)  (a  3a  2)  (b3  3b  2)   32   2  ( a  b)   (a  b3 )  3(a  b)   32  (a  b)  (a  b)(a  ab  b )  3(a  b)   32      ( a  b)  (a  b)  (a  ab  b )  3  32 , thay a = -b ta được:   2 4b  4b  b  3  32  b  b  b  3    b  6b  10b   b   a  2  (b  4)(b  2b  2)   b     b  2  a  - Với a  2 b   A(2;0) , B(2; 4) - Với a  b  2  A(2;4) , B (2;0) Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: (2; 0) (2; 4) Ví dụ 17: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: y  2x 1 cho tiếp tuyến x 1 (C) A B song song với độ dài đoạn AB = 10 Giải: http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Hàm số viết lại: y   x 1     Gọi A  a;2   , B  b;2   cặp điểm đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu toán a 1  b 1  Với điều kiện: a  b, a  1, b  1 Ta có: y '  y '( a )  nên hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B là: ( x  1)2 3 y '(b)  (a  1) (b  1) Tiếp tuyến A B song song khi: y '( a )  y '(b)  3  (a  1) (b  1) a   b  a  b    a  b  (1) (do a  b ) a   b   a  b     AB  10  AB  40  ( a  b)      40  b 1 a 1 2 2      ( 2b  2)      40  4(b  1)     40 ( thay a (1) )  b  b    b 1 (b  1)  b    b   1  (b  1)  10(b  1)      b    b    (b  1)  b   a  2 b  2  a   b   a  4  b  4  a  Cặp điểm A B cần tìm có tọa độ là: (2;5) (0; 1) ; (2;1) ( 4;3) Ví dụ 18: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + có đồ (Cm); (m tham số) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0, 1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với Giải Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = là: x  x3 + 3x2 + mx + =  x(x2 + 3x + m) =   (2)  x  3x  m  * (Cm) cắt đường thẳng y = C(0, 1), D, E phân biệt:  Phương trình (2) có nghiệm xD, xE  http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA SỐ NĂM HỌC 2014-2015 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 2x 1 có đồ thị (H) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số b) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (H) Tiếp tuyến điểm M có hồnh độ dương Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  thuộc (H) cắt hai đường tiệm cận (H) A, B cho AB  10 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 32 x 1  4.3x   Câu (1,0 điểm) a) Tính mơđun số phức z  (1  2i )(2  i )2 b) Cho tập A  1, 2,3, , 2015 , từ tập A chọn ngẫu nhiên hai số Tìm xác suất để giá trị tuyệt đối hiệu hai số chọn Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I    x  ln  x dx x Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x  y  z    x   3t  đường thẳng d:  y   t Tìm tọa độ điểm M đường thẳng d cho khoảng cách từ M đến mặt z  1 t  phẳng (P) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  a đồng thời SA, SB, SC đơi vng góc với S Gọi H, I, K trung điểm cạnh AB, AC, BC Gọi D điểm đối xứng S qua K; E giao điểm đường thẳng AD với mặt phẳng (SHI) Chứng minh AD vng góc với SE tính thể tích khối tứ diện SEBH theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I, đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm    13  M 1; 5  , N  ;  , P  ;  (M, N, P không trùng với A, B, C) Tìm tọa độ A, B, C biết đường 2 2  2 thẳng chứa cạnh AB qua Q  1;1 điểm A có hồnh độ dương Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  x  13 y   x  1 3 y   x   2  y  1 x   y   x  y  12 y   x  1 3 y    x, y   Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  2b  c  a  b  c  ab  bc  ca  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  ac2 a  b 1  a (b  c)  a  b  (a  c )(a  2b  c ) HẾT 241 http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu 1.a HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ THPT QUỐC GIA SỐ NĂM HỌC 2014-2015 Mơn thi: Tốn Đáp án Điểm 1,0 \ 1  Tập xác định: D   Sự biến thiên 3 y,   0, x   x  1 0,25 + Hàm số nghịch biến khoảng ( ;1) (1;  ) + Hàm số khơng có cực trị + Giới hạn: * lim y  2; lim y   Đường thẳng y=2 tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  0,25 x  * lim y  ; lim y    Đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 1  x 1 Bảng biến thiên: x -∞ +∞ y' +∞ y 0,25 -∞    Đồ thị: Giao điểm (H) với Ox   ;  , giao điểm (H) với Oy   Đồ thị nhận I 1;2  làm tâm đối xứng  0; 1 0,25 1.b 1,0 242 http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015  2x   Gọi M  x0 ;   H ; x0      x0  1 2x 1 Phương trình tiếp tuyến  H  M  d  : y  x  x0    x0   x0  1 3  2x   (d) cắt tiệm cận đứng (x=1) A  1;   x0   (d) cắt tiệm cận ngang (y=2) B  x0  1;  36 AB  10   x0  1   x0  1 0,25 0,25  40 0,25 x   (do  x0 )  x0  Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán M  2;5  M  4;3 0,25 1,0 x x 1 3  x   4.3     x   3   x  1   x 1,0 3a 0,5 2 z  (1  2i)(2  i)  (1  2i )(4  4i  i )  (1  2i )(3  4i )   4i  6i  8i  11  2i Vậy z  11  2i  z  112  22  5 3b 0,5 Gọi A biến cố: “Hiệu hai số chọn 1” Số phần tử không gian mẫu: n  C2015 0,25 Số cặp số có hiệu (là cặp hai số liên tiếp) nA  2014 n 2014 Vậy xác suất để “Hiệu hai số chọn 1” P  A   A  n C2015 0,25 1,0 Ta có: I    x  ln  x x .dx  4  x dx   1  ln  x x  I I 0,25 I1   xdx  14 x x  3 0,25 u  ln(1  x )   du  x (1  x ) dx   dx dv   v  x  x   4  I  x  ln  x |   dx  6ln  4ln  x |  ln  4ln  1 x 14 Khi I  I1  I =  ln  ln   ln  ln  3 ln(1  x ) I2   dx , đặt x    0,25  0,25 1,0 0,25 M(1+3t, – t, + t) d 243 http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 2(1  3t )  2(2  t )   t  3t= 1 Suy ra, có hai điểm thỏa tốn M1(4, 1, 2) M2( – 2, 3, 0) 0,5 Ta có d(M,(P)) =  0,25 1,0 Gọi HI  AK  J , SJ  AD  E  E  AD   SHI  Ta có J trung điểm AK, kẻ FK//SE AD a   F  AD   AE  EF  FD  3 Trong tam giác vuông cân SBC, a SK  BC   SD  a 2 S C I A H J 0,25 K B E F D Trong tam giác vuông SAD, a SA2  a , AE AD  a  a  SA2  AE AD  SE  AD Tam giác SAB cân S nên SH  AB Ta lại có SC   SAB  , SC / / BD  BD   SAB   BD  SH  SH  ( ABD)  SH   HBE  a , S HEB  S EAH S AH AE 1 a2 a2 Mà EAH   , S DAB  AB.BD   S HEB  S DAB AB AD 2 12 0,25 0,25 SH  VSHBE a3  SH S HBE  (đvtt) 36 0,25 1,0 Đường trịn ngoại tiếp ABC đường trịn ngoại tiếp MNP có phương trình  3  x  y  3x  29  có tâm K  ;    Vì P điểm cung AB nên đường thẳng chứa AB qua Q  1;1 vng góc với KP PT AB: x  y   Tọa độ A, B thỏa mãn hệ  y  2x   y  2x  2 x  y        x   2  x   x  3  x  29   x  y  x  29    x  4   Từ đó, tìm A 1;3 , B  4; 5  Ta lại có AC qua A, vng góc với KN có phương trình x  y   Nên tọa độ điểm C thỏa mãn 244 0,25 0,5 0,25 http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015  y   2x  y   2x 2 x  y        x   C  4; 1  2  x  y  x  29   x    x   x  29   x    1,0  x  13 y   x  1 y   x 1   2  y  1 x   y   x  y  12 y   x  1 3 y     Trừ vế với vế (1) (2) ta y 1  y  1 x2  y  y    y  x Với y  thay vào (1) ta x  13  x   x  x  0,25 Với y  x thay vào (1) ta x3  13x  x   x  1 3 x    x  1   x  x  1   x  1  x  1 x  1   x  x  1 0,25 Đặt a  x  1, b  3 x  ta a3   x  x  1   x  1 b a  b   a3  b3   a  b  x  1     2  a  ab  b  x   b   x  x  1   x  1 a  x  1 y 1 3 a  b  x   3x   x  15 x  x     1 x    y  64  2 a  a  a  ab  b  x     b    x  1  x     b   x  x   0, x 2  2   1  Vậy hệ có nghiệm  x; y   1;1 ,  ;   64  0,5 1,0 Áp dụng BĐT AM - GM ta có : ab  bc  ac   a  b2  c  a  2bc  2ab  2ac   a  bc  ab  ac  a  b  a  c  2 Khi đó,  ab  ac     a  b  a  c   a  b  c   a  b   ac2   a b  c   a  b  a  b Mặt khác, a  b 1 a  b 1   a  c  a  b  2c    a  c  a  b  2c    a  b    a  c  a  2b  c   a  b 2 0,5 2 a  b 1 1 1  Do đó, P          2 a  b a  b a  b  a  b  ab  Vậy GTLN P 245 0,5 http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA SỐ NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian phát đề) Đề thi đề xuất trường THPT Quế Võ số 2x  C  2x  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Tìm m để đường thẳng d : y  2mx  m  cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho biểu Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  thức P = OA2 + OB2 đạt giá trị nhỏ ( với O gốc tọa độ) Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình: cos x  cos x  sin x  1  b) Giải phương trình: x  5.3x   Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình sau tập số phức: z  z   b) Cho khai triển   x  tìm hệ số số hạng chứa x khai triển e  ln x   Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I    x  dx  x ln x  1  x  2t   Câu (1,0 điểm) Cho điểm M  1;3; 2  , n 1; 2;3 đường thẳng d :  y  t t  z   t   Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M nhận vecto n làm vectơ pháp tuyến Tìm tọa độ giao điểm (P) đường thẳng (d) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có O tâm đáy khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SBC  góc mặt bên mặt đáy  Tính thể tích khối chóp S ABCD theo  Xác định  để thể tích khối chóp đạt giá trị nhỏ Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo AC nằm đường thẳng d : x  y   Điểm E  9;  nằm đường thẳng chứa cạnh AB, điểm F  2; 5  nằm đường thẳng chứa cạnh AD, AC  2 Xác định tọa độ đỉnh hình thoi ABCD biết điểm C có hồnh độ âm  y  1 x   y  x   Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  2 x  x y  y    x, y   Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực không đồng thời thỏa mãn điều kiện a  b  c   a  b  c  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức a  b3  c  a  b  c  ab  bc  ca  HẾT P 246 http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ THPT QUỐC GIA SỐ NĂM HỌC 2014-2015 Mơn thi: Tốn Câu 1.a Đáp án  1  2 \    *SBT: y '  *TXĐ: 2  x  12  0, x   1 2   Điểm 1,0  I  d  c   A(1;3); B (3;1)     0,25 Hàm số nghịch biến khoảng  ;     ;   0,25 Tính giới hạn tiệm cận Lập bảng biến thiên 0,25 *Đồ thị: Giao Ox: (- 1; 0); Giao Oy: (0; 2) Vẽ đồ thị 0,25 0,5 1.b PT hoành độ giao điểm: 2x   2mx  m  1; x   2x 1 0,25 2  4mx  4mx  m   , (1); Đặt g  x   4mx  4mx  m  * (d) cắt (C ) hai điểm phân biệt  PT (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1/2  m       '  4m   m   g         2  0,25 *Gọi hoành độ giao điểm A B x1, x2 x1, x2 nghiệm PT (1)  x1  x2  1   m 1  x1.x2  4m  2 Có: OA2+OB2 = x1   2mx1  m  1  x2   2mx2  m  1     4m  m  1 x  x    m  1  m 1 =  4m  1 1    4m  m  1   m  1 2m   2 = 4m  x1  x2 0,25 2 2 5    (Áp dụng BĐT si m dương)  2m  2m 2 1 Dấu xảy  m  ( thỏa mãn);KL: m  giá trị cần tìm 2 = 2.a 0,25 0,5 247 http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 cos x  cos x  sin x  1   cos x    sin  x        4  0,25  k  k    x  k 2   +) Với sin  x     (k  )  x    k 2 4   +) Với cos x   x  2.b 0,25 0,5  5.3     x x Đặt t  x t  0 x  x  5.3   Phương trình trở thành t  5t   x  t    t   x  log 0,25 0,25 3a 0,5 Ta có,   11  0,25 Suy phương trình có hai nghiệm là: z1  1  11i 1  11i ; z2  2 3b 0,25 0,5 k 8 Ta có khai triển sau:   x    C8k 28 k x k 0,25 Từ suy hệ số x C86 2  112 0,25 k 0 1,0 e e e e  ln x x dx;  x dx   x ln x I   x dx    e4  0,5 e d   x ln x  e2  ln x   x ln xdx    x ln x   ln  x ln x   ln  e    ln  ln 1 e e 0,5 e4  e2 Vậy I   ln  Phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M nhận vecto n làm vecto pháp tuyến là: 1,0 1 x  1   y  3   z     x  y  z   0,5 Vậy phương trình (P) là: x  y  z   Thay x, y, z từ phương trình đường thẳng (d) vào mặt phẳng (P) ta được: 2t  2t  3(2  t)    t  1  x  2, y  1, z  0,5 Vậy tọa độ giao điểm đường thẳng mặt phẳng I  2; 1;1 1,0 248 http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Gọi M trung điểm BC Trong mp  SOM  kẻ OH  SM S (1) S ABCD hình chóp nên SM  BC , OM  BC Suy BC   SOM   OH  BC (2) Từ (1) (2) suy OH   SBC   OH  Từ (1) (2) ta có D   SBC  ,  ABCD    SMO   Xét SOM vuông O ta có SO  OM tan   C M O OH Xét OHM vng H ta có OM   sin  sin  Ta có AB  2OM  0,25 H A B 1 tan   sin  cos  S ABCD  AB  sin  sin  0,25 1 4 Suy VS ABCD  S ABCD SO   (đvtt) 3 sin  cos 3sin  cos Đặt P  sin  c os Ta có P  sin  c os  c os  c os 3 Đặt cos   t , t   0;1 Suy P  t  t Ta có P   3t , 3  t2  3 Lập bảng biến thiên 3 t + P - P   t1   0,5 P VS ABCD nhỏ P l  t 3  cos      arccos 3 Vậy VS ABCD nhỏ (đvtt)   arccos 1,0 +) Gọi E’ điểm đối xứng với E qua AC B  E’ thuộc AD Vì EE’ vng góc với AC qua điểm E  9;  E  phương trình EE’: x  y   I A J E' Gọi I = AC  EE’, tọa độ I F x  y   x  nghiệm hệ    I  3;   x  y 1   y  2 Vì I trung điểm EE’  E '(3; 8) 249 D C http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 AD qua E '(3; 8) F ( 2; 5)  phương trình AD: x  y   0,25 A  AC  AD  A(0;1) Giả sử C (c;1  c ) 0,25 Vì AC  2  c   c  2; c  2  C ( 2;3) Gọi J trung điểm AC  J ( 1; 2)  phương trình BD: x  y   Do D  AD  BD  D(1; 4)  B (3; 0) Vậy A(0;1) , B ( 3; 0), C ( 2;3), D(1; 4) 0,25 1,0  y  1 x   y  x  (1)  (I )  x  x2 y  y  (2)   0,25 x   t   phương trình (1) có dạng: 2t   y  1 t  y   Đặt t  y     y  1   y  1   y     t  (l )  0,25 y 1 +) Với t  y    x   y    thay vào (2) ta x  y  4y 0,25 2 16 y  y  1  y  y  1  y    y  (do y  )  x  Vậy, hệ (I) có nghiệm (0;1) 0,25 1,0 1 2 gt ab  bc  ca   a  b  c    a  b  c    ab  bc  ca   a  b  c     Do 0,25 a  b  c P a  b  c 3    3 4a   4b   4c          16  a  b  c   a  b  c   a  b  c     Đặt x 4a 4b 4c ,y ,z  abc a bc abc Thì 0,25 y  z  4 x x  y  z     xy  yz  zx   yz  x  x  Vì  y  z   yz nên  x  Ta có P  3 1  x  y3  z   16 x3   y  z 3  yz ( y  z )  16 (3x3  12 x2  12 x  6) 16    8 Xét hàm số f ( x)  x  12 x  12 x  với x   0;   3 f ( x)  16, max f ( x)  0,25 176 0,25 250 http://thaytoan.net UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA SỐ NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian phát đề) Đề thi đề xuất trường THPT Ngô Gia Tự Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  x  2mx  (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m = b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho BC = A điểm cực trị thuộc trục tung Câu (1,0 điểm) Giải phương trình log  log x   Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình cos x  cos x   sin x  sin x  b) Gọi A tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số đôi khác khác Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp A Tính xác suất để chọn số chia hết cho dt 4t Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I   Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  : x 1 y  z   mặt 1 phẳng  P  : x  y  z   Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A  3; 1;  , cắt đường thẳng  song song với mặt phẳng (P) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60 Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SMN) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB  AD , tâm I 1; 2  Gọi M trung điểm cạnh CD, H  2; 1 giao điểm hai đường thẳng AC BM Tìm tọa độ điểm A, B Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x   x   3x  x Câu (1,0 điểm) Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a2 b2   ( a  b)2 2 (b  c )  5bc (c  a )  5ca Hết 251 http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ THPT QUỐC GIA SỐ NĂM HỌC 2014-2015 Mơn thi: Tốn Câu 1.a Đáp án Điểm 1,0 Với m = hàm số trở thành : y  x  x  TXĐ : R ; lim y   x  0,25 x  Có y '  x  x ; y '     x  1 BBT (lập đầy đủ) Hàm số đồng biến  1;0  1;  0,25 0,25 Hàm số nghịch biến  ; 1  0;1 yCĐ =1 x = 0; yCT = x  1 Đồ thị: (Vẽ xác) 0,25 0,5 1.b x  Ta có y '  x3  4mx  x  x  m  ; y '     x  m  * Để hàm số có ba cực trị y’=0 có ba nghiệm phân biệt y’ đổi dấu qua ba nghiệm  (*) có hai nghiệm phân biệt khác  m  (**)  x   A  0;1 Khi y '     x   m  B m ;1  m , C  m ;1  m  Do BC   m   m  (t/m (**))    0,25 0,25 0,25  0,25 1,0 log x  log  log x     2 log x  2 0,5 x   x   0,5 3a 0,5  cos x  sin x  sin x  cos x    2 x       cos  x    cos  x     3 3   2 x     3 cos x  sin x  sin x  cos x 2 2  2   x   k 2  x    k 2  ,k     x  k 2   x   k 2  3  3b 0,25 0,25 0,5 Các số gồm ba chữ số đôi khác khác lập A  504  n  A  504 Chọn ngẫu nhiên số từ A có 84 cách nên n     84 Gọi B: “Số chọn chia hết cho 3” 252 0,25 http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Số lập chia hết cho lập từ số sau: 1;2;3 , 1; 2;6 , 1;2;9 , 1;3;5 , 1;3;8 , 1; 4;7 , 1;5; 6 ,1;5;9 , 1;6;8 , 1;8;9 2;3;4 , 2;3;7 , 2;4;6 , 2; 4;9 , 2;5;8 , 2;6;7 , 2;7;9 , 3; 4;5 , 3; 4;8 3;5; 7 , 3; 6;9 , 3; 7;8 , 4;5; 6 ,4;5;9 , 4;6;8 , 5; 6;7 , 5; 7;9 , 6; 7;8 , 7;8;9 0,25 Mỗi số lập 3!=6 số nên có tất 29.6=174 số Chọn số số có 174 cách  n  B   174 Vậy xác suất P  B   n  B n   174 29  504 84 1,0 2 dt  1      dt  2t 2t  4t 0,5 I  2t = ln 2t  ln 0,5 1,0 Gọi B  d    B   nên giả sử B 1  2t ;2  t ;3t    Khi AB   2  2t;3  t ;3t   vtcp d  Mặt phẳng (P) có vtpt n   2; 1; 2     Vì d//(P) nên AB.n    2  2t     t    3t     t     10     AB    ; ; 3  hay u   4; 10;9  vtcp d  3   x   4t  Vậy phương trình d:  y  1  10t , t   z   9t  0,5 0,5 1,0 *)Vì S.ABC hình chóp nên ABC tam giác tâm G SG   ABC   VS ABC  SG.S ABC Tam giác ABC cạnh a nên a a2 AN   S ABC  Có AG hình chiếu AS (ABC) nên góc cạnh bên SA với đáy (SA,AG) = SAG  60 (vì SG  AG  SAG nhọn) a AN  3 Trong tam giác SAG có SG  AG.tan 60  a Vì G trọng tâm tam giác ABC nên AG  253 0,25 0,25 http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 a a3 Vậy VS ABC  a  12 Do G trọng tâm tam giác ABC nên C, G, M thẳng hàng CM = 3GM mà M  (SMN) nên d C , SMN    3dG , SMN   Ta có tam giác ABC nên K SG   ABC   SG  MN 0,25  MN   SGK  Trong (GKH), kẻ GH  SK  GH  MN  GH   SMN  , H  SK  d  G , SMN    GH 2 1 a AN ; BG  AG  AN  GK  AN  AN  AN  3 12 Trong tam giác vng SGK có GH đường cao nên 1 1 48 49 a       GH  2 GH SG GK a a a 3a Vậy d C , SMN    3GH  Ta có BK  0,5 1,0 Theo thiết ta có H trọng tâm tam giác BCD giả   nên IC  3IH   Mà IH  1;1 , giả sử  x   3.1 x  C  x; y      C  4;1  y   3.1  y  Do I trung điểm AC nên A(-2;-5) CM BC    MBC  BAC Lại có AB  AD nên BC AB 0,25 Mà BAC  BCA  90  MBC  BCA  90  AC  BM   Đường thẳng BM qua H(2;-1), có vtpt IH  1;1  pt BM: x + y – =  B  t;1  t      Có AB   t  2;6  t  ; CB   t  4; t      Vì AB  BC  AB.CB    t   t    t   t       t    B  2; 1  B  2; 1  0,25  0,25 1,0 x  0  x  3  41   Điều kiện: 1  x    3  41 (*) 3  41   x  x   8  2  3x  x  Bất phương trình cho tương đương với x   x  x (1  x )   x  x  3( x  x)  (1  x )  ( x  x )(1  x)  254 0,25 http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015  5  34 x  x x x x x x 3 2 1     x  10 x     1 x 1 x 1 x  5  34 x   5  34 3  41 Kết hợp điều kiện (*), ta suy nghiệm bất phương trình x 2 0,5 1,0 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có a2 a2 4a b2 4b   Tương tự, ta có  (b  c )  5bc (b  c )2  (b  c) 9(b  c ) (c  a)  5ca 9(c  a )2 2 a b2  a2 b2   a b  Suy         (b  c)2  5bc (c  a)2  5ca  (b  c)2 (c  a)2   b  c c  a   (a  b)   c (a  b)  2   a  b  c (a  b)  2  2(a  b)2  4c (a  b)            ab  c (a  b)  c   (a  b)  (a  b)2  4c (a  b)  4c    c (a  b)  c     Vì a  b  c   a  b   c nên 2 0,25 2  2(1  c)  4c(1  c )  8  P   (1  c)      (1  c ) 2   (1  c )  4c(1  c)  4c   c 1 (1) 8  Xét hàm số f (c)      (1  c ) với c  (0; 1)  c 1  16   c Ta có f '(c )  1   (c  1);   c   (c  1) f '( c ) f '(c)   (c  1) 64  (3c  3)   c  Bảng biến thiên: f (c )  – +  Dựa vào bảng biến thiên ta có f (c)   với c  (0; 1) 1 Từ (1) (2) suy P   , dấu đẳng thức xảy a  b  c  1 Vậy giá trị nhỏ P  , đạt a  b  c  255 0,5 1 (2) ... http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014- 2015 4.2 Ví dụ tập Ví dụ 1: Cho hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – (C) 1) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số (đề thi đại học khối A- 2006)...http://thaytoan.net Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014- 2015 CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN Biên soạn sưu tầm: Ngơ Văn Khánh – GV trường THPT Nguyễn Văn Cừ Chủ đề 1: Bài toán tiếp... Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014- 2015 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT Biên soạn sưu tầm: Nguyễn Quang Tuấn – GV Trường THPT Hàn Thuyên Kiến thức cần nhớ 1.1 Công