Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học Phần I. Mở đầu I. lý do chọn đề tài Toán học là bộ môn khoa học mang tính trừu tợng và lôgíc cao,đồng thời còn là môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc học tập các môn học khác của chơng trình phổ thông. Hình học là phân môn quan trọng của Toán học vừa rèn luyện khả năng đo đạc, tính toán, suy luận lôgíc vừa phát triển t duy sáng tạo cho học sinh.Khi nắm chắc kiến thức và học giỏi hình học nó còn có tác dụng làm cho các em phát huy đợc tính độc lập sáng tạo,linh hoạt trong cách tìm lời giải cho các bài toán nói chung và nó còn có ý nghĩa thực tiễn rất cao trong việc vận dụng kiến thức vào cuộc sống sau này. Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy và bồi dỡng học sinh khá, giỏi tôi rút ra đợc kinh nghiệm thực tế là: Việc bồi dỡng HSG không đơn thuần chỉ là cung cấp cho các em các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao mà phải biết rèn luyện khả năng sáng tạo, t duy trừu tợng và suy luận lôgíc phải biến những điều đó thành kỹ năng và cao hơn là hình thành phơng pháp giải toán, học toán, ứng dụng kiến thức toán thế nào cho hiệu quả. Muốn đạt đợc những điều đó trớc hết ng- ời thầy giáo phải nắm chắc bản chất của từng loại toán, từ đó vừa phân loại vừa liên kết đợc từng dạng với nhau đó chính là phơng pháp dạy và học toán nói chung cũng nh việc bồi dỡng học sinh giỏi toán nói riêng. Trong rất nhiều những dạng toán mà tôi đã dày công nghiên cứu, tập hợp trên hai mơi năm làm nghề dạy học qua rất nhiều tài liệu và các kênh thông tin khác nhau từ SGK trong chơng trình đến các loại tài liệu tham khảo, đề thi các nh : Toán về phần nguyên, Toán về diện tích, Toán về thẳng hàng, Đồng qui,Bất đẳng thức, Cực trị , từ việc ban đầu là tâp hợp thành những dạng toán sau đó liên kết chúng để hình thành kỹ năng, ph- ơng pháp dạy và học toán nh tôi đã trinh bày ở trên. Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học là một đề tài mà tôi muốn xâydựng một phơng pháp học mới để đạt đợc những yêu cầu sau đây: - Sử dụng thành thạo kẻ đờng phụ trong bài toán có yếu tố trung điểm. Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy Trang1 Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học - Chứng minh sự bằng nhau, song song, thẳng hàng,đồng quy - Biết đợc yếu tố trung điểm có nhiều trong các bài toán : Chứng minh, dựng hình, quĩ tích, cực trị - Vận dụng đợc nhiều kiến thức khi giải một bài toán đó là cách hay nhất để ôn cũ biết mới và hình thành kỹ năng t duy cho học sinh II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu. Thuận lợi : Trong những năm gần đây chất lợng giáo dục đợc nâng lên rõ rệt, các nhà trờng chú trọng vào việc đổi mới phơng pháp dạy và học đặc biệt quan tâm hơn đến học sinh nhất là coi trọng năng lực tự học của các em. Môn Toán là môn học mà học sinh rất thích, có nhiều em học rất giỏi đó chính là lợi thế rất lớn để giáo viên có thể tập trung đợc tâm huyết và trách nhiệm cũng nh lòng yêu nghề của mình. Việc dạy cho các em học kiến thức cơ bản trong chơng trình rồi từ đó hình thành phơng pháp học bằng việc đa vào những chuyên đề toán thông qua các hệ thống tài liệu tham khảo dới sự hớng dẫn của giáo viên cũng rất thuận lợi. Các kỳ thi HSG ngoài sự quan tâm chỉ đạo của các cấp quản lý giáo dục còn thu hút đợc sự quan tâm của đông đảo PHHS. Với hệ thống đề thi ngày càng phù hợp, vừa sát chơng trình Khó khăn: Với đặc thù vùng nông thôn, điều kiện kinh tế khó khăn, vì vậy việc quan tâm đến học hành còn hạn chế cả về tinh thần và vật chất dẫn đến hạn chế việc học hành của các em đặc biệt là môn toán.Chinh vì vậy càng cần phải rèn luyện, bồi dỡng nhằm giúp cho các em học sinh khả năng tự học, tự tìm tòi, sáng tạo trong việc học tập, nghiên cứu để chiếm lĩnh tri thức nhân loại, tích lũy kinh nghiệm cuộc sống mai sau. Vì thế càng khiến tôi tâm huyết tìm tòi, nghiên cứu để giảng dạy có hiệu quả cao nhất. Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy Trang2 Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học Phần II. Nội dung A. Phơng pháp chung Trong đề tài này do khuôn khổ, giới hạn của đề tài tôi chỉ đa ra một số dạng cơ bản , một số bài tập khó và nâng cao về bài toán có yếu tố trung điểm, ở đây tôi không đa ra nhiều cách giải mà chỉ minh hoạ chỉ ra đờng lối, phơng pháp , thói quen thờng gặp ở bậc THCS . Đó là khi gặp bài toán có yếu tố trung điểm ta nghĩ ngay đến việc tạo ra đờng phụ theo một trong các hớng sau: + Hớng 1: Lấy thêm đoạn thẳng mới để cùng với đoạn đã cho có chung trung điểm từ đó sử dụng tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm ở lớp 7, hoặc tính chất của hình bình hành ở lớp 8. + Hớng 2: Lấy thêm trung điểm thứ hai để tạo ra đờng trung bình trong tam giác, trong hình thang, trong tứ giác nếu có nhiều đờng trung bình liền nhau càng tốt, từ đó sử dụng các tính chất của các đờng trung bình này. + Hớng 3: Nếu trung điểm đó là trung điểm của cạnh huyền của tam giác vuông đăc biệt lại là cạnh huyền chung của nhiều tam giác vuông thì ta kẻ thêm các đờng trung tuyến thuộc cạnh huyền này để sử dụng tính chất đờng trung tuyến thuộc cạnh huyền trong tam giác vuông. + Hớng 4: Nếu trung điểm đó là trung điểm của dây cung của đờng tròn thì ta kẻ ngay đờng kính của đờng tròn đi qua trung điểm đó để sử dụng tính chất của đờng kính đi qua trung điểm của dây cung trong đờng tròn. Sau đây tôi xin giới thiệu một số bài toán minh họa cho những kinh nghiệm mà tôi đã có đợc trong những năm trực tiếp làm nhiệm vụ giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi. Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy Trang3 Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học B. Một số bài toán quen thuộc trong chơng trình. Trong chơng trình toán 7 khi nghiên cứu các trờng hợp bằng nhau của tam gíac để giúp học sinh nắm vững kỹ năng ,vận dụng thành thạo kiến thức ta giới thiệu cho học sinh các bài toán sau: Bài toán 1: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh còn lại và có độ dài bằng nửa cạnh đó. Ta hớng dẫn cho học sinh sử dụng tính chất của trung điểm bằng cách: Trên tia đối của tia NM lấy điểm P sao cho NP = NM, Khi đó hai đoạn AC và MP có chung trung điểm là N, từ các tính chất trung điểm chung ta có các cặp tam giác (ANM, CNP) và (AMP, MBC) bằng nhau dẫn đến hai đoạn MP, BC song song và bằng nhau từ đó ta có điều cần chứng minh. Sau khi chứng minh xong, ta cũng cho học sinh chứng minh bài toán ngợc lại. Qua đó học sinh đợc hình dung tính chất đờng trung bình của tam giác. Cũng nh vây ta cho học sinh làm bài toán sau: Bài toán 2: Trong tam giác vuông Chứng minh đờng trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Ta cũng hớng dẫn cho học sinh tạo ra trung điểm M là trung điểm chung của hai đoạn BC và AD. Khi đó sử dụng tính chất trung điểm chung ta chứng minh hai tam giác ABC và CDA bằng nhau để có hai đoạn BC và AD bằng nhau, từ đó ta có điều cần chứng minh của bài toán. Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy Trang4 P N M C B A Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học Sau đó ta cũng cho hoc học sinh chứng minh bài toán ngợc lại Từ bài toán này ta cho học sinh chứng minh bài toán sau: Bài toán 3: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông có một góc bằng 60 khi và chỉ khi cạnh kề góc đó bằng một nửa cạnh huyền. Để giải bài này ta sử dụng đờng trung tuyến thuộc cạnh huyền AM Từ việc xét tam giác cân MAB khi có góc B bằng 60 suy ra MAB là tam giác đều và ng ợc lại, từ cạnh AB bằng nửa cạnh BC dẫn đến tam giác MAB đều dẫn đến góc B bằng 60 . Cũng từ bài toán 3 ta lại có bài toán sau: Bài toán 4: Một tam giác có một góc bằng 60 mà hai cạnh kề góc này có một cạnh bằng một nửa cạnh kia thì đó là tam giác vuông. Ta có thể hớng dẫn cho học sinh làm bài này nh sau: Ta lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD xét đặc điểm của tam giác CBD với trung tuyến CA và các quan hệ đã cho ta sẽ có điều cần chứng minh. Hoàn toàn tơng tự ta cho học sinh lớp 7 làm các bài toán sau: Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến. Chứng minh góc BAM lớn hơn góc CAM khi và chỉ khi cạnh AB bé hơn cạnh AC. Hớng làm: Xét trên hình của bài toán 2, ta thấy: Việc so sánh góc BAM với góc CAM cũng nh cạnh AB với cạnh AC ta đi so sánh góc ADC với góc DAC và cạnh Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy Trang5 D M C B A A D C B Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học CD với cạnh AC của tam gíac ACD ( Sử dụng quan hệ cạnh và góc đối diện trong tam giác). Bài toán 6: Chứng minh rằng: trong một tam giác độ dài đờng trung tuyến luôn bé hơn nửa tổng hai cạnh còn lại. Hớng làm: Cũng tơng tự trên hình của bài toán 2, sử dụng bất đẳng thức trong tam giác của tam giác ACD ta sẽ có điều cần chứng minh. Đến đây ta khẳng định giá trị to lớn của tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm. Từ việc sử dụng tính chất của hai đoạn thẳng có chung trung điểm ta đã chứng minh tính chất đờng trung bình của tam giác, tứ đó ta cũng chứng minh tính chất đ- ờng trung bình của hình thang, tính chất Đờng trung bình của tứ giác. Bài toán 7: Chứng minh đờng trung bình của hình thang song song với cạnh đáy và có độ dài bằng nửa tổng hai đáy. Hớng làm: Xét thêm trung điểm I của đờng chẻo AC,Ta có IM,IN là các đờng trung bình của các tam giác ADC vầ ABC Khi đó sử dụng tính chất đờng trung bình của tam giác ta chứng minh đợc bài toán này. Bài toán 8: Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm các cạnh AD, BC. Chứng minh độ dài đoạn MN 2 CDAB + . Hớng làm: Xét tứ giác ABCD mà có AB song song với CD thí theo tính chất của hình thang ta có MN đúng bằng nửa tổng AB và CD. Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy Trang6 I N M C D B A Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học còn nếu AB không song song với CD, ta cũng lấy I là trung điểm của AC. Khi đó MI, NI là các đờng trung bình của các tam giác ACD và ABD đông thời xet quan hệ ba cạnh của tam giác MNI ta có điều cần chứng minh. Từ các bài toán 7 và bài toán 8 ta cho học sinh làm bài sau: Bài toán 9: Chứng minh rằng: Một tứ giác là hình thang khi và chỉ khi đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối bằng nửa tổng hai cạnh còn lại Cũng với tính chất đờng trung bình của tam giác, ta có bài toán sau:. Bài toán 10: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q. lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. Việc giải bài toán này không khó với học sinh lớp 8 còn với học sinh lớp 7 ta thay đổi một số tên gọi cho phù hợp thì bài này trở nên khá hấp dẫn, vì với học sinh lớp 7 việc chứng minh bài toán này đã phải sử dụng khá nhiều kiến thức: Tính chất đờng trung bình của tam giác, đờng thẳng song song, hai đoạn thẳng song song và bằng nhau, hai tam giác bằng nhau, . . . Từ bài toán này học sinh có thêm một tính chất hình học: Các đờng trung bình của tứ giác gặp nhau tại trung điểm của chúng Cũng từ bài toán 10 ta có bài toán tổng quát hơn sau:. Bài toán 11: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q, E, F, G, H lần lợt là trung điểm của các đoạn: BC, DA, AB, CD, MA, MB, NB, NC. Chứng minh các đờng MN, PQ, EF, GH đồng quy. Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy Trang7 I N M B C A D Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học C. Các bài toán nâng cao và phát triển I. Bài toán chứng minh Bài toán 12: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN. Chứng minh rằng đờng thẳng chứa trung tuyến AI của tam giác ABC cũng chứa đờng cao của AH của tam giác AMN. Hớng làm: Đây là bài toán khá khó đối với học sinh lớp 7, và bài toán này lại đ- ợc gặp ở lớp 8, nên ở lớp 7 ta dùng ngôn ngữ sau: Do đã có trung điểm I của BC nên ta nghĩ đến việc tạo ra I là trung điểm chung của hai đoạn, cụ thể là trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho I là trung điểm của AD. Khi đó từ tính chất trung ôiểm chung I của hai đoạn AD , BC ta có đợc hai đoạn CD và AB song song và bằng nhau từ đó ta có đợc hai tam giác ACD, MAN bằng nhau, sử dụng các góc bằng nhau của hai tam giác này và tính chất các góc tại đỉnh A ta có đợc AH vuông góc với MN. Từ bài toán này ta có bài toán sau: Bài toán 13: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACHF, vẽ hình bình hành AEQF, Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy Trang8 D H I N M C B A Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học Chứng minh ba đờng QA, HB, DC đồng quy. Hớng làm: Theo bài 12 ta đã có QA vuông góc với BC, ta chỉ cần chứng minh BH vuông góc với QC và CD vuông góc với QB (bằng cách xét cho các tam giác AQC , CBH bằng nhau và các tam giác AQB, BCD bằng nhau) khi đó QA, HB, DC chứa ba đờng cao của tam giác QBC nên ba đờng QA, HB, DC đồng quy. Tơng tự nh vậy ta có các bài toán sau: Bài toán 14: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC,Dựng về phía ngòai các hình vuông ABDE, ACHF có tâm là I, J. Chứng minh tam giác MIJ vuông cân. Hớng làm: Nhìn vào hình vẽ ta thấy hai tam giác AEC và ABF bằng nhau hai đoạn EC, BF bằng nhau và vuông góc với nhau mà MI, MJ là các đờng trung bình của hai tam giác BEC và CBF nên ta chứng minh đợc hai đoạn MI, MJ băng nhau và vuông góc với nhau. Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy Trang9 B C A P H F E D Q B C A H F E D I J M Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học . Từ bài toán này ta có loạt các bài toán sau: Bài toán 15 :Cho hình bình hành ABCD, về phía ngoài hình bình hành các tam giác ABM vuông cân tại M; ACN vuông cân tại N; BDP vuông cân tại P; CDQ vuông cân tại Q. Chứng minh rằng tứ giác NMPQ là hình vuông. Hớng làm: Từ kết quả bài toán 14 ta có các tam giác IMN, INQ, IQP, IPM đều vuông cân tại I từ đó suy ra tứ giác MNQP là hình vuông. Từ bài toán này ta lại đa ra bài toán sau: Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy Trang10 B C A D N Q P M I [...]... B P S Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học R Bài toán 25: Cho đờng tròn tâm O, qua trung điển I của dây cung AB kẻ hai dây cung bất kỳ CD và MN, gọi P, Q là giao điểm của CN, DM với AB Chứng minh I cũng là trung điểm của PQ Hớng làm: Đây là bài toán Con bớm nổi tiếng ! Ta thấy trong bài toán đã có trung điểm của dây cung... cách xác định vị trí điểm M và N III Toán quỹ tích Bài toán 34: Cho tam giác ABC có điểm M thay đổi trên BC Tìm quỹ tích trung điển I của AM ? Hớng làm: Bài toán này không khó, yếu tố trung điểm đợc khai thác rất trực quan qua một số vị trí của điểm M, nên ta nhanh chóng nghĩ đến việc tạo ra đờng trung bình của tam giác và khai thác tính chất đờng trung bình để giải bài toán này Bài toán 35: Cho góc vuông... tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học -Bài toán 16: Cho hình bình hành ABDC, về phía ngoài hình bình hành các hình vuông ABEF, ACMN, DBPQ, CDKL, Gọi S, G, R, H lần lợt là tâm của các hình vuông trên Chứng minh rằng tứ giác SGHR là hình vuông N F A G M S E B C L H P D R K Q Tiếp tục bài toán trên, Nếu tứ giác ABCD không phải là hình. .. tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học -vuông góc và bằng nhau Từ đó hai tam giácIKS và IVJ bằng nhau Suy ra hai đoạn thẳng KS và VJ bằng nhau và vuông góc với nhau M N Q V F B A S K R E P I C D J H G Đối với bài toán này việc vẽ đờng phụ là quan trọng.ngoài việc biết khai thác yếu tố trung điểm nh đã nêu học sinh cần áp dụng kiến thức... đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học -Thông qua phơng pháp này giáo dục cho các em năng lực t duy độc lập, rèn t duy sáng tạo tính tự giác học tập, có phơng pháp giải toán nhanh, kỹ năng phát hiện tốt Trên đây là vài kinh nghiệm về việc bồi dỡng học sinh khá, giỏi Rất mong bạn bè,đồng nghiệp, thầy cô giáo góp ý để kinh nghiệm đợc... tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học Có kế hoạch phấn đấu cụ thể cho từng đối tợng học sinh, có thời gian bồi dỡng cụ thể, có chơng trình bồi dỡng phù hợp với từng đối tợng học sinh - Nắm vững kiến thức toán học, nội dung chơng trình SGK, nắm vững phơng pháp giảng dạy môn toán, phơng pháp bồi dỡng học sinh giỏi 2 Kết quả đạt đợc: Trong. .. lần lợt tại M, N, P, Q Chứng minh rằng: I là trung điểm của MP khi và chỉ khi I là trung điểm của NQ Việc kẻ thêm đờng phụ khi có yếu tố trung điểm đợc thực hiện trong bài toán chứng minh, chứng ta cũng thực hiện trong các bài toán khác II Toán dựng hình Bài toán 28: Dựng tam giác ABC vuông tại A có AC = 2 AB và cạnh BC có độ dài bằng a cho trớc Hớng làm: trong việc phân tích tìm tòi lời giải ta thấy... đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học -A K G H O I C M B Sau đó lại sử dụng tính chất đờng trung bình IK của tam giác GAH để chứng minh hai tam giác: GIK và GOM bằng nhau từ đó có đợc ba điểm G, H, O thẳng hàng ( Xin phép không trình bày chi tiết phép chứng minh này vì đây là bài toán B điển hình mà ai cũng biết) M Bài toán 20:... tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học -Tính góc CBE ? Bài toán 15: Cho tam giác ABC có góc B = 75, góc C = 45, Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho góc BAD = 45 Đờng vuông góc với DC tại C cắt tia phân giác của góc ADC tại E, Tình góc CBE ? Bài toán 16; Cho tam giác ABC, Vẽ về phía ngoài các tam giác đều ABE và ACF Gọi I là trung điểm cạnh... tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học -Vậy hai tam giác MNP và IKL có chung trọng tâm Bài toán 21: Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm các cạnh AB, CD.Trên đoạn MN lấy điểm I bất kỳ, một đờng thẳng d qua I cắt AD, AC, BD, BC lần lợt tại E, F, G, H Chứng minh: EA FA RB HB IM 4 + + + ED FC RD HC IN Hớng làm: Do có các trung điểm . Huy Trang9 B C A P H F E D Q B C A H F E D I J M Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học . Từ bài toán này ta có loạt các bài toán sau: Bài toán 15 :Cho hình bình hành ABCD, về phía ngoài hình bình hành các. Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học - Chứng minh sự bằng nhau, song song, thẳng hàng,đồng quy - Biết đợc yếu tố trung điểm có nhiều trong các bài toán : Chứng minh, dựng hình, . Huy Trang7 I N M B C A D Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học C. Các bài toán nâng cao và phát triển I. Bài toán chứng minh Bài toán 12: Cho tam giác ABC, dựng về