MỞ ĐẦU Từ những năm 1950 trở lại đây, các định lý giới hạn đã được nghiên cứu cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Tuy nhiên việc mở rộng khái niệm martingale cho mảng nhiều chỉ số cũng như cho các martingale toán tử ngẫu nhiên vẫn chưa được nhiên cứu nhiều. Với các lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: Các định lý giới hạn cho martingale. Luận án nghiên cứu các định lý giới hạn như luật mạnh số lớn, các định lý về hội tụ hoàn toàn, hội tụ hoàn toàn theo nghĩa trung bình, tốc độ hội tụ của tổng các trường hiệu martingale, các định lý về hội tụ cho dãy các martingale toán tử ngẫu nhiên cũng như tích vô hạn của dãy toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Luận án được trình bày trong bốn chương. Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản phục vụ cho các nghiên cứu ở các chương tiếp theo. Chương 2 thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov và Marcinkiewicz - Zygmund cho trường hộp các α-hiệu martingale, luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov cho trường các hiệu martingale, luật yếu số lớn cho trường α−tương thích mạnh. Chương 3 gồm ba mục, mục 3.1 đưa ra các điều kiện cho hội tụ hoàn toàn cho tổng trung bình trượt của các hiệu martingale, từ đó đi đến các luật mạnh số lớn của tổng trung bình trượt cũng như đánh giá tốc độ hội tụ của luật mạnh số lớn. Mục 3.2 trình bày các kết quả về hội tụ hoàn toàn trung bình, các điều kiện của hội tụ hoàn toàn trung bình cũng như mối quan hệ giữa hội tụ hoàn toàn trung bình với hội tụ h.c.c. và hội tụ trung bình, sau đó áp dụng để nghiên cứu luật số lớn, hội tụ trung bình, và tốc độ hội tụ của trường các hiệu martingale E-giá trị. Mục 3.3 trình bày về tốc độ hội tụ của chuỗi các trường hiệu martingale. Chương 4 thiết lập các điều kiện hội tụ của dãy các toán tử ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên mở rông, và dãy hiệu martingale toán tử ngẫu nhiên bị chặn trong không gian Banach, và nghiên cứu các điều kiện hội tụ của tích vô hạn các toán tử ngẫu nhiên độc lập không bị chặn. 1 CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Kiến thức chuẩn bị Kì vọng có điều kiện Không gian Banach p-khả trơn Không gian Banach có tính chất Radon-Nikodym Các bổ đề chuẩn bị 1.2 Một số dạng hội tụ của trường các biến ngẫu nhiên 1.2.1 Hội tụ hầu chắc chắn 1.2.1 Bổ đề. Cho {S n ; n  1} là một trường các biến ngẫu nhiên E- giá trị. Thì, 1) S n → 0 h.c.c. khi ||n|| → ∞ nếu và chỉ nếu với mỗi ε > 0, thì lim n→∞ P  sup kn S k  > ε  = 0. (1.1) 2) S n → 0 h.c.c. khi |n| → ∞ nếu và chỉ nếu với mỗi ε > 0, thì lim n→∞ P  sup kn S k  > ε  = 0. 1.2.2 Bổ đề. Cho {S n ; n  1} là trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị. Thì, S n hội tụ h.c.c. n → ∞ nếu và chỉ nếu ε > 0, lim n→∞ P  sup k0 S n+k − S n  > ε  = 0. (1.2) 1.2.2 Hội tụ hoàn toàn 1.2.3 Định nghĩa. Một trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị {S n ; n  1} được gọi là hội tụ hoàn toàn tới không nếu với mọi ε > 0, thì  n1 1 |n| P (S n  > ε) < ∞ 2 3 1.2.3 Hội tụ hoàn toàn trung bình 1.2.4 Định nghĩa. Một trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị {S n ; n  1} được gọi là hội tụ hoàn toàn trung bình cấp p tới không nếu  n1 ES n  p < ∞ Rõ ràng rằng hội tụ hoàn toàn trung bình cấp p tới không thì sẽ hội tụ h.c.c. cũng như hội tụ trung bình cấp p về không. 1.3 Trường các hiệu martingale Cho (Ω, F, P ) là một không gian xác suất, E là một không gian Banach khả ly, và B(E) là σ-đại số Borel trên E. 1.3.1 Định nghĩa. Cho {X n , 1  n  N} là một trường các biến ngẫu nhiên E- giá trị và {F n , 1  n  N} là một trường các σ- đại số con của F tương ứng với quan hệ thứ tự  trên N d , và đặt F ∗ n = σ{F l : ∨ d i=1 (0 ≤ l i ≤ n i )}, với 0  n  N (với quy ước F n = {∅, Ω} với |n| = 0) 1) Một trường {X n , F n , 1  n  N} được gọi là trường tương thích nếu X n là F n -đo được với mọi 1  n  N. 2) Một trường tương thích {X n , F n , 1  n  N} được gọi là trường các hiệu martingale nếu E(X n |F ∗ n−1 ) = 0 với mọi 1  n  N (1.3) 3) Một trường các hiệu martingale {X n , F n , 1  n  N} được gọi là trường các hiệu martingale mạnh nếu E(X n I A |F ∗ n−1 ) là F n -đo được với mọi 1  n  N, 1 ≤ i ≤ d và A ∈ σ(X n ). 1.3.2 Nhận xét. Khi d = 1 (chỉ số một chiều) nếu {X n , F n : 1 ≤ n ≤ N} là một dãy các hiệu martingale, bởi vì E(X n I A |F ∗ n−1 ) = E(X n I A |F n−1 ) ∈ F n−1 , nên {X n , F n : 1 ≤ n ≤ N} là dãy các hiệu martingale mạnh. Tuy nhiên trong trường hợp d > 1 (chỉ số nhiều chiều) thì một trường hiệu martingale không nhất thiết là trường hiệu martingle mạnh, bởi vì E(X n I A |F ∗ n−1 ) có thể không là F n -đo được. 1.4 Toán tử ngẫu nhiên 1.4.1 Định nghĩa. Cho E; H là hai không gian Banach khả ly. 1) Một ánh xạ tuyến tính liên tục A : E → L H 0 (Ω) từ E vào L H 0 (Ω) được gọi là toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y . Một toán tử ngẫu nhiên từ E vào E được gọi là toán tử ngẫu nhiên trên E. 4 2) Một toán tử ngẫu nhiên A : E → L H 0 (Ω) được gọi là bị chặn nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên không âm k(ω) sao cho với mỗi x ∈ X, Ax(ω)  k(ω)x h.c.c. (1.4) Chú ý rằng miền xác định h.c.c. trong (1.4) là phụ thuộc vào x. Nếu E = R n ; H = R m là các không gian hữu hạn chiều thì mọi toán tử ngẫu nhiên A : E → L H 0 (Ω) là bị chặn và khi đó, nó chính là ma trận ngẫu nhiên n × m. Trong trường hợp tổng quát, một toán tử có thể không bị chặn. 1.4.2 Định lý. Một toán tử ngẫu nhiên A : E → L H 0 (Ω) là bị chặn nếu và chỉ nếu tồn tại ánh xạ T A : Ω → L(E, H) sao cho Ax(ω) = T A (ω)x h.c.c. (1.5) Dễ thấy rằng ánh xạ T A là xác định duy nhất theo nghĩa: nếu T (1) A , T (2) A thỏa mãn (1.5) thì T (1) A (ω) = T (2) A (ω) h.c.c. Hơn nữa, ta có bổ đề sau 1.4.3 Bổ đề. T A  là các biến ngẫu nhiên thực. Trong trường hợp với dãy toán tử, ta sẽ định nghĩa các khái niệm hội tụ như sau đây, 1.4.4 Định nghĩa. Cho E, H là các không gian Banach khả ly, A, A n (n ≥ 1) : E → L H 0 (Ω) là các toán tử ngẫu nhiên. 1) A n được gọi là hội tụ tới A h.c.c. nếu với mỗi x ∈ E, lim n A n x(ω) = Ax(ω) h.c.c. 2) Giả sử rằng Ax, A n x ∈ L H p (Ω), ∀x ∈ E. Thì A n được gọi là hội tụ tới A theo trung bình cấp p nếu với mỗi x ∈ E, lim n→∞ EA n x − Ax p = 0 với mọi x ∈ E. 3) Giả sử A, A n (n ≥ 1) là các toán tử bị chặn. Thì A n được gọi là hội tụ đều A h.c.c. nếu lim n→∞ T A n (ω) − T A (ω) L(E,H) = 0 h.c.c. và được gọi là hội tụ đều tới A trong L p (hội tụ đều theo trung bình cấp p) nếu lim n→∞ ET A n − T A  p L(E,H) = 0. 5 1.4.5 Định nghĩa. Cho A là một toán tử ngẫu nhiên từ E vào H vàF(A) được ký hiệu là σ-trường sinh bởi họ {Ax, x ∈ E} các biến ngẫu nhiên H-giá trị. 1) Ta nói rằng A và biến ngẫu nhiên u ∈ L E 0 (Ω) là độc lập nếu F(A) và F(u) là độc lập, ở đây ký hiệu F(u) là σ-trường sinh bởi u. 2) Ta nói rằng A và σ-trường con G của F là độc lập nếu F(A) và G là độc lập. 3) Lấy {A k } n k=1 là dãy các toán tử ngẫu nhiên từ E vào K. Dãy toán tử ngẫu nhiên {A k } n k=1 được gọi là độc lập nếu các σ-trường {F 1 (A)} n k=1 là độc lập. 4) Lấy {A n , n ≥ 1} là dãy các toán tử ngẫu nhiên từ E vào H, đặt F n = F(A n ). Dãy toán tử ngẫu nhiên {A n , n ≥ 1} được gọi là dãy các martingle toán tử nếu E(A n+1 x|F n ) = A n x với mọi x ∈ E, n ≥ 1. CHƯƠNG 2 LUẬT SỐ LỚN CHO TRƯỜNG CÁC HIỆU MARTINGALE Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả về luật số lớn cho trường hộp các α-hiệu Martingale E-giá trị, luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov cho trường các hiệu Martingale E-giá trị và luật yếu số lớn cho trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị, tương thích mạnh. 2.1 Luật mạnh số lớn cho trường hộp các α hiệu Martingale 2.1.1 Định nghĩa. Cho {X k , F k , n  k  m} là một trường tương thích các biến ngẫu nhiên E- giá trị đặt F ∗ k = σ{F l : ∨ d i=1 (l i < k i )}, với n  k  m. 1) {X k , F k , n  k  m} được gọi là trường các α-hiệu martingale nếu E(X k |F ∗ k−α(k) ) = 0 với mọi n  k  m Trong trường hợp α(n) = M với mọi n  k  m ta gọi {X k , F k , n  k  m} là trường các M-hiệu martingale. Khi M = 1 ta được khái niệm trường các hiệu martingale đã định nghĩa ở chương 1. 2) Trường các α-hiệu martingale (M-hiệu martingale) {X n , F n , m  n  M} được gọi là các α-hiệu martingale mạnh (M-hiệu martingale mạnh) nếu E(X k I A |F k−1 ) là F k -đo được với mọi n  k  m và A ∈ σ(X k ). 3) Trường tương thích {X n , F n , n ∈ N d } gọi là hộp các α-hiệu martingale (tương ứng, hộp các M-hiệu martingale, hộp các hiệu martingale, hộp các α-hiệu martingale mạnh, hộp các M-hiệu martingale mạnh) tương ứng với các hộp {∆ n , n ∈ N d } nếu mỗi n ∈ N d , {X n , F n , n ∈ ∆ n } là một α-hiệu martingale (tương ứng, M-hiệu martingale, hiệu martigale, α-hiêu martingale mạnh, M-hiệu martingale mạnh). 2.1.2 Định lý. Cho 1 ≤ p ≤ 2, và E là một không gian Banach đầy đủ, thì các khẳng định sau là tương đương: (i) E là p-khả trơn. 6 7 (ii) Tồn tại hằng số C sao cho với mọi trường các α-hiệu martingale {X k , F k : n  k  m} trong E. Ta có E max nkm   nik X i  p ≤ C|α p−1 (m)|  nkm EX k  p . (2.1) 2.1.3 Định lý. Cho 1 ≤ p ≤ 2, và E là một không gian Banach khả ly, thì các khẳng định sau tương đương: (i) E là p-khả trơn. (ii) Với mọi trường hộp các α-hiệu martingale {X n , F n : n  1} trong E với các hộp tương ứng {∆ k , k  1} và mọi trường các hằng số dương {a n , n  1} thỏa mãn 1 < lim inf n≺mn+1 a Γ(m) a Γ(n) ≤ lim sup n≺mn+1 a Γ(m) a Γ(n) < ∞. (2.2) Nếu  n1 1 a n EX n  p < ∞, (2.3) thì 1 a n φ (p−1)/p 2 (n) max 1kn S k  → 0 h.c.c. khi|n| → 0. (2.4) Xét trường các hàm Borel {ψ n , n  1} có tính chất sau C n u λ n v λ n ≤ ψ n (u) ψ n (v) ≤ D n u µ n v µ n với mọi u ≥ v > 0, (2.5) 2.1.4 Định lý. Cho 1 ≤ p ≤ 2, và E là không gian Banach khả ly, các khẳng định sau là tương đương: (i) E là p-khả trơn. (ii) Cho trường các hằng số dương {a n , n  1} thỏa mãn (2.2) và trường các hàm Borel dương {ψ mn , (m, n)  (1, 1)} thỏa mãn (2.5). Khi đó với mọi trường hộp các α-hiệu martingale mạnh {X n , F n : n  1} tương ứng với các hộp {∆ k , k  1}, nếu  n1 A n Eψ(X n ) ψ(a n ) < ∞, (2.6) ở đây A n = max{ 1 C n , D n }, thì ta có (2.4). 2.1.5 Định lý. Xét {X n , F n ; n  1} là trường hộp các α-hiệu martingale mạnh E-giá trị tương ứng với các hộp {∆ k , k  1} nhận giá trị trong không gian p-khả trơn E với 1 < p ≤ 2. với α 1 , . . . , α d là các hằng số dương thỏa mãn min{α 1 . . . , α d } = 1, lấy q là số các số nguyên s sao cho α s = 1 = 8 min{α 1 . . . , α d }. Nếu {X n ; n ∈ N d } bị chặn ngẫu nhiên bởi một biến ngẫu nhiên X sao cho E(X log q X) < ∞. Thì 1 |n α |(φ 2 (n)) (p−1)/p max 1kn S k  → 0 h.c.c. khi |n| → 0. (2.7) 2.1.6 Định lý. Xét {X n , F n ; n  1} là trường hộp các α-hiệu martingale mạnh E-giá trị tương ứng với các hộp {∆ k , k  1} nhận giá trị trong không gian p- khả trơn E với 1 < p ≤ 2. với α 1 , . . . , α d là các hằng số dương thỏa mãn 1/p < min{α 1 . . . , α d } < 1, lấy q là số các số nguyên s sao cho α s = min{α 1 . . . , α d }. Nếu {X n ; n ∈ N d } bị chặn ngẫu nhiên bởi một biến ngẫu nhiên X sao cho E(X log q−1 X) < ∞. Thì ta có (2.7). 2.2 Luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov 2.2.1 Định lý. Cho q ≥ 1, E là một không gian Banach, {b n , n  1} và {c n , n  1} là các trường các số thực dương sao cho b n ≤ b m for all n  m, ξ(n), n  1 là một hàm dương, {X n , F n ; n  1} là một trường các hiệu martingale E-giá trị thỏa mãn lim inf n→∞ max n−1≺kn ES k  q b q k = 0. (2.8) cùng với ES n  q ≤ C.ξ(n)  1kn c k . (2.9) Thì, điều kiện min 1≤s≤d   n∈N d c n .ψ s (n)  < ∞ (2.10) với ψ s (n) =  kn  1 b q k − 1 b q (k,s,n s +1)  ξ(n), suy ra S n b n → 0 h.c.c. khi |n| → ∞. (2.11) 2.2.2 Định lý. Cho 1 ≤ p ≤ 2 và E là một không gian Banach khả ly. Thì các khẳng định sau tương đương: (i) E là p-khả trơn. (ii) Cho {X n , F n ; n ∈ N d } là một trường các hiệu martingale E-giá trị, q ≥ 1, d ≥ 2, {b n , n  1} là một trường các hằng số dương sao cho b n ≤ b m for all n  m. Nếu 9 1) lim inf n→∞ max n−1≺kn ES k  pq b pq k = 0. (2.12) 2) min 1≤s≤d   n∈N d EX n  pq .ϕ s (n)  < ∞, (2.13) với ϕ s (n) =  kn  1 b pq k − 1 b pq (k,s,n s +1)  |k| q−1 ; thì ta có (2.11) 2.2.3 Định lý. Cho 1 ≤ p ≤ 2, q > 1, E là không gian Banach p-khả trơn và {X n , F n ; n ∈ N d } là một trường các hiệu martingale E-giá trị. Nếu min 1≤s≤d  n1 EX n  pq n s |n| pq−q < ∞ (2.14) thì lim |n|→0 S n |n| = 0 h.c.c. 2.2.4 Hệ quả. Cho 1 ≤ p ≤ 2, q ≥ 1, E là một không gian Banach p-khả trơn và {X n , F n ; n ≥ 1} là một dãy các hiệu martigale E-giá trị sao cho  n≥1 EX n  pq n pq−q+1 < ∞, thì lim n→0 S n n = 0 h.c.c. 2.3 Luật yếu số lớn cho trường các α hiệu Martingale Trong phần này chúng tôi sử dụng các bất đẳng thức của trường các α-hiệu mar- tingale để nghiên cứu luật yếu số lớn cho trường các biến ngẫu nhiên α-tương thích mạnh nhận giá trị trong không gian Banach E. 2.3.1 Định lý. Cho E là một không gian Banach p-khả trơn (1 ≤ p ≤ 2). với mọi trường các biến ngẫu nhiên α-tương thích mạnh {X n , F n : n  1} nhận giá trị trong không gian E, Nếu  1iu n P {X i  > b ni } → 0 khi |n| → ∞ (2.15) 10 và |α(u n )| p−1 a p n  1iu n |a ni | p EY ni − E(Y ni |F ∗ i−α(i) ) p → 0 khi |n| → ∞, (2.16) thì max 1ku n 1 a n        1ik a ni (X i − E(Y ni |F ∗ i−α(i) )       P −→ 0 khi |n| → ∞, (2.17) 2.3.2 Định lý. Cho E là một không gian Banach p-khả trơn (1 ≤ p ≤ 2) và {τ n = (τ 1 (n), , τ d (n)); n  1} là một trường các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương sao cho lim |n|→∞ P {τ i (n) > u i (n)} = 0 với mọi 1 ≤ i ≤ d. (2.18) Giả thiết rằng {X n , F n : n  1} là một trường các biến ngẫu nhiên α-tương thích mạnh nhận giá trị trong E thỏa mãn (2.15) và (2.16), thì max 1kτ n 1 a n        1ik a ni (X i − E(Y ni |F ∗ i−α(i) ))       P −→ 0 khi |n| → ∞, (2.19) 2.3.3 Định lý. Lấy 1 ≤ r < p ≤ 2 và E là một không gian Banach p-khả trơn, với mọi trường các biến ngẫu nhiên α-tương thích mạnh {X n , F n : n  1} nhận giá trị trong E, giả sử {X n , n  1} bị chặn ngẫu nhiên bởi X sao cho aP (X r > a) → 0 khi a → ∞. Lấy {τ n ; n  1} là một trường các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn (2.18) và {a ni ; 1  i  u n } (n  1) là trường các số thực thỏa mãn |α(u n )| p−1 . sup n1  1iu n |a ni | r < C với hằng số C > 0 (2.20) và sup 1iu n |a ni | → 0 khi |n| → ∞, (2.21) thì sup 1kτ n  1ik a ni (X i − E(Y ni |F ∗ i−α(i) )) P −→ 0 khi |n| → ∞ với Y ni = X i I{a r ni X i  r ≤ 1} [...]... tích các toán tử ngẫu nhiên không bị chặn độc lập, thiết lập các điều kiện để tích vô hạn các toán tử ngẫu nhiên không bị chặn độc lập là hội tụ II Kiến nghị Trong thời gian tới chúng tôi mong muốn tiếp tục nghiên cứu những vấn đề sau: 1 Nghiên cứu định lí giới hạn trung tâm đối với dãy và trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị 2 Nghiên cứu các định lý giới hạn và áp dụng các định lý giới hạn trong lý. .. dãy martingale toán tử bị chặn Cho {An , n ≥ 1} là dãy các martingle toán tử bị chặn từ E vào E khi đó tồn tại ánh xạ Tn : Ω −→ L(E; E) sao cho An x(ω) = Tn (ω)x h.c.c 19 20 Ta có định lý sau 4.1.4 Định lý Giả sử rằng E có tính chất R-N, cho p ≥ 1, {An , n ≥ 1} là dãy các martingle toán tử bị chặn từ E vào E, thì 1) Nếu sup E Tn < ∞ n≥1 thì tồn tại một toán tử bị chặn A sao cho dãy toán tử {An , n ≥... hội tụ Lp k=1 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận Luận án nghiên cứu sự hội tụ của trường các hiệu maritngale nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn và nghiên cứu sự hội tụ của dãy toán tử ngẫu nhiên Kết quả chính của luận án là: 1 Thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov và Marcinkiewiz-Zygmund cho trường hộp các α-hiệu martingale, luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov cho trường các hiệu Martingale.. . k≥n (3.35) CHƯƠNG 4 SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC MARTINGALE TOÁN TỬ Trong chương này, chúng tôi thiết lập các điều kiện để toán tử ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên mở rộng và martingale toán tử ngẫu nhiên bị chặn hội tụ Hơn nữa chúng tôi định nghĩa tích các toán tử không bị chặn độc lập và sử dụng các kĩ thuật hội tụ của martingale đưa ra điều kiện để tích vô hạn các toán tử ngẫu nhiên độc lập không bị chặn... tại một toán tử bị chặn A sao cho dãy toán tử {An , n ≥ 1} là hội tụ trong Lp tới A 4.1.5 Định lý Giả sử rằng E có tính chất R-N, cho p ≥ 1, {An , n ≥ 1} là dãy các martingle toán tử bị chặn từ E vào E, thì 1) Nếu sup E Tn < ∞ n≥1 thì tồn tại một toán tử bị chặn A sao cho dãy {An u, n ≥ 1} là hội tụ h.c.c tới Au với mọi u ∈ LE (Ω, F1 ) 1 2) Nếu sup E Tn p < ∞, (p > 1), n≥1 thì tồn tại một toán tử bị... nghĩa tốt 4.2.2 Bổ đề Ánh xạ AB : E → LE (Ω) là một toán tử ngẫu nhiên 0 AB ta gọi tích của hai toán tử A và B Tích vô hạn các toán tử độc lập không bị chặn Cho {An : E → LE (Ω)}∞ là dãy các toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không 0 n=1 gian Bannach Đặt Un = (I + An )(I + An−1 ) (I + A2 )(I + A1 ), Vn = (I + A1 )(I + A2 ) (I + An−1 )(I + An ) Ở đây chúng ta đưa ra điền kiện để các dãy {Un } và {Vn... p ≥ 1, {Bn , n ≥ 1} là một dãy các hiệu martingale toán tử bị chặn từ E vào E, thì 1) Nếu n E I + τk < ∞ sup n≥1 thì tích ∞ k=1 (I k=1 + Bk ) hội tụ h.c.c 2) Nếu n E( I + τk )p < ∞ sup n≥1 thì tích 4.2 ∞ k=1 (I k=1 + Bk ) hội tụ trung bình cấp p Sự hội tụ của tích các toán tử không bị chặn độc lập Tích các toán tử không bị chặn độc lập Cho A, B : E → LE (Ω) là các toán tử độc lập Làm thế nào để định... = Cn n 1 k có tốc độ tiến tới không như sau Xk } ở đây An = max{ supk n Tk P → 0 Bn n (3.29) Cuối cùng, ta ước lượng cho tốc độ hội tụ hoàn toàn của chuỗi đuôi các trường hiệu martingale E -giá trị 3.3.3 Định lý Cho E là một không gian Banach p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2, {Xn , Fn ; n ∈ Nd } là một trường các hiệu martingale E-giá trị Cho {an } là một trường các hằng số dương, sao cho hoặc an ≤ am với... Hội tụ của dãy martingale toán tử Hội tụ của dãy toán tử bị chặn Cho {An , n ≥ 1} là dãy các toán tử ngẫu nhiên bị chặn trên E Khi đó tồn tại Tn : Ω −→ L(E; E) sao cho An x(ω) = Tn (ω)x h.c.c 4.1.1 Định lý {An , n ≥ 1} là hội tụ đều tới A theo trung bình cấp p thì {Au, n ≥ 1} là hội tụ tới Au theo trung bình cấp p với mọi u ∈ LE (Ω) và u độc p lập với {An , n ≥ 1} 4.1.2 Định lý 1) Nếu {An , n ≥ 1} là... tử bị chặn A sao cho dãy {An u, n ≥ 1} là hội tụ trong 1 1 Lp tới Au với mọi u ∈ LE (Ω, F1 ) với + = 1 q p q 3) Nếu sup E Tn p < ∞, (q > 1), n≥1 thì tồn tại một toán tử bị chặn A sao cho dãy {An u, n ≥ 1} là hội tụ trong r r Lr , (q > r > 1) tới Au với mọi u ∈ LE (Ω, F1 ) với + = 1 p p q Định lý tiếp theo cung cấp điều kiện để tích vô hạn các hiệu martigale toán tử bị chặn là hội tụ Cho {An , n ≥ 1} . martingale toán tử ngẫu nhiên vẫn chưa được nhiên cứu nhiều. Với các lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: Các định lý giới hạn cho martingale. Luận án nghiên. cứu các định lý giới hạn như luật mạnh số lớn, các định lý về hội tụ hoàn toàn, hội tụ hoàn toàn theo nghĩa trung bình, tốc độ hội tụ của tổng các trường hiệu martingale, các định lý về hội tụ cho. N d } gọi là hộp các α-hiệu martingale (tương ứng, hộp các M-hiệu martingale, hộp các hiệu martingale, hộp các α-hiệu martingale mạnh, hộp các M-hiệu martingale mạnh) tương ứng với các hộp {∆ n ,